SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI ĐỀ THI THÁNG LẦN 5 LỚP 10 TOÁN NĂM HỌC 2021 2022 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 180 Phút Câu 1 [ 3,0 điểm] 1 Cho đa thức P(x) bậc ba thỏa mãn 3 2( ) 2 3 5 1P x[.]
SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG ĐỀ THI THÁNG LẦN LỚP 10 TOÁN TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2021 - 2022 MƠN TỐN Thời gian làm : 180 Phút Câu [ 3,0 điểm] Cho đa thức P(x) bậc ba thỏa mãn P( x) = x + x − x − với x 2022 Tính P (1) Cho đa thức P ( x ) hệ số thực thỏa mãn ( x − 1) P ( x + 1) − ( x + 1) P ( x − 1) = P ( x ) với x a) Tính P(0), P(1), P( −1) b) Tìm tất đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện Câu [3,0 điểm] Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B, CD tiếp tuyến chung hai đường tròn, gần A hơn, C đường trịn (O) C’ đường tròn (O’), CA cắt (O’) F, DA cắt (O) G, GC FD cắt H, BA cắt HG M Đường tròn ngoại tiếp tam giác FGH CHD cắt N khác H a) Chứng minh tam giác HCD cân hai tam giác GCB, DFB đồng dạng b) Gọi S tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, HB cắt CD R Chứng minh N,R,S thẳng hàng c) Chứng minh B,C,M,N nằm đường tròn Câu [2,0 điểm] a) Tìm tất cặp số nguyên tố ( p; q ) thỏa mãn p + p + = q − q ( ) b) Tìm tất cặp số ( n; p ) với n tự nhiên p nguyên tố thỏa mãn p ( p − 1) = n3 + Câu [2,0 điểm] Cho S tập hợp có n phần tử gọi N số nguyên thỏa mãn N 2n Thực việc tô màu tất tập S hai màu xanh đỏ cho điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: i) Hợp hai tập màu đỏ màu đỏ ii) Hợp hai tập màu xanh màu xanh iii) Có N tập màu đỏ a) Chỉ cách tô màu n = , S = {1, 2,3} N = b) Chứng minh với n N thỏa mãn điều kiện trên, tồn cách tô màu thỏa mãn ĐÁP ÁN ĐỀ THI THÁNG LẦN LỚP 10 TOÁN NĂM HỌC 2021-2022 Câu [ Đa thức] Cho đa thức P(x) bậc ba thỏa mãn P( x) = x + x − x − với x 2022 Tính P (1) Cho đa thức P ( x ) hệ số thực thỏa mãn ( x − 1) P ( x + 1) − ( x + 1) P ( x − 1) = P ( x ) với x c) Tính P(0), P(1), P( −1) d) Tìm tất đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện Lời giải: Do P( x) = x + x − x − với x 2022 nên P ( x) = x + x − x + 25 với x Vậy P(1) = 25 a) Cho x = x = −1 điều kiện ( x − 1) P ( x + 1) − ( x + 1) P ( x − 1) = P ( x) (1) Ta −2 P (0) = P (1) −2 P (0) = P (−1) Cho x = (1), ta − P(1) − P (−1) = P(0) , giải hệ điều kiện thu được, ta có P(−1) = P(0) = P(1) = b) Vậy P ( x) = x( x − 1)( x + 1)Q ( x) , với Q ( x ) đa thức hệ số thực Thay vào (1) ( x − 1)( x + 1) x( x + 2)Q ( x + 1) − ( x + 1)( x − 1)( x − 2) xQ ( x − 1) == x ( x − 1)( x + 1)Q ( x ) với x Suy ( x + 2)Q( x + 1) − ( x − 2)Q ( x − 1) = 4Q ( x)x Nên ( x + 2)Q( x + 1) − ( x − 2)Q ( x − 1) = 4Q ( x)x , x = 0, 1 (2) Cho x = (2), ta Q (3) = Q (2) Bằng quy nạp k , chứng minh Q (k ) = Q (2) với k Thật vậy, giả sử Q (k ) = Q (2) với k = 2,3,, m , với m Cho x = m (2) , ta (m + 2)Q( m + 1) − ( m − 2)Q( m − 1) = 4Q( m) , Suy (m + 2)Q(m + 1) = (m + 2)Q(2) , tức Q(m + 1) = Q(2) Suy Q (k ) = Q (2) với k Vậy Q ( x ) = Q (2) = a Vậy P ( x ) = ax ( x − 1)( x + 1) Thử lại thấy thỏa mãn Câu [Hình học phẳng] Cho (O) (O’) cắt A B, CD tiếp tuyến chung gần A với C (O) C’ (O’), CA cắt (O’) F, DA cắt (O) G, GC FD cắt H, BA cắt HG M đường tròn ngoại tiếp tam giác FGH CHD cắt N khác H d) Chứng minh tam giác HCD cân hai tam giác GCB, DFB đồng dạng e) Gọi S tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, HB cắt CD R Chứng minh N,R,S thẳng hàng f) Chứng minh B,C,M,N nằm đường tròn Lời giải: M H N C Q G R A D S F B (1) N,R,S thẳng hàng Ta có tam giác NGC NDF đồng dạng N điểm Miquel với đường thẳng HG,HF,GD,FC, nên tam giác HCD cân hai tam giác GCB, DFB đồng dạng Vậy HDBC HCBF tứ giác nội tiếp , CR BG GC NC NR phân giác góc CND qua S Dễ thấy = = = RD BD DF ND S tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD (2) NBSQ tứ giác nội tiếp SB = SD = SQ·SH SB tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBQ, SNH = HQR = 90 , ta có HQRN tứ giác nội tiếp Vậy SNQ = SHB = SBQ NBSQ tứ giác nội tiếp Khi N,R,S thẳng hang S điểm cung CD đường trịn ngoại tiếp tam giác CHD Vậy Q trung điểm CD NBSQ tứ giác nội tiếp Vậy NBM = NBQ = NSH = NCM NCBM tứ giác nội tiếp Câu [Số học] c) Tìm tất cặp số nguyên tố ( p; q ) thỏa mãn p + p + = q − q ( ) d) Tìm tất cặp số ( n; p ) với n tự nhiên p nguyên tố thỏa mãn p ( p − 1) = n3 + Lời giải: a) Đáp số: ( p; q ) = (2;7) and ( p; q ) = (3;17) +) Nếu p = p = , q = q = 17 tương ứng ( ) +) Nếu p Phương trình thành p p + = ( q + 1)( q − 2) ( q + , q − ) mà ( q + 1)( q − 2) p p nên có số số q + q − chia hết cho p , chia hết cho p - Nếu (q + 1) p , q + p , (q − 2) p , q − p ( ) Vậy ln có q p − Ta p + p = (q + 1)(q − 2) p p − , nên p + p − , ( ) Tức p − p − = ( p − 2) p + p + , với p Vậy khơng có nghiệm thỏa mãn p (n; p) = (20;127) e) ( ) Phương trình thành p ( p − 1) = n3 + không với p = n nguyên dương ( ) Với p p lẻ (n + 1) n − n + chia hết cho p Nếu ( n + 1) p , n + = kp với số nguyên dương k Suy n + p Từ (1) có p( p − 1) = 2(n + 1) ( n − n + 1) p ( n − n + 1) , nên p − 2n − 2n + Suy n p − 2n − 2n + 2n − 3n + , mâu thuẫn Vậy n − n + p , tức n − n + = kp Thay lại ta p − = 2k (n + 1) hay p = 2kn + 2k + ( ) ( ) Suy n − n + = 2k n + 2k + k hay n − 2k + n − 2k + k − = = ( 2k + 1) + ( 2k + k − 1) số lẻ, ( 2k + 1) ; mặt khác ( 2k + ) ( ) 2 ( ) ( ( 2k + + 2k + k − k + ( ) ( 2k + k − 1) ( 4k + ) k − 2k ) ) ( ) ( ) nên + k − 1) = ( 2k + 3) − ( 2k + 1) = ( ( 4k + ) 2k Vậy = 2k + + 2k + k − = 2k + ( 2k 2 2 2 + k − = 2k + Vậy k = nên n = 20 p = 127 Câu [Tổ hợp] Cho S tập hợp có n phần tử gọi N số nguyên thỏa mãn N 2n Thực việc tô màu tất tập S hai màu xanh đỏ cho điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: iv) v) vi) Hợp hai tập màu đỏ màu đỏ Hợp hai tập màu xanh màu xanh Có N tập màu đỏ c) Chỉ cách tô màu n = , S = {1, 2,3} N = d) Chứng minh với n N thỏa mãn điều kiện trên, tồn cách tô màu thỏa mãn Lời giải a) Chẳng hạn: Các tập , {1},{1, 2} tơ xanh, cịn lại tơ đỏ phương án thỏa mãn b) Ta quy nạp theo n +) n = hiển nhiên +) Giả sử tô màu tập S n = {1, 2,, n} với số N n mà N n 2n thỏa mãn đề Xét tập S n+1 = {1, 2,, n, n + 1} số N n+1 mà N n+1 2n+1 (th 1) N n+1 2n Áp dụng giả thiết quy nạp với S n N n = N n+1 , ta tơ màu tập S n thỏa mãn ba điều kiện Tất tập $S_{n+1}$ chưa tô chứa n + ; ta tô xanh hết Khi cách tơ màu thỏa mãn đề (th 2) 2n + N n+1 2n+1 Theo trường hợp , Tồn cách tô màu tập S n+1 thỏa mãn hai điều kiện đầu có 2n+1 − N n+1 tập đỏ Bây ta đổi màu tập sau: Nếu tập xanh, ta đổi sang đó, tập đỏ, ta đổi sang xanh Vậy xong