Microsoft Word EMPIRE LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC 1 1 Định nghĩa Hàm số F x được gọi là một nguyên hàm của hàm số f x nếu F x f x [.]
CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE CHỦ ĐỀ TOÁN THƯỜNG NGUYÊN HÀM Định nghĩa Định nghĩa Hàm số F x được gọi là một nguyên hàm của hàm số f x F x f x Một hàm số có thể có nhiều nguyên hàm khác nhau, các nguyên hàm sai khác một hằng số C Tập hợp tất cả NH của hàm số f x gọi là họ NH của hàm số f x kí hiệu f x dx F x C , C : hằng số : Được gọi là dấu tích phân f x : Hàm số dưới dấu tích phân dx : vi phân biến x f x dx : Biểu thức dưới dấu tích phân F x C : Họ nguyên hàm của hàm số f x Định lí: 1) Nếu F x nguyên hàm hàm số f x K với số C , hàm số G x F x C nguyên hàm f x K 2) Nếu F x nguyên hàm hàm số f x K nguyên hàm f x K có dạng F x C , với C số Do F x C , C họ tất nguyên hàm f x K Ký hiệu f x dx F x C Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Ta có sin x cos x , nên ta nói y sin x là một nguyên hàm của hàm số f x cos x và ta viết cos xdx sin x C CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 1 CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE Ví dụ 2: Ta có x x nên ta nói y x là một nguyên hàm của hàm số f x x và ta viết 2xdx x C nên ta nói y tan x là một nguyên hàm của hàm số cos x 1 và ta viết f x dx tan x C cos x cos x Ví dụ 3: Ta có tan x Ví dụ 3: Hàm số F x x nguyên hàm f x khoảng 0; ta có: x F x x f x với x 0; x Ví dụ 4: Hàm số f x e x có nguyên hàm F x e x ta có: F x e x f x Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm hàm số sơ cấp du u C dx x C x dx x 1 Nguyên hàm hàm số hợp C u du u 1 Trường hợp thường gặp n xdx C nx n x n 1 C ax b C ax b dx a 1 du dx u ln u C x ln x C 1 dx ln ax b C du dx (ax b) a u2 u C x2 x C e( ax b ) dx e( ax b ) C u u x x a e du e C e dx e C a mx n mx n au ax C a dx u x m ln a a du ln a C a dx ln a C cos udu sin u C cos(ax b)dx a sin(ax b) C cos x.dx sin x C sin udu cos u C sin(ax b)dx cos(ax b) C sin x.dx cos x C a du cos x dx (1 tan x).dx tan x C cos u tgu C dx cos2 ax b a tan ax b C du sin x dx 1 cot x dx cot x C sin u cot gu C dx cot ax b C x x a sin ax b e dx e C 1 1 0dx C 1 TQ: f(ax + b)dx = Ví dụ minh họa Ví dụ 1.2.1 Tìm họ ngun hàm f x x Áp dụng công thức cho từ bẳng nguyên hàm, ta có: x dx x6 C 2 CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA F(ax + b) + C a CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE 1 1 x2 Ví dụ 1.2.2 Tìm nguyên hàm: xdx x dx x C x x C 1 dx x 0,51 x 0,5 0,5 x dx C C x C Ví dụ 1.2.3 Tính nguyên hàm: I 0,5 0,5 x Ghi nhớ: Nguyên hàm gọi tích phân bất định (tích phân khơng xác định) Ví dụ 1.2.4 Tính tích phân bất định: I sin xdx cos x C Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1: f x dx f x f ' x dx f x C Tính chất 2: kf x dx k f x dx với k số khác Tính chất 3: f x g x dx f x dx g x dx Ví dụ minh họa Ví dụ 1.3.1 Tính tích phân bất định: I x x dx Lời giải I x x dx x dx 3 x dx 5dx 3 x 3x 2 x dx 3 xdx 5 dx 5x C x 3x Hay I x C 2 Chúng ta tính nguyên hàm tổng mà không cần phải tách nhỏ cách tỉ mỉ thành nguyên hàm trên: I x x dx x4 x2 x 3x x C 5x C 4 Ví dụ 1.3.2 Tính nguyên hàm: I x 1 x x dx ? Lời giải Ta phải đưa dạng nguyên hàm tổng: I x 1 x x dx x 2x x dx x x 1 1 1 x x x x dx C 1 1 1 1 2 1 32 2 C Rút gọn ta được: I x 4.x x C x x x 3 x Chú ý: F x , G x lần lượt là nguyên hàm của f x , g x f x g x dx F x G x C là khơng đúng Ví dụ: CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 3 CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE - “Không phép tính: Ví dụ 1.3.4 Cho hàm số: F x x.cos xdx e x 2 sin x cos x x2 dx C .sin x C 2x x2 2 dx Hãy xác định hàm số F x tính giá trị ex F ln biết giá trị hàm số là: F 2018 Lời giải Ta có: F x e x 2 ex dx e x 4e x dx e x 4.e x dx e x x 4e x C x e Từ điều kiện: F 2018 e 4.0 4.e C 2018 C 2021 Suy hàm số: F x e x x e x 2021 Suy ra: F ln e ln 4.ln e ln 2021 ln 2021 Ví dụ 1.3.5 Cho hàm số F x nguyên hàm hàm số f x trị hàm số x Biết giá cos x.sin x Hãy xác định biểu thức cụ thể hàm số F x ? 4 là: F Lời giải sin x cos x dx cos2 x.sin x dx cos x.sin x cos2 x sin x dx tan x cot x C Ta có: Do F tan cot C C 4 4 Vậy F x tan x cot x Dạng toán 1: Sử dụng định nghĩa để tìm nguyên hàm Phương pháp - Áp dụng đinh nghĩa ta tìm Ví dụ minh họa cho e x khix F x ( ) Ví dụ 1: Chứng minh hàm số: x x 1khix e x khix nguyên hàm hàm số: f ( x ) R x khix Giải: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp sau: 4 CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE e x khix F ' ( x) 2 x 1khix - Với x 0, ta có: - Với x = 0, ta có: F ( x ) F (0) x2 x e0 F ' ( ) lim lim 1 x x x0 x F ( x ) F (0) ex e0 lim 1 x x0 x F ' ( ) lim x0 Nhận xét rằng: F ’ F ’ F ’ , có nghĩa hàm số F(x) có đạo hàm điểm x = e x khix Tóm lại: F ' ( x ) f ( x) x 1khix Vậy F(x) nguyên hàm hàm số f(x) R Ví dụ 2: Tìm xem hàm số sau nguyên hàm hàm số ? a F x x n x cos x sin x tan x cot x e x a x ln x log a x x x x b F x ln tan c F x ln tan 2 4 d F x ln x x a e F x (a R ) x x a a.ln x x a C Giải: a F ’ x f x nx n 1 x ' 1 1 sin x cos x e x a x ln a 2 x x.ln a x cos x sin x x 2 ' x x cos tan 1 2 b F ’ x f x x x x x sin x tan tan cos tan 2 2 x Nhận xét: dx ln tan C sin x ' x tan 1 c F ’ x f x cos x x tan sin x 2 2 4 Nhận xét: d F ’ x f x Nhận xét: x co s x dx ln tan C x x2 a x x2 a x a / 1 x x a x x2 a x2 a dx ln x x a C CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 5 CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE e F ’ x f x Nhận xét: 1 x a x adx x2 x2 a x a x a a x x a a.ln x x a C Bài tập tự luyện 1 x )dx Bài 1: Tính đạo hàm hàm số F ( x ) từ suy nguyên hàm: I = ( ln x ln x ln x Bài 2: Cho hàm số f x x x Xác định a, b, c để F x ax bx c x nguyên hàm f(x) Bài 3: Xác định nguyên hàm F(x) của: I (1 x x nx n 1 )dx biết F Bài 4: Xác định nguyên hàm F(x) hàm số f x sin x 1 sin x biết F 1 4 Bài 5: Tính đạo hàm F(x) = ln x x C từ suy nguyên hàm hàm số: f ( x) x2 Bài 6: Chứng minh x a F ( x) ln tg C nguyên hàm hàm số: f x , x k , k sin x x b F ( x) ln tg ( ) C nguyên hàm hàm số: f x , x k , k cos x c F ( x ) [ x x a a ln( x x a )] nguyên hàm hàm số: f x x a Bài 7: Chứng minh hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) hàm số f ax b với a, b hắng số a khác có nguyên hàm là: F ax b C a Áp dụng tính nguyên hàm sau a sin xdx b e3 x dx c cos3 dx d dx 7x Bài 8: Cho g(x) hàm số tuỳ ý Cmr hàm số F ( x) ln g ( x) C nguyên hàm hàm g '( x) Áp dụng tính nguyên hàm hàm số sau g ( x) 2x cos x a dx b dx 2sin x 5 x số: f ( x) c cot gxdx d tgxdx Bài 9: Tính đạo hàm hàm số g x x ln x từ suy nguyên hàm hàm số: f x x ln x Bài 10: Chứng minh: F x ln x x k k nguyên hàm f x khoảng mà chúng xác định 6 CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA x k CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE dx Áp dụng: tính I x 16 Bài 11: Tính đạo hàm u x x x Suy nguyên hàm hàm số sau : a f x x x2 b h x x 1 c g x x 1 x x x2 Bài 12: Tìm hàm số f x biết f ’ x x f 1 HD: f x f ' x dx x x C f 1 C C f x x x x3 Đs: f x x f ’ x – x f x x x 40 3 x f ’ x x f 1 Đs: f x 2x x x x2 b f ’ x ax , f '(1) 0, f (1) 4, f ( 1) Đs: f x x x f ’ x x x f Đs: f x Dạng toán 2 Sử dụng bảng nguyên hàm số hàm thường gặp tính chất ngun hàm Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm ngun hàm 3x 1 10 Áp dụng công thức ax b dx 3x 1 10 3x 1 11 dx 3.11 ax b a 1 1 3x 1 C ta có 11 C Ví dụ 1: Tìm ngun hàm Áp dụng công thức dx 33 C x dx 1 dx ln ax b C ta có (ax b) a x dx 2.ln x C ln x C Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm cos xdx Áp dụng công thức cos(ax b) dx sin( ax b) C ta có a CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 7 CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE 1 sin x x sin x c 1 cos x dx x C 2 Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt Ví dụ *Trường hợp đặc biệt u ax b cos xdx cos kx.dx k sin kx C cos x.dx sin x C , (k 2) sin x.dx cos x C sin kx.dx cos kx C k ekx dx ekx C k e x dx e2 x C (ax b) 1 C (ax b) dx a 1 (2 x 1) 21 (2 1) C (2 x 1)3 C x dx 1 dx ln ax b C (ax b) a 1 du ax b C a ax b eaxb dx eaxb C a a mxn a mx n du C, m m ln a cos(ax b)dx sin(ax b) C a 10 sin(ax b)dx cos(ax b) C a 1 11 dx tan(ax b) C a cos2 (ax b) 3x dx ln 3x C 1 sin (ax b) dx a cot(ax b) C 1 du 3x C 3x C 3 3x e2 x1dx e2 x1 C 2 x1 x1dx C ln cos(2 x 1)dx sin(2 x 1) C sin(3x 1)dx cos(3x 1) C 1 cos2 (2 x 1) dx tan(2 x 1) C 12 1 sin (3x 1) dx cot(3x 1) C *Chú ý: Những cơng thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng phương pháp đổi biến số đặt u ax b du ?.dx dx ?.du HÀNG LOẠT DẠNG ĐẶC BIỆT CÁC EM NHỚ ĐƯỢC THÌ TUYỆT VỜI ƠNG MẶT TRỜI du u 1 udv uv vdu ln u C C , 1 u du u 1 eu du eu C a u du cos udu sin u C 10 du a u 2 arcsin u C a au C ln a tan udu ln cos u C 11 du u arctan C a u a a sin udu cos u C cot udu ln cos u C 12 a 8 CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA du ua ln C 2a u a u CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE 13 du ua ln C 2a u a u a u a du a u2 a2 u a a ln C u u 15 du 17 u a 19 u du u2 a2 du 21 u ln u u a C a2 u a2 u a2 C 23 2 u a u du 25 u a4 u 2u a a u arcsin C 8 a a a2 u2 ln C a u u a2 u 29 31 32 u a2 u a ln u u a C 2 u2 a2 u a2 ln u u a C du u u u du u a2 u a ln y u a C u2 a2 u a du u a 2 u a u2 a2 20 du ln a u u2 a2 du u u a2 C u2 a2 a C u u a2 C a 2u 22 a u du u a2 u a u arcsin C 2 a u du u a2 u a u arcsin C 2 a 24 26 du 27 u a du u a du u a2 a ln a u a C u2 u 18 u a2 u a ln u u a C 2 u a2 u a ln u u a C 2 16 14 u a du 28 30 a2 u2 du u a u 2 a2 u2 C au u2 a2 a du u a a cos C u u du u a 31 du ln u u a C u a2 C a 2u u u a2 udu 33 a bu a ln a bu C a bu b 34 du a bu 35 ln C u du a a bu a u a bu 2b3 a bu 4a a bu 2a ln a bu C udu a du b a bu 37 ln a bu C 36 ln C u a bu au a u a bu b a bu b 38 du u a bu 40 u a budu 1 a bu ln C a a bu a u bu 2a 15b a bu C u du 8a 3b 2u 4abu a bu C a bu 15b 44 cos udu u sin 2u C 42 39 u du a bu 1 a2 a bu 2a ln a bu b3 a bu udu bu 2a a bu C a bu 3b 43 sin udu u sin 2u C 41 45 tan udu tan u u C CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 9 CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM EMPIRE 46 cot udu cot u u C 47 sin udu cos2 u sin u C 50 cot udu cot u ln sin u C 49 tan udu 48 cos3 udu n 1 cos n 1 u.sin u cos n udu n n Cụ thể với n lẻ thì tách, cịn n chẵn thì hạ bậc 1 54 cot n udu cot n 1 u cot n udu n 1 52 cos n udu 56 sin au.cos budu cos a b u cos a b u C a b a b 58 u cos udu cos u u sin u C 64 b sin au a cos au ebu C a b tan u ln cos u C 51 n 1 udu sin n 1 u cos u sin n udu n n tan n 1 u tan n udu 53 tan n udu n 1 sin n 55 sin au.sin budu sin a b u sin a b u C 2a b 2a b 57 u sin udu sin u u cos u C 59 u n sin udu u n cos u n u n 1 cos udu C 60 u n cos udu u n sin u n u n 1 sin udu 62 sin au.ebu du sin u cos u C ln au du ln au C u 61 cos ax.ebx dx a.sin ax b.cos ax ebx C a b2 63 ln au du u ln au u C 65 b ln au b du u a ln au b u C , a u 67 2u C ua a 2 2 ln u a du u ln u a a.ln u a 2u 68 69 e au du e au C a bu b u ln au b du 2a u u a ln au b C u 70 ueu du u 1 eu C 71 u.e au du e au C a a 2 u n e au n n 1 au 73 u.e au du e au C 72 u n eau du u e du C 2a a a 66 ln u a du u ln u a 2a.arctan Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm nguyên hàm: a I x 3 2009 dx x 3 2010 4020 b I sin xdx x sin x C C cos x 1 sin x dx x C 2 Bài 2: Tìm nguyên hàm sau: c I 10 CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA ... LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM? ?EMPIRE? ? Ví dụ 2: Ta có x x nên ta nói y x là một nguyên hàm của hàm số f x x và ta viết... b) + C a CHIA SẺ TÀI LIỆU - LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM? ?EMPIRE? ? 1 1 x2 Ví dụ 1.2.2 Tìm ngun hàm: xdx x dx x C x x C 1 dx x 0,51 x... LUYỆN THI THPT QUỐC GIA LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022‐TEAM? ?EMPIRE? ? - “Khơng phép tính: Ví dụ 1.3.4 Cho hàm số: F x x.cos xdx e x 2 sin x