Các bài toán về giới hạn hàm số 1 Lý thuyết a) Giới hạn của hàm số tại một điểm * Giới hạn hữu hạn Cho khoảng K chứa điểm x0 Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là[.]
Các toán giới hạn hàm số - Ta nói hàm số y = f(x) xác định (;b) có giới hạn dần tới dương vơ Lý thuyết (hoặc âm vô cùng) x với dãy số (x n ) : x n b x n a) Giới hạn hàm số điểm: f (x n ) (hoặc f (x n ) ) * Giới hạn hữu hạn: Cho khoảng K chứa điểm x0 Ta nói hàm số f(x) xác định K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn L x dần tới x0 với dãy số (xn) bất kì, Kí hiệu: lim f (x) (hoặc lim f (x) ) x x x n K \ x x n x , ta có: f (x n ) L c) Các giới hạn đặc biệt: Kí hiệu: lim f (x) L hay f (x) L x x x x lim x x ; lim c c x x Nhận xét: Nếu f(x) hàm số sơ cấp xác định x0 lim f x f x x x x x lim c c ; lim x x c với c số x lim x k với k nguyên dương; * Giới hạn vô cực: x Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vơ cực x dần tới x0 với dãy số (x n ) : x n x f (x n ) Kí hiệu: lim f (x) lim x k với k lẻ, lim x k với k chẵn x x lim f (x) () lim x x x x Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới âm vô cực x dần tới x0 với dãy số (x n ) : x n x f (x n ) x x d) Một vài định lý giới hạn hữu hạn * Nếu lim f (x) L, lim g(x) M thì: x x Kí hiệu: lim f (x) x x b) Giới hạn hàm số vô cực * Giới hạn hữu hạn: - Ta nói hàm số y = f(x) xác định (a; ) có giới hạn L x với dãy số (x n ) : x n a x n f (x n ) L Kí hiệu: lim f (x) L k (k 0) f (x) x x lim f (x) g(x) L M x x lim f (x).g(x) L.M ; c số lim cf (x) cL x x lim x x x x f (x) L (M 0) g(x) M * lim f (x) L x - Ta nói hàm số y = f(x) xác định (;b) có giới hạn L x với dãy số (x n ) : x n b x n f (x n ) L x x * lim f (x) L x x Kí hiệu: lim f (x) L * Nếu f (x) 0, lim f (x) L lim f (x) L * Giới hạn vô cực: Chú ý: - Ta nói hàm số y = f(x) xác định (a; ) có giới hạn dần tới dương vô - Các định lý giới hạn hữu hạn hàm số thay x x (hoặc âm vô cùng) x với dãy số (x n ) : x n a x n x x f (x n ) (hoặc f (x n ) ) - Định lí ta áp dụng cho hàm số có giới hạn hữu hạn Ta không áp dụng cho giới hạn dần vơ cực x x x Kí hiệu: lim f (x) (hoặc lim f (x) ) x x x x * Nguyên lí kẹp - Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f xác định khoảng a;x , x Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định K chứa điểm x0 (có thể hàm khơng hàm số có giới hạn bên trái số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0) với g(x) f (x) h(x) x K xác định x0) Nếu lim f (x) L lim g(x) lim h(x) L x x x x x x dãy (xn) số thuộc khoảng (a; x0) mà lim xn = x0 ta có lim f(xn) = L Khi ta viết: lim f x L f x L x x x x 0 e) Quy tắc giới hạn vô cực Quy tắc tìm giới hạn tích f(x)g(x) - Nhận xét: lim f (x) L lim g(x) x x x x L>0 L0 L0 x2 x 1 c) lim lim g(x) x x Lời giải L0 L