TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I ĐỀ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC BỒI DƯỜNG HÈ Năm học 2012 – 2013 Môn thi TOÁN KHỐI 12 (Thời gian 180 phút) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2,0 điểm) 1) Giải phư[.]
TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I ĐỀ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC BỒI DƯỜNG HÈ Năm học: 2012 – 2013 Mơn thi: TỐN KHỐI 12 (Thời gian: 180 phút) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình : sin2 x+ √3 sin x +1=2 ( cos x + √ sin x ) 2 √ x −3 x+2−√ x −3 x+1≥x−1 2) Giải bất phương trình : Câu II (2,0 điểm) √ x−1+(m+3 ) √ x +1=4 √ x +3 x−1 1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm : x + x + y − y =2 2 x y +2 x +6 y=23 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 2) Giải hệ phương trình : Câu III (2,0 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng tai A D, AB=AD=a, CD=2AB, SA=a , hai mặt bên (SDC) (SAD) vuông góc với đáy (ABCD) 1) Chứng minh BC vng góc với mặt phẳng (SBD) 2) Gọi G trọng tâm tam giác DBC Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) Câu IV (1,0 điểm) : Cho số thực x, y, z dương thỏa mãn : x + y + z ¿ Tìm giá trị nhỏ √ 2 1 + + + + + x y z x 2− xy+ y y − yz + z z −zx + x biểu thức : P = II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu V.a 1) Cho tam giác ABC vuông A, đỉnh B(1;1), đường thẳng AC có phương trình: 4x+3y-32 = Trên tia BC lấy điểm M cho: BC.BM=75 Tìm tọa độ điểm C biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác √5 AMC 2) Cho hàm số y = x3 - 3x + (C) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) giao điểm đồ thị với trục hoành 3) Cho n nguyên dương thỏa mãn: ( √ x− x ) n 3 Cn+1 +8C n+2 =3C n+1 Tìm hệ số x4 khai triển nhị thức f(x) = ; (x > 0) Theo chương trình Nâng cao Câu V.b 1) Cho hình bình hành ABCD biết D(-6;-6), phương trình trung trực cạnh DC 2x+3y+17=0 Phương trình phân giác góc ∠ BAC 5x+y-3=0 Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình bình hành y=− x +2 x −5 x+2 (C) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) biết tiếp 2) Cho hàm số : tuyến tạo với đường thẳng 3x-y+1=0 góc 450 3) Cho tập A= { 0;1;2; ; } Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số đơi khác cho số ln có mặt hai số ; đứng trước -Hết - ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu I 1) ¿ π [x=− +Kπ 2sin x+√3.sin 2x+1=2(cosx+ √3.sin x ) ⇔2sin x+ √3.sin 2x+sin x+cos x=2 (cosx+√ 3.sin x ) [cosx+ 3.sin x=0 [ √3.sin x=−cosx √ [⇔¿ [⇔¿ √3 [⇔¿ [¿¿ 2 ⇔3sin x+2 √3.sin xcosx+cos x=2 (cosx+ √3.sin x )⇔( cosx+ √3.sin x ) =2 (cosx+√ 3.sin x ) [cosx+√ 3.sin x=2 [ cosx+ √ sin x=1 π [x= π +K2π ⇔ [cos x − =1 2 3 2 [tanx=− () x≥ x≤ ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 2) Điều kiện: ⇔ √( x−1)( x−2)− √( x−1)(2 x−1)≥x−1 bpt - Nhận thấy x = nghiệm bpt Với x ¿ 2, bpt - ⇔ √ x−2− √2 x−1≥ √ x−1 ⇔ √ x−2≥√ x −1+ √ x−1 ⇒ x−2≥2x−1+x−1+2 √( x−1)(2x−1)⇔−2 x≥2 √( x−1)(2 x−1) - ≤ Với x , bpt ⇔ √ 2−x− √ 1−2 x≥− √1−x ⇔ √ 2−x + √ 1−x≥√ 1−2 x ⇔2−x+1−x+2 √(2−x )(1−x)≥1−2 x ⇔2+2 √(2−x)(1−x )≥0 ≤ Kết luận: nghiệm bpt cho x Câu II 1) ĐK: x ¿ vô nghiệm với ∀ x ≤ x = ⇔2 √ x−1+(m+3 ) √ x +1=4 √( x−1)( x +1) pt Vì x = -1 khơng phải nghiệm pt, ta chia vế pt cho pt Đặt √ ⇔ √ x−1 x+1 4 x−1 x+1 =t +m+3=4 ⇒ t= √ √ √ x+1 , ta được: x−1 x+1 x−1 x+1 ≥ pt cho ⇔ 2t2 + m + = 4t ⇔ m = -2t2 + 4t – Xét hàm số f(t) = -2t2 + 4t – Với t ≥ f(t)’ = -4t + = ⇔ t = Bảng biến thiên: t ∞ f(t)’ f(t) + -3 Vậy để pt cho m ¿ -1 ∞ -1 + có nghiệm ⇔ 2 x +4 x + y −4 y =2 x y + x + y =23 ⇔ ¿ 2 ( x +2 ) +( y −2 ) =10 2 y ( x +2 )+2 ( x + ) + ( y −2 )=19 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 2) 2 a = x +2 b= y −2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Đặt Hệ pt cho trở thành: a +b =10 a ( b + ) + a + b =19 ⇔ ¿ a + b 2=10 19 −4 b a= b+ ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ y − 2=1 x +1 =3 ¿ [ ¿ y −2 =3 x +2 =1 ¿ ¿[ ⇔ ¿ ¿ y =3 x =±1 ¿ [ ¿ y =5 x 2=−1 ( loai ) ¿ ¿[ ⇔ ¿ 19− b + b2 =10 ⇔( 19−4 b )2 + b2 ( b +4 )2 =10 ( b +4 )2 ⇔ b + b3 +22 b −232 b + 201=0 [ b=1 [ ⇒ ¿ [ a =3 [ ¿ ⇔ ¿ [ { ¿ ¿ ¿ b+ [ b= [ a=1 ⇔ ( b2 −4 b +3 )( b2 +12 b +67 )= ⇔ b2 −4 b +3= ⇔ ⇒ ( ) Kết luận: hệ pt cho có cặp nghiệm: (x;y) = (1;3) , (-1;3) Câu III: S E D I C G M K A H B 1) Vì (SDC) (SDA) vng góc với đáy nên SD đường cao hình chóp (SDC) ⋀(SDA) = SD Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ BI vng góc với DC → tứ giác DIBA hình vng ⇒ DI =IB=DA=a⇒ IC =DC−DI =2 a−a=a⇒ ID=IB=IC=a ⇒ ∆ DBC tam giác ⊥ cân B ⇒ BC 2) Trong mặt phẳng (ABCD) qua G kẻ đường thẳng ⇒ d(G;(SBC)) = d(K;(SBC)) ¿ DB Mà BC ¿ SD ⇒ BC ¿ ¿/¿ với BC cắt DB K ⇒ GK (SBD) ¿/¿ (SBC) Trong mặt phẳng (SDB) : +) Kẻ DE ¿ SB mà BC ¿ DE ⇒ DE ¿ (SBC) +) Kẻ KH ¿/¿ DE ⇒ KH ¿ (SBC) ⇒ d(K;(SBC)) = KH Tứ giác AICB hình bình hành IC ¿/¿ AB IC = AB ⇒ AI ¿/¿ GK AI ⋀ DB = M ⇒ M trung điểm DB Xét ∆ BKG đòng dạng với ∆ BMI, ta có: BK BG 2 BK BK ⇔ = = = = BM BI BD BD Xét ∆ BKH đồng dạng với ∆ BDE, ta có: BK KH DE = = KH = BD DE 3 Xét ∆ vuông DAS : SD2 = SA2 – DA2 = 3a2 – a2 = 2a2 ∆ vuông ADB : BD2 = DA2 + AB2 = a2 + a2 = 2a2 1 1 1 = 2+ = + = DE2 = a2 Xét ∆ vuông DSB : 2 DE SD DB a 2a a ⇒ d(G;(SBC)) = a Xét DE = a ⇒ a KH = Câu IV : Áp dụng BĐT coossi cho số dương, ta có: 1 1 + +1≥ 3 = xy x y x y √ 1 + +1≥ yz y z 1 + +1 ≥ zx z x 1 3 + + + + + −3 2 xy yz zx x −xy + y y − yz + z z −zx + x ≥ ⇒ P Tương tự : 2 Áp dụng BĐT : a2 b2 c2 ( a+b+c ) + + ≥ m n p m+n+ p ta có: ( 1+1+ 2) 16 1 + = + + ≥ = x −xy + y xy x −xy+ y xy xy ( x+ y )2 ( x + y )2 Tương tự: 16 16 + ≥ + ≥ 2 2 y − yz + z yz ( y+ z ) z −zx + x zx ( z + x )2 ≥ ⇒ P 16 1 16 1 16 + + −3≥ + + −3≥ −3 x+ y y+z z+x 2( x + y + z ) ( x + y )2 ( y + z )2 ( z + x )2 ( ( ) [ ) ] 16 ¿ −3=12−3=9 3 ( ) Dấu “=” xảy x = y = z =1 Câu V.a 1) Vì AC ¿ AB nên pt đường thẳng AB là: -3(x-1) + 4(y-1) = ⇔ -3x + 4y -1 = Ta có : AB⋀AC = A ⇒ tọa độ điểm A nghiệm hệ pt: B x + y −32 =0 −3 x + y −1 =0 ⇔ ¿ x =5 y =4 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ϵ Vì C M AC C ( t; ⇒ 32−4 t ) A(5;4) Gọi O(x;y) tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AMC , ta có: Phương tích điểm M với đường trịn (O): A O C 2 P(M/(O)) = BM.BC = OB – R 425 ⇔ (x-1)2 + (y-1)2 = OB2 = 75 + ( ) (1) 125 ⇔ Mà OA2 = R2 (x-5)2 + (y-4)2 = √5 425 = (2) ¿ x = 7, y =9 ¿ [ ¿ x = 10 , y =5 ⇒ Từ (1) (2) [ { ¿ ¿ [ ⇒ ¿ ¿ ¿ ¿ 32−4t 125 ⇔ - y) = OC2 = R2 (t – x)2 + ( 15 O ( ;9) Với , ta có: ( t −15 ) 21 O ( ;5) Với , ta có : ( t −21 ) + 4t ( 32− ) −9 = 125 ⇔ [ C(5 ; ) ¿ [ t =5 [ ⇒ ¿ [ ¿ [ t =2 [ C ( 2; 8) + 4t (32− −5 ) = 125 ⇔ [ C(5 ; ) ¿ [ t =5 [ ⇒ ¿ [ ¿ [ t =8 [ C ( 8; 0) Kết luận: Có điểm C thỏa mãn là: C(2;8) C(8;0) (C(5;4) loại trùng với điểm A) 2) y’ = 3x2 -3 ⇒ [ x=1 ¿ [¿ [ x=−2 Đồ thị hàm số giao với Ox y = Tiếp tuyến (1;0) là: y = y’(1) (x-1) = Tiếp tuyến (-2;0) : y = y’(-2).(x+2) = 9(x+2) = 9x + 18 3 Cn+1 +8C n+2 =3C n+1 (ĐK: n+1 ≥ n+2 ≥ ⇔ ≥ 2) n (n+1 )! (n+2 )! (n+1 )! (n+1 )n(n−1 ) ⇔3 +8 =3 ⇔3 (n+1)+4(n+ 2)(n+1 )= n! 2! n ! 3! (n−2 )! n(n−1 ) n(n−1) (n+1) 3+ 4( n+2)− =0⇔ 3+4 (n+2 )− =0 ( n≥2⇒ n+1>0 ) 2 3) Theo ra: [ ] ⇔ [ n=11 (t /m ) [ ¿ ¿ [ n=−2 (loai) k 11 ( )11 −k (−1 )k ( ) ¿ Ck ∑ k =0 11 √ x x =∑ 11 ¿ k =0 k Ck 11 (− ) x 11 3k − 2 11 (√ x − 3x ) Khi f(x) = =¿ ¿ k k Hệ số x4 C n (−3 ) với giá trị k thỏa mãn: =4 ⇔ k=1 C11 (−3 ) =−33 Vậy hệ số x4 Câu V.b 1) A K Vì DC B H M d' D 11 k − 2 C I d ¿ (d) nên pt đường thẳng DC : -3(x+6) +2(y+6) = ⇔ -3x + 2y – = ⇒ ⇒ Vì DC giao (d) = I I (-4;-3) C (-2;0) ¿ (d’) cắt AB K Từ C kể đường thẳng ⇒ ∆ ACK ∆ cân A Pt đường thẳng CH : -(x+2) + 5y = =0 Vì (d’) giao CK = H ⇒ H ( 12 ; 12 ) ⇒ K (3;1) ⇔ -x + 5y – ¿/¿ DC nên pt đường thẳng AB : -3(x-3) + 2(y-1) = ⇔ -3x + 2y + = Vì AB Vì AB giao (d’) = A = ⇒ ( ⇒ A (1;-2) Gọi M giao đường chéo x A + xc y A + yC ; = − ;−1 2 )( ⇒ M ) B (5;4) Kết luận: đỉnh hình bình hành cần tìm là: A(1;-2) , B(5;4) , C(-2;0) , D(-6;-6) → 2) Đường thẳng 3x – y + = có → → n1 (3;−1) Gọi pttt có dạng : y = Kx + b có → |n1 n 2| =cos 45 0= √ ⇔ |n1||n2| → → √ ⇔ ( K + )2 = ⇔ = 2 10 ( K +1 ) √ 10 √ K +1 |3 K +1| ¿ Theo ra, ta có: n1 (3 ;−1) [ K =− [¿ [K= ⇔ [ y ' ( x )=−x + x 0−5=−2 [ y =−4 [ x 0=3 [ ⇒¿ [¿ [ y =− [ x =1 [ y ' ( x )=−x +4 x −5= ( vơ nghiem ) Vậy có pttt thỏa mãn: y = -2(x-3) – = -2x +2 y = -2(x-1) = -2x + ¿ [⇔ ¿ 3) Các chữ số có chữ số cần tìm có dạng : a1 a2 a3 a4 a5 a6 TH1: a ≠ 0, ta xếp 1,2 vào vị trí ⇒ có A6 =30 (cách chọn) Trong số cịn lại thì: số thứ có cách chọn Số thứ hai có cách chọn Số thứ ba có cách chọn Số thứ tư có cách chọn Số cách chọn TH1 là: 30.8.7.6.5 = 50400 (cách) TH2: a1 = 0, ta xếp 1,2 vào vị trí ⇒ có A5 =20 (cách chọn) Trong số cịn lại thì: số thứ có cách chọn Số thứ hai có cách chọn Số thứ ba có cách chọn Số cách chọn TH2 là: 20.7.6.5 = 4200 (cách) Tổng có : 50400 – 4200 = 46200 số có chữ số lập từ số cho ln có mặt chữ số Vậy tổng số có chữ số cho số đứng trước là: 46200 : = 23100 (cách) -THE END Đáp án trình bày thực bởi: prince toad ... (loai) k 11 ( )11 −k (? ?1 )k ( ) ¿ Ck ∑ k =0 11 √ x x =∑ 11 ¿ k =0 k Ck 11 (− ) x 11 3k − 2 11 (√ x − 3x ) Khi f(x) = =¿ ¿ k k Hệ số x4 C n (−3 ) với giá trị k thỏa mãn: =4 ⇔ k =1 C 11 (−3 )... √ x−2≥√ x ? ?1+ √ x? ?1 ⇒ x−2≥2x? ?1+ x? ?1+ 2 √( x? ?1) (2x? ?1) ⇔−2 x≥2 √( x? ?1) (2 x? ?1) - ≤ Với x , bpt ⇔ √ 2−x− √ 1? ??2 x≥− ? ?1? ??x ⇔ √ 2−x + √ 1? ??x≥√ 1? ??2 x ⇔2−x +1? ??x+2 √(2−x ) (1? ??x)? ?1? ??2 x ⇔2+2 √(2−x) (1? ??x )≥0 ≤ Kết... (n +1 )! (n+2 )! (n +1 )! (n +1 )n(n? ?1 ) ⇔3 +8 =3 ⇔3 (n +1) +4(n+ 2)(n +1 )= n! 2! n ! 3! (n−2 )! n(n? ?1 ) n(n? ?1) (n +1) 3+ 4( n+2)− =0⇔ 3+4 (n+2 )− =0 ( n≥2⇒ n +1> 0 ) 2 3) Theo ra: [ ] ⇔ [ n =11 (t