Toán kinh tế-Chương 2

Nguyên lý thống kê C2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2 1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính 1 Định nghĩa Đó là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình n ẩ[.]

C2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2.1 Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính: Định nghĩa: Đó hệ phương trình đại số bậc gồm m phương trình n ẩn có dạng:  a x1  a x  a x n  b1 12 1n  11  a 21x1  a 22 x  a 2n x n  b   a x  a x  a x mn n  b m  m1 1x biến, m2 j ẩn) aij gọi hệ số (của bi: gọi hệ số tự 03/02/23 Hệ phương trình tuyến tính 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Ma trận hệ số phương trình:  a11 a12 a1n  a a 22 a 2n  21  A    a  a a  m1 m2 mn  Ma trận cột ẩn ma trận cột hệ số tự do:  x1   b1  x  b  X   x1 x x n T B   b1 b b m T       b  x  n  m Hệ phương trình (1) viết: AX = B 03/02/23 Hệ phương trình tuyến tính 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Ma trận bổ sung:  a11 a12 a1n b1  a  a a b 22 2n  A  21     a a a b m2 mn m   m1 1.2 Nghiệm: • Một nghiệm hệ phương trình (1) n số thực (c1,c2,…cn) thoả hệ phương trình (1) • Hệ phương trình (1) gọi tương thích có nghiệm, gọi khơng tương thích (hệ vơ nghiệm) khơng có nghiệm • Hai hệ phương trình tuyến tính gọi tương đương, tập hợp nghiệm chúng trùng 03/02/23 Hệ phương trình tuyến tính 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.3 Điều kiện tồn nghiệm: • Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm hạng ma trận A hạng ma trận bổ sung 1.4 Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình sau có nghiệm: ax1  x  x 1  x1  ax  x 1 x  x  ax 1  a 1 A  a a  3a  (a  1) (a  2) 1 a 03/02/23 Hệ phương trình tuyến tính 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 2.1 Định nghĩa: Hệ phương trình Crame hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn định thức ma trận hệ số khác khơng 2.2 Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm tính cơng thức X = A-1B, tức là: det(A j ) xj  det(A ) Trong Aj ma trận thu từ A cách thay cột thứ j cột phần tử tự 03/02/23 Hệ phương trình tuyến tính 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 2.3 Ví dụ: Giải hệ phương trình: 2x   x1    3x1  x  x  30   x  x  3x   03/02/23 Hệ phương trình tuyến tính 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.1 Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn khác ma trận hệ số khơng Ta thực phép tốn hàng ma trận bổ sung hệ phương trình (1) đưa ma trận dạng ma trận bậc thang  a11 a12 a 21 a 22  A    a m1 a m 03/02/23 a1n b1  a 2n b     a mn b m  Hệ phương trình tuyến tính 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.2.Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 2 x1  x  3x   x  2x    3x1  4 x  11x  x   3.3 Hệ phương trình tuyến tính nhất: 3.3.1 Định nghĩa:  a x1  a x  a x n  0  11 12 1n  0   a 21x1  a 22 x  a 2n x n  T     X   0     0  a x  a x  a x   mn n   m1 03/02/23 m2 Hệ phương trình tuyến tính 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.3 Hệ phương trình tuyến tính nhất: 3.3.1 Định nghĩa:  a x1  a x  a x n  12 1n  11  a 21x1  a 22 x  a 2n x n    a x  a x  a x mn n   m1 m2 0  0  Hệ ln có nghiệm tầm thường X   0 0T   0    03/02/23 Hệ phương trình tuyến tính 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.3.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính nhất: Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình có nghiệm tầm thường Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n hệ phương trình tuyến tính có vơ số nghiệm, phụ thuộc n-k tham số 3.3.3 Ví dụ:  x1  x  x 3x  5x  6x   4x1  5x  x 3x1  8x  24x 03/02/23  3x  4x    3x  19x   Hệ phương trình tuyến tính 10 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 1 3  4 3   3  3H1H   3  H1 H3    4   H4     3H   2 3 15    18 0  24  19 12  10    H2 H H1  3H H H H 1 0      0 0  03/02/23 8 7  5  0 0 0  Hệ phương trình tuyến tính 11 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS RankA = 2, số ẩn nên hệ phương trình có vơ số nghiệm phụ thuộc vào tham số X1, X2  x1  8x  x    x  x   5x 4  x1  8x  x   x   x  5x 03/02/23 Hệ phương trình tuyến tính 12 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.3.4 Hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất: Giả sử rankA = k < n Ta có hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc n-k tham số Giả sử n-k tham số xk+1, … xn x1 x2 xk c11 c12 … c1k c11 c12 … c1k 0 cn-k,1 cn-k,2 … cn-k,k xk+1 xk+2 … xn Hệ gọi hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính 03/02/23 Hệ phương trình tuyến tính 13 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS Áp dụng: Sử dụng ví dụ ta tìm hệ nghiệm sau: x1 = 8x3 – 7x4 x2 = -6x3 + 5x4 x3 x4 -6 -7 03/02/23 Hệ phương trình tuyến tính 14 ... a 12 a 21 a 22  A    a m1 a m 03/ 02/ 23 a1n b1  a 2n b     a mn b m  Hệ phương trình tuyến tính 3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3 .2. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: ? ?2 x1  x  3x   x  2x... viết: AX = B 03/ 02/ 23 Hệ phương trình tuyến tính 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Ma trận bổ sung:  a11 a 12 a1n b1  a  a a b 22 2n  A  21     a a a b m2 mn m   m1 1 .2 Nghiệm: • Một...  a x1  a x  a x n  0  11 12 1n  0   a 21 x1  a 22 x  a 2n x n  T     X   0     0  a x  a x  a x   mn n   m1 03/ 02/ 23 m2 Hệ phương trình tuyến tính 3 PHƯƠNG