Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ QUẢNG NGÃI KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021 2022 Môn thi Toán Lớp 9 Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Tên Trương Quang An Địa c[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ QUẢNG NGÃI KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Tên : Trương Quang An Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Bài (4,0 điểm) 1) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn: 6x + 5y – 2xy + 30 = 2) Tìm tất ba số nguyên tố khác (a; b; c) cho 1 1 bc ac ab Bài (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x x 5x 14 a a a 1 a a a a 1 2) Cho biểu thức: M = + + (với a > 0, a 1) a a a a a a Chứng minh M > Bài (4,0 điểm) x y z 1) Giải hệ phương trình 4 x y z xyz 2) Cho x, y hai số dương thỏa mãn x y2 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: E x y y x Bài (5,0 điểm) Cho (O;R), (O;R) lấy hai điểm A H cho AH < R Gọi a tiếp tuyến H (O) Trên a lấy hai điểm B C cho H nằm B, C AB= AC = R Từ H vẽ HM OB (M OB) HN OC (N OC) Chứng minh OB.OM = OC ON MN trung trực OA Chứng minh: OB.OC = 2R2 Tìm giá trị lớn diện tích tam giác OMN H thay đổi Bài (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC = a Qua đỉnh A kẻ đường thẳng cắt cạnh BC E cắt đường 1 thẳng CD F Tính giá trị biểu thức theo a AE AF 2 Cho hình chữ nhật có kích thước 3cm x 4cm hình vẽ (Chia thành 12 hình vng có diện tích nhau) Chứng minh với điểm thuộc hình chữ nhật ln có điểm mà khoảng cách hai điểm khơng lớn cm HẾT -Họ tên thí sinh: SBD Chữ kí giám thị: PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021-2022 Mơn thi : Tốn - Lớp Bài (4,0 điểm) 1) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn : 6x + 5y – 2xy + 30 = 2) Tìm tất ba số nguyên tố khác (a,b,c) cho 1 1 bc ac ab BÀI GIẢI 1) 2đ Ta có: 6x + 5y – 2xy + 30 = 2xy – 6x – 5y + 15 = 45 (2x – 5)(y – 3) = 45 + Với x = 1, x = y khơng ngun dương + Với x > suy 2x – > nên y – > Mà 45 =1.45 = 3.15 = 5.9 (x; y) = (3; 48) , (25; 4), (4; 18), (10; 6), (5; 12), (7; 8) 2) 2đ Ta có 1 1 abc = 3(a + b + c) bc ac ab Giả sử a b c Vì a.b.c = 3(a + b + c) abc Mà a, b, c nguyên tố nên ba số a, b, c phải có số chia hết cho Giả sử b b nguyên tố nên b = 3ac 3(a c 3) ac a c (a 1)(c 1) a , c a 2; c Vậy (a; b; c) = (2; 3; 5) Hoán vị số ta có tất số khác thoả mãn điều kiện a.b.c = 3(a + b + c) Bài 2: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x x2 5x 14 a a a 1 a a a a 1 2) Cho biểu thức M = + + với a > 0, a a a a a a a Chứng minh M > BÀI GIẢI 1) (2đ) x 1 x 5x 14 ( ) Điều kiện: x –1 (1) (x2 – 6x + ) + ( x + 1– x + 4) = ( x – 3)2 + ( x – 2)2 = 2 ( x 3) x ( x 2) x 1 x x x (TM ĐK) x x 1 x Vậy phương trình có nghiệm x = 2) 2đ ĐK: a > 0, a ≠ Ta có: Và a a ( a 1)(a a 1) a a a a a ( a 1) a a a a a (a 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a 1) a a a a a a (1 a) a (1 a) a a a a a a a Ta có a a a a M= a 1 a a M > a +2=4 a Bài 3: (4,0đ) x y z 1 Giải hệ phương trình 4 x y z xyz Cho x, y hai số dương thỏa mãn x y2 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức E x y y x BÀI GIẢI 1) 2đ x4 y y z z x4 Ta có: x y z x2 y y z z x2 2 = 4 x2 y y z y z z x2 z x2 x2 y xyyz yzzx zxxy 2 = xyz (x + y + z) = xyz ( x + y + z = 1) x y z x yz x y z Dấu xảy Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y; z ; ; 3 1 x y 1 1 2) (2đ) Ta có: E x y = (x y ) y x y y x x 4 2 1 x y xy xy 2 Vì x y 2xy 2xy 1 E9 xy Vậy giá trị nhỏ E x y Bài 4: (5đ) Cho (O;R), (O;R) lấy hai điểm A H cho AH < R Gọi a tiếp tuyến H (O) Trên a lấy hai điểm B C cho H nằm B, C AB= AC = R Từ H vẽ HM OB (M OB) HN OC (N OC) a) Chứng minh OB.OM = OC ON MN trung trực OA b) Chứng minh: OB.OC = 2R2 c) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác OMN H thay đổi BÀI GIẢI B A M H E O N C 1.Ta có OH BC (t/c tiếp tuyến) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông OHB tam giác vng OHC ta có: OB.OM = OH2 (1) OC.ON = OH2 (2) Từ (1) 2) ta suy OB.OM = OC.ON *Ta có OM.OB= OH2 =OA2 ( OH= OA) suy Xét OMA OAB có Ô góc chung OM OA (cmt) OA OB OAB (c-g-c) OAM OBA Suy OMA Lại có AO = AB (gt) suy OAB cân A AOB OBA AOM OBA Suy OAM AOM OMA cân MO MA Chứng minh tương tự ON = OA Vậy MN đường trung trực OA Gọi E giao điểm OA với MN Ta có OB.OM = OC.ON suy OM OC ON OB OM OA OA OB Xét OMN OCB có Ơ chung OM ON OC OB OCB (c-g-c) OME OCB Suy OMN HCO (g-g) Vì OE MN OH BC nên EMO OM OE OM OE OE 1 OM OC OC OH OC OA 2OE 2 Ta có OB.OM =OH2= R2(cmt) Suy Ta có OMN OB.OC R OB.OC R 2 OCB (cmt) Suy 1 SOMN OE OE OE 2 SOCB OH OA 2OE 8 Dấu “=” xảy A, B,C thẳng hàng H A Nên SOMN SOCB OH BC R.BC R AB AC R( R R) R Vậy diện tích tam giác OMN lớn SOMN R H A Bài 5: (3 điểm) 5.1 Cho hình vng ABCD có AC = a Qua đỉnh A kẻ đường thẳng cắt cạnh BC E cắt đường thẳng CD F Tính giá trị biểu thức 1 theo a AE AF 2 Cho hình chữ nhật có kích thước 3cm x 4cm hình vẽ (Chia thành 12 hình vng có diện tích nhau) Chứng minh với điểm thuộc hình chữ nhật ln có điểm mà khoảng cách hai điểm khơng lớn cm .BÀI GIẢI 5.1 A B E a G F D C Qua A dựng AG AF ( G CD ) Áp dụng hệ thức lượng tam giác AGF vuông A, đường 1 (1) 2 AG AF AD Chứng minh BAE DAG (g-c-g) suy AE = AG (2) cao AD Ta có Từ (1) (2) suy 1 1 = 2 2 AG AF AE AF AD AC 2 1 Mà AD Vậy = 2 2 AE AF a AD AC a 5.2 Chia hình vng thành hình vẽ Theo Ngun lí Đi – rích- lê tồn điểm thuộc hình mà khoảng cách hai điểm thuộc hình có khoảng cách khơng lớn cm Vậy điểm có điểm mà khoảng cách hai điểm khơng lớn cm ... Chữ kí giám thị: PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021-2022 Mơn thi : Tốn - Lớp Bài (4,0 điểm) 1)... = 45 + Với x = 1, x = y khơng ngun dương + Với x > suy 2x – > nên y – > Mà 45 =1.45 = 3.15 = 5 .9 (x; y) = (3; 48) , (25; 4), (4; 18), (10; 6), (5; 12), (7; 8) 2) 2đ Ta có 1 1 abc =... 3) ac a c (a 1)(c 1) a , c a 2; c Vậy (a; b; c) = (2; 3; 5) Hoán vị số ta có tất số khác thoả mãn điều kiện a.b.c = 3(a + b + c) Bài 2: (4,0 điểm) 1) Giải phương