Nguyên lý thống kê C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1 ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) và x0 (a,b) Nếu tồn tại thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x)[.]
C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1 ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a,b) x0 (a,b) Nếu tồn f (x) f (x ) lim x x0 x x0 giới hạn gọi đạo hàm hàm số f(x) x Ký hiệu f’(x0), y’(x0) Đặt x = x – x0, ta có x = x0 + x đặt y = f(x0 + x) – f(x0) y y' lim x x Ký hiệu dy/dx, df/dx 03/02/23 Hàm số giới hạn hàm số C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN y - Đạo hàm bên phải: y' lim x 0 x - Đạo hàm bên trái: y y' lim x 0 x - Hàm số f(x) có đạo hàm khoảng (a,b) có đạo hàm điểm khoảng đó, - f(x) có đạo hàm đoạn [a,b] có đạo hàm điểm khoảng (a,b), có đạo hàm phải a đạo hàm trái b Ví dụ: Tìm đạo hàm y = x2, y = sinx 03/02/23 Hàm số giới hạn hàm số C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm tổng thương tích hai hàm số: Nếu hàm số u, v có đạo hàm x thì: 1) u + v có đạo hàm x (u + v)’ = u’ + v’ 2) u.v có đạo hàm x (u.v)’ = u’v + v’u ' u u ' v v' u 3) u/v có đạo hàm x\V(x)0 v v2 Đạo hàm hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) hàm số hợp f0u có đạo hàm theo x y’(x) = y’(u).u’(x) 03/02/23 Hàm số giới hạn hàm số C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x, f’(x) ≠ có hàm số ngược x = f-1(y) hàm số x = f-1(y) có đạo hàm y = f(x): 1 (f )' ( y) f ' ( x ) f '[f ( y)] 1 Ví dụ, tìm đạo hàm y = arcsinx 03/02/23 Hàm số giới hạn hàm số C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm hàm số sơ cấp bản: (c)’ = (c: số) (log a x )' (a 0, a 1, x 0) x ln a (x)’ = x-1 ( R, x > 0) (ax)’ = axlna (a > 0, a ≠ 1) (ln x )' ( x 0) x x x (e )’ = e (arcsin x )' ( x 1) (sinx)’ = cosx 1 x (cosx)’ = -sinx (arccos x )' ( x 1) 1 x 1 ( tgx )' (x /2 k, k Z) (arctgx )' cos x 1 x2 1 (arc cot gx )' (cot gx )' (x k , k Z) 2 x sin x 03/02/23 Hàm số giới hạn hàm số C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cao cấp: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) gọi đạo hàm cấp Đạo hàm, có, đạo hàm cấp gọi đạo hàm cấp Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d y d 2f , dx dx Tương tự, đạo hàm đạo hàm cấp (n-1) đạo hàm cấp n Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x) dn y dnf , n dx dx n Ví dụ: Cho y = x ( R, x > 0), y = kex, tìm y(n) 03/02/23 Hàm số giới hạn hàm số C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n Khi ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) (uv) 03/02/23 (n ) n C kn u ( n k ) v k u(0) = u, v(0) = v k 0 Hàm số giới hạn hàm số C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2 VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) gọi vi phân cấp hàm số f Ví dụ: tìm dy với y ln x Vi phân tổng, tích, thương: Từ cơng thức đạo hàm ta suy ra: 1) d(u + v) = du + dv 2) d(u.v) = vdu + udv u vdu udv d v v2 03/02/23 Hàm số giới hạn hàm số C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: Khi x0, f(x0+x) – f(x0) f’(x0)x hai VCB tương đương, nên x nhỏ, ta có cơng thức gần f(x0+x) f(x0) + f’(x0)x Ví dụ, tìm 15,8 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) gọi vi phân cấp n hàm số f 03/02/23 Hàm số giới hạn hàm số C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN 3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Định lý Rolle: Nếu f hàm số liên tục [a,b], khả vi (a,b) f(a) = f(b) tồn c (a,b) cho f’(c) = Định lý Lagrange: Nếu f hàm số liên tục [a,b], khả vi (a,b) tồn c (a,b) cho f ( b) f (a ) f ' (c) b a Nhận xét: Định lý Rolle trường hợp đặc biệt định lý Lagrange trường hợp f(b) = f(a) 03/02/23 Hàm số giới hạn hàm số 10 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Cauchy: Nếu f , g liên tục [a,b], khả vi khoảng (a,b) g’(x) ≠ 0, x (a,b) tồn c (a,b) cho f ( b ) f (a ) f ' (c) g ( b ) g ( a ) g ' ( c) Nhận xét: Định lý Lagrange trường hợp đặc biệt định lý Cauchy trường hợp g(x) = x 03/02/23 Hàm số giới hạn hàm số 11 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN QUI TẮC L’HOSPITAL khử dựng vơ định tìm giới hạn Dạng 0/0, / Định lý: Giả sử f, g khả vi (a,b), g’(x) ≠ với x (a,b) f (x) lim f ( x ) lim g ( x ) 0 Nếu lim f ' ( x ) L lim L x a x a x a g' (x ) x a g(x ) Nhận xét: (1) Qui tắc L’Hospital nếu: lim f ( x ) lim g( x ) 0 x x lim f ( x ) lim g ( x ) x a x a lim f ( x ) lim g( x ) x x (2) Qui tắc L’Hospital áp dụng nhiều lần 03/02/23 Hàm số giới hạn hàm số 12 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng 0/0) x 27 lim x x lim 4x x sin x x x3 tgx x lim x x sin x arctgx lim x x ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /) ln x xn ln x lim lim x lim n x 0 cot gx x e x x 03/02/23 Hàm số giới hạn hàm số 13 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Dạng 0., - : Tìm cách chuyển chúng dạng 0/0, / Ví dụ: lim ( tgx ) lim x ln x lim (4 x ) tg (x / 4) x / cos x x 0 x Dạng vô định: 00, 1, 0: Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0) Ví dụ: lim x x2 x 0 03/02/23 lim x1 x x Hàm số giới hạn hàm số lim (cot gx ) ln x x 14 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN CỰC TRỊ Định nghĩa: Hàm số f gọi đạt cực đại (cực tiểu) x0 tồn lân cận x0 cho f(x) f(x0) (f(x) f(x0)) Chiều biến thiên hàm số: Định lý: Cho f khả vi (a,b): Nếu f’(x) > với x (a,b) f tăng khoảng Nếu f’(x) < với x (a,b) f giảm khoảng Điều kiện cần cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị điểm x = x0 có đạo hàm điểm f’(x0) = 03/02/23 Hàm số giới hạn hàm số 15 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = x = hàm số không đạt cực trị tồn Hàm số y = x đạt cực tiểu x = f’(0) không Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau gọi chung điểm tới hạn f: a) Không tồn f’(x) b) f’(x) = Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = gọi điểm dừng f 03/02/23 Hàm số giới hạn hàm số 16 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện đủ cực trị: Định lý: Giả sử f khả vi khoảng (a,b) chứa điểm x0 a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm f(x) đạt cực đại x0 b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương f(x) đạt cực tiểu x0 c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) khơng đổi dấu f(x) không đạt cực trị x0 Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp liên tục lân cận điểm x0 f’(x) = a) Nếu f”(x0) > f(x) đạt cực tiểu b) Nếu f”(x0) < f(x) đạt cực đại 03/02/23 Hàm số giới hạn hàm số 17 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Giá trị lớn bé hàm số đoạn: Tính giá f điểm tới hạn điểm hai đầu mút Giá trị lớn (nhỏ nhất) giá trị tính giá trị lớn (nhỏ cần tìm Ví dụ: tìm giá trị lớn bé hàm số: f(x) = x3 – 3x2 +1 đoạn [-1/2, 4] 03/02/23 Hàm số giới hạn hàm số 18 ... 1) 1 x 1 ( tgx )'' (x /2 k, k Z) (arctgx )'' cos x 1 x2 1 (arc cot gx )'' (cot gx )'' (x k , k Z) 2 x sin x 03/ 02/ 23 Hàm số giới hạn hàm số C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm... ) lim g( x ) x x (2) Qui tắc L’Hospital áp dụng nhiều lần 03/ 02/ 23 Hàm số giới hạn hàm số 12 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng 0/0) x 27 lim x x lim 4x x sin... Từ công thức đạo hàm ta suy ra: 1) d(u + v) = du + dv 2) d(u.v) = vdu + udv u vdu udv d v v2 03/ 02/ 23 Hàm số giới hạn hàm số C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: