I. PHN CHUNG (7 im) Cõu I (2 im): Cho hm s mxm y x 2 (21) 1 = - . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1. 2) Tỡm m th ca hm s tip xỳc vi ng thng yx = . Cõu II (2 im): 1) Gii phng trỡnh: xxx 2 23cos2sin24cos3 -+= 2) Gii h phng trỡnh: xy xy xy xyxy 22 2 2 1 ỡ ++= ù + ớ ù +=- ợ Cõu III (1 im): Tớnh tớch phõn: I = x dx xx 2 3 0 sin (sincos) p + ũ Cõu IV (1 im): Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.AÂBÂCÂcú ỏy l tam giỏc u cnh bng a, AÂM ^ (ABC), AÂM = a 3 2 (M l trung im cnh BC). Tớnh th tớch khi a din ABAÂBÂC. Cõu V (1 im): Cho cỏc s thc x, y. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = xyyxyyx 2222 44444 +-++++++- II. PHN T CHN (3 im) 1. Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a (2 im): 1) Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E): xy 22 1 10025 += . Tỡm cỏc im M ẻ (E) sao cho ã FMF 0 12 120 = (F 1 , F 2 l hai tiờu im ca (E)). 2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho 3 im A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) v mt phng (P) cú phng trỡnh: xyz 30 +=+= . Tỡm trờn (P) im M sao cho MAMBMC 23++ uuuruuuruuur nh nht. Cõu VII.a (1 im): Gi a 1 , a 2 , , a 11 l cỏc h s trong khai trin sau: xxxaxaxa 1011109 1211 (1)(2) ++=++++ . Tỡm h s a 5 . 2. Theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b (2 im): 1) Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xy 22 (3)(4)35 -+-= v im A(5; 5). Tỡm trờn (C) hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A. 2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im M(2; 1; 2) v ng thng d: xyz 13 111 == . Tỡm trờn d hai im A, B sao cho tam giỏc ABM u. Cõu VII.b (1 im): Gii h phng trỡnh: y xy x xy xy xy 2010 33 22 2 log2 ỡ ổử =- ỗữ ù ù ốứ ớ + ù =+ ù ợ ============================ TR N G THCS & THPT NGUYN K H U YN T H SC I HC 2 0 10 LP 12D1 Mụn thi: Toỏn Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) S 00 9 http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 9 http://www.VNMATH.com Trn S Tựng Hng dn: I. PHN CHUNG Cõu I: 2) TX: D = R \ {1}. th tip xỳc vi ng thng yx = thỡ: mxm x x m x 2 2 2 (21) (*) 1 (1) 1(**) (1) ỡ = ù ù - ớ - ù = ù - ợ T (**) ta cú mx 22 (1)(1) -=- xm xm 2 ộ = ờ =- ở ã Vi x = m, thay vo (*) ta c: m 00 = (tho vi mi m). Vỡ x ạ 1 nờn m ạ 1. ã Vi x = 2 m, thay vo (*) ta c: mmmmm 2 (21)(2)(2)(21) = m 2 4(1)0 -= m 1 = m = 1 ị x = 1 (loi) Vy vi m ạ 1 thỡ th hm s tip xỳc vi ng thng yx = . Cõu II: 1) PT xxx 31 cos2sin2cos6 22 - += xx 5 cos2cos6 6 p ổử -= ỗữ ốứ xk xl 5 484 5 242 pp pp ộ =+ ờ ờ ờ =-+ ờ ở 2) xy xy xy xyxy 22 2 2 1(1) (2) ỡ ++= ù + ớ ù +=- ợ . iu kin: xy 0 +> . (1) xyxy xy 2 1 ()1210 ổử + = ỗữ + ốứ xyxyxy 22 (1)()0 +-+++= xy 10 +-= (vỡ xy 0 +> nờn xyxy 22 0 +++> ) Thay xy 1 =- vo (2) ta c: xx 2 1(1) = xx 2 20 +-= xy xy 1(0) 2(3) ộ == ờ =-= ở Vy h cú 2 nghim: (1; 0), (2; 3). Cõu III: t tx 2 p =- ị dt = dx. Ta cú I = t dt tt 2 3 0 cos (sincos) p + ũ = x dx xx 2 3 0 cos (sincos) p + ũ ị 2I = x dx xx 2 3 0 sin (sincos) p + ũ + x dx xx 2 3 0 cos (sincos) p + ũ = dx xx 2 2 0 1 (sincos) p + ũ = dx x 2 2 0 11 2 cos 4 p p ổử - ỗữ ốứ ũ = x 2 0 1 tan 24 p p ổử - ỗữ ốứ = 1 . Vy: I = 1 2 . Cõu IV: Vỡ ABBÂA l hỡnh bỡnh hnh nờn ta cú: CABBCABA VV .'.'' = . M CABBABC aaa VAMS 23 .' 1133 33248  === Vy, CABBACABB aa VV 33 .''.' 22 84 ===. Cõu V: Ta cú: P = xyxyx 2222 (2)(2)4 +-++++- Xột axybxy (;2),(,2) =-=+ r r . Ta cú: abab ++ rr rr ị xyxyxx 222222 (2)(2)41624 +-++++=+ Suy ra: P xx 2 244 ++- . Du "=" xy ra ab , r r cựng hng hay y = 0. Mt khỏc, ỏp dng BT Bunhiacụpxki ta cú: ( ) xx 2 2 23(31)(4) +Ê++ ị xx 2 2423 ++ Du "=" xy ra x 2 3 = . S 009 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 49 http://www.VNMATH.com Trn S Tựng Do ú: P xx 234 ++- 234234 +=+ . Du "=" xy ra xy 2 ,0 3 == . Vy MinP = 234 + khi xy 2 ,0 3 == . II. PHN T CHN 1. Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a: 1) Ta cú: ab 10,5 == ị c 53 = . Gi M(x; y) ẻ (E). Ta cú: MFxMFx 12 33 10,10 22 =-=+ . Ta cú: ã FFMFMFMFMFFMF 222 12121212 2 cos=+- ( ) xxxx 22 2 33331 103101021010 22222 ổửổửổửổử ổử =-++ +- ỗữỗữỗữỗữ ỗữ ốứốứốứốứốứ x = 0 (y= 5) Vy cú 2 im tho YCBT: M 1 (0; 5), M 2 (0; 5). 2) Gi I l im tho: IAIBIC 230 ++= uuruuruur r ị I 231325 ;; 666 ổử ỗữ ốứ Ta cú: T = ( ) ( ) ( ) MAMBMCMIIAMIIBMIICMIMI 232366++=+++++== uuuruuuruuuruuuruuruuuruuruuuruuruuuruuu r Do ú: T nh nht MI uuur nh nht M l hỡnh chiu ca I trờn (P). Ta tỡm c: M 13216 ;; 999 ổử - ỗữ ốứ . Cõu VII.a: Ta cú: xCxCxCxC 1001019910 10101010 (1) +=++++ ị ( ) xxCCx 10546 1010 (1)(2) 2 ++=+++ ị aCC 54 51010 2672 =+=. 2. Theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b: 1) (C) cú tõm I(3; 4). ã Ta cú: ABAC IBIC ỡ = ớ = ợ ị AI l ng trung trc ca BC. DABC vuụng cõn ti A nờn AI cng l phõn giỏc ca ã BAC . Do ú AB v AC hp vi AI mt gúc 0 45 . ã Gi d l ng thng qua A v hp vi AI mt gúc 0 45 . Khi ú B, C l giao im ca d vi (C) v AB = AC. Vỡ IA (2;1) = uur ạ (1; 1), (1; 1) nờn d khụng cựng phng vi cỏc trc to ị VTCP ca d cú hai thnh phn u khỏc 0. Gi ua (1;) = r l VTCP ca d. Ta cú: ( ) aa IAu aa 222 222 cos, 2 12151 ++ === +++ uur r aa 2 2251+=+ a a 3 1 3 ộ = ờ =- ờ ở ã Vi a = 3, thỡ u (1;3) = r ị Phng trỡnh ng thng d: xt yt 5 53 ỡ =+ ớ =+ ợ . Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l: 91373139137313 ;,; 2222 ổửổử ++ ỗữỗữ ốứốứ ã Vi a = 1 3 - , thỡ u 1 1; 3 ổử =- ỗữ ốứ r ị Phng trỡnh ng thng d: xt yt 5 1 5 3 ỡ =+ ù ớ =- ù ợ . Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l: 7313111373131113 ;,; 2222 ổửổử + + ỗữỗữ ốứốứ ã Vỡ AB = AC nờn ta cú hai cp im cn tỡm l: 731311139137313 ;,; 2222 ổửổử +-++ ỗữỗữ ốứốứ v 731311139137313 ;,; 2222 ổửổử -+ ỗữỗữ ốứốứ 2) Gi H l hỡnh chiu ca M trờn d. Ta cú: MH = dMd (,)2 = . S 009 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 50 http://www.VNMATH.com Trn S Tựng Tam giỏc ABM u, nhn MH lm ng cao nờn: MA = MB = AB = MH 226 3 3 = Do ú, to ca A, B l nghim ca h: xyz xyz 222 23 111 8 (2)(1)(2) 3 ỡ == ù ù ớ ù -+-+-= ù ợ . Gii h ny ta tỡm c: AB 222222 2;;3,2;;3 333333 ổửổử ++ ỗữỗữ ốứốứ . Cõu VII.b: y xy x xy xy xy 2010 33 22 2 log2(1) (2) ỡ ổử =- ỗữ ù ù ốứ ớ + ù =+ ù ợ iu kin: xy 0 > . T (2) ta cú: xyxyxy 3322 ()0 +=+> ị xy 0,0 >> . (1) xy y x 2 2 2010 - = xy xy 2 .20102.2010 = . Xột hm s: f(t) = t t .2010 (t > 0). Ta cú: f  (t) = t t 201010 ln2010 ổử +> ỗữ ốứ ị f(t) ng bin khi t > 0 ị f(x) = f(2y) x = 2y Thay x = 2y vo (2) ta c: yy 9 50 2 ổử -= ỗữ ốứ yloaùi yx 0() 99 105 ộ = ờ ổử ờ == ỗữ ốứ ở Vy nghim ca h l: 99 ; 510 ổử ỗữ ốứ . ===================== S 009 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 51 http://www.VNMATH.com . yx = thỡ: mxm x x m x 2 2 2 (21) (*) 1 (1) 1(**) (1) ỡ = ù ù - ớ - ù = ù - ợ T (**) ta cú mx 22 (1)(1) -= - xm xm 2 ộ = ờ =- ở ã Vi x = m, thay vo (*) ta c: m 00 = (tho vi mi m). Vỡ. V: Ta cú: P = xyxyx 2222 (2)(2)4 +-+ ++ +- Xột axybxy (;2),(,2) =-= + r r . Ta cú: abab ++ rr rr ị xyxyxx 222222 (2)(2)41624 +-+ +++=+ Suy ra: P xx 2 244 + +- . Du "=" xy ra ab , r r . xyxy 22 0 +++> ) Thay xy 1 =- vo (2) ta c: xx 2 1(1) = xx 2 20 +-= xy xy 1(0) 2(3) ộ == ờ =-= ở Vy h cú 2 nghim: (1; 0), (2; 3). Cõu III: t tx 2 p =- ị dt = dx. Ta cú I = t dt tt 2 3 0 cos (sincos) p + ũ