126 cÊu t¹o mÆt bËc hai tõ c¸c t¬ng øng x¹ ¶nh ThS Nguyễn Thị Kim Hiền Trường Đại học Thuỷ Lợi Tóm tắt Mặt bậc hai là dạng mặt được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, vì vậy đã có nhiều nghiên cứu về mặ[.]
cấu tạo mặt bậc hai từ tương ứng xạ ¶nh ThS Nguyễn Thị Kim Hiền Trường Đại học Thuỷ Lợi Tóm tắt: Mặt bậc hai dạng mặt ứng dụng nhiều thực tiễn, có nhiều nghiên cứu mặt bậc hai Mặt bậc hai cấu tạo theo cách khác Theo giáo trình hình học xạ ảnh (Nguyễn Cảnh Toàn 1963; четверухин.ф 1969 ),mặt bậc hai tổng quát xây dựng nhờ tương ứng đối xạ bó đường thẳng mặt phẳng, mặt kẻ bậc hai trường hợp đặc biệt xây dựng nhờ tương ứng xạ ảnh chùm mặt phẳng Bài báo nghiên cứu trường hợp khác tương ứng đối xạ bó đường thẳng mặt phẳng để cấu tạo nên dạng khác mặt bậc hai Điều có nghĩa ta có cách xây dựng chung cho dạng khác mặt bậc hai MỆNH ĐỀ: (Hình học xạ ảnh, Nguyễn Cảnh Tồn, 1963) Quỹ tích giao điểm cặp phần tử tương ứng hai bó đối xạ mặt bậc hai Giả sử có hai bó đối xạ : (S1) (S2), a α’ cặp đường thẳng mặt phẳng tương ứng tập hợp giao điểm M= a α’ mặt bậc hai Ta có chùm đường thẳng S1( a, b, c, ) thuộc (P) Chùm mặt phẳng S2 ( ' , ' , ' , ) thuộc giá p’ (2) Gọi a’, b’, c’, giao (P) với α’, β’, γ’, S1(a, b, c,…) S2(a’, b’, c’,…) (3) P a S2 S1 p' S1 S2 b ' c' c a' b' ' ' M a Hình Hình 2.CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CỦA HAI BÓ ĐỐI XẠ Dưới ta xét dạng mặt bậc hai tạo hai bó đối xạ trường hợp đặc biệt: 2.1 Trường hợp tâm hai bó trùng (S1≡ S2): Ta xét mặt phẳng P thuộc bó (S1) tương ứng với đường thẳng p’ thuộc bó (S2), (Hình 2) S1(P) S2 (p’) (1) 126 Dễ thấy tia kép tương ứng xạ ảnh hai chùm đường thẳng thuộc quỹ tích tạo nên mặt bậc hai từ hai bó (S1) (S2) Như vậy, mặt phẳng qua S1(≡ S2) cắt mặt bậc hai theo hai đường thẳng Điều có nghĩa mặt bậc hai nhận MẶT NĨN có đỉnh tâm chung hai bó 2.2 Trường hợp tia chung hai bó thuộc mặt phẳng tương ứng: Cho hai bó đối xạ (S1) (S2), ký hiệu tia chung a (S1) b’ (S2) Các mặt phẳng tương ứng với tia chung α’ (S2) β (S1) Ta xét dạng mặt bậc hai a α’ b’ β, (Hình 3) Như chứng minh phần trên, đường thẳng S1S2 hồn tồn thuộc quỹ tích cần xét β, α’ hai mặt phẳng tương ứng với tia chung S1S2 nên mặt phẳng tiếp xúc với quỹ tích hai điểm S1 S2 Nếu coi mặt phẳng α’ thuộc (S1), α’ thuộc chùm mặt phẳng giá (a) nên tia tương ứng a’ thuộc α’: S1 ( α’) S2 ( a’), a’ α’ nên a’ đường thẳng thuộc quỹ tích Vậy mặt phẳng tiếp xúc với quỹ tích S2 mặt phẳng α’ có giao với quỹ tích hai đường sinh a’ b’ thuộc quỹ tích cần xét nằm mặt phẳng (P) Dễ thấy tương ứng S1(a) S2 (b’); tức đường thẳng nối hai tâm tia tự ứng Vì vậy:S1(d, e, f,…) S2(d’, e’, f’,…) (7) Giao cặp tia tương ứng tương ứng thuộc quỹ tích Vậy quỹ tích thuộc (P) hai đường thẳng : S1S2 MN Với: M= d d’ N= e e’ (8) ' S2 a=b p' S1 d' f' e' f e S2 a = b' d P M N ' ' ' ' K b S1 a' Hình Tương tự, mặt phẳng (β) tiếp xúc quỹ tích S1 có giao với quỹ tích hai đường thẳng a b Ta xét mặt phẳng (P) thuộc chùm mặt phẳng giá (a) thuộc bó (S1), tương ứng với bó (S2) tia p’ thuộc mặt phẳng α’ (Hình 4) Trong mặt phẳng P: Chùm đường thẳng tâm S1(d, e, f,…) Chùm mặt phẳng p’(υ’, μ’, ξ’,…) (4) Và ta có: d’≡ P (υ’) e’≡ P (μ’) f’≡ P (ξ’) (5) Ta nhận mặt phẳng (P) hai chùm đường thẳng xạ ảnh: S1(d, e, f, ) S2(d’, e’, f’, ) (6) Giao cặp tia tương ứng hai chùm đường thẳng xạ ảnh tập hợp điểm Hình Từ điều trình bày ta thấy mặt bậc hai nhận có tính chất: - S1 S đường sinh thuộc mặt bậc hai (a= b’) - Một mặt phẳng chứa S1S2 cắt mặt bậc hai theo đường sinh (MN) - Qua hai điểm khác (S1≠ S2) đường sinh S1S2, hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt bậc hai khác Từ ta thấy quỹ tích nhận MẶT KẺ BẬC HAI 2.3 Trường hợp mặt phẳng ứng với tia chung trùng nhau: Đây trường hợp đặc biệt trường hợp 2.2, Khi α’ ≡ β (Hình 5) Như vậy, ta nhận mặt kẻ, mà qua hai điểm S1≠ S2 đường sinh S1S2 ta có hai mặt phẳng tiếp xúc trùng Nói cách khác, mặt phẳng tiếp xúc với mặt kẻ bậc hai dọc theo đường sinh Vậy quỹ tích có dạng nón (hoặc trụ) bậc hai 127 = ' S2 a = b' S1 Hình 2.4 Trường hợp chùm mặt phẳng (S1S2) chiếu chùm đường thẳng tương ứng: Ta xét trường hợp chùm mặt phẳng S1S2 (α, β, γ, ) thuộc bó (S1) liên hệ phối cảnh với chùm đường thẳng tương ứng tâm S2 (p’, q’, r’,…) (Hình 6) Chùm mặt phẳng S2S1 (α, β, γ, ) S1 (p, q, r,…) Mà (p, q, r,…) thuộc β nên β thuộc quỹ tích Vậy với trường hợp vừa xét hai bó đối xạ, mặt bậc hai có dạng suy biến thành HAI MẶT PHẲNG (là hai mặt phẳng tương ứng với tia chung S1S2) 2.5 Trường hợp tia mặt phẳng tương ứng vng góc với a α’ Với bó đối xạ (S1) (S2), a α’ cặp đường thẳng mặt phẳng tương ứng, a α’ Quỹ tích nhận mặt cầu đường kính S1S2, (Hình 7) Ký hiệu : S1S2 (α, β, γ, ) S2 (p’, q’, r’,…) (9) Nếu gọi φ2 mặt phẳng tương ứng tia chung S1S2 rõ ràng α’ chứa (p’, q’, r’,…) nên α’ thuộc quỹ tích cần tìm Tương tự, gọi φ1 mặt phẳng thuộc bó (S1), có tia tương ứng thuộc bó (S2) b’(S1S2) Xét mặt phẳng α thuộc bó (S2), α xác định hai tia p’ b’ Ta có: p’ (S2) (α) (S1) (10) Vì b’ (S2) φ1 (S1) (11) → α (p’ b’) p (α φ1) (12) S1 a S2 Hình S2 a = b' S1 1 r' r q q' p p' Hình Như vậy: 128 2 2.6 Trường hợp tương ứng có cặp đường thẳng mặt phẳng tương ứng song song ( a // α’): Quỹ tích nhận có điểm vơ tận, nên mặt bậc hai có dạng Paraboloid 2.7 Trường hợp tương ứng cho tồn nón đường thẳng song song với bó mặt phẳng tương ứng, nón S1(a) S2(α’): Quỹ tích nhận có chứa đường cong vơ tận, nên mặt bậc hai có dạng HYPECBOLOID (Hình 8) a S1 Hình 2.8 Trường hợp chung, tương ứng cho không tồn cặp đường thẳng mặt phẳng song song Mặt bậc hai nhận có dạng ELLIPSOID KẾT LUẬN: Trên trình bày cách tạo dạng khác mặt bậc hai từ tương ứng đối xạ khác bó Các tính chất mặt bậc hai hồn tồn suy từ tính chất tương ứng đối xạ bó (trong phạm vi báo khơng trình bày đây) Việc nghiên cứu mặt bậc hai từ tương ứng xạ ảnh đem lại nhiều ứng dụng việc giải toán liên quan biểu diễn mặt bậc hai, tính chất xạ ảnh bất biến qua phép chiếu Vấn đề tiếp tục nghiên cứu trình bày báo sau Tài liệu tham khảo Nguyễn Cảnh Tồn (1963), “Hình học xạ ảnh” NXB Giáo dục Hà Nội ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОМЕТРИЯ (ИЗД ЧЕТВЕРУХИНН.Ф.,1969) ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОМЕТРИЯ (ь ypebur, 1960) Вb1СШАЯ ТЕОМЕТРИЯ (Н.В ЕФИМОВ, ИЗДАТЕЛьСТВО “НАУКА” 1971) Projektiv Geometria (Dr Szász Gábor, Budapest, 1977) Geometria Alapjai (Hajós Grgy, Budapest, 1980) Abstract On construction of Quadric surfaces from the projective correspondences Quadric surfaces is surface having many applications in practice, so have many research about it Have some different ways to construct a Quadric surface In the book on Projective Geometry (Nguyen Canh Toan, четверухин.ф.1969 ), general Quadric surface have constructed basing on the correlation between two bundles of lines and planes, and in the special case it is constructed by the projective correspondences of two bundles of planes In this paper, we introduce the different cases of the correlative correspondences between two bundles of lines and planes to obtain the different forms of Quadric surface And then we have a general construction for different forms of Quadric surface 129 ... mặt phẳng song song Mặt bậc hai nhận có dạng ELLIPSOID KẾT LUẬN: Trên trình bày cách tạo dạng khác mặt bậc hai từ tương ứng đối xạ khác bó Các tính chất mặt bậc hai hồn tồn suy từ tính chất tương. .. tương ứng đối xạ bó (trong phạm vi báo khơng trình bày đây) Việc nghiên cứu mặt bậc hai từ tương ứng xạ ảnh đem lại nhiều ứng dụng việc giải toán liên quan biểu diễn mặt bậc hai, tính chất xạ ảnh. .. tia tương ứng hai chùm đường thẳng xạ ảnh tập hợp điểm Hình Từ điều trình bày ta thấy mặt bậc hai nhận có tính chất: - S1 S đường sinh thuộc mặt bậc hai (a= b’) - Một mặt phẳng chứa S1S2 cắt mặt