HTTL các dạng bt VDC chương mũ loga

BÀI 1 LŨY THỪA A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I Khái niệm lũy thừa 1 Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n là một số nguyên dương, a là một số thực tùy ý Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a 1 thöøa soá[.]

Trang 1

BÀI 1 LŨY THỪAA KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I Khái niệm lũy thừa

1 Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương, a là một số thực tùy ý Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừasố a.1thừa số ;nnaa =a a a a =a

Trong biểu thức an, a được gọi là cơ số, số nguyên n là số mũ

Với a ¹0, n =0 hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của số a là số an xác định

bởi: 011; nnaaa-== Chú ý:

Kí hiệu 0 , 00 n ( n nguyên âm) khơng cĩ nghĩa.Với a ¹0 và n nguyên, ta cĩ n 1naa-=2 Phương trình xnb

a) Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực b, phương trình cĩ nghiệm duy nhất

b) Trường hợp n chẵn

 Với b0, phương trình vơ nghiệm

 Với b0, phương trình cĩ một nghiệm x0

 Với b0, phương trình cĩ hai nghiệm đối nhau

3 Căn bậc n

a)Khái niệm: Với n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho bn=a.

Ta thừa nhận hai khẳng định sau:

Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ cĩ một căn bậc n Căn đĩ được kí hiệu là na

Khi n là số chẵn, mỗi số thực dương a cĩ đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau là na ( cịn gọi làcăn bậc số học của a) và -na.b) Tính chất căn bậc n: Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta cĩ:.nab=na bn ; nn (0)naabb= b > ;( )p( 0)nap = naa> ; m na=mnaNếu pqnpmq (0)thì aaan=m => ; Đặc biệt na=mnam ,,nnanleaa n chan 

4 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a dương và r là một số hữu tỉ Giả sử rmn

= , trong đĩ m là một số nguyên, cịn n làmột số nguyên dương Khi đĩ, lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi ar=amn =nam

4 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: ( SGK)

Trang 2

II TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰCCho ,a b là những số dương;  ,  .a a a  ; aab  ;  a  a; aabb     Nếu a1thì a a   Nếu a1thì a a   

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Các phép tốn biến đổi lũy thừa

1 Phương pháp:

Ta cần nắm các cơng thức biến đổi lũy thừa sau: Với a 0;b 0   và  ,  ta cĩ        .aaaa aa;a; (a )a; (ab)a b;bab Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta cĩ:nab n na b;  n  n na a (b 0)b b ;  nap  na p(a 0) ;m na mna n p m q p qNếu thì a a (a 0)n m ;  Đặc biệt namn maCơng thức đặc biệt  xaxf xaa thì f x   f 1x1.Thật vậy, ta cĩ:1 .xxxaaafxaaaa aa   f1 x xaaa  Nên: f x    f 1x 1.2 Bài tập

Bài tập 1 Viết biểu thức

Trang 3

Hướng dẫn giảiChọn A 513623 6630,7534 42 4 2 2 2216 2 2  

Bài tập 2. Chox ;0 y 0 Viết biểu thức

4565.xx x về dạngxm và biểu thức4565:yy y vềdạngyn Ta cĩ m n ?A 116 B. 116 C. 85 D 85Hướng dẫn giảiChọn B4451103565561260 103 60xx x x x xx m44517565561260 7: : 60yyyy y y  y n      116m n  

Bài tập 3. Biết 4x4x 23 tính giá trị của biểu thức P2x2x:

A 5 B. 27 C. 23 D 25.Hướng dẫn giảiChọn ADo 2 2x x  0,xNên  2 2 22x2x 2x2x 2 x  22 x 4x4x223 25.

Bài tập 4. Biểu thức thu gọn của biểu thức 11  1 

22211222 2 1 ,( 0, 1),12 1aaaPaaaaaa           cĩdạng Pma n 

 Khi đĩ biểu thức liên hệ giữa m và n là:

Trang 4

Bài tập 5. Cho số thực dương x Biểu thức x x x x x x x x được viết dưới dạng lũy

thừa với số mũ hữu tỉ cĩ dạng xab, với a

b là phân số tối giản Khi đĩ, biểu thức liên hệ giữa

a và b là:A. a b 509 B. a2b767 C. 2a b 709 D. 3a b 510.Hướng dẫn giảiChọn Bx x x x x x x x12x x x x x x x x   x x x x x x x32 13 22x x x x x x x74x x x x x x78x x x x x x 158x x x x x  x x x x x 15163116x x x x3132x x xxx x x63326364x x x   x x12764  x x127128255128x x   x128255 x256255 Do đĩ a 255,b 256.Nhận xét:882 12552562x x x x x x x xxx 

Bài tập 6. Cho a ;0 b Viết biểu thức 0

23a a về dạng am và biểu thức23:bb về dạng bn Tacĩ m n  ?A. 13 B. 1 C.1 D. 12Hướng dẫn giảiChọn C22153326 5.6a a a aa m ; 23 23 12 16 1::6bb b b  bn1m n  

Bài tập 7 Viết biểu thức

Trang 5

Bài tập 8. Cho a  1 2x, b 1 2x Biểu thức biểu diễn b theo a là:A 21aa . B.1aa . C. 21aa . D. 1aa .Hướng dẫn giảiChọn DTa cĩ: a  12x    1, x nên 2 11xaDo đĩ: 1 11 1abaa    

Bài tập 9. Cho các số thực dương a và b Biểu thức thu gọn của biểu thức

 11  11  11444422232349P  a  b  a  b  a  b cĩ dạng làP xayb Tính x y?A. x y 97 B. x y 65 C. x y 56 D. y  x 97.Hướng dẫn giảiChọn DTa cĩ: 1 1  1 1  1 1     1 2 1 2 1 144442244222 3 2 3 4 9 2 3 4 9Pababab  ab  ab          11  1122224a 9b 4a 9b    1 2 1 2224a9b16a81b Do đĩ: x16,y 81.

Bài tập 10. Cho các số thực dương phân biệt a và b Biểu thức thu gọn của biểu thức

444444 16abaabPabab    cĩ dạng 44

P m a n b Khi đĩ biểu thức liên hệ giữa m và

n là:A. 2m n   3 B. m n   2 C. m n  0 D. m3n  1Hướng dẫn giảiChọn A   2244444444444444441622abaababa aa bPabababab .44 44  4 44 44442ababaababab    4a 4b24a 4b 4a Do đĩ m  1;n 1.Bài tập 11: Cho   2018 2018 2018xxf x 

 Tính giá trị biểu thức sau đây ta được

Trang 6

Chọn C.Ta cĩ: 1  2018   1  12018x 2018f x   f x  f x Suy ra 1 2 2018 1 20182019 2019 2019 2019 2019S f   f   f  f  f          2 2017 1009 1010 1009.2019 2019 2019 2019f  f  f  f                 

Trang 7

Bài tập 1. Với giá trị nào của a thì đẳng thức 3424511 2 2a a a đúng?A. a  1 B. a 2 C. a 0 D. a  3Hướng dẫn giải.Chọn BTa cĩ11 21 3 17344242453415117245 24 2 241 .1 2 2.212 2 2 22a a aa a aaa a aa                    

Bài tập 2. Cho số thực a Với giá trị nào của x thì đẳng thức 0 1 12xxa a  đúng?A. x 1 B. x 0 C. x a D. x 1.aHướng dẫn giảiChọn BTa cĩ 1 1  21 2 2 1 02xxxxxxaaaaaa        21010xxaax  

Bài tập 3. Tìm tất cả các giá trị của a thỏa mãn 15a7 5a2

A a 0 B a 0 C. a  1 D 0  a 1Hướng dẫn giảiChọn CTa cĩ 15752 157 25 157 1561.a  a  a a  a a   a

Bài tập 4. Tìm tất cả các giá trị của a thỏa mãn a123  a113.

A a 2 B a  1 C.1  a 2 D. 0  a 1

Hướng dẫn giảiChọn A

Ta cĩ 2 1

3 3

   , kết hợp với a123  a113 Suy ra hàm số đặc trưng ya1xđồng biến  cơ số 1 1a    a 2

Bài tập 5. Nếu a12 a16và b 2 b 3 Tìm mối các điều kiện của đáp án a và b

A. a 1; 0 b 1 B. a 1;b1.

C. 0 a 1;b 1 D. a 1; 0 b 1

Hướng dẫn giảiChọn D

Trang 8

Vì11621 12 6 a 1aa  và232 30 b 1bb    

Bài tập 6. Kết luận nào đúng về số thực a nếu

2133(a1)  (a1)A. a 2 B. a 0 C. a  1 D 1  a 2Hướng dẫn giảiChọn ADo 2 13 3

   và số mũ khơng nguyên nên

21

33

(a1)  (a1) khi a    1 1 a 2

Bài tập 7. Kết luận nào đúng về số thực a nếu (2 1)a 3(2 1)a 1

A.1 021aa    B 1 02 a   C. 0 11aa    D. a   1Hướng dẫn giảiChọn A

Do   3 1 và số mũ nguyên âm nên (2 1)a 3(2 1)a 1 khi

10 2 1 1 022 1 1 1aaaa              .

Bài tập 8. Kết luận nào đúng về số thực a nếu

0,221aa    A 0  a 1 B. a 0 C. a  1 D. a 0Hướng dẫn giảiChọn C0,220,221aaaa      

Do 0, 2 2 và cĩ số mũ khơng nguyên nên a0 ,2a2khi a  1

Trang 9

HÀM SỐ LŨY THỪAA KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1 Khái niệm hàm lũy thừa

Hàm số lũy thừa là hàm số cĩ dạng yx,.

Chú ý: Tập xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào giá trị của 

- Với  nguyên dương thì tập xác định là R

- Với nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là \ 0 

- Với  khơng nguyên thì tập xác định là0;

Theo định nghĩa, đẳng thức nx =x1n chỉ xảy ra nếu x >0. Do đĩ, hàm số y=x1n khơng đồng nhấtvới hàm số n ( *)

y= x nỴ  Bài tập 3

y= x là hàm số căn bậc 3, xác định với mọi x Ỵ ; cịn hàm sốlũy thừa y=x13 chỉ xác định khi x >0

2.Đạo hàm của hàm số lũy thừa

( )( )( )( )'1'1với 0; ',với 0

1 , với mọi 0 nếu chẵn, với mọi 0 nếu lẻ' , với mọi u 0 nếu chẵn, với mọi u 0 nếu lẻ

1 1' ' nnnnnnxuuxxnxnn xuunnn uxaaxauaaua->>=>¹=>¹- -= =

3.Khảo sát hàm số lũy thừa

Tập xác định của hàm số lũy thừa yx luơn chứa khoảng 0; với mọi   Trong trườnghợp tổng quát ta khảo sát hàm số yx trên khoảng này.

Trang 11

Hàm số đồng biến trên ;0.Hàm số nghịch biến trên 0;.Đồ thị:

Đồ thị:



Trong giới hạn chương trình ta chỉ khảo sát trên 0; 

0  0Tập khảo sát: D0;.Sự biến thiên:1 0y x   hàm số đồng biến trên0; 

Giới hạn: lim0 0; lim

Trang 12

Đồ thị hàm số luơn đi qua điểm A 1;1

Trang 13

HÀM SỐ LŨY THỪA

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa1 Phương pháp giải

Tatìmđiều kiện xác định của hàm số y f x  dựa vào số mũ ,  của nĩ như sau:•Nếu  là số ngun dương thì khơng cĩ điều kiện xác định của f x .

•Nếu  là số nguyên âm hoặc bằng 0 thì điều kiện xác định làf x   0.•Nếu  là số khơng nguyên thì điều kiện xác định là f x   0.

2 Bài tập

Bài tập 1 Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số  2  2

Trang 15

Bài tập 5: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m   2018;2018 để hàm số  2  52 1y x  x m  cĩtập xác định là ?A.4036 B.2018 C.2017 D.Vơ sốHướng dẫn giảiChọn C.

Vì số mũ 5 khơng phải là số nguyên nên hàm số xác định với  x

2 2 1 0,xx mx      00 ln đúng vì 1 0aa     1 m 1 0    0m Mà  2018;20181,2,3, ,2017 mmm     

Vậy cĩ 2017 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu.

Dạng 2: Đồ thị hàm số lũy thừaBài tập 1 Cho các hàm số lũy thừa y=xa, y=xb trên

(0;+¥) cĩ đồ thị như hình vẽ Mệnh đề nào sau đâyđúng?A. 0< < <ba 1.B. a< < <0 b 1.C. 0< < <b 1 a.D. b< < <0 1 a.Hướng dẫn giải.Chọn C.Từ hình vẽ ta thy hm s

ã y=xa ng bin trờn (1;+ Ơ) v nằm trên đường thẳng y=x nên a >1.

• y=xb đồng biến trên (1;+ ¥) và nằm dưới đường thẳng y=x nên 0< <b 1.

Vậy 0< < <b 1 a.

Bài tập 2 Cho các hàm số lũy thừa y=xa, y=xb,

y=xg trên (0;+¥) cĩ đồ thị như hình vẽ Mệnh đềnào sau đây đúng?

A. g< <a b.

B. b< <ga.

Trang 16

C. a g< <b.

D. g< <b a.

Hướng dẫn giải.Chọn D.

Từ hình vẽ ta thấy hàm số

• y=xg nghịch biến trờn (0 ;+ Ơ) nờn g <0.

ã nh cõu trờn ta cĩ 0< < <b 1 a. Vậy g< < < <0 b 1 a.

Bài tập 3 Cho các hàm số lũy thừa y=xa, y=xb,

y=xg trên (0;+¥) cĩ đồ thị như hình vẽ Mệnh đềnào sau đây đúng?

A. g< < <ba 0.B. 0< < < <gba 1.C. 1< < <gba.D. 0< < < <abg 1.Hướng dẫn giải.Chọn C.Dựa vào đồ th, ta cãVi 0< <x 1 thỡ11xa<xb<xg<x ắắ > > >abg ãVi x >1 thỡ11x <xg<xb<xa ắắ < < <gba.Vy với mọi x >0, ta cĩ a b> > >g 1.

Nhận xét. Ở đây là so sánh với đường y= =xx1.

Bài tập 4 Cho hàm số y=(x-1)-14. Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số khơng cĩ đường tiệm cận đứng.B.Đồ thị hàm số cĩ đường tiệm cận đứng x = -1.

C.Đồ thị hàm số cĩ đường tiệm cận đứng x =0.

D.Đồ thị hàm số cĩ đường tiệm cận đứng x =1.

Trang 17

Hướng dẫn giải.Chọn D.

Bài tập 5 Cho hàm số y=x-12. Cho các khẳng định sau:i) Hàm số xác định với mọi x.

ii)Đồ thị hàm số luơn đi qua điểm ( )1;1 iii) Hàm số nghịch biến trên .

iv)Đồ thị hàm số cĩ 2 đường tiệm cận.

Trong các khẳng định trên cĩ bao nhiêu khẳng định đúng?

A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

Hướng dẫn giải.Chọn B.

Ta cĩ khẳng định ii) và iv) là đúng.i) sai vì hàm số đã cho xác định khi x >0.

iii) sai vì hàm số nghịch biến trên (0;+¥).

Trang 18

BÀI 3 LƠGARITA KIẾN THƯC CƠ BẢN CẦN NẮM

1 Khái niệm lơgarit

Cho hai số dương ,a b với a Số 1  thỏa mãnđẳng thức a b được gọi là lơgarit cơ số a của

b, và ký hiệu là loga b 2 Tính chấtCho ,a b0,a Ta cĩ:1 loglog 0; log 1; log    aaabaaabaNhận xét: logab  a b a b , 0,a1Bài tập: 32log 8 3 2 8

Chú ý: Khơng cĩ lơgarit của số âm và số 0.

3 Quy tắc tính lơgarita Lơgarit của một tích

Cho a b b, ,1 2 với 0 a , ta cĩ:1

1 212

log (ab b )log b log ba  a

Chú ý: Định lý trên cĩ thể mở rộng cho tích của nsố dương:

 1  1

logab b n logab   loga nb

trong đĩ a b b, , , ,1 2 bn 0,a1.

Bài tập:

log 1 log 2 log 1.2 log 1 0;

2 2

        

 

 

 log31 log32 log33 log37 log38

2 3 4  8 931 2 3 7 8log .2 3 4 8 9    31log 2.9  

b Lơgarit của một thương

Cho a b b  với , ,1 2 0 a  ta cĩ:1,

1

12

2

logab logab logabb

  

Đặc biệt: log 1 log

aab

b  a0,b0 

Bài tập:

• log5125 log 125 log 25 3 2 1;5 5

25     

• log7 1 log 497 2.49   

c Lơgarit của một lũy thừaBài tập:

Trang 19

Cho hai số dươnga b, ,a  Với mọi 1 , ta cĩ:logab logabĐặc biệt:1log n logababn• log 82 3 3log 8 3.3 9;2  • log 82 4 1log 82 1.3 3.4 4 4  4 Đổi cơ sốCho a b c, , 0;a1;c ta cĩ:1,logloglogcacbbaĐặc biệt: log 1  1 ;logabbba 1loga b logab  0  Bài tập:• 282log 16 4log 16 ;log 8 3 • 3271log 27 3;log 3 • 128 2721 1

log 2 log 2 log 2

7 7

  

5 Lơgarit thập phân – lơgarit tự nhiêna Lơgarit thập phân

Lơgarit thập phân là lơgarit cơ số 10 Với

10

0, log

b b thường được viết là log b hoặc

lg b.

b Lơgarit tự nhiên

Lơgarit tự nhiên là lơgarit cơ số e Với

0, loge

Trang 20

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP

Dạng 1 Tính giá trị của biểu thức khơng cĩ điều kiện Rút gọn biểu thức.1 Phương pháp giải

Để tính logab ta cĩ thể biến đổi theo một trong các cách

sau:

• b a , từ đĩ suy ra logablogaa ;• a b , từ đĩ suy ra log b log 1;

ab b • a c , b c , từ đĩ ta suy ralogab logc c   

 Để tính blogac, ta biến đổi b a , từ đĩ suy ra

Trang 21

2 Bài tập

Bài tập 1: Cho a,b,c,d 0 Rút gọn biểu thức S lna lnb lnc lnd

bcda    ta đượcA. S 1 B. S 0.C S ln a b c d b c d a        D. Slnabcd.Hướng dẫn giảiChọn B.Ta cĩ: S lna lnb lnc lnd ln a b c d ln1 0.bcdab c d a         

Bài tập 2: Cho a b  và ,, 0 a b  , biểu thức 1 Plog ab3.logba4 bằng

A.6 B.24 C.12 D.18.Hướng dẫn giảiChọn B.Ta cĩ : 123434 3 1

log log log log 4.log 24.

1 log2bbaaaaPbababb   

Trang 22

Bài tập 4 : Biến đổi biểu thức 2 3

10 22

loga log aa log b

Pa bbb      (với 0 a 1, 0  )b 1ta đượcA. P 2 B.P 1 C.P  3 D.P  2.Hướng dẫn giảiChọn B.

Sử dụng các quy tắc biến đổi lơgarit ta cĩ:



210 232

loga log aa log b

Pa bbb      102

1 log log 2 log log 3 2 log

2 aaab   aaab bb       1 10 2log 2 1 1log 6 1.2 ab  2 ab        

Bài tập 5 Rút gọn biểu thức Plog3ba2 logb2alogbalogablogabblogba với0a b,  1

A. P1 B. P2 C. P0 D. P3.

Hướng dẫn giảiChọn A.

Ta cĩ: Plog3ba2 log2balogbalogablogabblogba

 2  1

log log 2log 1 log loglogbbbabbaaabaab       2 1

log log 1 log loglog 1bbabbaabaa      2 log log 1 1

log log 1 loglog 1abbbbbbaaaaa      

logba logba 1 logablogba logab 1 logba

    



logba logba 1 logab logba

  

logba 1 logba 1

   

Bài tập 6 Cho a ,0 b thỏa mãn 0  22 

22141

log a b 4a b  1 log ab 2a2b  Giá trị của1 22

a b bằng:

Trang 23

A. 154 . B. 5 C. 4. D.32.Hướng dẫn giảiChọn A.

Ta cĩ 4a2b2 4ab, với mọi ,a b Dấu ‘0 ’ xảy ra khi b2a  1 Khi đĩ 22 221412 log a b 4a b  1 log ab 2a2b122141log a b 4ab 1 log ab 2a 2b 1    

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy ta cĩ log2a 2b 14ab 1 log4ab12a2b  1 2Dấu ‘’ xảy ra khi log2a 2b 14ab 1 14ab 1 2a2b 1  2

Từ  1 và  2 ta cĩ 8a26a0 34a  Suy ra 32b Vậy 2 154a b

Bài tập 7 Cho alog 73 27, blog 117 49, clog 2511  11 Tính

2 2 2

3711

log 7log 11log 25

Sa b c A. S  33 B. S  469 C. S  489 D. S  3141.Hướng dẫn giảiChọn BTa cĩ:3log 7 27

a  log 7 log 273  a log 7.log 7 log 27.log 73 3  a 3

2

33

log 7 3log 3.log 7a

  2 33log 7 log 7a  2 33log 7 log 7aaa  73.Tương tự ta cĩ 277log 11log 11 49 112b  b  ; 21111log 25log 25 11 5b  c  Vậy 2 2 23711

log 7log 11log 25

S a b c 731125469.

Bài tập 8 Đặt log 2 a7  , log 3 b7  , log71 log72 log72014 log72015

2 3 2015 2016Q     Tính Qtheo a, b A.5a2b1 B. 5a2b1 C. 5a2b1 D.  5a 2b1.Hướng dẫn giảiChọn D

Ta cĩ log7 1 log7 2 log7 2014 log72015

2 3 2015 2016

Q    

log 1 log 27 7  log 2 log 37 7  log 2014 log 20157 7  log 2015 log 20167 7 

        

777

log 1 log 2016 log 2016

     log 32.9.77   log 32 log 9 log 77  7  7 

 52 

77

log 2 log 3 1

     5log 2 2 log 3 17  7    5a 2b 1

Trang 24

A. S12 B. S10 C. S16 D. S18.Hướng dẫn giảiChọn DTa cĩ2log416logabbab  4162bbb aa  16 41622bbbba         16.41622bbbba  162ba   .Vậy ta cĩ S16 2 18 

Bài tập 10 Gọi x x là các nghiệm của phương trình 1, 2 x220x 2 0 Tính giá trị của biểu thức

1212

log( ) log log

P x x  x  x

A. 1

2. B.1. C. 0 D.10

Hướng dẫn giảiChọn B

Ta cĩ Plog(x1x2) log x1logx2logx1x2logx x1 2  121 2log.xxx x

Vì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x220x  nên ta cĩ 2 0 x1x220;

1 2 2x x  Vậy ta cĩ log20 12P  Bài tập 11 Cho = + + +2161 1 1

loga loga loga

Mxxx Tính M A = 272logaMx.B. = 136logaMx C = 1088logaMx D = 2723 logaMx.Hướng dẫn giảiChọn BTa cĩ2161 1 1 loga log log

aa

M

xxx

    logxalogxa2  logxa16

216

logxa logxa logxa

    logxa2 logxa  16 logxa

1 2 16 log xa    16 1 16log2 xa 136logax

Bài tập12 Với x y z, , là các số nguyên dương thỏa mãn xlog15122ylog15123zlog15127 1 Tính giá trị của biểu thức Q  x y 3z.

A.1512 B.12 C. 9 D. 7

Hướng dẫn giảiChọn C

Trang 25

Ta cĩ

151215121512

log 2 log 3 log 7 1

x y z  log15122xlog15123ylog15127z log15121512

15121512log 2 3 7xyz log 1512  2 3 7xyz 15122 3 7xyz 2 3 73 3331xyz  .Vậy Q  3 3 1.3 9

Bài tập 13 Giá trị biểu thức

232017

1 1 1

log 2017! log 2017! log 2017!

P    làA.0 B.2 C.1 D.4.Hướng dẫn giảiChọn CTa cĩ2320171 1 1

log 2017! log 2017! log 2017!

P    log2017!2 log 2017!3 log  2017!2017



2017!

log 2.3 2017

 log2017!2017! 1

Bài tập 14 Giả sử 0 ; cos 32 10

x  x

   Giá trị của biểu thức

log sinx  log cosx  log tanx là

A. 3 10 B. 1 10 C.3.10 D. 1 Hướng dẫn giảiChọn DTa cĩ sin2x 1 cos2x 1 9 110 10  

Khi đĩ log sinxlog cosxlog tanxlog sin cos tan xxxlog sin2x log 1 110 

Bài tập 15 Cho log 12 x7  , log 24 y12  và log 16854 axy 1

bxy cx



 , trong đĩ a b c, , là các số

nguyên Tính giá trị biểu thức S a  2b3 c

A. S 4 B. S19 C. S10 D. S15.Hướng dẫn giảiChọn D.Ta cĩ: 7547log 24.7log 168log 54 77log 24 1log 54 7127log 12 log 24 1log 54712712log 12 log 24 1log 12 log 54121.log 54xyx

Tính log 54 log12  1227.23log 3 log 212  12 3log123.2.12.24 log12242.12.24 12

 

Trang 26

3

12212

12 24

3log log

24 12

  3 3 2 log 24  12   log 24 112   8 5log 2412  8 5y.Do đĩ:541log 1688 5xyxy15 8xyxyx  .Vậy158abc   2 3 15S abc    

Bài tập 16 Với a b, thỏa mãn để hàm số   2 1

1x khi xf xax b khi x    

 cĩ đạo hàm tại x0 1 Khi đĩgiá trị biểu thức S log 32 a2b bằng?

A. S 1 B. S 2 C. S 3 D. S 4

Hướng dẫn giảiChọn B.

Hàm số f x  cĩ đạo hàm tại x0 1 suy ra:.

+ Hàm số liên tục tại x0 1:     11lim lim 1 1 1x  f xx  f xfa b       + Tồn tại giới hạn   11lim1xf xfx .    111 1lim lim1 1xxf xff xfxx    .2111 1lim lim1 1xxxax bxx     .12 lim1xax ba bx    . 2 2a  Từ  1 và  2 suy ra 21ab   .22log 3 2 log 4 2S a b   Dạng 2 Đẳng thức chứa logarit1 Phương pháp2 Bài tập

Bài tập 1: Cho x y , 0 vàx24y212 xy Khẳng đinh nào sau đây đúng?

A log2x2ylog2xlog2y1.

Trang 27

C 2 22 

1

log 2 2 log log

2

x y   x y

D 4 log2x2ylog2xlog 2y

Hướng dẫn giảiChọn C.Vớix y , 0, ta cĩ: 2 2 24 12 2 16x  y  xy x y  xy222log x 2y log 16xy  222

2 log x 2y 4 log x log y

    



log2 2  2 1 log2 log2 .2

xyxy

Bài tập 2: Cho x y, là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn x29y2 6xy Tính

1212121 log log2 log ( 3 )xyMxy  .A. 14M  B. M 1 C 12M  D 13M  Hướng dẫn giảiChọn BTa cĩ x29y26xy 23 0xy    x 3y.Vậy ta cĩ1212121 log log2 log 3xyMxy 1212121 log 3 log2 log 6yyy 121212121212

log 12 log 3 log log2 log 6 logyyy  12121212log 36 2 log 1log 36 2 logyy  .

Bài tập 3: Cho biểu thức log325

3 a log log 25a

B  a với a là số dương, khác 1 Khẳng định nào

Trang 28

Bài tập 4: Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh gĩc vuơng của một tam giác vuơng Trong các

khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A logb c alogc b a2 logb c a.logc b a.

B logb c alogb c a2 logb c a.logb c a.

C logb c alogc b alogb c a.logc b a.

D logb c alogb c a4 logb c a.logb c a.

Hướng dẫn giảiChọn ATa cĩ: c2a2b2 c2 b2a2c b   c b a2logac b   c b 2logab c logac b 2    1 1  2logab c logac b   

logb c a logc b a 2 logb c a.logc b a

   (đpcm).

Bài tập 5: Cho log 5 a27  , log 7 b8  , log 3 c2  Khẳng định nào sau đây đúng?

A log 3512 3 22bacc B 123 3log 352bacc .C log 3512 3 23bacc D 123 3log 351bacc .Hướng dẫn giảiChọn B

Ta cĩ : log275 a log 53 3  ;   log 7a 8  b log 72 3  ;   log 3b 2 c

   23332123333log 73

log 5 log 5 log 7 log 3log 35

log 12 log 3 log 4 1 2 log 2

a   33 3 31 21 2.baacbccc.Bài tập 6: Cho 1 441log y x log 1y   , với y0,y x Chọn khẳng định đúng trong các khẳngđịnh sau?A 3x4y B. x3y C. 34x y D. 34y  x.Hướng dẫn giảiChọn CTa cĩ1441log y x log 1y

    log4y x log4y1log4y 1 log4y x 

44log y log 4 y x    y 4y x  34xy 

Bài tập 7: Số thực dương a b, thỏa mãn log4alog12blog (16 a b ) Mệnh đề nào dưới đây

Trang 29

Hướng dẫn giải.Chọn B.

Giả sử log4alog12blog (16 a b ) t Khi đĩ, ta cĩ: a4 ;tb12 ;ta b 16t Từ đây,ta cĩ phương trình: 4 12 16 1 3 14 4ttt t  t             *

Vế trái của phương trình  * nghịch biến nên  * cĩ 1 nghiệm duy nhất là t1 Suy ra

4; 12a b suy ra 1 0;23 3ab   .

Bài tập8: Cĩ tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức

235235

log alog alog alog log logaaa.

A.3 B.1 C.2 D.0.

Hướng dẫn giảiChọn A

Ta cĩ

235235

log alog alog alog log logaaa

232522355

log a log 2.log a log 2.log a log log 5.log logaaa

   

 2

235235

log 1 log 2 log 2a log log 5.logaa

   

 2 

23535

log 1 log 2 log 2 log 5.logaa 0

    

2

2

3535

log 0

1 log 2 log 2 log 5.log 0

aa      5 3 5311 log 2 log 2loglog 5aa   3531 log 2 log 2log 515aa .

Bài tập 9: Chon là một số nguyên dương, tìm n sao cho3

22222

log 2019 2 loga  a2019 3 log a2019  n logna2019 1008 2017 log 2019 a

A. 2017 B. 2019 C. 2016 D. 2018 Hướng dẫn giảiChọn CĐặt322222

log 2019 2 loga  a2019 3 log a2019  n logna2019 1008 2017 log 2019 a

Trang 30

 2221.log 2019 1008 2017 log 20192 aan n    22 2 2 21 2 1008 2017n n  22 1 2016 201722n n   n2 n 4066272 0 20162017nn     n 2016 (vìn  ).Bài tập 10: Cho  2222

log x y  1 log xy, với xy Chọn khẳng định đúng trong các khẳng0định sau?A. xy B. x y C. x y D. x y2.Hướng dẫn giảiChọn CTa cĩ 2222log x y  1 log xy  2222log xy log 2xy    x2y22xy x y 2 0xy 

Dạng 3 Biểu thị biểu thức theo một biểu thức đã cho và từ đĩ tìm GTLN, GTNN1 Phương pháp giải

2 Bài tập

Bài tập 1 Cho hai số thực x, y thỏa mãn logx2y22x4y Tính 1 Pxy khi biểu thức4 3 5S x y đạt giá trị lớn nhất.A. 85P B. 95P C. 134P  D. 1744P Hướng dẫn giảiChọn CTa cĩ logx2y22x4y12x y x2y21  2 21 2 4xy     Khi đĩ ta cĩ4 3 5S x y   2 2 2 24 x 1 3 y 2 7 4 3 x 1 y 2 7 3           

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi

1 24 34 3 5 3xyxy     13545xy    .Vậy ta cĩ Pxy131354 45  .

Bài tập 2. Xét các số thực a, b thỏa mãn a b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức

 22log 3log      babaPab .

A Pmin 19 B Pmin13 C Pmin 14 D Pmin15.

Trang 31

Hướng dẫn giảiChọn D

Với điều kiện đề bài, ta cĩ

 2

22

2

log 3log   2log  3log   4 log   3log  

                       aaabbbbbbaaaaPaabbbbb24 1 log  3log  .        ab  babbĐặt loga 0btb (vì a b 1), ta cĩ 2 3 2 3  4 1 4 8 4       Pttttf tt .Ta cĩ 3 2  2 2222 1 4 33 8 3( ) 8 8 8   6     t  t   tttf tttttVậy   0 12   f tt Khảo sát hàm số, ta cĩ min 1 152    Pf

Trang 32

21 1111 31 01 3 1 113yPyy          

Lập bảng biến thiên ta cĩ min 2 11 33

P   .

Bài tập 4. Cho các số thực a b c  , ,    thỏa mãn điều kiện 1;2 333

222

log alog blog c1

Khi biểu thức 333 

222

3 log a log b log c

P a b  ca  b  c đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của

a b c  bằngA.3 B 313 33.2 C.4 D.6.Hướng dẫn giảiChọn C.Ta xét hàm số   33223 log logf x x  xx c với x    1;2 Ta cĩ đạo hàm   2 2223log3f 3 3log ;ln 2 ln2xxxxx      2 222226 3log3f 6 ln 2 ln 2 ln 2log xxxxxxx    Vì   2  2 332326log 3 log1 36 1 0 1;2ln 2 ln 2 ln 2xxfxxxxx            nên  1 1,67 0.f x  f  

Như vậy hàm số f x  đồng biến và cĩ nghiệm duy nhất trên 1;2 vì f 1 0;f 2  và cĩ đồ0thị lõm trên 1;2 Do đĩ ta cĩ bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta nhận thấy rằng f x  cho nên  1

Trang 33

333

222

3 log log log 4

P  a b c

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1,c và các hốn vị.2

Bài tập 5 Trong tất cả các cặp  x y thỏa mãn ; logx y2224x 4y 4 1.

     Với giá trị nào của m

thì tồn tại duy nhất cặp  x y sao cho ; x2y22x2y  2 m 0?

A. 210 2 B. 210 2 và 210 2 C. 10 2 và 10 2 D. 10 2.Hướng dẫn giảiChọn B.Điều kiện: 4x4y 4 0.Ta cĩ logx y2224x 4y 4 1     2 2  2214x 4y 4 xy 2 x 2 y 2 2 C           

Miền nghiệm của bất phương trình là hình trịn (cả bờ)  C cĩ tâm 1 I1 2;2 bán kính R 1 2.

Mặt khác: 2 2   22  

2 2 2 0 1 1 *

x y  x y   mx  y m

Với m  thì 0 x 1;y (khơng thỏa mãn 1  2 2

2 2 2

x  y  ).

Với m  thì 0  * là đường trịn  C cĩ tâm 2 I 2 1;1 bán kính R2  m.

Để tồn tại duy nhất cặp  x y thì ;  C và 1  C tiếp xúc với nhau.2

Trang 34

Khi đĩ: 2

121 2 2 10 10 2

R R I I  m   m 

Trường hợp 2:  C nằm trong 1  C và hai đường trịn tiếp xúc trong.2

Khi đĩ: 2211 2 2 10 10 2 R R I I  m   m Vậy 210 2m   và 210 2

m   thỏa mãn yêu cầu bài tốn.

Bài tập 6 Xét các số thực a, b thỏa mãn a b 1 Giá trị nhỏ nhất P của biểu thứcmin

 22loga 3logbbaPab      bằng

A P min 19 B P min 13 C P min 14 D P min 15.

Hướng dẫn giảiChọn D.Ta cĩ: 222 2

log 3log 3 log 1

Trang 35

Ta cĩ   32  8 3 0 1.31f tf tttt       Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta cĩ P min 15.

Bài tập 7 Cho hai số thực x, y thỏa mãn:

22 3

x y  và logx y2 2x x4 23x4y23y22

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y  Khi đĩ biểu thức T2M m  cĩ giá trị gần nhất số nào sau đây?1

A.7 B.8 C.9 D.10.Hướng dẫn giảiChọn DTa cĩ logx y2 2x x4 23x4y23y2 2 logx y2 2x2y24x32 2 2 2 22 2 24 3 2 1.xyxxyxy        Tập hợp các số thực x, y thỏa mãn:222 232 1xyxy    

 những điểm thuộc miền trong hình trịn  C1

cĩ tâm I 2;0 , bán kính R  và nằm ngồi hình trịn 1 1  C cĩ tâm 2 O 0;0 và bán kính

2 3.

R 

Trang 36

Biểu thức: P x y     x y P 0 là họ đường thẳng  song song với đường y x

Các giao điểm của hai hình trịn là 3 3; , 3; 3

2 2 2 2

A    B  

   

P đạt giá trị nhỏ nhất khi đường thẳng  đi qua A.

Khi đường thẳng  qua điểm A, ta cĩ: 3 3 min 0 min 3 3.

2 2 PP 2



    

P đạt giá trị lớn nhất khi đường thẳng  tiếp xúc với đường trịn  C ta cĩ:1

Trang 37

BÀI 4 HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LƠGARITA KIẾN THỨC CO BẢN CẦN NẮM

1 Hàm số mũ

Định nghĩa

Hàm số y a ax 0; a được gọi là hàm số mũ cơ số a. 1

Tập xác định

Hàm số y a a x 0; a cĩ tập xác định là  1

Đạo hàm

Hàm số y a a x 0; a cĩ đạo hàm tại mọi x. 1

 ax 'axlna au 'auln 'a ulim x 0, lim x 1 ;xaxaa     lim x , lim x 0 0 1 xaxaa      Sự biến thiên

 Khi a hàm số luơn đồng biến.1 Khi 0  hàm số luơn nghịch biến.a 1

Đồ thị

Đồ thị hàm số cĩ tiệm cận ngang là trục Ox và luơn đi qua các

điểm    0;1 , 1; a và nằm phía trên trục hồnh.

2 Hàm số lơgarit

Định nghĩa

Hàm số ylogax a  0; a được gọi là hàm số lơgarit cơ1

số a.

Đặc biệt:  ex ' e x

Trang 38

Tập xác định

Tập xác định: 0; 

Đạo hàm

Hàm số ylogax a  0; a cĩ đạo hàm tại mọi x dương và1log ' 1lnaxx a Giới hạn đặc biệt0

lim loga , lim loga 1

xx  xxa      ;0

lim loga , lim loga 0 1

x

x  xxa



      

Sự biến thiên

 Khi a hàm số luơn đồng biến.1 Khi 0  hàm số luơn nghịch biến.a 1

Đồ thị

Đồ thị hàm số cĩ tiệm cận đứng là trục Oy và luơn đi qua các

điểm    1;0 , a ;1 và nằm bên phải trục tung.

Nhận xét: Đồ thị của các hàm số y a x và

loga

y xa0, a đối xứng với nhau qua đường thẳng 1

y x

Ứng dụng

1 Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà khơngtính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kìhạn trước khơng được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp,cho dù đến kì hạn người gửi khơng đến rút tiền ra.

Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng vớilãi đơn r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn

Đặc biệt:  lnx ' 1

x



Trang 39

lãi sau n kì hạn (n  ) là: * Sn  A nAr A1nr

2 Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi khơngrút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.

Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với

lãi kép r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn

lãi sau n kì hạn (n  ) là: * Sn  A1rn

3 Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một sốtiền vào một thời gian cố định.

Cơng thức tính: Đầu mỗi tháng, khách hàng gửi vào ngân

hàng số tiền A đồng với lãi kép r (% / tháng) thì số tiền kháchhàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (n  ) (nhận tiền*cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là Sn.

Ta cĩ SnA 1 rn 1 1 r

r  

     

4 Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng

Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r (% / tháng).Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng.

Cơng thức tính: 11 1nnnrXArSr      .

Khi đĩ số tiền cịn lại sau n tháng là

1 1  1nnnrSArXr   

5 Vay vốn trả gĩp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng vớilãi suất r (% / tháng) Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt

đầu hồn nợ; hai lần hồn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi

hồn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.

Cơng thức tính: Cách tính số tiền cịn lại sau n tháng giống

Trang 40

Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì Sn  nên01 1  1 0nnrArXr   

Suy ra mỗi lần hồn nợ số tiền là 

1 1 1nnArrXr  .

6 Bài tốn tăng lương: Một người được lãnh lương khởi

điểm là A (đồng/tháng) Cứ sau n tháng thì lương người đĩ đượctăng thêm r (% / tháng) Hỏi sau kn tháng, người đĩ lĩnh được

bao nhiêu tiền?

Cơng thức tính: Lương nhận được sau kn tháng là

1  1.kknrSAnr 

7 Bài tốn tăng trưởng dân số

Cơng thức tính tăng trưởng dân số:

1 m n, , ,

mn

X  X r  m n m n

Trong đĩ: r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m;

m

X dân số năm , m Xn dân số năm n.

Từ đĩ ta cĩ cơng thức tính tỉ lệ tăng dân số là % m nm 1

nXrX 8 Lãi kép liên tục

Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / năm) thì sốtiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm (n  ) là:*

1 n

n

S  A r

Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi

suất mỗi kì hạn là r %

mthì số tiền thu được sau n năm là: