A đặt vấn đề

A ĐẶT VẤN ĐỀ 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT TƯƠNG DƯƠNG 2  SÁNG KIẾN PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH HƯỚNG, TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ, TÌM GIỚI HẠN TỔNG LĨNH[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT TƯƠNG DƯƠNG  - SÁNG KIẾN PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH HƯỚNG, TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TỐN XÁC ĐỊNH CƠNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ, TÌM GIỚI HẠN TỔNG LĨNH VỰC: TỐN NHĨM TÁC GIẢ: TRẦN VĂN KHÁNH- PHĨ HIỆU TRƯỞNG NGUYỄN VĂN HUẤN- GIÁO VIÊN TOÁN SĐT: 0968632555 Năm học: 2021-2022 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A - PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Dãy số giới hạn dãy số phần kiến thức vô quan trọng chương trình tốn học phổ thơng, xuất nhiều đề thi học sinh giỏi Olympic, học sinh giỏi tỉnh, đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia Trong nhiều tốn, đơi “chiếc chìa khóa” phải xác định số hạng tổng quát dãy số, công việc không dễ dàng với em học sinh Mặc dù có nhiều tài liệu hướng dẫn cách xác định công thức số hạng tổng quát vấn đề chổ đối mặt với tốn dãy số em chưa có định hướng, tư xác để giải vấn đề Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi lớp 11 trường, thấy em học sinh khó khăn việc xác định số hạng tổng quát dãy số Vì áp dụng số biện pháp nhằm giúp em tiếp cận, tư định hướng giải tập dãy số tốt Để rút học cần thiết, lựa chọn học sinh lớp 11 qua kiểm tra phần điều tra phân loại chất lượng học tập tìm ngun nhân, từ thực biện pháp thích hợp q trình giảng dạy Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài Trình bày ý tưởng, cách suy nghĩ để tìm lời giải cho toán xác định số hạng tổng quát dãy số, giúp học sinh tiếp cận cách giải khác nhau, so sánh chúng từ tìm lời giải tối ưu cho tốn Qua đó, giúp em khơng cịn “ sợ” đối mặt với toán dãy số Định hướng cho học sinh tính giới hạn tổng thơng qua việc thu gọn tổng cách phân tích hạng tử tổng quát thành hiệu hạng tử nối tiếp để hạng tử triệt tiêu, cuối đưa tổng biểu thức cịn chứa xn , sau tìm limxn Đối tượng nghiên cứu Các tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số áp dụng tính giới hạn Các tốn tìm giời hạn tổng Giới hạn đề tài LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giới hạn đề tài dừng lại việc định hướng tìm lời giải cho tốn xác định công thức tổng quát số dãy số, từ áp dụng vào số tốn cụ thể Qua đó, người đọc trang bị thêm cho phương pháp xác định cơng thức tổng quát dãy số Đặc biệt áp dụng công thức lượng giác lý thuyết sai phân tuyến tính để giải vấn đề Phương pháp nghiên cứu Để áp dụng phần đề tài “ Phương pháp định hướng, tìm lời giải cho tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số, tìm giới hạn tổng’’ kết hợp sử dụng phương pháp phép lượng giác, lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính cấp cấp hai qua số chuyên đề mà thân học Nội dung đề tài nhằm cung cấp số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số có phân loại số tốn Đây đề tài mà tơi dạy cho học sinh, đặc biệt học sinh giỏi lớp chọn tài liệu cho học sinh đồng nghiệp tham khảo Trong đề tài tơi sử dụng số kết có tính hệ thống “ Lý thuyết phương trình sai phân” nhiên vấn đề áp dụng kiến thức toán học đại dừng lại số trường hợp đặc biệt giới hạn trường số thực B - PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lý luận Dựa cơng thức lượng giác dự đốn cơng thức số hạng tổng quát dãy số chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp tốn học Dựa vào lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính để xác định số hạng tổng quát dãy Dựa vào phương pháp đặt ẩn phụ để đưa dãy chưa xác định cấp số nhân thông qua dãy phụ để xác định số hạng tổng quát dãy cần tìm Thực trạng việc dạy học chuyên đề dãy số trường trung học phổ thơng + Về phía giáo viên Trong năm gần đây, hầu hết giáo viên trường tích cực đổi phương pháp giảng dạy chuyên đề dãy số ngoại lệ Tất thầy cô giáo tổ nhận thấy tầm quan trọng việc giúp học sinh xác định công thức số hạng tổng quát dãy số dãy số cho công thức truy hồi Các thầy cô nắm vững phương pháp xác định công thức số hạng tổng quát dãy số cố gắng truyền đạt cho học sinh Tuy nhiên, qua thăm dị ý kiến hầu hết thầy cô cho phần kiến thức “quá khó, vượt tầm” với hầu hết học sinh, em có cố gắng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com hiểu Một phận thầy cô tỏ chán nản dạy qua loa đại khái cho xong, hiệu mang lại chưa cao, học sinh không tiếp cận + Về phía học sinh: Phần lớn em ý thức tầm quan trọng dãy số, nhiên em thừa nhận học phần dãy số khó khăn, đặc biệt cách xác định công thức số hạng tổng quát Các em có nắm phương pháp khơng thể áp dụng với khác Nội dung hình thức giải pháp 3.1 Mục tiêu giải pháp Trang bị cho em học sinh kiến thức cách xác định công thức số hạng tổng quát, giúp học sinh định hướng tư tìm tịi lời giải Giới thiệu cho học sinh cách giải khác số tốn để em có nhìn đa chiều, so sánh đánh giá chúng để tìm cách giải tối ưu 3.2 Nội dung cách thức thực giải pháp 3.2.1 Sử dụng phép lượng giác  u1  Ví dụ 1: Xác định số hạng tổng quát dãy số sau:  u  2u  n1  n Cách giải 1: Ý tưởng: Dựa vào công thức truy hồi ta kiểm tra vài số hạng dãy u1  1 u2  1   2  1 u3         2 u4    un   LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ kết có ta dự đốn chứng minh cơng thức số hạng tổng quát phương pháp quy nạp Nhưng đẹp vậy, ta có cách giải thứ Cách giải 2: Ý tưởng: Từ hệ thức truy hồi ta liên tưởng đến công thức: cos2 x  2cos x 1 Do đó:  2 u1  cos , u2  2cos x 1  cos 3 4 8 2n1 u3  cos , u4  cos  un  cos 3 Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta được: un  cos 2n1   u1  Ví dụ 2: Xác định số hạng tổng quát dãy số sau:    u 2n1  un   2 Ý tưởng: Ta liên tưởng đến công thức sin x  cos x  1  u   sin , u      sin 2    2cos   1  cos  6     sin 2.6   u1  sin , u2  sin , u  sin , , un  sin n1 2.6 4.6 Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta dễ dàng chứng minh  un  sin n1 u   Tính Ví dụ 3: Cho dãy số ( un ) xác định  un1  1 u   n   n  (1  2)un1  u2021 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ý tưởng: Ta có: tan     un  Mà u1   tan   u2  un1  tan    tan un1 tan   tan   tan(   )    tan tan   Bằng quy nạp ta chứng minh u n  tan[  (n 1) ]  2020 Vậy u 2021  tan(  ) Ví dụ 4: Cho dãy số ( un ) xác định  u1   n  2;    u  n 1 un   Đặt: Sn  u  u  u   un Chứng minh: lim Sn  2,095 Đây tốn tìm giới hạn, nhiên ta phải xác định công thức tổng dãy tìm giới hạn  Ý tưởng: Ta có u   sin      sin  cos 2sin   u12   3.2  sin  u   2 2 3.221    2sin 2   sin  cos   u22 3.2 3.2  3.2  sin  u    2 2 3.231 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Dự đoán un  sin n1 Chứng minh quy nạp 3.2 lim Sn  u  u   un  u  1 n1  sin   sin  3.2   sin  3.2n1  sin  3.2n   Do sinx  x, x  (0; ) nên lim Sn    1 1   n    1    22 2n1       2    2.095   1  2  Bài tập áp dụng:  u1  Bài Cho dãy số xác định   un    un Xác đinh biểu thức un theo n u  v   0  2u v Bài Cho hai dãy số (un ) (v n ) xác định u  n n n1 un    vn1  un1vn Hãy xác định u n ; v n theo n Bài Cho hai dãy số (un )  u1  2n lim Tìm  n u  2u  1, n  n1  n LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài Cho hai dãy số (un ) u    u n  Tìm lim 2n.un  n  un  1 1 u2  n1  Bài Cho hai dãy số (un )  u1     u   u  u  n n 4n   n   ,   n  Tìm limun u u un ( n dấu căn) lim 2n Bài Cho dãy un     3.2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân có dạng u1   , a.un1  b.un  f n , n  N * Trong a, b,  số, a  f n đa thức theo n Dạng Tìm un thỏa mãn điều kiện u1   , a.un1  b un  (1.1) Trong a, b,  cho trước n  N * Ý tưởng 1: Đây cấp số nhân b b  b u   un , q   , u    un  u q n1      n1 a a  a n1 Ý tưởng 2: b Giải phương trình đặc trưng a.  b  để tìm    , un  q n (q a số), q xác định biết u1   Ví dụ 1: Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng công bội LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài giải : ta có u  1, q   un  2n1 Hoặc giải sau: un1  un , u1  (1.2) Phương trình đặc trưng có nghiệm   un  c.2n Từ u1  suy c  un  2n1 Dạng Tìm un thỏa mãn điều kiện u1   , aun1  bun  f n , n  N * (2 1) Trong f n đa thức theo n Ý tưởng 1: f b  un  n Đặt  un  a để chuyển cấp số nhân, sau tìm dãy Ta có u n1 a a suy dãy un Ý tưởng 2: Giải phương trình đặc trưng a.  b  ta tìm  ta có un  un0  un* un0 nghiệm phương trình (1.1) un* nghiệm riêng tùy ý phương trình khơng (2.1) Vậy un0  q. n q số xác định sau: Ta xác định un* sau: 1) Nếu   un* đa thức bậc với f n 2) Nếu  1 un*  n.g n với g n đa thức bậc với f n Thay un* vào phương trình, đồng hệ số ta tính hệ số un* Ví dụ 2: Tìm un thỏa mãn điều kiện u  2  un  3u n1 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cách giải 1: Đặt  un  a  un   a u v  a   a  3v  3a 1 Để cấp số nhân a   n1 n1 n1 Vậy  un  thay vào hệ thức truy hồi  3v , v  u     3n1 n1 1 2  1  un        3n1  2  2 Cách giải dài dòng nên ta dùng phương pháp sai phân tuyến tính cách giải sau nhanh Cách giải 2: B Nghiệm   3, un  c.3n  u*n mà u*n  B  u n1 ta có 5 1 B  3B 1  B   un  c.3n  , u  2  c   Vậy un  3n1  2 2 Và tốn dạng sau dùng phương pháp sai phân tuyến tính nhanh - u  10 Tìm un thỏa mãn điều kiện  un1  5un  8n  3n - u  Tìm un thỏa mãn điều kiện  un1  un  4n  Ví dụ 3: Tìm un thỏa mãn điều kiện u1  2; un1  un  2n, n  N * (2.2) Ý tưởng 1: 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải Phương trình đặc trưng   8  16  có nghiệm kép   Ta có un   A  B.n  4n (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu hệ phương trình  A 1 u0   A    u1  1  B .4  16  B  Vậy un  1  3n .4n Dạng Tìm un thỏa mãn điều kiện u1   , u2   , a.un1  b.un  c.un1  f n , n  2, (6.1) Trong a  0, f n đa thức theo n cho trước Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b.  c  để tìm  Khi dó ta có un  un0  un* , un0 nghiệm tổng quát phương trình a.un1  b.un  c.un1  un* nghiệm tùy ý phương trình a.un1  b.un  c.un1  f n Theo dạng ta tìm un0 , hệ số A, B chưa xác định , un* xác định sau: 1) Nếu   un* đa thức bậc với f n 2) Nếu   nghiệm đơn un*  n.g n , g n đa thức bậc với f n 3) Nếu   nghiệm kép un*  n.2 g n , g n đa thức bậc với f n , Thay un* vào phương trình đồng hệ số ta tính hệ số un* Biết u1 , u2 từ hệ thức un  un0  un* tính A, B Ví dụ 8: Tìm un thỏa mãn điều kiện u1  1; u2  0, un1  2un  un1  n  1, n  (6.2) 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải Phương trình đặc trưng   2   có nghiệm kép   ta có un  un0  un* un0   A  B.n  1n  A  Bn, un*  n  a.n  b  thay un* vào phương trình (6,2), ta  n  1 a  n  1  b   2n2  a.n  b    n  1 a  n  1  b   n  Cho n = 1, n = ta thu hệ phương trình  a   4  2a  b    a  b      9  3a  b    2a  b    a  b   b   Vậy n 1 un*  n    6 2 n 1 Do un  un0  un*  A  Bn  n    6 2 Mặt khác 1  A  B   1 A      11 1 B     A  B        3 2 Vậy un   11 n 1 n  n2    6 2 Dạng Tìm un thỏa mãn điều kiện u1   , u2   , aun1  bun  c.un1  d  n , n  (7.1) Phương pháp giải 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải phương trình đặc trưng a.  b.  c  để tìm  Khi ta có un  un0  un* , un0 xác định dạng hệ số A, B chưa xác định, un* xác định sau 1) Nếu    un*  k  n 2) Nếu    nghiệm đơn un*  k.n n 3) Nếu    nghiệm kép un*  k n.2  n Thay un* vào phương trình, dùng phương pháp đồng thức hệ số tính hệ số k Biết u1 , u2 từ hệ thức un  un0  un* tính A, B Ví dụ 9: Tìm un thỏa mãn điều kiện u1  0; u2  0, un1  2un  un1  3.2n , n  Giải Phương trình đặc trưng   2   có nghiệm kép   ta có un  un0  u1*n un0   A  B.n .1n  A  Bn, un*  k 2n Thay un* vào phương trình ta k 2n1  2k 2n  k 2n 1  3.2n  k  Vậy un*  6.2n  3.2n1 Do un  un0  un*  A  bn  3.2n1 (1) thay u1  1, u2  vào phương trình ta thu hệ 1  A  B  12 A    0  A  B  24  B  13 Vậy un   13n  3.2n1 Dạng Tìm un thỏa mãn điều kiện u1   , u2   , aun1  bun  c.un1  f n  g n , n  (8.1) Trong a  0, f n đa thức theo n g n  v. n Phương pháp giải 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có un  un0  u1*n  u2*n un0 nghiệm tổng quát phương trình aun1  bun  c.un1  , u1n* nghiệm riêng tùy ý phương trình * khơng aun1  bun  c.un1  f n , u2n nghiệm riêng tùy ý phương trình khơng aun1  bun  c.un1  g n Ví dụ 10: Tìm un thỏa mãn điều kiện u1  0; u2  0, un1  2un  3un1  n  2n , n  (8.2) Giải Phương trình đặc trưng   2   có nghiệm 1  1, 2  ta có un  un0  u1*n  u2*n un0  A  1  B.3n , u1*n  a  bn, u2*n  k 2n n Thay u1n* vào phương trình un1  2un  3un1  n , ta a  n  1  b   an  b    a  n  1  b   n   4a  1 n   a  b   Vậy a  b   Do un*  1  n  1 * Thay u2n vào phương trình un1  2un  3un1  2n , ta k 2n1  2.k 2n  3.k 2n1  2n  k   Do u2*n   2n   2n1 3 Vậy un  un0  u1*n  u2*n  A  1  B.3n  n 1  n  1  2n1 (8.3) Ta thay u1  1, u2  vào (8.3) ta hệ phương trình 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 61    A  B    A     48     A  9B     B  25   48 Vậy un   61 25 1 n  1  3n   n  1  2n1 48 48 Bài tập áp dụng: uO  1, u  16 u Bài 1: Cho dãy số  Tìm lim n1 un un2  8un1 16un u  1, u  Bài 2: Cho dãy số  un1  2un  un1  n  1, u  0, u  Bài 3: Cho dãy số  n un1  2un  un1  3.2 , n  uk Tìm lim k 12 n2 n n2 Tìm lim un 2n 3.2.4 Giới hạn tổng Các tốn tìm giới hạn tổng ta thu gọn tổng cách phân tích hạng tử tổng quát thành hiệu hạng tử nối tiếp để hạng tử triệt tiêu, cuối đưa tổng biểu thức cịn chứa xn , sau tìm limxn Ví dụ (Đề thi HSG Nghệ An 2018) un2  n  un  1  n Cho dãy số  un  , biết u1  6, un1  với n  n 1 1     un   u1 u2 Tính giới hạn: lim  Ý tưởng: un2  n  un  1  n phân tích biến đổi thành hiệu hạng n 1 1 1 1   Sau ta thu gọn tổng      tử un  uk uk  k uk 1   k  1  u1 u2 Từ giả thiết un1  20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... 1: 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com v  a( n  1)  b thay vào hệ thức Đặt  un  an  b  un   an  b, u n1 n1 truy hồi ta được:  2vn  2an  2a  2b+an+b+3n... 3u n1 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cách giải 1: Đặt  un  a  un   a u v  a   a  3v  3a 1 Để cấp số nhân a   n1 n1 n1 Vậy  un  thay vào hệ thức... trưng a.   b  ta tìm  ta có un  un0  un* Trong un0  c. n , c số ch? ?a xác định, un* xác định sau: 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1) Nếu    un*  A.  n 2)