xác suất thống kê,nguyễn thị thu thủy,dhbkhn Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU §2 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU 2 1 Các số đặc trưng biên Ta đã biết các đặc trưng cơ bản của
Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU §2 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU 2.1 Các số đặc trưng biên cu u du on g th an co ng c om Ta đã biết các đặc trưng cơ bản của 𝑋 và 𝑌 ở chương II Chúng có thể tính được trực tiếp từ các khái niệm mới của PP đồng thời Do tính tương tự ta viết chỉ viết các cơng thức cho biến 𝑋 Nếu 𝑋 rời rạc, kỳ vọng biên và phương sai biên là: 𝐸𝑋 = ^ a 𝑥^ 𝑝 𝑥^ , 𝑦a = ^ 𝑥^ 𝑝b (𝑥^ ); 𝑉𝑋 = ^ a 𝑥^ − 𝐸𝑋 h 𝑝 𝑥^ , 𝑦a = ^ a 𝑥^ h 𝑝 𝑥^ , 𝑦a − 𝐸𝑋 h = ^ 𝑥^ − 𝐸𝑋 h 𝑝b (𝑥^ ) Nếu 𝑋 liên tục: lm lm lm 𝐸𝑋 = nm nm 𝑥𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = nm 𝑥𝑓b (𝑥)𝑑𝑥 ; lm lm 𝑉𝑋 = nm nm 𝑥 − 𝐸𝑋 h 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 lm lm = nm nm 𝑥 h 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝐸𝑋 h lm = nm 𝑥 − 𝐸𝑋 h 𝑓b (𝑥)𝑑𝑥 Ta có thể viết cơng thức tổng qt hơn, chẳng hạn nếu (𝑋, 𝑌) có CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU cu u du on g th an co ng c om PP đã biết và ta cũng có một hàm 𝑍 = 𝑔(𝑋, 𝑌), khi đó 𝐸[𝑔(𝑋, 𝑌)] = ^ a 𝑔(𝑥^ , 𝑦a )𝑝 𝑥^ , 𝑥a (biến rời rạc); lm lm = nm nm 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 (biến liên tục) Dễ thấy 𝑉𝑋 chính là 𝐸[𝑔(𝑋, 𝑌)] với 𝑔(𝑋, 𝑌) = 𝑥 − 𝐸𝑋 h Ngồi ra ta cịn có một số đặc trưng quan trọng là các độ lệch chuẩn biên: 𝜎• = 𝑉𝑋, 𝜎€ = 𝑉𝑌 2.2 Hiệp phương sai hệ số tương quan * Định nghĩa 1 Hiệp phương sai (covariance) của hai biến X và 𝑌, ký hiệu là 𝜇•€ , được xác định như sau 𝜇•€ = 𝐸[(𝑋 − 𝐸𝑋)(𝑌 − 𝐸𝑌)] = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸𝑋.𝐸𝑌 Phụ thuộc vào (𝑋, 𝑌) rời rạc hay liên tục, ta có các cơng thức tính: 𝜇•€ = ^ a 𝑥^ 𝑦a 𝑝 𝑥^ , 𝑦a − 𝐸𝑋.𝐸𝑌; lm lm 𝜇•€ = nm nm 𝑥𝑦𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝐸𝑋.𝐸𝑌 Dễ thấy 𝑉𝑋 = 𝜇•• Trong chừng mực nào đó, hiệp phương sai được dùng là độ đo quan hệ giữa hai biến: nếu hiệp phương sai dương ⇔hai biến có khuynh hướng đồng biến và nếu chúng có CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU cu u du on g th an co ng c om khuynh hướng nghịch biến ⇔ hiệp phương sai âm * Định nghĩa 2 Nếu 𝜇•€ = 0 ta nói rằng hai biến 𝑋 và 𝑌 khơng tương quan Rõ ràng nếu X, 𝑌 độc lập ⇒ chúng khơng tương quan; điều ngược lại nói chung khơng đúng Nhiều khi để đơn giản các ký hiệu, người ta tập hợp các hiệp phương sai và phương sai của một véc tơ ngẫu nhiên vào một ma trận được gọi là ma trận hiệp phương sai (covariance matrix); trong trường hợp biến 2 chiều X = (X, Y) đó là ma trận 𝑉𝑋 𝜇•€ 𝛤 = 𝜇•€ 𝑉𝑌 Do hiệp phương sai có nhiều hạn chế (khó xác định miền biến thiên để so sánh quan hệ hai biến, thứ ngun phức tạp,…), người ta đưa ra khái niệm dưới đây: * Định nghĩa 3 Hệ số tương quan của hai biến X, Y (correlation coefficient), ký hiệu là 𝜌•€ , c xỏc nh nh sau ã = ĂÂÊ Ô ÔÊ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU 𝑦 𝑥 ng c om Hệ số tương quan có tính chất quan trọng 𝜌•€ ≤ 1 và: - Nếu 𝜌•€ = ± 1 ⇒ ∃ 𝑎, 𝑏: 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏 (quan hệ tuyến tính); - Nếu 𝜌•€ = 0 ⇔ X, 𝑌 khơng tương quan; - Nếu 0 < 𝜌•€ ≤ 1 ⇒ X, 𝑌 phụ thuộc; - Nếu 𝜌•€ > 0, ta có tương quan dương (khuynh đồng biến); - Nếu 𝜌•€ < 0, tương quan âm (khuynh nghịch biến)… * Thí dụ 1 Từ bảng PPXS đồng thời của 𝑋 và 𝑌 an 0,10 0,15 co 0,25 0,00 0,15 0,35 cu u du on g th hãy tính hiệp phương sai và hệ số tương quan của chúng Giải Đầu tiên ta tính các đặc số biên: 𝐸𝑋 = 1,5; 𝑉𝑋 = 0,25; 𝐸𝑌 = 2,25; 𝑉𝑌 = 0,6845; sau đó tính 𝐸(𝑋𝑌) = 3,45 Từ đó: 𝜇•€ = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸𝑋.𝐸𝑌 = 3,45 – 1,5.2,25 = 0,075; ã = ĂÂÊ Ô ÔÊ = Ã,Ãáạ Ã,hạ.Ã,ằẳạ 0,1813 * Thớ d 2 Cho bin ngu nhiờn 2 chiu (X, Y) cú mt , 4𝑥 h + 𝑦 h ≤ 4; 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝜋 0, 4𝑥 h + 𝑦 h > CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU Chứng tỏ X, Y phụ thuộc và tính hiệp phương sai 𝜇•€ Giải Trước hết ta tính các mật độ biên: 𝑓b (𝑥) = lm 𝑓 nm 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝜋 𝑓h (𝑦) = lm 𝑓 nm − 𝑦 h , 𝑦 ≤ 2; 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 = 2𝜋 0, 𝑥 > 0, 𝑦 > .c om − 𝑥 h , 𝑥 ≤ 1; b b h bnÅ Ỉ = nb 𝑥𝑑𝑥 nh bnÅ Ỉ 𝑦𝑑𝑦 = 0 hÄ th an co ng Vì 𝑓(𝑥, 𝑦) ≠ 𝑓b (𝑥) 𝑓h (𝑦) nên 𝑋 và 𝑌 phụ thuộc Do 𝑓b 𝑥 , 𝑓h (𝑦) là các hàm chẵn nên 𝐸𝑋 = 𝐸𝑌 = 0, từ đó lm lm 𝜇•€ = nm nm 𝑥𝑦𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 du on g Rõ ràng 𝑋 và 𝑌 không tương quan, nhưng vẫn phụ thuộc cu u 2.3 Các số đặc trưng có điều kiện Dùng các khái niệm xác suất có điều kiện và mật độ có điều kiện ở tiết trước ta có thể định nghĩa các đặc trưng có điều kiện, chẳng hạn kỳ vọng có điều kiện của 𝑋 với điều kiện 𝑌 = 𝑦: 𝐸 𝑋 𝑦Ç = ^ 𝑥^ 𝑃 𝑋 = 𝑥^ 𝑌 = 𝑦Ç (𝑋 rời rạc), lm 𝐸 𝑋 𝑦 = nm 𝑥𝜑 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 (𝑋 liên tục) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU du on g th an co ng c om Tương tự có thể định nghĩa 𝐸 𝑌 𝑥 và các phương sai có điều kiện tương ứng, chẳng hạn: 𝑉 𝑋 𝑦Ç = ^ 𝑥^ h 𝑃 𝑋 = 𝑥^ 𝑌 = 𝑦Ç – [𝐸 𝑋 𝑦Ç ]h (𝑋 rời rạc), lm 𝑉 𝑋 𝑦 = nm 𝑥 h 𝜑 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 – [𝐸 𝑋 𝑦 ]h (𝑋 liên tục) Kỳ vọng có điều kiện 𝐸 𝑌 𝑥 = 𝐸 𝑌 𝑋 = 𝑥 là hàm của 𝑥, trong thống kê người ta gọi là hàm hồi quy của Y đối với 𝑋 và đồ thị của hàm trên mặt phẳng toạ độ Đề-các được gọi là đường hồi quy Để ý kỳ vọng có điều kiện 𝐸 𝑌 𝑋 , cũng như các đặc trưng có điều kiện khác, là biến ngẫu nhiên và đến lượt mình có thể có các đặc số tương ứng * Thí dụ 3 Cho bảng PP đồng thời của 𝑋 và 𝑌 cu u 𝑦 𝑥 0,10 0,15 0,25 0,00 0,15 0,35 Tính các kỳ vọng và phương sai có điều kiện 𝐸 𝑋 , 𝐸 𝑌 , 𝑉 𝑋 , 𝑉 𝑌 Giải Dễ thấy: 𝑃 𝑋 = 𝑌 = = ậèè ậặ (b) = Ã,bà Ã,hạ = 0,4; CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU 𝑃 𝑋 = 𝑌 = = Từ đó Tiếp theo ËỈÌ ËỈ (b) = = 0,6 𝑉 𝑋 = 22.0,4 + 42.0,6 – 3,22 = 0,96 𝑃 𝑌 = = 𝑃 𝑌 = = ậè (h) ậẻặ ậè (h) = à Ã,ạ ËÌ (h) = ·,b¹ ·,¹ = 0,3; = 0; = ·,Ϲ co ậặặ ậặè ng Ã,hạ = 2.0,4 + 4.0,6 = 3,2; 𝑃 𝑌 = 𝑋 = = 𝑃 𝑌 = = ·,b¹ c om ·,¹ = 0,7 u du on g th an Và ta có: 𝐸 𝑌 = 1.0,3 + 3.0,7 = 2,4; 𝑉 𝑌 = 1.0,3 + 32.0,7 – 2,42 = 0,84 * Thí dụ 4 Cho 𝑋 và 𝑌 có hàm mật độ đồng thời cu 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 , < 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 1; 0, nếu trái lại Tìm hàm mật độ có điều kiện 𝜓 𝑦 𝑥 và tính 𝑃 𝑋 h + 𝑌 h ≤ Giải Đầu tiên ta tìm hàm mật độ biên 1, < 𝑥 ≤ 1; 𝑓b (𝑥) = 0, nếu trái lại Từ đó CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU 𝜓 𝑦 𝑥 = Đ(Å,Ị) ĐÌ (Å) = 𝑥 , < 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 1; 0, nếu trái lại; (PP có điều kiện là phân phối đều trên (0, 𝑥)) Theo tính chất (iii) của hàm mật độ h h 𝑃 𝑋 + 𝑌 ≤ = ĨÅ , 𝒟 Å b Ä/¼ 𝑟𝑑𝜑 𝑑𝑟 = ln · · 𝑟 cos𝜑 co 𝑃 𝑋 h + 𝑌 h ≤ = ng c om với 𝒟 là miền 𝑥, 𝑦 : 0 < 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 h + 𝑦 h ≤ Dùng toạ độ cực ta có tan 3𝜋 = ln + cu u du on g th an * Thí dụ 5 Điểm ngẫu nhiên (𝑋, 𝑌) rơi đồng khả năng vào miền e- líp có trục đối xứng nằm trên trục toạ độ và độ dài các bán trục là 𝑎 và 𝑏 a) Xác định mật độ XS của từng toạ độ và mật độ XS có điều kiện b) Tính hiệp phương sai của 𝑋 và 𝑌 Giải a) Dễ thấy hàm mật độ đồng thời của 𝑋 và 𝑌 𝑥2 𝑦2 , + ≤ 1; 𝜋𝑎𝑏 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦2 0, + > 𝑎 𝑏 Rõ ràng 𝑓b (𝑥) ≠ 0 chỉ nếu 𝑥 ≤ 𝑎, khi đó CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU Từ đó: , 𝑥 ≤ 𝑎; tương tự 𝑓h (𝑦) = Đ(Å,Ị) 𝜑 𝑥 𝑦 = 𝜓 𝑦 𝑥 = ĐỈ (Ị) = Ñ(Å,Ò) = 2𝑎 𝑏 − 𝑦2 , , 𝑦 ≤ 𝑏 𝑥2 𝑦2 + ≤ 1; 𝑎2 𝑏 𝑥2 𝑦2 0, + > 𝑎 𝑏 𝑎 𝑥2 𝑦2 , + ≤ 1; 2𝑏 𝑎2 − 𝑥2 𝑎2 𝑏 𝑥 𝑦2 0, + > 𝑎 𝑏 co ĐÌ (Å) 𝑏 ÄÙ Ỉ c om ÄØỈ h Ù Ỉ nỊ Ỉ ng 𝑓b (𝑥) = h ØỈ nÅ Ỉ du on g th an b) Do min ly tớch phõn i xng nờn = = 0, nờn ã = ặ 𝑥𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦, với để ý hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) chỉ khác 0 trong e-líp ÅỈ ØỈ + cu u tích phân ta đổi biến sang toạ độ cực suy rộng ỊỈ ÙỈ b ÄØÙ ≤ Để tính 𝑥 = 𝑎𝑟cos𝜑, 𝑦 = 𝑏𝑟sin𝜑, hÄ b 𝜇•€ = · · 𝑎𝑏𝑟 h cos𝜑sin𝜑 abr drd𝜑 = 0 𝜋𝑎𝑏 Như vậy hai biến 𝑋 và 𝑌 khơng tương quan, nhưng chúng phụ thuộc vì 𝑓 𝑥, 𝑦 ≠ 𝑓b (𝑥) 𝑓h (𝑦) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU du on g th an co ng c om * Tính chất của kỳ vọng có điều kiện (i) Với mọi hàm 𝑔(.) liên tục 𝐸[𝑔(𝑋)𝑌 𝑋] = 𝑔(𝑋)𝐸 𝑌 𝑋 ; (ii) 𝐸 𝑋b + 𝑋h 𝑋 = 𝐸 𝑋b 𝑋 + 𝐸 𝑋h 𝑋 ; (iii) Nếu 𝑋, Y độc lập 𝐸 𝑌 𝑋 = 𝐸𝑌; (iv) 𝐸[𝐸 𝑌 𝑋 ] = 𝐸𝑌 2.4 Phân phối chuẩn hai chiều Ta dùng các ký hiệu rút gọn: 𝜇• = 𝐸𝑋, 𝜇€ = 𝐸𝑌, 𝜎•h = VX, 𝜎€h = VY, 𝜌 = 𝜌•€ Từ đó có thể xác định hàm mật độ chuẩn đồng thời của hai biến 𝑋 𝑣à 𝑌, ký hiệu là 𝒩(𝜇• , 𝜇€ , 𝜎•h , 𝜎€h , 𝜌), có dạng 𝑓(𝑥, 𝑦) = cu exp b u h(bníặ ) b hÔ ÔÊ bníặ nĂ h Ô + ì ềnĂÊ h ÔÊ nĂ ềnĂÊ Ô ÔÊ ý ~(ã , ãh ), Y ~( , h ) và nếu 𝑋 và 𝑌 khơng tương quan (𝜌 = 0), thì giả thiết chuẩn cho phép kết luận chúng độc lập (vì có thể chứng minh dễ dàng 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓b (𝑥)𝑓h (𝑦)) Sử dụng khái niệm véc tơ – ma trận CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU 𝑥 𝜇• 𝜎•h 𝒙 = 𝑦 , 𝝁 = 𝜇 , 𝜞 = € 𝜌 ta có biểu diễn 𝑓(𝒙) = 𝑓(𝑥, 𝑦) = b hÄ Ĩäå 𝜞 𝜌 , 𝜎€h exp − 𝒙 − 𝝁 æ 𝜞nb (𝒙 − 𝝁) co ng c om Ở đây det là ký hiệu định thức ma trận, T – phép chuyển vị Biến chuẩn 2 chiều trong trường hợp này ký hiệu 𝑿 ~𝒩(𝝁, 𝜞) Trường hợp tổng quát nếu 𝑿 là véc tơ 𝑛 chiều và ~𝒩(𝝁, 𝜞), khi đó hàm mật độ có dạng cu u du on g th an 𝑓(𝒙) = (2𝜋)në/h (det 𝜞)nb/h exp − 𝒙 − 𝝁 æ 𝜞nb (𝒙 − 𝝁) * Thí dụ 6 Cho biến 2 chiều (𝑋, 𝑌) ~ 𝒩(𝜇• , 𝜇€ , 𝜎•h , 𝜎€h , 𝜌) Tính các kỳ vọng và phương sai có điều kiện Giải Dễ dàng tìm được 𝑓h (𝑦) từ mật độ đồng thời ở trên 𝑓h (𝑦) = b ÔÊ h t ú 𝑦 = b 𝑒 Đ(Å,Ị) ĐỈ (Ị) − Ì Ån¡£ Ỉ ỈíỈ £ , b 𝜎𝑋 = exp − 𝑥 − 𝜇 − 𝜌 (𝑦 − 𝜇€ ) ã ặ (bníặ ) hÔ hÔ bníặ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt h Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU Biểu thức trên chính là hàm mật độ của phân phối chuẩn 𝜎 𝒩 𝜇• + 𝜌 𝑋 𝑦 − 𝜇€ ; 𝜎•h (1 − 𝜌h ) , 𝜎𝑌 từ đó: 𝜎 𝐸 𝑋 𝑦 = 𝜇• + 𝜌 𝑋 𝑦 − 𝜇€ ; 𝑉 𝑋 𝑦 = 𝜎•h − 𝜌h 𝜎𝑌 u du on g th an co ng 𝜎𝑋 cu c om Tương tự: 𝜎 𝐸 𝑌 𝑥 = 𝜇€ + 𝜌 𝑌 𝑥 − 𝜇• ; 𝑉 𝑌 𝑥 = 𝜎€h − 𝜌h CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU BÀI TẬP c om Cho 𝑋 và 𝑌 là toạ độ của một điểm ngẫu nhiên có PP đều trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑 (𝑏 > 𝑎, 𝑑 > 𝑐) Tìm hàm mật độ đồng thời của 𝑋 và 𝑌 , sau đó tính kỳ vọng của các toạ độ của điểm ngẫu nhiên đó Cho 𝑋 và 𝑌 có bảng PPXS 0,16 0,08 0,08 0,10 0,20 0,10 0,14 0,14 ng 𝑦 𝑥 du on g th an co Tìm các kỳ vọng biên, kỳ vọng có điều kiện và các phương sai tương ứng Cho 𝑋 và 𝑌 có hàm mật độ đồng thời 𝑓(𝑥, ) = ủ ặ (bl ặ )(hạlề ặ ) cu u a) Xác định A b) 𝑋 và 𝑌 có độc lập khơng? c) Tìm các đặc trưng biên của 𝑋 và 𝑌 Xác định XS rơi của điểm (𝑋, 𝑌) vào miền {1 ≤ 𝑥 ≤ 2, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2}, nếu hàm PP của (𝑋, 𝑌) có dạng (𝑎 > 0) Ỉ Ỉ Ỉ Ỉ − 𝑎 nÅ − 𝑎 nhÒ + 𝑎 n Å lhÒ , 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0; 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0, 𝑥 < 0 hay 𝑦 < Sau đó tính các đặc trưng có điều kiện Bảng PPXS đồng thời của số lỗi vẽ màu 𝑋 và số lỗi đúc 𝑌 của một loại sản phẩm nhựa ở một cơng ty được cho bởi CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU 𝑦 𝑥 0,59 0,10 0,06 0,02 0,06 0,05 0,05 0,02 0,03 0,01 0,01 0,00 Tính các kỳ vọng biên và ma trận tương quan của (𝑋, 𝑌 ) Cho luật PP của một biến 2 chiều như sau (𝑋, 𝑌 ) 0,1 0,2 0,5 0,1 0,1 .c om 𝑦 𝑥 cu u du on g th an co ng Tìm luật PPXS của các hàm 𝑋+𝑌 và 𝑋𝑌 , sau đó tính các kỳ vọng và phương sai Biến ngẫu nhiên 2 chiều (𝑋, 𝑌) có PP chuẩn trong một hình vng có cạnh 𝑎 Các đường chéo của hình vng trùng với các trục toạ độ a) Xác định mật độ của (𝑋, 𝑌) b) Tính các mật độ biên và mật độ có điều kiện c) Tính ma trận tương quan của (𝑋, 𝑌) d) 𝑋 và 𝑌 có phụ thuộc khơng? Biến ngẫu nhiên 2 chiều có hàm mật độ đồng thời 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎 𝑥 h + 𝑦 h , nếu 𝑥 h + 𝑦 h ≤ Tìm hệ số 𝑎, sau đó tìm các đặc trưng biên và đặc trưng có điều kiện Cho hàm mật độ đồng thời của 𝑋 và 𝑌 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎 𝑒 Ì Ỉ n ặ lhềlạề ặ Xỏc nh hng s , sau ú tỡm cỏc c trng biờn v c trng cú iu kin CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương III BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU 10 Cho 𝑋 và 𝑌 là hai biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời 𝑓 𝑥, 𝑦 = 1/2𝑥 h 𝑦, nếu 𝑥 ≥ 1 và 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 1/𝑥 Tìm các kỳ vọng có điều kiện 11 Cho 𝑋 và 𝑌 là hai biến ngẫu nhiên: Y có phân phối đều trong (0;10); cịn hàm mật độ có điều kiện 𝜑 𝑥 𝑦 = 1/𝑦, với 0 < 𝑥 < 𝑦 < 10 Tính a) 𝐸 𝑋 𝑌 = 𝑦 ; b) 𝐸𝑋 cu u du on g th an co ng c om CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... Hiệp phương sai (covariance) của hai biến X và