10toan nangkhieul2 2021 2022

SỞ GD ĐT HẢI DƯƠNG Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN THỨ NĂM NĂM HỌC 2021 2022 Môn Toán 10 Thời gian làm bài 180 phút Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số bậc hai 2( ) ( 2) 3y f x mx m x  [.]

SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN THỨ NĂM NĂM HỌC 2021-2022 Môn: Toán 10 Thời gian làm bài: 180 phút Câu (2 điểm) Cho hàm số bậc hai y  f ( x)  mx  (m  2) x  a) Tìm m để y  f ( x) hàm chẵn b) Tìm m để y  f ( x) đồng biến (2; ) Câu (2 điểm) a) Giải phương trình  x  1 3x   x   x2  x  18  x  y  xy   x b) Giải hệ phương trình  2  x( x  y )  y  x  Câu (2 điểm) a) Tìm số nguyên dương n, n  biết: 2.C0n  5.C1n  8.C2n  (3n  2)  Cnn  1600 b) Cho ba số thực dương x; y; z thỏa mãn x  y  z  P z  xy  1 y  yz  1  x  yz  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 z  zx  1  y  zx  1 x  xy  1 Câu (3 điểm) a) Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b Trung tuyến CM vng góc với phân giác CM b   Tính cos A AL AL c b) Cho tam giác ABC không vuông với độ dài đường cao kẻ từ đỉnh B, C hb , hc , độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A ma Tính cos A , biết hb  8, hc  6, ma  Câu (1 điểm) Cho đa giác lồi n đỉnh Ta nối tất đường chéo Biết khơng có đường chéo đồng quy bên đa giác cho Tính số miền đa giác tạo thành bên đa giác lồi (ta tính đa giác mà bên khơng có điểm thuộc đường chéo đa giác ban đầu) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: a) Vì tập xác định f ( x) ¡ nên f ( x) hàm chẵn  f ( x)  f ( x)x ¡ Hay mx  (m  2) x   m( x)  (m  2)( x)  x  ¡  (m  2) x  x ¡ m2 b) Vì y  f ( x) hàm số bậc hai nên để f ( x) đồng biến (2; ) trước hết m   (m  2)  ;   Khi đó, hàm số đồng biến   2m   (m  2)  ;   ; hay Như để f ( x) đồng biến (2; ) (2; )    2m  (m  2)    m   4m   m ( m  ) 2m Câu 2: a) Pt:  x  1 3x   x   x2  x  18 Đk: x     x  1 3x   x   3x  1  ( x2  x  1)  x  16     3x  1   x  1 3x    x  1  x   x       3x   x    x4 2  0  3x   x    3x   x     x     x   x0 Vậy pt có nghiệm x=0 b)  y2 1  x  2y    x  y  xy   x x  Dễ thấy x  , ta có:  2  x( x  y )  y  x  ( x  y )  y    x Đặt u  y2 1 , v  x  y ta có hệ: x  uv   u  4v  v  3, u     v  2u  v  2v  15  v  5, u   x  5, y  1 4 y   x 4 y   x 4 y  y   +) Với v  3, u  ta có hệ:      x  2, y   x  2y   x  3 2y  x  3 2y  4 y   x 4 y   x 4 y  18 y  46  +) Với v  5, u  ta có hệ:     x  y  5  x  5  y  x  5  y Hệ vô nghiệm Câu 3: a) Số hạng tổng quát tổng vế trái là: (3k  2)Ckn  3k  Ckn  2.Ckn , (0  k  n)   Đặt P   C0n  5.C1n  8.C2n  (3n  2)  C nn , ta có: P  C1n   Cn2  3.C3n  n.Cnn   C0n  C1n  C2n  Cnn  Mặt khác ta có: 1C1n   C2n  3.C3n  n  Cnn  n  2n 1 ;C0n  C1n  Cn2  Cnn  2n Do P  3n  2n1   2n  (3n  4)2n 1 Từ yêu cầu toán ta suy ra: (3n  4)2n1  1600  25.26  3n   25 n 1 (3n  4)   25.2    n   n7 n  N , n  n  N , n    Vậy n  thỏa mãn yêu cầu toán b) Biến đổi biểu thức P , ta có: 2  1  1  1 x y y  z  z  x   P  1 y z x z x y a b2 c Chứng minh bất đẳng thức:    a  b  c(a, b, c  0) b c a Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: a2 b2 c2 a b2 c  b  2a,  c  2b,  a  2c     a  b  c b c a b c a  1  1  1 1 Sử dụng (1) ta suy ra: P   x     y     z    x  y  z     Q y  z  x x y z  Tiếp tục đánh giá Q , ta có: Q  3 xyz  Đặt t  xyz , ta có:  t  xyz  Khi đó: Q  3t  3 xyz x yz  3 15  12t   9t  36   t t 2 Dấu đẳng thức xảy x  y  z  Kết luận: Giá trị nhỏ P 15 , đạt x  y  z  2 Câu 4: (Tự vẽ hình) a) uuur b uuur c uuur AB  AC bc bc uuur uuur uuur uuur uuuur CA  CB AB  AC CM   2r uuuur uuu Theo giả thiết: AL  CM  AL.CM  uuur uuur uuur uuur  bAB  c AC AB  AC   bc  bc cos A  2cb cos A  2cb  Ta có: AL       c  2b 1  cos A   c  2b (do cos A  1) b2  a c a  b2   uuu r uuu r uuur uuur 1 AL2  AB  AC  AB  AC  AB AC   9b  a  9 2 CM CM a b  52    52 2 AL AL 9b  a 2 a b a2      6 9b  a b2 Khi đó: CM        cos A  b2  c  a 5b2  a 1   2bc 4b b) M N A F E C B K Vẽ đường cao BM CN tam giác ABC ( M  AC, N  AB ) Gọi K trung điểm BC, qua K kẻ đường thẳng song song với CN BM cắt AB, AC E F Khi E trung điểm BN F trung điểm CM Bốn điểm A, E, K , F nằm đường trịn đường kính AK  , theo định lý sin tam giác EKF ta EF  AK.sin EKF  5sin A Áp dụng định lý cosin tam giác EKF ta : · EF  KE  KF  2KE.KF cos EKF  32  42  2.3.4.cos A  25sin A  25  24.cos A  25 1  cos2 A  25  24.cos A  cos A   24 (vì cos A  ) 25 Câu 5: Gọi a3 ; a4 ; ; am số miền tam giác; tứ giác; ngũ giác;…; m- giác tạo thành Ta cần tính S  a1  a2   am +) Trước hết; ta đếm tổng tất đỉnh miền đa giác Ta thấy tổng A  3a3  4a4   m.am Hơn nữa; đếm giao điểm đường chéo tính lần (do giao điểm thuộc miền) Mỗi đỉnh đa giác ban đầu đếm n  lần (do thuộc n  miền) Như vậy, A  3a3  4a4   m.am  4.Cn4  n(n  2) +) Tiếp theo, ta đếm tổng tất góc miền đa giác (1) Ta có tổng B  1800.a3  1800.2.a4  1800.3.a5   1800.(m  2)am Mặt khác, tổng góc tổng góc đa giác ban đầu ( 1800.(n  2) ) cộng với 3600 nhân tổng giao điểm đường chéo Như vậy, B  1800.a3  1800.2.a4  1800.3.a5   1800.(m  2)am  1800 ( n  2)  3600.Cn4 Suy a3  2a4   (m  2).am  2.Cn4  (n  2) Từ (1);(2) suy S   Cn4  n(n  3) (2)