CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC LÊ VIẾT ÂN (Email levietan spt@gmail com) 1 Đề bài BÀI 1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Γ có tâm O Các điểm P và Q theo thứ tự nằm trên các cạnh BC,DA Biết rằng trung điểm[.]
CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC LÊ VIẾT ÂN (Email: levietan.spt@gmail.com) Đề BÀI Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn Γ có tâm O Các điểm P Q theo thứ tự nằm cạnh BC, DA Biết trung điểm đoạn thẳng AP, BQ, CQ DP nằm đường tròn k Chứng minh OP = OQ Γ B A P k Q O D C BÀI Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp N điểm Nagel tam giác Chứng minh đường tròn tâm N , bán kính 2r tiếp xúc với (O) A 2r O r N C B BÀI Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các điểm M N thuộc cung BC không chứa A (O) cho M N k BC Các đường thẳng AM, AN cắt cạnh BC theo thứ tự P, Q Gọi I, I1 , I2 , I3 , I4 theo thứ tự tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ABP, ABM, ACQ, ACN Chứng minh đường nối trung điểm hai đoạn thẳng I1 I3 I2 I4 qua I A I O Q I1 B P I2 I3 C I4 N M BÀI Cho tam giác ABC điểm D không thuộc đường thẳng CA, AB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, ACD theo thứ tự cắt CA, AB E, F khác A Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BE, CF ; gọi G điểm đối xứng với D qua M N Các đường thẳng GM, GN theo thứ tự cắt CA, AB K, L Chứng minh đường thẳng nối trung điểm đoạn thẳng BC, KL qua điểm G L A K G E M F N C B D BÀI Cho tam giác ABC, phân giác AD, trung tuyến AM Điểm P thuộc đường thẳng BC (P khác B, C, M ) (E), (F ) đường tròn qua P theo thứ tự tiếp xúc với AB, AC B, C Q giao điểm thứ hai (E) (F ) AQ theo thứ tự cắt trung trực AD (E), (F ) R S, T (S, T khác Q) DR cắt AM G Lấy K, L thứ tự thuộc P S, P T cho AK k CG AL k BG Chứng minh P K = P L A L K R S M B P C D E Q G F T BÀI Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Ω Gọi X trung điểm cung BAC Ω Một đường tròn Γ với tâm X cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D, E Gọi F G giao điểm của Ω Γ cho điểm A, F, B, C G nằm Ω theo thứ tự Giả sử đường thẳng BF CG phân biệt cắt K; đường thẳng DF EG phân biệt cắt L Chứng minh KL qua trung điểm DE A X Γ Ω G F D E L B C K BÀI Cho tam giác ABC với H, (O), (I) theo thứ tự trực tâm, đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp tam giác Gọi P trung điểm cung BAC (O); gọi M trung điểm AI; gọi N giao điểm thứ hai (O) P M Chứng minh trục đẳng phương đường tròn ngoại tiếp tam giác IM N (I) qua điểm H P A M O I H B C N BÀI Cho tam giác ABC cố định D điểm di chuyển cạnh BC Các đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB, DAC theo thứ tự cắt AC, AB E, F khác A Gọi (P ), (Q) đường tròn theo thứ tự qua cặp điểm (B, F ), (C, E) đồng thời tiếp xúc với BC Chứng minh đường thẳng qua D vng góc với P Q qua điểm cố định A E Q F P B C D BÀI Cho tam giác không vuông ABC (AB 6= AC) Gọi (O), H thứ tự đường tròn ngoại tiếp trực tâm tam giác P điểm AH (P khác A); OP thứ tự cắt CA, AB E, F ; đường tròn ngoại tiếp tam giác OAP cắt (O) M khác A Gọi N điểm đối xứng M qua AO Chứng minh HN qua trực tâm tam giác AEF N A M E H F B O P C BÀI 10 Cho tam giác ABC hai đường thẳng cắt x y nằm mặt phẳng Điểm D di động cạnh BC Đường thẳng qua D song song với x cắt CA E; đường thẳng qua D song song với y cắt AB F Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua điểm cố định A F y x E B C D [ 6= 90◦ Trung trực BÀI 11 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O với CA 6= CB , ABC AB cắt AC D Một đường tròn (K) qua O, D cắt BC E, F cho B, C, E, F đôi phân biệt OC, CD cắt lại (K) G, H Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CGH nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF A O D E F B C K G H BÀI 12 Cho tam giác ABC với I tâm đường tròn nội tiếp tam giác Một đường tròn qua I cắt AI, BI, CI đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC theo thứ tự D, E, F G khác I Đường thẳng DG cắt CA, AB theo thứ tự M, N Trung trực AD cắt DE, DF theo thứ tự K, L Chứng minh giao điểm hai đường thẳng M K N L nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC N A M L K I E G F C B D BÀI 13 Cho đường tròn (O) đường tròn (O1 ), (O2 ) tiếp xúc với J đồng thời tiếp xúc với (O) Gọi A1 A2 dây cung (O) tiếp tuyến chung (O1 ) (O2 ) Với i = 1, 2, gọi (Ji ) đường tròn qua Ai tiếp xúc ngồi với hai đường trịn (O1 ) (O2 ) a) Chứng minh tứ giác O1 J1 O2 J2 tứ giác ngoại tiếp Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tứ giác b) Chứng minh ba điểm O, I, J thẳng hàng O1 O I A2 A1 J J1 J2 O2 BÀI 14 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Giả sử tồn đường tròn(I) tiếp xúc với đường thẳng AB, AD điểm X, Y sau A, đồng thời đường trịn tiếp xúc với đường thẳng BC, CD Z, T Đường tròn (K) qua A, B đồng thời tiếp xúc với (I) điểm R; Đường tròn (L) qua A, D đồng thời tiếp xúc với (I) điểm S Gọi M, N trọng tâm tam giác XY Z, XY T Chứng minh bốn điểm M, N, R, S nằm đường tròn Y Z D K I M C R S N L A T B X BÀI 15 Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với P Xét hai đường thẳng x, y vng góc với P không song song với đường thẳng chứa cạnh tứ giác Kí hiệu tX/ (m,n,p) tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác xác định đường thẳng m, n, p điểm X nằm đường trịn Chứng minh đường thẳng tA/ (AB,AD,x) , tB/ (BC,BA,y) , tC/ (CB,CD,x) tD/ (DC,DA,y) xác định tứ giác lưỡng tâm (tức tứ giác vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp) y B x A C P D Hướng dẫn giải (Thực Lê Viết Ân Nguyễn Duy Phước) BÀI ...A 2r O r N C B BÀI Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các điểm M N thuộc cung BC không chứa A (O) cho M N k BC Các đường thẳng AM, AN cắt cạnh BC theo thứ tự... tâm (tức tứ giác vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp) y B x A C P D Hướng dẫn giải (Thực Lê Viết Ân Nguyễn Duy Phước) BÀI ... điểm đối xứng với D qua M N Các đường thẳng GM, GN theo thứ tự cắt CA, AB K, L Chứng minh đường thẳng nối trung điểm đoạn thẳng BC, KL qua điểm G L A K G E M F N C B D BÀI Cho tam giác ABC, phân