TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE ISSN 1859 3100 KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ Tập 15, Số 12 (2018) 94 102 NATURAL SCI[.]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TẠP CHÍ KHOA HỌC JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY ISSN: 1859-3100 Tập 15, Số 12 (2018): 94-102 Vol 15, No 12 (2018): 94-102 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn THUẬT TỐN MƠ TẢ CÁC ĐẠI SỐ MA TRẬN Nguyễn Thị Thùy Dương* Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Ngày nhận bài: 22-11-2018, ngày nhận sửa: 07-12-2018, ngày duyệt đăng: 21-12-2018 TÓM TẮT Trong báo này, tác giả mô tả ý tưởng xây dựng tất đại số ma trận Lie Đầu tiên giới thiệu tốn mơ tả siêu diện thực đồng affine không gian phức C3 Tiếp đến nhắc lại điều kiện để ma trận sở đại số Lie Sau đó, giải thích lựa chọn từ hệ 90 phương trình phức hệ phương trình phụ tương đối đơn giản Nghiên cứu giả định đa thức F (z , z , u )phụ thuộc vào biến ’u’ Từ khóa: đại số Lie, mơ hình máy tính, tính toán biểu tượng, biến đổi affine, bề mặt đồng ABSTRACT Algorithm for describing matrix algebras In this article, I describe an idea of building all matrix Lie algebra First of all, I introduce a problem referred to real aspects of identical affine of C3, which is a complex space I repeat the conditions for matrices to be basic of Lie algebra Then, I explain why we choose a simple system of equations from 90 equations of complex variables Secondly, I suppose that the polynomial F (z, z , u ) depends on ’u’ variable in my study Keywords: Lie algebra, computer modeling, symbolic calculations, affine transformation, homogeneous surface Đặt vấn đề Việc nghiên cứu tính đồng affine siêu diện thực không gian phức vấn đề cấp thiết giải tích phức đại Trong toán này, quan tâm đến đại số Lie bao gồm ma trận vng phức có dạng sau: ổA1 ỗỗ ỗỗ B ỗỗỗ a ỗỗ ỗốỗ A2 A3 B2 b B3 c p ö÷ ÷ ÷ s÷ ÷ ÷ ÷ q÷ ÷ ÷ ÷ ø÷ (1.1) Đối với đại số tương ứng với bề mặt đồng nhất, có nhiều mối liên hệ phần tử ma trận ([1] - [3]) Mỗi ma trận (1.1) biểu diễn trường vector affine không gian £ ( A1, A2, A3, B1, B2, B3 , a, b, c, p, s, q – số phức) * Email: thuyduongsptoan@gmail.com 94 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Thùy Dương Mỗi trường Z tiếp xúc với siêu diện không gian thỏa đẳng thức sau ¶ Z = (A1z + A2 z + A3 w + p ) ¶ z1 ¶ + ( B1z1 + B z + B w + s ) ¶ z2 + ( az1+ bz + cw + q ) ¶ , ¶w Ở đây, Φ hàm xác định bề mặt Trong báo này, thảo luận bề mặt giả lồi cho hàm giải tích thực Mỗi bề mặt thảo luận qua gốc tọa độ không gian £ (1.2) º M Khai triển Taylor hàm xác định bề mặt gốc tọa độ có dạng sau ([1]) Re{Z (F )}| v = z1 + z2 é ỉ ỉ 2 ửựỳ + ờe1ỗỗ z12 + z12 ữ ữ+ e ç z + z ÷ ÷ êë èç ø÷ ỗốỗ ứữỳỷ (1.3) + F3 (z , z ,u )+ F4 (z , z ,u ) (3) Trong phương trình (1.3), số thành phần trọng lượng Tổng biến =( , k + 1+ 2m F (z , z , u ), F (z , z , u ) là trọng lượng đa thức F (z , z, u ), với k bậc theo klm ), l bậc theo biến z= (z1 ,z ) m bậc theo biến u Nghiên cứu xem xét bề mặt hình ống mà thỏa điều kiện = = Bài tốn mơ tả siêu diện thực đồng affine không gian phức £ chưa giải quyết, kể trường hợp đặc biệt đa tạp dạng ống Đối với bề mặt này, đa thức F (z , z , u ) phương trình (1.3) đạt điều kiện, phụ thuộc không phụ thuộc vào biến u Dưới đây, giới thiệu điều kiện cho trường hợp nghiên cứu, đa thức F (z , z , u )phụ thuộc vào biến u Thuật tốn để mơ tả đại số ma trận Trong phần này, báo mô tả ý tưởng kĩ thuật xây dựng tất đại số ma trận Lie Xét ma trận sở đại số, sử dụng thông tin tối thiểu chúng Các phần tử A1 ,A2 ,A3 , B1 ,B2 ,B3 ,i=1,5 ma trận phụ thuộc vào tham số i i i i i i 95 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 12 (2018): 94-102 t , t , t , t , t , t , t , t ; m , m , m , m ; n1 , n , n , n (2.1) Chúng viết dạng nh sau: ổA1 ỗỗ ỗỗ B1 E = ỗỗỗ 1 ỗ 4i ỗỗ ỗỗ ố ổA1 ỗỗ ỗỗ B1 ỗ E = ỗỗ ỗỗ ỗỗ ỗỗ ố ổA1 ỗỗ ỗỗB1 E = ỗỗỗ 3 ỗ ỗỗ ỗ ỗố A21 A31 B 21 B 31 m1 0 1ư÷ ÷ ÷ 0÷ ÷ ÷ ÷ ÷, 0÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 0ø÷ A22 A32 B 22 B 32 2(m2 - ia ) 0 A 23 A33 B 23 B 33 4i m3 0 0ư÷ ÷ ÷ 1÷ ÷ ÷ ÷ ÷, 0÷ ữ ữ ữ ữ 0ứữ ổA1 A2 A34 ỗỗ 4 ỗỗB1 B2 B34 ỗ 4 E = ỗỗ ỗỗ 0 2(m4 - ia ) ỗỗ çç 0 è æ A1 A 25 çç ỗỗ B1 B 25 ỗ E = ỗỗ ỗỗ- 2a - 2a ỗỗ ỗỗ 0 è i ư÷ ÷ ÷ 0÷ ÷ ÷ ÷ ÷, ÷ 0÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 0ø÷ 0ö÷ ÷ ÷ i÷ ÷ ÷ ÷ ÷, ÷ 0÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 0ø÷ A35 B35 2(m5 - il ) 0ư÷ ÷ ÷ 0÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 1÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 0ø÷ (2.2) Để ma trận (2.2) sở đại số Lie, điều kiện cần đủ thỏa mãn điều kiện đóng phép tốn ngoặc ma trận (bao tuyến tính thực ma trận này) Do đó, cần phải xem xét C52 = 10 phép toán ngoặc Wkl = [Ek ,El ] = Ek El - El Ek (1£ k £ l £ 5) cho tất cặp ma trận sở Đối với cặp Ek, El vậy, cần phải thỏa đẳng thức: Wkl = [Ek , El ]= b1E1 + b E2 + b E3 + b E4 + b E5 , (2.3) đó, β1 , β , β3 , β , β5 số thực Mỗi số phép toán ngoặc [E k , E l ] (1 £ k £ l £ ) ma trận vuông cấp Trong hàng thứ phép tốn ngoặc chứa phần tử khơng, giống ma trận (2.2) Do đó, từ đẳng thức (2.3) suy phép toán 96 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Thùy Dương ngoặc biểu thị hệ gồm 12 đẳng thức theo số phần tử ba hàng ma trận dạng (2.2) Tổng số dự kiến 120 = 12 x 10 phương trình Với số lượng lớn tham số, cần sử dụng chương trình máy tính để tính tốn Trong tài liệu [4], siêu diện thực đồng không gian thực ba chiều nghiên cứu phương pháp máy tính Trường hợp nội dung nghiên cứu bề mặt thực không gian phức, so với không gian thực tài liệu [4], số chiều tốn tăng gấp đơi Khi nghiên cứu đại số cần tìm, giảm tổng số phương trình từ 120 xuống 90 Để thực điều này, tính cột cuối tất 10 phép toán ngoặc Rõ ràng phần tử cột cuối biểu diễn qua phần tử ma trận sở ban đầu (2.2) Nhưng cột thứ ma trận sở có dạng đơn giản nên cột cuối phép toán ngoặc đơn xây dựng đơn giản 2.1 Mệnh đề 2.1 Các cột cuối dấu ngoặc ma trận sở (2.2) có dạng: ỉiA11 - A12 ư÷ ỉA 21 - A13 ửữ ỗỗ ỗỗ ữ ữ ỗỗiB1 - B1 ữ ỗỗ B - B1 ữ ữ ữ 2ữ 3ữ ỗ ữ ữ W 12 : çç , W 13 : , çç ÷ ÷ çç - ữ ữ ữ ữ ỗ ữ ữ çç ç ÷ ÷ 0 èç ø÷ èçç ø÷ ỉiA - A1 ư÷ ỉ- iA13 + A 2 ửữ ữ ữ ỗỗỗ ỗỗỗ ữ ữ ççiB - B ÷ çç- iB 13 + B 2 ÷ ÷ ÷ ÷, W : ỗ ữ, W 14 : ỗ ữ ữ ỗỗ ữ ỗỗ ữ 0 ữ ữ ữ ữ ỗỗ ỗ ữ ữ ỗ 0 ốỗ ứữ ốỗ ứữ ổ- iA14 + iA 2 ửữ ổiA - A ửữ ỗỗ ỗỗ ữ ữ ỗỗ- iB14 + iB 2 ữ ỗỗiB - B ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ (2.4) ỗ ỗ ữ ữ W 24 : ỗ , W 34 : ỗ ữ ữ ỗỗ ữ ỗ ữ - ữ ữ ỗ ữ ữ ỗỗ ỗ ữ ữ 0 ố ứữ ốỗ ứữ Cỏch chng minh mệnh đề thu tính tốn trực tiếp Khi hệ số b đẳng thức (2.3) dấu ngoặc Wkl xác định k phần tử ma trận sở ban đầu E1 – E5 Các hệ số biểu diễn tuyến tính qua e-các phần tử ma trận sở Còn bốn dấu ngoặc W13, W14, W23, W24 đẳng thức (2.3) không chứa ma trận E5 Ví dụ: W12 = [E , E ] = - (A121 + A112 )E1 + (A111 - A122 )E - (B121 + B112 )E + (B111 - B122 )E - E 5, W14 = [E1 , E ] = - (A141 + A212 )E1 + (A211 - A142 )E2 - (B141 + B 212 )E3 + (B 211 - B142 )E , 97 (2.5) (2.6) TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 12 (2018): 94-102 đó, A141 = Re(A1 4), A142 = Im(A1 4), kí hiệu tương tự sử dụng cho phần tử ma trận khác Thay xem xét dấu ngoặc Wkl ta xem xét dạng “đã hiệu chỉnh” chúng (2.7) Rkl = Wkl - (b1E1+ b E 2+ b3E3+ b E 4+ b5E5) Mỗi số ma trận cấp có hàng cuối cột cuối chứa phần tử không Không gian thảo luận h = E , E , E , E phép tốn ngoặc khơng gian đóng, nghĩa phần tử khối (3 x 3) phía bên trái tất ma trận Rkl phải Có tất 90 = x 10 phần tử vậy, tương ứng với báo nghiên cứu hệ gồm 90 phương trình Lưu ý rằng, hệ chứa phần tử tất ma trận sở ban đầu (hệ đóng phần tử ma trận E1 - E5) Số lượng phần tử hệ thảo luận lớn Đồng thời, phần số chúng thể thông qua phần tử khác Khối bên trái (2 x 2) ma trận thảo luận quan trọng Để ngắn gọn gọi chúng khối phần tử e Thực tế chúng có tính chất sau 2.2 Mệnh đề 2.2 Từ khối phần tử e phép toán ngoặc hiệu chỉnh R13, R14, R23, tất A3 ,B3 ,i=1,4 i i phần tử cột thứ ba ma trận E1 , E , E , E biểu diễn qua khối phần tử e ma trận E1 – E4 Cách chứng minh khẳng định có tính tốn trực tiếp Đầu tiên, quan tâm đến phần tử (các phần tử A3 1, B3 1, A32, B32, A3 3, B33, A34, B3 4) ba dấu ngoặc ban đầu W13, W14, W23: W1311 = - 4iA33 + e1311 , W1312 = 4iA31 + e1312 , W1321 = - 4iB33 + e1321 , W1322 = 4iB 31 + e1322 , W1411 = - 4iA34 + e1411 , W1421 = - 4iB 34 + e14 21 , W2312 = 4iA32 + e 2312 , W2322 = 4iB32 + e 2322 , Ở đây, kí hiệu eij = [ei ,e j ] với ek khối (2´ 2) bên trái ma trận Ek Tiếp đến xem xét đến dấu ngoặc hiệu chỉnh Khi theo mệnh đề 2.1 R ij = W ij - ( b E1 + b E + b E + b E ) Mỗi số phần tử ma trận hiệu chỉnh Rij 98 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Thùy Dương Ví dụ: R1311 = W 1311 - (b 1E1 + b E2 + b E3 + b E4 ) = Û 4iA33 + e1311 - ( b1 E1 + b E2 + b E3 + b E4 )11 = Do đó, phần tử cột ma trận E1 - E tức e-khối (2´ 2) A 3i B i biểu diễn qua phần tử ma trận E - E Những công thức cồng kềnh đưa vào chương trình máy tính để tìm kiếm ma trận đại số dạng xác Mệnh đề 2.2 chứng minh 2.3 Mệnh đề 2.3 Ma trận E5 sở (2.2) ma trận đại số Lie xác định ma trận E1 , E , E , E Chứng minh: Từ (2.5), ta có đẳng thc: ổ ộ ự ỗ- ởờE1, E ûú+ (A121+ A112 )E1- (A111- A122 )E ÷ ÷ ữ E = ỗỗỗ ữ ữ ỗ+ B1 + B1 E + B1 - B1 E ữ ốỗ ( 21 ø÷ 12 ) ( 11 22 ) Mệnh đề 2.3 chứng minh Các mệnh đề 2.2 2.3 xác định đại lượng chưa biết nằm hệ gồm 90 phương trình Theo kết mệnh đề 2.2, bốn ma trận đại số chiều thảo luận xác định giá trị phần tử chúng Để xác định ma trận sở thứ đại số, sử dụng Mệnh đề 2.3 Bước tiếp theo, ta chọn từ hệ 90 phương trình phức hệ phương trình phụ tương đối đơn giản Số lượng phương trình thực hệ cần phải đủ để xác định tất yếu tố chưa biết tham số Bài báo giải thích lựa chọn hệ Đầu tiên, đưa vào hệ bốn phương trình phức (2.8) R1 = 0, R = 0, R = 0, R = 12 22 11 21 Vế trái chúng biểu diễn e-khối phần tử bốn ma trận E1 - E Năm phần tử ma trận R24 xây dựng tương tự nghiên cứu đưa vào hệ phụ phương trình này: R24 = 0, R 24 = 0, 11 22 R2421= 0, R 2422 = 0, R 2333= (2.9) Các ma trận E2, E4 có khối phần tử thực Điều dẫn đến phương trình cuối phương trình thực Bốn phương trình hệ phụ phương trình phức Các phương trình khơng đủ để xác định 16 tham số (2.1) Do đó, cần bổ sung thêm vào hệ phương trình phụ, ta thêm bốn phương trình phức thu từ ý sau 99 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 12 (2018): 94-102 Các phần tử R1411, R14 21 dấu ngoặc điều chỉnh R14, trên, phụ thuộc vào e-khối phần tử bốn ma trận E - E Từ biểu diễn ta thu công thức A34, B34 Đồng thời, dễ dàng thấy (2.10) W1433 = 4iA34 , W34 = 4iB3 33 Tương tự, từ công thức R2312, R23 22 suy A32, B32 phụ thuộc vào khối phần tử bốn ma trận E - E , đồng thời (2.11) W1233 = 4iA32 , W23 = - 4iB3 33 Chuyển sang dấu ngoặc hiệu chỉnh phần tử R14 R 12 33 33 , R 34 33 , thu bốn công thức, 4iA3 , 4iB , 4iA3 , - 4iB3 , R 23 2 33 biểu diễn qua phần tử khác ma trận sở đại số thảo luận Hơn nữa, e-khối phần tử ma trận E1-E4 nằm cách biểu diễn 4iA3 ( ) –4iB3 Cịn cơng thức R3433, R1233 có phần tử m5 + il ma trận E5 Thay phương trình (2.10) (2.11) vào công thức cũ A34, B3 4, A3 2, B3 Ta nhận phương trình phức (hoặc phương trình thực) theo khối phần tử ma trận E1-E4 hai tham số m , l chưa biết R1 + R = 0, R 14 + R34 = 0, 11 33 21 33 R 312 - R 12 3 = 0, R 23 22 + R 33 = Những phương trình thực thêm vào hệ phương trình phụ nói Ghi Phương trình R14 33 (2.12) + R14 = 0, R 23 + R 23 = 11 33 22 Phương trình 2.12 phụ thuộc vào e-khối phần tử bốn ma trận E1-E4 Ta xây dựng thêm phương trình, phụ thuộc vào ma trận E1-E4 Tổng: R13 + R13 + R13 = có tính chất 33 22 11 Theo cách hệ phương trình phụ xây dựng chứa 21 phương trình thực Do ta xác định tham số (2.1) 2.3 Định lí 2.1 Tồn đại số Lie ma trận chiều thỏa mãn yêu cầu đa thức F (z , z , u ) phụ thuộc vào biến u Cơ sở ma trận sau: 100 ... thuộc vào biến u Thuật tốn để mơ tả đại số ma trận Trong phần này, báo mô tả ý tưởng kĩ thuật xây dựng tất đại số ma trận Lie Xét ma trận sở đại số, sử dụng thông tin tối thiểu chúng Các phần tử A1... 0ø÷ (2.2) Để ma trận (2.2) sở đại số Lie, điều kiện cần đủ thỏa mãn điều kiện đóng phép tốn ngoặc ma trận (bao tuyến tính thực ma trận này) Do đó, cần phải xem xét C52 = 10 phép toán ngoặc Wkl... thu tính tốn trực tiếp Khi hệ số b đẳng thức (2.3) dấu ngoặc Wkl xác định k phần tử ma trận sở ban đầu E1 – E5 Các hệ số biểu diễn tuyến tính qua e -các phần tử ma trận sở Còn bốn dấu ngoặc W13,