Đang tải... (xem toàn văn)
1 Định nghĩa Moät heä thöùc ñeä qui tuyeán tính caáp k laø moät heä thöùc coù daïng xn = a1xn 1 + + akxn k + fn (1) trong ñoù • ak 0, a1, , ak 1 laø caùc heä soá thöïc • {fn} laø moät daõy soá thöïc.
Định nghĩa Định nghĩa Một hệ thức đệ qui tuyến tính cấp k hệ thức có dạng: xn = a1xn-1 +… + akxn-k + fn (1) Trường hợp dãy fn= với n (1) trở thành: xn = a1xn-1 +… +akxn-k (2) : • • • Ta nói (2) hệ thức đệ qui tuyến tính cấp k ak 0, a1,…, ak-1 hệ số thực {fn} dãy số thực cho trước {xn} dãy ẩn nhận giá trị thực 1 2 Nghiệm tổng qt Nghiệm riêng Mỗi dãy {xn} thỏa (1) gọi nghiệm (1) Cho {xn} nghiệm tổng qt (1) với k giá trị ban đầu y0, y1,…, yk-1, tồn giá trị k tham số C1, C2,…,Ck cho nghiệm {xn} tương ứng thỏa: x0 = y0, x1 = y1,…, xk-1 = yk-1 (*) Khi đó, nghiệm {xn} tương ứng gọi nghiệm riêng ứng với điều kiện ban đầu (*) • Nhận xét nghiệm {xn} (1) hoàn toàn xác định k giá trị ban đầu x0, x1,…, xk-1 Họ dãy số { xn = xn(C1, C2,…,Ck)} phụ thuộc vào k họ tham số C1, C2,…,Ck gọi nghiệm tổng quát (1) dãy họ nghiệm (1) 3 4 Mục đích giải hệ thức đệ qui Một số ví dụ • Giải hệ thức đệ qui tìm nghiệm tổng quát • Nếu hệ thức đệ qui có kèm theo điều kiện ban đầu, ta phải tìm nghiệm riêng thỏa điều kiện ban đầu Ví dụ 1(Dãy Fibonacci) Bài tốn:Một đơi thỏ(gồm thỏ đực thỏ cái) tháng đẻ đôi thỏ con(cũng gồm đực cái),mỗi đơi thỏ con, trịn hai tháng tuổi, lại tháng đẻ đôi thỏ trình sinh nở tiếp diễn.Tính Fn số đơi thỏ có tháng n? 5 6 Một số ví dụ Một số ví dụ Giải: Tháng tháng thứ có đơi thỏ Sang tháng thứ đơi thỏ đẻ đơi thỏ, tháng có hai đơi thỏ Với n3 ta có Fn = Fn-1+Số đơi thỏ sinh tháng thứ n Do đôi thỏ sinh tháng thứ n-1 chưa đẻ tháng thứ n, tháng đơi thỏ có tháng n-2 đẻ đôi thỏ nên số đội thỏ sinh tháng thứ n Fn-2 Như việc giải tốn Fibonacci dẫn ta tới việc khảo sát dãy số (Fn), xác định F1 = F2 =1 Fn = Fn-1+Fn-2 với n >2 7 8 Một số ví dụ Một số ví dụ Với n = 1, ta có x1 = Ví dụ2: Một cầu thang có n bậc Mỗi bước gồm bậc Gọi xn số cách hết cầu thang Tìm hệ thức đệ qui cho xn Với n = 2, ta có x2 = Với n > 2, để khảo sát xn ta chia thành hai trường hợp loại trừ lẫn nhau: Trường hợp 1: Bước gồm bậc Khi đó, cầu thang n-1 bậc nên số cách hết cầu thang trường hợp xn-1 9 11 10 10 Ví dụ Một số ví dụ Trường hợp 2: Bước gồm bậc Khi đó, cầu thang n-2 bậc nên số cách hết cầu thang trường hợp xn-2 Theo nguyên lý cộng, số cách hết cầu thang xn-1 + xn-2 Do ta có: xn = xn-1 + xn-2 Vậy ta có hệ thức đệ qui tuyến tính caáp 2: 11 12 12 Phép đếm Phép đếm IV Hệ thức đệ qui IV Hệ thức đệ qui Ví dụ Tháp Hà Nội Có cọc A, B, C n đĩa (có lỗ để đặt vào cọc) với đường kính đơi khác Ngun tắc đặt đĩa vào cọc là: đĩa chồng lên đĩa lớn Ban đầu, n đĩa đặt chồng lên cọc A, hai cọc B C để trống Vấn đề đặt chuyển n đĩa cọc A sang cọc C (có thể qua trung gian cọc B), lần chuyển đĩa Gọi xn số lần chuyển đĩa Tìm hệ thức đệ qui cho xn A B C 13 14 Phép đếm IV Hệ thức đệ qui IV Hệ thức đệ qui Giải Như số lần chuyển toàn n đĩa từ A sang C là: xn-1+ + xn-1 = 2xn-1 + - Với n = ta có x1 = - Với n > 1, trước hết ta chuyển n-1 đĩa bên sang cọc B qua trung gian cọc C (giữ nguyên đĩa thứ n Nghĩa xn = 2xn-1 + 1, ta có hệ thức đệ qui tuyến tính không cấp 1: cọc A) Số lần chuyển n-1 đĩa xn-1 Sau ta chuyển đĩa thứ n từ cọc A sang cọc C Cuối ta chuyển n-1 đĩa từ cọc B sang cọc C Số lần chuyển n-1 đĩa lại xn-1 15 16 Hệ thức đệ qui tuyến tính Hệ thức đệ qui tuyến tính Xét hệ thức đệ qui tuyến tính xn = a1xn-1 +… + akxn-k Trường hợp k = Phương trình đặc trưng (*) trở thành (2) - a1 = nên có nghiệm 0 = a1 Phương trình đặc trưng (2) phương trình bậc k định bởi: (*) k - a1k-1 -… - ak = Khi đó, (2) có nghiệm tổng quát là: 17 17 18 18 Hệ thức đệ qui tuyến tính Hệ thức đệ qui tuyến tính Ví dụ: Hệ thức đệ qui Phương trình đặc trưng: 2 - = có nghiệm 0 = 3/2 Do nghiệm tổng quát là: hệ thức đệ qui tuyến tính cấp 19 19 20 20 Hệ thức đệ qui tuyến tính Hệ thức đệ qui tuyến tính Trường hợp k = 2: Phương trình đặc trưng (*) trở thành: Từ điều kiện ban đầu x1 = 1, ta coù : 2 - a1 - a2 = Suy ra: (*) a) Nếu (*) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2 (2) có nghiệm tổng quát là: Do nghiệm hệ thức đệ qui cho là: 21 21 22 22 Hệ thức đệ qui tuyến tính Hệ thức đệ qui tuyến tính c) Nếu (*) có hai nghiệm phức liên hợp viết dạng lượng giác : b) Nếu (*) có nghiệm kép thực 0 (2) có nghiệm tổng quát là: (2) có nghiệm tổng quát là: 23 23 24 24 Ví dụ: Một số ví dụ Giải hệ thức đệ qui sau: Phương trình đặc trưng (1) là: Ví dụ 22 - 3 + = Ví dụ (*) có hai nghiệm thực 1 = 2 = 1/2 Do nghiệm tổng quát (1) là: xn = A + B(1/2)n Ví dụ 25 25 26 26 Một số ví dụ Một số ví dụ Từ điều kiện ban đầu x0 = 2; x1 = ta suy ra: Phương trình đặc trưng (2) laø: 42 - 12 + = Suy raA = B = 2/3 có nghiệm thực kép 0 = 3/2 Do nghiệm tổng quát (2) là: Vậy nghiệm (2) là: xn = (3 + n)(3/2)n-1 xn = (A + nB)(3/2)n 27 27 28 28 Do nghiệm tổng quát (3) Một số ví dụ Từ điều kiện ban đầu x1 = 4; x2 = ta suy ra: Phương trình đặc trưng (3) là: 2 - 2 + = Suy ra: (*) có hai nghiệm phức liên hợp Ta viết hai nghiệm dạng lượng giaùc: Vậy nghiệm (3) : 29 29 30 30 Hệ thức đệ qui tuyến tính khơng Hệ thức đệ qui tuyến tính khơng Xét hệ thức đệ qui tuyến tính không Nghiệm tổng quát (2) xn = a1xn-1 +… + akxn-k + fn (1) Nghiệm tổng quát (1) = Hệ thức đệ qui tuyến tính tương ứng là: x = a x +… + a x (2) n n-1 k n-k + Một nghiệm riêng (1) Phương trình đặc trưng (2) là: k - a1k-1 -… - ak = 0(*) 31 31 32 32 Hệ thức đệ qui tuyến tính khơng Hệ thức đệ qui tuyến tính khơng Cách tìm nghiệm riêng (1) vế phải fn (1) có dạng đặc biệt sau: Dạng 1: fn = nPr(n), • Dạng 1: fn = nPr(n), Pr(n) đa thức bậc r theo n; số Khi ta xét 0 = Có trường hợp nhỏ: Trường hợp không nghiệm phương trình đặc trưng : • Dạng 2: fn = Pm(n)cosn + Ql(n)sinn, Pm(n), Ql(n) đa thức bậc m, l theo n; số ( k) • Dạng : fn = fn1 + fn2 +…+ fns , fn1, fn2,…, fns thuộc dạng xét Trường hợp nghiệm dơn phương trình đặc trưng : Trường hợp nghiệm kep phương trình đặc trưng : 33 33 34 34 Hệ thức đệ qui tuyến tính khơng Hệ thức đệ qui tuyến tính khơng Trường hợp Trường hợp Neáu 0 = không nghiệm phương trình đặc trưng (*) (1) có nghiệm riêng dạng: Nếu 0 = nghiệm đơn phương trình đặc trưng (*) (1) có nghiệm riêng dạng: xn = nnQr(n) xn = nQr(n) 35 35 36 36 Hệ thức đệ qui tuyến tính khơng Hệ thức đệ qui tuyến tính khơng Chú ý: Trường hợp Qr(n) = Arnr + Ar-1nr-1 +…+ A0 laø đa thức tổng quát có bậc r với Pr(n), Ar, Ar-1,…, A0 r+1 hệ số cần xác định Nếu 0 = nghiệm kép phương trình đặc trưng (*) (1) có nghiệm riêng dạng: Các hệ số xác định ? xn = n2nQr(n) 37 37 Để xác định hệ số ta cần xn, xn-1,…, xn-k vào (1) cho n nhận r + giá trị nguyên đồng hệ số tương ứng hai vế để hệ phương trình Các hệ số nghiệm hệ phương trình 38 38 Hệ thức đệ qui tuyến tính khơng Hệ thức đệ qui tuyến tính khơng Dạng 2: fn = Pm(n)cosn + Ql(n)sinn Trường hợp Nếu 0 = cos isin không nghiệm phương trình đặc trưng (*) (1) có nghiệm riêng dạng: Khi ta xét 0 = cos isin Có trường hợp nhỏ: xn = Rk(n)cosn + Sk(n)sinn Trường hợp 0 = cos isin khoâng nghiệm phương trình đặc trưng Trường hợp 0 = cos isin nghiệm phương trình đặc trưng 39 40 10 Hệ thức đệ qui tuyến tính khơng Hệ thức đệ qui tuyến tính khơng Ghi chú: Trường hợp Nếu 0 = cos isin nghiệm phương trình đặc trưng (*) (1) có nghiệm riêng dạng: Rk(n), Sk(n) đa thức tổng quát theo n có bậc k = max{m,l} với 2k+2 hệ số cần xác ñònh: Rk(n) = Aknk + Ak-1nk-1 +…+ A0 xn = n(Rk(n)cosn + Sk(n)sinn) Sk(n) = Bknk + Bk-1nk-1 +…+ B0 41 41 42 Ví dụ: Hệ thức đệ qui tuyến tính khơng a) Dạng : fn = fn1 + fn2 +…+ fns b) Bằng cách ta tìm nghiệm riêng xni (1 i s) hệ thức đệ qui: c) a0xn + a1xn-1 +… + akxn-k = fni d) Khi xn = xn1 + xn2+…+ xns nghiệm riêng (1) e) 43 43 44 44 11 Ví Dụ Bây ta tìm nghiệm riêng (1) (1) Vế phải (1) fn = 4n+1 có dạng Pr(n) đa thức bậc r =1 theo n Hệ thức đệ qui tuyến tính là: (2) Vì 0 = nghiệm đơn phương trình đặc trưng (*) nên (1) có nghiệm riêng dạng: Phương trình đặc trưng (2) là: 22 - 3 + = xn = n(an + b) (4) Thế (4) vào (1) ta được: (*) 2n(an+b) -3(n-1)[a(n-1)+b] + (n-2)[a(n-2) + b] = 4n + có hai nghiệm thực 1 = 2 = 1/2 Cho n nhận hai giá trị n = 0; n = ta hệ: Do nghiệm tổng quát (2) laø: xn = C1 + C2(1/2)n 45 45 46 46 Ví Dụ Giải hệ ta a = 2; b = -1 Thế vào (4) ta tìm nghiệm riêng (1) là: xn = n(2n - 1) (5) Từ (3) (5) ta suy nghiệm tổng quát (1) là: xn = C1 + C2(1/2)n + n(2n - 1) 48 47 47 48 12 49 49 50 50 Ví Dụ Bây ta tìm nghiệm riêng (1) Vế phải (1) Xét hệ thức đệ qui: có dạng nPr(n) với = Pr(n) đa thức bậc r = theo n Hệ thức đệ qui tuyến tính là: Vì = không nghiệm phương trình đặc trưng (*) nên (1) có nghiệm riêng dạng: xn = (an2 + bn + c)2n Phương trình đặc trưng (2) là: 42 - 12 + = (*) Thế (4) vào (1) ta : có nghiệm thực kép = 3/2 Do nghiệm tổng quát (2) xn = (C1 + nC2)(3/2)n 4[a(n+1)2 + b(n+1) + c)2n+1 -12[an2 + bn + c] 2n + 9[a(n-1)2 + b(n-1) + c] 2n-1 = (2n2 + 29n +56)2n-1 (3) 52 51 51 (4) 52 13 Từ (3) (5) ta suy nghiệm tổng quát (1) là: Cho n nhận ba giá trị n = -1; n = 0; n = ta hệ: xn = (C1 + nC2)(3/2)n + (2n2+ n -1) 2n (6) Thay điều kiện x0 = 1; x1 = -2 vào (6) ta được: Giải hệ ta a = 2; b = 1; c = -1 Thế vào (4) ta tìm nghiệm riêng (1) Từ ta có: C1= 2; C2 = - Thế vào (6) ta có nghiệm riêng cần tìm (1) là: xn = (2n2 + n - 1) 2n (5) xn = (2 - 6n)(3/2)n + (2n2+ n -1) 2n 54 53 53 54 Ví Dụ Bây ta tìm nghiệm riêng (1) Vế phải (1) Hệ thức đệ qui tuyến tính là: có dạng cosn + sinn với = /4 Vì Phương trình đặc trưng (2) là: 2 - 3 + = (*) có hai nghiệm thực phân biệt 1 = 1; 2 = không nghiệm phương trình đặc trưng (*) nên (1) có nghiệm riêng dạng: Do nghiệm tổng quát (2) là: xn = C1 + C2.2n (3) 55 55 56 56 14 Thế (4) vào (1) ta được: Từ (3) (5) ta suy nghiệm tổng quát (1) là: Cho n nhận hai giá trị n = 0; n = -1; ta hệ: Giải hệ ta a = 1; b = -1 Thế vào (4) ta tìm nghiệm riêng (1) 58 57 57 58 Ví Dụ Bây ta tìm nghiệm riêng (1) Vế phải (1) Hệ thức đệ qui tuyến tính là: có dạng Trường hợp Phương trình đặc trưng (2) là: 2 - 4 + = Xét hệ thức đệ qui: (*) có hai nghiệm thực phân biệt 1 = 1; 2 = Do nghiệm tổng quát (2) là: xn = C1 + C2 3n (3) 59 59 60 60 15 Lyù luận tượng tự ta tìm được: Ví dụ (Bài Đề thi 2007) Một nghiệm riêng (1’) xn1 = -10n Một nghiệm riêng (1’’) xn2 = n2n a) Tìm nghiệm tổng quát hệ thức đệ qui: an = an- + an-2 b) Tìm nghiệm thỏa điều kiện đầu a = 1, a1 = hệ thức đệ qui: an = a n – + a n – + 50n n – Một nghiệm riêng (1’’’) xn3 = 4n+2 Suy nghiệm riêng (1) là: xn1 = -10n + n2n + 4n+2 (4) Từ (3) (4) ta suy nghiệm tổng quát (1) là: xn = C1 + C2.3n - 10n + n2n + 4n+2 62 61 61 63 62 Đáp án: 1,5đ a) Phương trình đặc trưng r – r – = có nghiệm r = 3, r2 = –2 nên nghiệm tổng quát có dạng: an = c 3n + d (–2)n (0,5đ) b) Ta tìm nghiệm đặc biệt có dạng n(An+B)3n : (An2 +Bn) 3n = (A(n–1)2 + B(n–1)) 3n -1 + (A(n–2)2 + B(n– 2)) 3n - + 50n 3n-1 10An – 50 n + 5B – 9A = hay A = , B = (0,5đ) Do nghiệm tổng quát có dạng: an = c 3n + d (–2) n + (5n2 + 9n) 3n Các điều kiện ban đầu cho: a = c + d = 1, a1 = 3c – d + 42 = giải hệ phương trình ta c = –7, d = (0,5đ) Vídụ (Đề thi 2006) Cho X = {0, 1, 2} Mỗi chuỗi ký tự có dạng a1a2 an với a1, a2, ,an X (n nguyên dương) gọi từ có chiều dài n X Gọi Ln số từ có chiều dài n X khơng chứa số liên tiếp a)Tìm cơng thức truy hồi cho Ln b)Tìm biểu thức Ln theo n 63 64 64 16 Đápán (2 điểm) a)1 điểm _ Số từ có chiều dài n mà a1 = Ln-1 _ Số từ có chiều dài n mà a1 = Ln-1 _ Số từ có chiều dài n mà a1 = : + Có Ln-2 từ mà a2 = + Có Ln-2 từ mà a2 = Vậy Ln = 2Ln-1 + 2Ln-2 (n > 3) b)1 điểm Các từ có chiều dài : 0,1,2 L1 = 3; Các từ có chiều dài : 00,01,02,10,11,12,20,21 Ta quy ước L0 = hệ thức đệ quy thoả với n >1 Phương trình đặc trưng Nghiệm tổng quát : L2 = 8; 65 65 66 66 Ví dụ (Đềthi 2006) a)Tìm nghiệm tổng qt hệ thức đệ qui : an= 4an-1- an-2 b)Tìm nghiệm hệ thức đệ qui: an= 4an-1- an-2+3 2n+1 thoả điều kiện đầu: a0=4, a1=4 Đáp án a) Phương trình đặc trưng x2-4x+4 = có nghiệm kép x = 2nên nghiệm tổng quát có dạng an = (A+nB) 2n (0,5đ) b) Vì β=2 nghiệm kép phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng dạng Cn22n Ta có Cn22n =4C(n-1)22n-1-4C(n-2)22n-2+3.2n+1 C = (0,5đ) 67 67 68 68 17 Đềthi 2006 Do nghiệm tổng quát có dạng an =A 2n +Bn2n +3n22n Sử dụng ĐKĐ a0 = A = a1 =2A+2B +6 = Nên B = -5 Cho X={0,1,2}.Gọi an số từ có chiều dài n X số 1và số khơng xuất liên tiếp a) Chứng minh an thoả hệ thức đệ qui: an= 2an-1+an-2 với n>2 b)Tìm biểu thức an theo n 69 69 70 70 Đềthi 2006 Đềthi 2006 Đáp án (2,5 điểm) a)1 điểm Gọi bn,cn,dn số từ x1x2…xn ứng với x1= 0,x1=1,x1=2 Ta có bn = an-1 ; cn = bn-1 +cn-1 ;dn= bn-1+dn-1 Dođóan = bn + cn +dn = an-1 +bn-1+dn-1+bn-1+cn-1 = an-1+an-2+(dn-1+bn-1+cn-1) = an-1+an-2+an-1 =2an-1+an-2 b)1,5 điểm Các từ có chiều dài 0,1,2 nên a1 =3 Các từ có chiều dài thoả yêu cầu là: 00,01,02,10,12,20,21 nên a2 =7.Ta qui ước a0=1thì hệ thức đệ qui thoả với n >1 Phương trình đặc trưng x2 – 2x – = có hai nghiệm 71 71 72 72 18 Đềthi 2006 Đềthi 2006 Suy Do nghiệm tổng quát Trong A B xác định 73 73 74 74 Đề thi 2005 Đề thi 2005 Một người gửi 100 triệu đồng vào quĩ đầu tư vào ngày đầu năm Ngày cuối năm người hưởng hai khoản tiền lãi Khoản thứ 20% tổng số tiền có tài khoản năm, khoản lãi thứ hai 45% tổng số tiền có tài khoản năm trước đó.Gọi Pnlà số tiền có tài khoản vào cuối năm thứ n a) Tìm cơng thức truy hồi cho Pn b) Tìm biểu thức Pn theo n a) Tìm nghiệm tổng quát hệ thức đệ qui: an = 6an-1 – 9an-2 b) Tìm nghiệm hệ thức đệ qui: an = 6an-1 – 9an-2+2 4n thoả điều kiện đầu a0 =12, a1=8 75 75 76 76 19 Bài tập nhà Đề thi 2004 Giải hệ thức đệ qui sau: Một bãi giữ xe chia thành n lô cạnh theo hàng ngang để xếp xe đạp xe máy.Mỗi xe đạp chiếm lơ cịn xe máy chiếm hai lơ.Gọi Ln số cách xếp cho đầy n lơ a)Tìm cơng thức đệ qui thoả Ln b) Tìm biểu thức Ln theo n 1) 2) 3) 77 77 78 78 Bài tập nhà Bài tập nhà Giải hệ thức đệ qui sau: Giải hệ thức đệ qui sau: 7) 4) 5) 8) 9) 6) 79 79 80 80 20 ... xếp cho đầy n lơ a)Tìm cơng thức đệ qui thoả Ln b) Tìm biểu thức Ln theo n 1) 2) 3) 77 77 78 78 Bài tập nhà Bài tập nhà Giải hệ thức đệ qui sau: Giải hệ thức đệ qui sau: 7) 4) 5) 8) 9) 6) 79... đệ qui tuyến tính Hệ thức đệ qui tuyến tính Ví dụ: Hệ thức đệ qui Phương trình đặc trưng: 2 - = có nghiệm 0 = 3/2 Do nghiệm tổng quát là: hệ thức đệ qui tuyến tính cấp 19 19 20 20 Hệ thức đệ. .. Vậy Ln = 2Ln-1 + 2Ln-2 (n > 3) b)1 điểm Các từ có chiều dài : 0,1,2 L1 = 3; Các từ có chiều dài : 00,01,02,10,11,12,20,21 Ta quy ước L0 = hệ thức đệ quy thoả với n >1 Phương trình đặc trưng