toán cao cấp c1,dhbkhcm

toán cao cấp c1,dhbkhcm KIỂM TRA GIỮA KÌ (2011 – 2012) MÔN TOÁN CAO CẤP C1 THỜI GIAN 60’ Họ tên sinh viên MSSV ĐỀ 3 Câu 1 (1 điểm) Tìm hàm ngược của hàm 3 ( ) xf x e Cho biết miền xác định và miền gi.

KIỂM TRA GIỮA KÌ (2011 – 2012) MƠN: TỐN CAO CẤP C1 THỜI GIAN: 60’ Họ tên sinh viên:……………………………………………….MSSV:………………… ĐỀ Câu 1: (1 điểm) Tìm hàm ngược hàm f ( x)  e x Cho biết miền xác định miền giá trị hàm ngược vừa tìm Câu 2: (3 điểm) Tính giới hạn sau: e x  e x x 0 ln(1  x ) b lim  cos 3x  x a lim x 0 Câu 3: (2 điểm) Viết khai triển MacLaurin hàm số y  tan x đến số hạng x Câu (2 điểm): Tính tích phân sau:   e x dx  Câu 5: (2 điểm) Cho hàm cầu p = 500/(4x - 2) (triệu đồng/đơn vị sản phẩm) Tìm thặng dư người tiêu dùng mức giá bán 10 triệu đồng/đơn vị sản phẩm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt KIỂM TRA GIỮA KÌ (2011 – 2012) MƠN: TỐN CAO CẤP C1 THỜI GIAN: 75’ Họ tên sinh viên:……………………………………………….MSSV:………………… ĐỀ x2 Câu 1: (1 điểm) Tìm đạo hàm hàm số f ( x)   cot tdt x Câu 2: (3 điểm) Tính giới hạn sau: esin x  e x a lim x 0 x b lim tan x ln x x 0 Câu 3: (2 điểm) Viết khai triển Maclaurin hàm số y  cos x đến số hạng x Câu (2 điểm): Tính tích phân sau: x 2 dx  6x  Câu 5: (2 điểm) Một cơng ty bán 1000 máy tính tuần với giá 400$ máy Một khảo sát thị trường tăng máy 10$ số máy bán tuần giảm 80 Tìm hàm giá hàm doanh thu CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt KIỂM TRA GIỮA KÌ (2011 – 2012) MƠN: TỐN CAO CẤP C1 THỜI GIAN: 75’ Họ tên sinh viên:……………………………………………….MSSV:………………… ĐỀ Câu 1: (1 điểm) Tìm tập xác định hàm số sau cho biết hàm số bị gián đoạn điểm tập xác định: 2 x  x ,  x  g ( x)   , x4  Câu 2: (3 điểm) Tính giới hạn sau: cos x  cos  x a lim x0 x2       x 1  b lim   x  x    x Câu 3: (2 điểm) Viết khai triển MacLaurin hàm số y  sin x  cos x đến số hạng x Câu (2 điểm): Tính tích phân sau:  ln x dx x  Câu 5: (2 điểm) Cho hàm chi phí C(x) = 16000 + 500 x – 1.6 x2 + 0.004 x3 (dollar) hàm cầu p(x) = 4320 – 7x (dollar/đơn vị sản phẩm), tìm mức sản xuất hợp lý để có lợi nhuận lớn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt KIỂM TRA GIỮA KÌ (2011 – 2012) MƠN: TỐN CAO CẤP C1 THỜI GIAN: 75’ Họ tên sinh viên:……………………………………………….MSSV:………………… ĐỀ 1 Câu 1: (1 điểm) Tìm đạo hàm y  biết y     x tan x Câu 2: (3 điểm) Tính giới hạn sau:  ln x x 0  2ln sin x     b lim  x  cos  1  x  x a lim  Câu 3: (2 điểm) Viết khai triển MacLaurin hàm số y  e x đến số hạng x Câu (2 điểm): Tính tích phân sau:  sin x  cos x  dx Câu 5: (2 điểm) Một rạp hát bán vé 120 (ngàn đồng) bán khoảng 100 vé vào buổi tối tuần Sau khảo sát khách hàng mình, họ ước lượng giảm vé 10 (ngàn đồng) bán thêm 25 vé tối Tìm hàm giá p(x) mức giá hợp lí để có doanh thu lớn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt KIỂM TRA GIỮA KÌ (2011 – 2012) MƠN: TỐN CAO CẤP C1 THỜI GIAN: 75’ Họ tên sinh viên:……………………………………………….MSSV:………………… ĐỀ  x2  x , x  Câu 1: (1 điểm) Cho hàm số f ( x)   , x0 A Xác định A để f(x) có đạo hàm x = Câu 2: (3 điểm) Tính giới hạn sau: e x  e x  2sin x a lim x 0 x2 b lim x sin x  Câu 3: (2 điểm) Viết khai triển MacLaurin hàm số y   x đến số hạng x 2 1 x Câu (2 điểm): Tính tích phân sau: 1  ln  3x   x  dx Câu 5: (2 điểm) Cho hàm cầu p = 312/(2x + 5) (triệu đồng/đơn vị sản phẩm) Tìm thặng dư người tiêu dùng mức giá bán triệu đồng/đơn vị sản phẩm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt KIỂM TRA GIỮA KÌ (2011 – 2012) MƠN: TOÁN CAO CẤP C1 THỜI GIAN: 75’ Họ tên sinh viên:……………………………………………….MSSV:………………… ĐỀ Câu 1: (1 điểm) Trên R, chứng minh phương trình sau có nghiệm dương ex  x2  Câu 2: (3 điểm) Tính giới hạn sau: cot x  x  sin x b lim   x  a lim tan  x /2  x 1 Câu 3: (2 điểm) Viết khai triển MacLaurin hàm số y  cos  sin x  đến số hạng x Câu (2 điểm): Tính tích phân sau: x x 3 dx  3x  Câu 5: (2 điểm) Một công ty bán 1000 máy tính tuần với giá 460$ máy Một khảo sát thị trường giảm giá bán 10$ số máy bán thêm tuần 50 máy Tìm hàm giá p(x) mức giá hợp lí để có doanh thu lớn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ĐÁP ÁN ĐỀ x Câu 1: (1 điểm) y  e  ln y  x  x  ln y Vậy hàm ngược hàm y  e x y  ln x Hàm y  ln x có miền xác định D   x | x  0 , miền giá trị R Câu 2: e x  e x x 0 ln(1  x ) a (1 điểm) lim (Dạng ) e x  e x e x  e x  lim  1 x 0 ln(1  x ) x 0 1 1 x Áp dụng quy tắc L’Hospital: lim b (2 điểm) lim  cos 3x  x (Dạng 1 ) x 0  lim e   ln  cos x  x2    x 0 Tính lim 2ln  cos 3x  x 0 x e 2  lim  ln  cos x    x 0  x2 (Dạng ) 3sin 3x tan 3x  2lim cos3x  3lim x0 x0 2x x  (Dạng )   3lim 3sec2 3x  3.3  9 x0 Vậy, lim  cos 3x  x  e9 x 0 Câu 3: (2 điểm) y  tan x, y  sec2 x, y  2sec2 x tan x, y  4sec2 x tan x  2sec4 x  y  0  0, y     1, y     0, y     y  0 Vậy, tan x  y    1! x y    2! x2  y        x3  o x3  x  x3  o x3 3! Câu (2 điểm):    e dx  lim   e x dx x CuuDuongThanCong.com t  t https://fb.com/tailieudientucntt   Đặt u   e x  u   e x  2udu  e x dx  u  dx x   u  0, x  t  u   et    e dx  x 1et t 2u du 2 u2 1    t 1  u   du 2 1e  u 1    2u  ln u    Vậy    1     t   u  1  u  1  du  1e  0  2  et  ln 1et  et  1  et    et   t      e dx  lim 2  e  ln t t    e    x Câu 5: (2 điểm) Thế p = 10 vào hàm cầu p(x): 10  500  x   50  x  13 4x  Vậy giá bán P = 10 triệu đồng/đơn vị sản phẩm tương ứng với mức bán X = 13 đơn vị sản phẩm Khi đó, thặng dư người tiêu dùng là:    p( x)  P dx    500   10 dx 4x    X 13 ĐỀ Câu 1: (1 điểm) x2 1    x   x f ( x)    cot tdt   cot tdt      cot tdt     cot tdt    cot   x   x cot  x   x   1      Câu 2: esin x  e x a (1 điểm) lim x 0 x (Dạng ) esin x  e x  lim  cos xesin x  e x   Áp dụng quy tắc L’Hospital: lim x0 x0 x b (2 điểm) lim tan x ln x x 0  lim x 0 CuuDuongThanCong.com  ln x cot x (Dạng   ) (Dạng ) https://fb.com/tailieudientucntt sin x x (Dạng )  lim   lim x 0 x 0 1 x sin x     lim  2sin x cos x   x 0 Câu 3: (2 điểm) y  cos x , y   2sin x, y   4cos x, y   8sin x, y 4  16cos x,  y  0  1, y   0  0, y     4, y     0, y  4  16 Vậy, cos x  y    y  0 1! x y    2! x  y    3! x  y  4   4!   x4  o x4   2x2    x  o x4 t 1 Câu (2 điểm):  dx  lim  dx t 5 x  6x  x  6x   Tính t t 1 t  1  dx  dx     dx    ln x   ln x   2 x2  x  2  x  1 x  5   x 1 x   t t  1 x 5  1 t 5   ln   ln  ln    x 1   t 1  Vậy, x 2  t 5  1 dx  lim  ln  ln     6x  t 5  t    Câu 5: (2 điểm) Giả sử sau tăng giá, trung bình cửa hàng bán x máy tuần với giá p(x) Số máy bán giảm so với trước 1000 – x (máy) Tăng $10/máy số lượng bán giảm 80 máy tuần Theo đó, mức giảm 1000– x (máy) tương ứng với mức tăng giá 10 1000  x  80  0.125 1000  x  (dollar/máy) Suy hàm giá p(x) = 400 + 0.125 (1000 – x) = 525 – 0.125 x (dollar/máy) Hàm doanh thu R(x) = x p(x) = 525x – 0.125x2 (dollar) ĐỀ Câu 1: (1 điểm) Tập xác định: D  [0, ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt lim f ( x)  lim  x  x   8 x4 x4 lim f ( x)  lim     f (4) x4 x4 Vậy hàm số cho gián đoạn x = Câu 2: cos  x  cos  x x0 x2 a (1 điểm) lim      (Dạng ) (Dạng ) Áp dụng quy tắc L’Hospital: cos  x  cos  x  sin  x   sin  x  lim x0 x0 x 2x lim Áp dụng quy tắc L’Hospital lần nữa:  sin  x   sin  x  cos x   cos  x    lim  lim  x0 x0 2x 2 cos x  cos  x    Vậy, lim  x0 x2  x 1  b (2 điểm) lim   x  x     lim e x  x 1  x  ln     x    x  x 1   Tính lim  x ln x  x  2  lim  ln x  x 1 x2 x (Dạng 1 ) e x 1   lim x ln x    x   (Dạng   ) (Dạng ) x  ( x  2)  ( x  1) 3x x 1 ( x  2)2  lim  lim  lim 3 x  x  ( x  1)( x  2) x   1  2  1  1   x x  x   x 1  Vậy, lim   e x  x    x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Câu 3: (2 điểm) y  sin x  cos x , y   cos x  sin x, y   sin x  cos x , y   cos x  sin x , y 4  sin x  cosx  y  0  1, y     1, y     1, y     1, y 4  Vậy, sin x  cos x  y     1 x  y  0 1! x y    2! x  y    3! x  y  4   4!   x4  o x4   x  x  x  o x4 24  t ln x ln x Câu (2 điểm)  dx  lim  dx t  x x 3 dx  du  u  ln x   x Đặt  dx   dv  x3 v    x2 t ln x ln x dx    x3 x2    t  t dx ln t ln 1    x3 2t   x2 t  ln t ln 1    2t 4t 12  2ln t  ln   ln  ln x dx  lim        x2 t   2t 4 2 4 2ln t  t  lim  ) (vì áp dụng quy tắc L’Hospital ta có lim  lim t  t  4t t  2t 2t Câu 5: (2 điểm) Doanh thu R( x)  xp( x) Lợi nhuận P( x)  R( x)  C ( x)  x  4320  x   16000  500  1.6 x  0.004 x3  0.004 x3  5.4 x2  4320 x  16500 (dollar)  x  300 P  x   0.012 x  10.8x  4320 , P  x      x  1200 Vì x  , ta có bảng biến thiên: x P’ CuuDuongThanCong.com  300 + - https://fb.com/tailieudientucntt 658500 P  -16500 Vậy với mức sản xuất 300 đơn vị sản phẩm ta thu lợi nhuận lớn ĐỀ 1 Câu 1: (1 điểm) y     x 1  ln y  ln    x tan x tan x  ln y  tan x ln x Đạo hàm vế theo biến x: y 1 1 1  ln  x tan x  y     y cos x x x x tan x   ln x tan x     x   cos x Câu 2: ln x x 0  2ln sin x a (1 điểm) lim (Dạng  )  sin x Áp dụng quy tắc L’Hospital: lim x  lim x 0 cos x x0 x cos x sin x Áp dụng quy tắc L’Hospital lần nữa: lim x 0 (Dạng ) sin x cos x  lim  x  x cos x 2cos x  x sin x ln x  x 0  2ln sin x Vậy, lim      (Dạng   ) b (2 điểm) lim  x  cos  1  x  x   lim x  CuuDuongThanCong.com 1 x x2 cos (Dạng ) https://fb.com/tailieudientucntt 1 1 sin sin sin x  1) x  lim x   (vì lim  lim x x  x  x  2 2 x x x Câu 3: (2 điểm) y  e x y   xe x , y   2e x  x e x , y   xe x  8xe x  8x3e x  12 xe x  8x3e x 2 2 2 2  y  0  1, y     0, y     2, y     y  0 Vậy, e x  y    1! x y    2! x2   Câu (2 điểm): y    3!     x3  o x3   x  o x3 t sin x sin x dx 0 cos x  dx  tlim    cos x  Đặt u  cos x   du   sin xdx, x   u  2, x  t  u  cos t  t t sin x sin x cos x dx  2 dx  2 cos x  cos x  0  cos t 1  u 1 du  u cos t 1  cos t 1 1    1 du   ln u  u  u    ln  cos t  1  cos t   ln    Vậy  cos x  dx  lim  ln  cos t  1  cos t   ln     sin x t  Câu 5: (2 điểm) Giả sử sau giảm giá, trung bình rạp bán x vé tối tuần với giá p(x) Số vé bán thêm so với trước x – 120 vé Giảm 20 ngàn đồng/vé bán thêm 25 vé tối Theo đó, mức tăng x – 100 vé tương ứng với mức giảm giá 10  x  100  25  0.4  x  100  (ngàn đồng/vé) Suy hàm giá p(x) = 120 – 0.4 (x – 100) = 160 – 0.4 x (ngàn đồng/vé) Doanh thu R(x) = x p(x) = 160x – 0.4x2 (ngàn đồng) R  x   160  0.8x, R  x    x  200 Vì x  , ta có bảng biến thiên: x R’ R CuuDuongThanCong.com  200 + - 16000 https://fb.com/tailieudientucntt  Vậy rạp có doanh thu lớn với mức giá p(200) = 80 (ngàn đồng/vé) ĐỀ  x2  x , x  Câu 1: (1 điểm) f ( x)   , x0 A f  x   f    x   x  A  lim  x   A  lim  lim   x0 x0 x0 x x x   f có đạo hàm x =0 lim f  x   f   x 0 x tồn  A  (khi f     1 ) Câu 2: e x  e x  2sin x a (1 điểm) lim x 0 x2 (Dạng ) 0 e x  e x  2sin x e x  e x  2cos x Áp dụng quy tắc L’Hospital: lim (Dạng )  lim x0 x 0 x 2x Áp dụng quy tắc L’Hospital lần nữa: e x  e x  2cos x e x  e x  2sin x lim  lim  0 x0 x0 2x 2 e x  e x  2sin x Vậy, lim 0 x 0 x2 b (2 điểm) lim x sin  x   lim x  x sin x (Dạng   )  x (Dạng )   cos x  lim   cos      lim x   x  x  x    x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Câu 3: (2 điểm) y  y  2 x   x2  1  x2  2  x , y     x.2 1  x  x  2 1  x   8x 1  x  1  x  2 2 2  x2  1  x   y  0  1, y     0, y     2 Vậy, y  0 y     y  0  x x  o x2   x2  o x2 1! 2! 1 x   1 Câu (2 điểm):   1 2  ln  3x  x  dx  lim  ln  3x  x  dx t   t 6x    dx u  ln  3x  x  du  Đặt   3x  x   dv  dx v  x 1  ln  3x   x  dx  x ln  3x  x  t  1 t 1  t x  6x  2 3x  x 1 dx  t ln  3t  2t    t 6x  dx 3x  1 1      t ln  3t  2t       dx  t ln  3t  2t    x  ln 3x   3x    t t  2  t ln  3t  2t    2t  ln 3t  1 Vậy,  ln  3x  2    x  dx  lim  t ln  3t  2t    2t  ln 3t     t    Câu 5: (2 điểm) Thế p = vào hàm cầu p(x):  312  x   39  x  17 2x  Vậy giá bán P = triệu đồng/đơn vị sản phẩm tương ứng với mức bán X = 17 đơn vị sản phẩm Khi đó, thặng dư người tiêu dùng là: 17  312   312  0  p( x)  P dx  0  x   8 dx   ln x   8x  X 17  156ln39  136  156ln5  184.44 (triệu đồng) ĐỀ Câu 1: (1 điểm) Đặt f ( x)  e x  x  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt   Vì f liên tục R f (0) f (2)  4 e    c   0,2  cho f  c    x = c nghiệm dương phương trình ex  x2  Mặt khác, f ( x)  e x  x  x  nên f đồng biến khoảng  0,  đồ thị hàm số f cắt Ox điểm x = c Câu 2: (3 điểm) cot x  x  sin x a (1 điểm) lim (Dạng ) Áp dụng quy tắc L’Hospital: cot x 1 1 lim  lim sin x  lim    x  sin x x  2cos x x  2cos x sin x 2.cos  sin 2 2  b lim   x  tan x /2 (Dạng 1 ) x 1  lim e ln  2 x   tan  x /    x 1 lim  tan  x /2  ln   x   e x 1 Tính lim  tan  x /  ln   x  x1  lim x 1 ln   x  x cot (Dạng   ) (Dạng ) 1 1 1 2 x 2 x  lim  lim   x 1 x 1        2 2 x x sin sin 2 Vậy, lim   x  x 1 tan  x /2  e  Câu 3: (2 điểm) y  cos  sin x  y    sin(sin x) cos x, y    cos(sin x) cos2 x  sin(sin x)sin x  y  0  1, y     0, y     1 Vậy, cos  sin x   y    CuuDuongThanCong.com y  0 1! x y    2!   x2  o x2     x  o x2 https://fb.com/tailieudientucntt t x 3 x 3 dx  lim dx 0 x2  3x   t 1 x  x  Câu (2 điểm):  t t x 3   dx  0 x2  3x  0  x   x   dx   2ln x   ln x    2ln t   ln t   ln t Vậy, x x 3 dx  lim  2ln t   ln t   ln 3   t 1  3x   Câu 5: (2 điểm) Giả sử sau giảm giá, trung bình cơng ty bán x máy tuần với giá p(x) Số máy bán thêm so với trước x – 1000 máy Giảm 10 dollar/máy bán thêm 50 máy tuần nên mức tăng x – 1000 máy tương ứng với mức giảm giá 10  x  1000  50  0.2  x  1000  (dollar/máy) Suy hàm giá p(x) = 460 – 0.2 (x – 1000) = 660 – 0.2 x (dollar/máy) Doanh thu R(x) = x p(x) = 660x – 0.2x2 (dollar) R  x   660  0.4 x, R  x    x  1650 Vì x  , ta có bảng biến thiên: x R’ R  1650 + - 544500  Vậy công ty đạt doanh thu lớn bán với mức giá p(1650) = 330 (dollar/máy) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ...KIỂM TRA GIỮA KÌ (2011 – 2012) MƠN: TỐN CAO CẤP C1 THỜI GIAN: 75’ Họ tên sinh viên:……………………………………………….MSSV:………………… ĐỀ x2 Câu 1: (1 điểm) Tìm... CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt KIỂM TRA GIỮA KÌ (2011 – 2012) MƠN: TỐN CAO CẤP C1 THỜI GIAN: 75’ Họ tên sinh viên:……………………………………………….MSSV:………………… ĐỀ Câu 1: (1 điểm) Tìm... CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt KIỂM TRA GIỮA KÌ (2011 – 2012) MƠN: TỐN CAO CẤP C1 THỜI GIAN: 75’ Họ tên sinh viên:……………………………………………….MSSV:………………… ĐỀ 1 Câu 1: (1 điểm)