Microsoft Word De lan 2 Khoi A 2012 1 doc TRƯỜNG ðẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ðỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 2 NĂM 2012 Môn TOÁN; Khối A; Thời gian làm bài 180 phút PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SI[.]
TRƯỜNG ðẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ðỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN - NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 ñiểm) Cho hàm số y = x − x + 3mx + m + Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị hàm số cho m = Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cho ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị tạo với hai trục tọa ñộ tam giác có diện tích tan x cos x + cos x − Câu II (2,0 ñiểm) Giải phương trình = (sin x + cos x) − sin x x − y ( x + y ) + = Giải hệ phương trình ( x, y ∈ R ) ( x + 1)( x + y − 2) + y = Câu III (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñồ thị hàm số y = − x2 y = − x x +1 = α với Câu IV (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD A' B' C ' D' có đáy hình thoi cạnh a, BAD cos α = , cạnh bên AA' = 2a Gọi M ñiểm thỏa mãn DM = k DA N trung ñiểm cạnh A' B ' Tính thể tích khối tứ diện C ' MD' N theo a tìm k ñể C ' M ⊥ D' N Câu V (1,0 ñiểm) Cho số thực a, b, c thuộc ñoạn [0; 1] Tìm giá trị lớn biểu thức P= PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) a3 + b3 + c3 + + + b2 +1 c2 +1 a2 +1 Thí sinh làm hai phần (phần a b) a Theo chương trình Chuẩn Câu VIa (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng cân A, phương trình BC : x − y − = 0, ñường thẳng AC ñi qua ñiểm M (−1; 1), ñiểm A nằm ñường thẳng ∆ : x − y + = Tìm tọa ñộ ñỉnh tam giác ABC biết ñỉnh A có hồnh độ dương Trong khơng gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = ñường thẳng x−6 y−2 z −2 ∆: = = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M ( 4; 3; 4), song song với ñường thẳng −3 2 ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) z −1 Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn ( z + 1)(1 + i ) + = | z |2 1− i b Theo chương trình Nâng cao Câu VIb (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho ñường thẳng ∆ : x − y − 19 = ñường tròn (C ) : x + y − x − y = Từ ñiểm M nằm ñường thẳng ∆ kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường trịn (C ) (A B hai tiếp điểm) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác AMB biết AB = 10 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + z = ñiểm A(1; 0; − 2) Viết phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) A tạo với trục Ox góc α có cosα = 10 z − 2i Câu VIIb (1,0 ñiểm) Cho số phức z thỏa mãn số ảo Tìm giá trị lớn biểu thức z−2 T = | z − | + | z − i | - Hết - BÀI GIẢI Câu I: 1/ Bạn đọc tự giải 2/ Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cho ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị tạo với hai trục tọa ñộ tam giác có diện tích Bài giải: Ta có y ' = x − x + 3m (Dy’ = R) ðể đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ⇔ phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt y’ ñổi dấu ñi qua hai nghiệm ⇔ x − x + 3m = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = − 9m > ⇔ m < Gọi A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) tọa ñộ hai ñiểm cực trị ñồ thị x 1 Ta có: y = − y '+ ( m − 1) x + ( m + 1) 3 Ta có x 1 y A = − y ' ( xA ) + ( m − 1) xA + ( m + 1) ⇒ y A = ( m − 1) x A + ( m + 1) 3 x 1 yB = − y ' ( xB ) + ( m − 1) xB + ( m + 1) ⇒ yB = ( m − 1) xB + ( m + 1) 3 ⇒ A, B ∈ ( d ) : y = ( m − 1) x + ( m + 1) ⇒ phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị ( d ) : y = ( m − 1) x + ( m + 1) Gọi M, N giao ñiểm ñường thẳng (d) với Ox, Oy y = ( m − 1) x + ( m + 1) m +1 Tọa ñộ M nghiệm hệ phương trình: ⇒M ;0 y=0 1− m y = ( m − 1) x + ( m + 1) Tọa ñộ N nghiệm hệ phương trình: ⇒ N ( 0; 2m + ) x=0 m + m +1 Ta có: OM = ;0 , ON = ( 0; 2m + ) ⇒ OM = , ON = 2m + 1− m 1− m m +1 Theo đề ta có: S ∆OMN = ⇔ OM ON = ⇔ 2m + = 2 1− m − m = ( m + 1)2 m + 1) m=0 ( ⇔ = ⇔ − m = ( m + 1) ⇔ ⇔ m = −3 1− m 1 − m = − ( m + 1) So sánh ñiều kiện m < Ta có m = ∨ m = −3 thỏa yêu cầu toán cos x ≠ Câu II: 1/ ðiều kiện: sin x ≠ sin x.cos x + cos x − = cos x ( 2sin x + 1)(1 − 2sin x ) cos x ⇔ sin x ( cos x − ) + cos x − = cos x ( 2sin x + 1)(1 − sin x ) Phương trình ⇔ ⇔ sin x ( cos x − ) + cos x − = cos x ( cos x − 3) ( ) ⇔ ( cos x − 3) sin x − cos x + = π x = ± + k 2π cos x − = cos x = ± π ⇔ ⇔ ⇒ x = ± + k 2π cos x − sin x = π cos x + = x = − π + k 2π So sánh ñiều kiện ban ñầu Ta có nghiệm pt là: x = − π + k 2π ∨ x = − 5π + k 2π (k ∈ Z ) x − y ( x + y ) + = (1) 2/ Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ R ) ( x + 1) ( x + y − ) + y = ( ) Dễ thấy y = nghiệm hpt Chia hai vế pt (1),(2) cho y x2 + − ( x + y) = x2 + a = y Hpt ⇔ ðặt y x + ( ) b = x+ y y ( x + y − 2) + = b = a a − b = Hpt ⇔ ⇔ ⇔ a = b =1 a ( a − ) + = a ( b − ) + = x2 + x=0 = x2 + = − x x = x = −1 ⇔ y ⇔ ⇔ x = −1 ⇒ ∨ y y = = y = − x y = 1− x x + y =1 Vậy nghiệm hệ phương trình: ( 0;1) , ( −1; ) Câu III: TXð: D = ( −1;1] − x2 Pt hồnh độ giao điểm hai ñường y = y = − x x +1 ) ( − x2 = − x ⇔ − x2 = − x2 ⇔ − x2 − − x2 = x +1 x = −1 ( l ) − x2 = x = ⇔ ⇒ x = ( n) ⇒ x =1 1 − − x = x = ( n ) − x2 ≥ − x Diện tích hp giới hạn hai ñồ thị hai hàm số trên: x +1 1 1 − x2 − x2 − x2 − (1 − x ) dx = ∫ − + x dx = ∫ ( −1 + x ) dx + ∫ dx = x +1 x +1 x + 0 0 Với x ∈ [ 0;1] ta có S=∫ 1 x2 − x2 1 − x2 = −x + + ∫ dx = − + ∫ dx 0 x +1 x +1 ðặt I = ∫ ðổi cận: − x2 π π dx ðặt x = sin t , t ∈ − ; x +1 2 x = ⇒ t = π x = ⇒ t = π ⇒I=∫ π π ⇒ dx = cos t.dt π π cos t cos t − sin t cos t − sin t cos t.dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫ (1 − sin t ) dt = sin t + sin t + sin t + sin t + 0 0 π = ( t + cos t ) 02 = π −1 ⇒ S = π −3 2 2 Câu IV: z B C A D 2a B1 C1 a O A1 y a D1 x Gọi O giao ñiểm A1C1 B1D1 Gọi H hình chiếu D1 A1B1 HD1 a Xét ∆ vng A1HD1, ta có: sin α = = ⇒ HD1 = 4 A1 D1 a 1 a a2 ⇒ S ∆NC1D1 = d ( N , D1C1 ) D1C1 = a = 2 1 a a = d( M ,( ND C )) S ∆ND1C1 = AA1 = 1 3 12 Ta lại có: d ( N , D1C1 ) = HD1 = Ta có: VC1MD1N • Tìm k? Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ với O ( 0;0; ) gốc tọa ñộ Trong ∆A1 B1 D1 , áp dụng định lí hàm số cos ta có: a2 a B1 D12 = A1 B12 + A1 D12 − A1 B1 A1 D1.cos α ⇔ B1 D12 = a + a − 2a.a = ⇒ B1 D1 = 2 3 Ta có: cos α = ⇒ cos A1 D1C1 = cos (π − α ) = − cos α = − 4 Trong ∆A1C1 D1 , áp dụng định lí hàm số cos, ta có: ( ) 7a a 14 2 A1C1 = A1 D + D1C1 − A1 D1.D1C1.cos A1 D1C1 ⇔ A1C1 = a + a + 2.a.a = ⇒ A1C1 = 2 a 14 a a a 14 Ta có: A1 0; − ; , C1 0; ; , B1 − ; 0;0 , D1 ;0; 4 a 14 a a a a 14 a 14 A 0; − ; 2a , C 0; ; 2a , B − ;0; 2a , D ; 0; 2a , N − ;− ; 4 4 8 a a 14 a ⇒ DA = − ;− ; Gọi M ( xM ; yM ; z M ) ⇒ DM = xM − ; yM ; z M − 2a 4 2 Theo ñề bài: a a a = −k (1 − k ) xM − xM = 4 a a 14 a 14 a 14 DM = k DA ⇒ yM = − k ; 2a ⇒ yM = − k ⇒ M (1 − k ) ; −k 4 z M − 2a = z M = 2a a 3a a 14 a 14 ⇒ C1M = ;− ;0 (1 − k ) ; − (1 + k ) ; 2a ⇒ D1 N = − 4 8 Theo ñề C1M ⊥ D1 N ⇒ C1M ⊥ D1 N ⇒ C1M D1 N = 3a 7a 2 (1 − k ) + (1 + k ) = ⇔ −3 + 3k + + k = ⇔ k = − 16 16 Vậy với k = − C1M ⊥ D1 N ⇔− Câu V: Cho số thực a, b, c ∈ [ 0;1] Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b3 + c + + + b2 + c + a + a3 ≤ a Vì a, b, c ∈ [ 0;1] ⇒ b ≤ b c3 ≤ c2 ⇒P≤ 4 4 4 2 2 2 2 a + b2 + c + a c + c b + b a + a + b + c + ( a b + b c + c a ) + ( a + b + c ) + + + = b2 + c + a + a 2b c + a 2b + b c + c a + a + b2 + c + Ta có: a c + c 4b + b a ≤ a c + c 2b + b a a + b4 + c4 ≤ a2 + b2 + c2 ≤ 6a 2b c + ( a 2b + b c + c a ) Cộng vế theo vế ta có: a c + c 4b + b a + a + b + c ≤ a + b + c + 6a 2b c + ( a 2b + b c + c a ) ⇒P≤ ( a 2b c + a 2b + b c + c a + a + b + c + 1) =6 a 2b c + a 2b + b c + c a + a + b + c + ⇒ MaxP = ⇔ ( 0; 0;0 ) , (1;0; ) hoán vị Câu VIa 1/ Gọi n ( a; b ) pháp vectơ ñường thẳng AC ðường thẳng BC có PVT n1 ( 2; −1) Theo đề bài, ∆ABC vng cân A ⇒ đường thẳng AC BC tạo với góc n n1 2a − b 450 ⇒ cos 450 = ⇔ = 2 n n1 a +b ⇔ ( 2a − b ) = ( a + b ) ⇔ 3a − 8ab − 3b = a = ⇒ n ( 3;1) Chọn b = ⇒ 3a − 8a − = ⇒ a = − ⇒ n − ;1 *Với n ( 3;1) , ñường thẳng AC ñi qua M ( −1;1) có PVT n ( 3;1) có phương trình: ( AC ) : ( x + 1) + ( y − 1) = ⇔ ( AC ) : 3x + y + = Mặt khác A ∈ ∆ : x − y + = Suy tọa ñộ ñiểm A nghiệm hệ phương trình: 14 3 x + y + = x = − 13 < 14 16 14 16 ⇒ ⇒ A − ; Vì x A > ⇒ A − ; không thỏa 13 13 13 13 x − y + = y = 16 13 *Với n − ;1 , ñường thẳng AC qua M ( −1;1) có PVT n − ;1 có phương trình: ( AC ) : − ( x + 1) + ( y − 1) = ⇔ ( AC ) : − x + y − = Mặt khác A ∈ ∆ : x − y + = Suy tọa ñộ ñiểm A nghiệm hệ phương trình: − x + y − = x = ⇒ ⇒ A ( 2; ) Vì xA > ⇒ A ( 2; ) thỏa y = x − 4y + = 2x − y − = x = Tọa ñộ ñiểm C nghiệm hệ phương trình: ⇒ ⇒ C ( 5;3) − x + y − = y = Gọi I hình chiếu A BC Gọi (d) ñường thẳng qua A vng góc với BC ⇒ ( d ) : ( x − 2) + ( y − 2) = ⇒ ( d ) : x + y − = x + y − = x = Tọa ñộ ñiểm I nghiệm hệ phương trình: ⇒ ⇒ I ( 4;1) x − y − = y = Vì ∆ABC vng cân A ⇒ I trung điểm cạnh BC x =3 xB = xI − xC ⇒ ⇒ B ⇒ B ( 3; −1) yB = −1 yB = yI − yC Vậy tọa ñộ ba ñiểm A, B, C cần tìm là: A ( 2; ) , B ( 3; −1) , C ( 5;3) 2/ Gọi n ( a; b; c ) PVT mặt phẳng (P) ðường thẳng ∆ có VTCP m ( −3; 2; ) , mặt cầu (S) có tâm I (1; 2;3) bán kính R = Mặt phẳng (P) ñi qua M ( 4;3; ) có PVT n ( a; b; c ) có dạng: ( P ) : a ( x − ) + b ( y − 3) + c ( z − ) = ⇔ ( P ) : ax + by + cz − 4a − 3b − 4c = Mặt phẳng (P) song song với ∆ ⇒ n.m = ⇔ −3a + 2b + 2c = (1) a + 2b + 3c − 4a − 3b − 4c Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇔ d( I ,( P ) ) = R = ⇔ =3 a + b2 + c −3a − b − c ⇔ = (2) Thay c từ pt (1) vào pt (2), ta có: a + b2 + c −3a − b − a + b 9 = ⇔ a = a + b + a + b − 3ab ⇔ a − 3ab + 2b = 4 3 a2 + b2 + a − b 2 a = ⇒ c = ⇒ ( P ) : x + y + z − 18 = Chọn b = ⇒ a − 3a + = ⇒ a = ⇒ c = ⇒ ( P ) : x + y + z − 19 = ( P ) : x + y + z − 18 = Vậy mp (P) cần tìm là: ( P ) : x + y + z − 19 = Câu VIIa Số phức z có dạng: z = a + bi ( a, b ∈ R ) a − − bi = a2 + b2 1− i ( a − − bi )(1 + i ) = a + b ⇔ a − b + + ( a + b + 1) i + ⇔ ( a − b + 1) + ( a + b + 1) i + a + b − + ( a − b − 1) i = ( a + b ) Phương trình ⇔ ( a + + bi )(1 + i ) + ⇔ 3a − b + + ( 3a + b + 1) i = ( a + b ) a = ⇒ b = −1 ⇒ z = −i 2 3a − b + = ( a + b ) 20a + 6a = ⇔ ⇔ ⇒ a = − ⇒ b = − ⇒ z = − − i 3a + b + = b = −3a − 10 10 10 10 Vậy số phức cần tìm là: z = −i ∨ z = − − i 10 10 Câu VIb 1/ ðường tròn (C) có tâm I ( 2;1) , bán kính R = Theo ñề AB = 10 = R ⇒ ∆IAB vuông cân I ⇒ tứ giác IAMB hình vng ⇒ IM = AB = 10 ⇒ M ∈ ( C1 ) : ( x − ) + ( y − 1) = 10 2 Mặt khác M ∈ ∆ : x − y − 19 = ⇒ Tọa ñộ M nghiệm hpt: 21 5 ( x − ) + x − = 10 ( x − )2 + ( y − 1) = 10 2 2 ⇔ 19 5 x − y − 19 = y = x − 2 139 x = 29 x = 139 72 ∨ ⇒M ; ∨ M ( 3; −2 ) 29 29 y = 72 y = −2 29 Gọi I1 tâm đường trịn ngoại tiếp ∆MAB ⇒ I1 trung điểm đoạn MI đường trịn có AB 10 = 2 139 72 197 101 Với M ; ⇒ I1 ; ðường tròn ngoại tiếp ∆MAB có phương trình: 29 29 58 58 bán kính • ( C2 ) : x − • 197 101 + y − = 58 58 5 1 Với M ( 3; −2 ) ⇒ I1 ; − ðường tròn ngoại tiếp ∆MAB có phương trình: 2 2 2 5 ( C3 ) : x − + y + = 2 2 2 101 197 C : x − + y − ( ) = 58 58 Vậy đường trịn ngoại tiếp ∆MAB cần tìm là: 2 ( C3 ) : x − + y + = 2 2 2/ Gọi a∆ ( a; b; c ) VTCP ñường thẳng ∆ ðường thẳng chứa trục Ox có VTCP a1 (1; 0;0 ) Mặt cầu (S) có tâm I ( −1;1;0 ) bán kính R = Gọi ( β ) mặt phẳng qua A tiếp xúc với mặt cầu (S) Ta có IA = ( 2; −1; −2 ) Mp ( β ) qua A nhận IA = ( 2; −1; −2 ) làm PVT ⇒ ( β ) : ( x − 1) − y − ( z + ) = ⇔ ( β ) : x − y − z − = ðường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇒ ∆ ∈ ( β ) ⇒ a∆ IA = ⇔ 2a − b − 2c = ⇒ b = 2a − 2c (1) a∆ a1 Mặt khác ∆ tạo với Ox góc α ⇒ cos α = = a∆ a1 10 ⇔ a a +b +c 2 = ⇔ 90a = a + b + c ⇔ 89a − b − c = (2) 10 Thay (1) vào (2) ta có: 89a − ( a − c ) − c = ⇔ 85a + 8ac − 5c = a= ⇒b=− 5 Chọn c = ⇒ 85a + 8a − = ⇒ a = − ⇒ b = − 44 17 17 Vậy phương trình đườngthẳng ∆ cần tìm là: x = 1+ t x = − 17 t 44 ∆ : y = − t ∨ ∆ : y = − t 17 z = −2 + t z = −2 + t Câu VIIb Số phức z có dạng z = a + bi ( a, b ∈ R ) ⇔ 2 z − 2i a + ( b − ) i a + ( b − ) i ( a − ) − bi a + b − 2a − 2b − ( a + b − ) i = = = 2 z − ( a − ) + bi ( a − 2) + b2 ( a − ) + b2 Theo ñề z − 2i số ảo ⇒ a + b − 2a − 2b = ⇒ a + b = ( a + b ) , ( a + b ≥ ) z−2 Ta có a + b2 = ( a + b ) ⇔ ( a2 + b2 ) = ( a + b ) ≤ ( a + b2 ) 2 ⇒ a2 + b2 ≤ Ta lại có T = z − + z − i = ⇒T2 = ( ( a − 1) ( a − 1) + b + a + ( b − 1) + b + a + ( b − 1) 2 ) ≤ ( a −1) + b + a + (b −1) = ( + a + b ) ≤ 20 2 2 2 ⇒T ≤ ⇒ MaxT = ⇔ a = b = ⇔ z = + 2i Nguồn: Theo Thầy Nguyễn Hữu Phương ... bi ( a − 2) + b2 ( a − ) + b2 Theo ñề z − 2i số ảo ⇒ a + b − 2a − 2b = ⇒ a + b = ( a + b ) , ( a + b ≥ ) z? ?2 Ta có a + b2 = ( a + b ) ⇔ ( a2 + b2 ) = ( a + b ) ≤ ( a + b2 ) 2 ⇒ a2 + b2 ≤ Ta lại... a + a + b2 + c + Ta có: a c + c 4b + b a ≤ a c + c 2b + b a a + b4 + c4 ≤ a2 + b2 + c2 ≤ 6a 2b c + ( a 2b + b c + c a ) Cộng vế theo vế ta có: a c + c 4b + b a + a + b + c ≤ a + b + c + 6a 2b... dụng ñịnh lí hàm số cos, ta có: ( ) 7a a 14 2 A1 C1 = A1 D + D1C1 − A1 D1.D1C1.cos A1 D1C1 ⇔ A1 C1 = a + a + 2. a. a = ⇒ A1 C1 = 2 a 14 a ? ?a a 14 Ta có: A1 0; − ; , C1 0;