PHƯƠNG PHÁP GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tư duy logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I PHƯƠNG PHÁP THẾ ĐẠI SỐ Trong mục này, chúng ta sẽ tìm hiểu một trong những ph[.]

CHƯƠNG I.NG I PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHNG TRÌNH I PHƯƠNG PHÁP THẾ ĐẠI SỐ Trong mục này, tìm hiểu phương pháp có tính ứng dụng mạnh mẽ nhiều phương pháp giải hệ Phương pháp xem công cụ mạnh mẽ để giải hệ, dù tính chất đơn giản tất bước kỷ thuật để giải hệ phương trình sau phải dùng để tìm kết Nó đóng vai trị trực tiếp gián tiếp để giải hệ phương trình Tuy nhiên, đề mục này, tìm hiểu lối giải toán giải trực tiếp phương pháp 1) Sử dụng phương pháp thế: Hệ phương trình giải phương pháp loại hệ cho hình thức sau :  y f  x   x f  y  k f  x, y  với số     k  g  x, y  0 g  x, y  0 g  x, y  0 f  x, y  k ( k số)  Đối với hệ có dạng :  g  x, y  0 Ta thường giải hệ phương pháp “hằng số k ” Để nhận biết hệ phương trình phương pháp số, ta cần ý đến “hằng số” phương trình hệ có giống có tương tác với để tạo đồng bậc, sau tìm cách xây dựng mối liên quan biến hệ thay số biến số Với cách thay “ số” để thành công thường thu phương trình phân tích nhân tử chung, phương trình giải phương pháp giải phương trình Có kỷ thuật thường áp dung  Kỷ thuật 1: Thế trực tiếp số để tạo nhân tử chung số hệ hữu tỉ, hệ chứa thức mà mối quan hệ biến có liên quan chặt chẽ tới số  Kỷ thuật 2: Thế trực tiếp số để tạo đồng bậc số hệ phương hữu tỉ, hệ chứa thức có dáng dấp đẳng cấp Mục tiêu quan sát hệ để tạo tạo đồng bậc phương trình hệ a) Kỷ thuật 1: Thế số trực tiếp hệ để tạo nhân tử chung Ví dụ 1: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình  2x  y  x  y   x  2x  1 7  2y   x, y    Giải hệ phương trình:   x  4x  1 7  3y Phân tích : Nhìn vào hệ phương trình xét, ta thấy hai phương trình hệ chứa số Do ý tưởng ta tìm mối liên quan biến xung quanh số xem ?   Ở phương trình thứ hai hệ biến đổi ta có : 4x  x  3y Mặt khác ta lại có : x  2x  1 7  2y  2x  x  2y Khi ta có : 4x  x  3y 2x  x  2y  2x  y 0 Vậy rõ ràng thay 4x  x  3y vào phương trình thứ hệ ta thu phương trình có nhân tử chung 2x  y Từ ta nhận thấy hệ giải phương pháp số Lời giải : Từ phương trình thứ hai hệ ta có : 4x  x  3y Thay vào phương trình thứ hệ ta thu phương trình :  2x  y  x  y   2x  x 4x  x  3y  2y  2x  y  x  y  2x  y     y  2x  2x  y  x  y  1 0    y 1  x    Với y 2x thay vào phương trình thứ hai hệ ta có phương trình : 4x  x  6x  2x  x  0 ( vô nghiệm)  Với y 1  x thay vào phương trình thứ hai hệ ta có phương trình :   17  17  y x  4 4x  x    x   2x  x  0     17  17  y x  4  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm   17  17    17  17   ; ;  ;    4     x; y    x  7y  x  y   x y  7x  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :  3x  y  8y  8x  x; y    Phân tích : Nhìn vào hệ phương trình, theo hướng tự nhiên thấy rõ ràng từ phương trình thứ hệ khai thác không khả thi Tuy nhiên, quan sát ta thấy hai phương trình hệ ta thấy hai có chứa số 4, điều ngẫu nhiên Ta thử mạnh dạn rút số theo biến thay vào phương trình thứ hệ xem ? Từ phương trình thứ hai hệ ta có : 8x  3x  y  8y Thay vào phương trình thứ hệ ta thu : x  7y x  2xy  y2  x y  7x  8x  3x  y  8y  x  x y  2x  2xy  15x  15y 0   x  y  x  2x  15 0   Và tới chuyện sáng tỏ hệ phương trình hồn tồn giải phương pháp số Lời giải : Từ phương trình thứ hai hệ ta có : 8x  3x  y  8y Thay vào phương trình thứ hệ ta thu : x  7y x  2xy  y2  x y  7x  8x  3x  y  8y  x  x y  2x  2xy  15x  15y 0   x  y  x  2x  15 0    x y  x y    x 3  x  2x  15 0  x   Với x y thay vào phương trình thứ hai hệ ta có: x  0 (vô nghiệm)  Với x 3 thay vào phương trình thứ hai hệ ta có:  y  y  8y  0    y   Với x  thay vào phương trình thứ hai hệ ta có: y  8y  119 0 (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm :  x; y    3;  1 ;  3;      x  y  x y  xy  xy  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình   x  y  xy   2x     x; y    (Khối A – 2008) Phân tích : Rõ ràng nhìn vào hệ ta thấy cách đặt để tốn, ta nghỉ đến lựa chọn số Tuy nhiên, với cách đặt để ta http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình cần có chút chuẩn bị trước để xem đường lối ta suy nghỉ trợ giúp phần trăm bước đường cụ thể hóa lời giải Khơng khó nhận thấy phương trình thứ hai chứa đẳng thức Thật vậy, ta có : 5 x  y  xy   2x    x  y  xy  4 Ở phương trình thứ hệ, ta thấy ta nhóm nhân tử ta thu   đại lượng x  y Thật ta có : 5  x  y   xy   xy  4 Nhận xét thay số cho ta khử đại lượng xy bắt x  y  x y  xy  xy    nhân tử chung đại lượng x  y Tới đây, ta nhận thấy hệ giải tốt phương pháp số Lời giải :   x  y   xy   xy  Hệ phương trình cho biến đổi thành hệ:   x  y  xy   Khi từ hệ ta có :   x  y   xy   xy  x  y      2  xy  x  y  xy  x  y 0     y  x    xy x  y  Với y  x thay vào phương trình thứ hai hệ ta thu phương 5 25 trình: x   x 3  y  4 16  Với xy x  y  thay vào phương trình thứ hai hệ ta thu phương trình : x y   x  y    2x  2y     x2  y    x  y  0  0  2x  2y  0  y   2x  Thay y  2x  vào phương trình thứ hai hệ ta thu phương trình : x 2x   2x    2x     2x  x  0  x    x      2        x  1 2x  2x  0  x 1  y    (vơ nghiệm) 2x  2x  0   25    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   1;   ;  ;    16      x  y   xy   xy  Bình luận : Với hệ phương trình  , ta nhận thấy  x  y  xy       ẩn phụ hóa để giải với việc ẩn phụ hóa hai biến u x  y, v xy đưa đối xứng Tuy nhiên ta dễ thấy hệ cấu tạo lỏng nên ta giải hệ phương pháp số  x  x  3y  4 y    x; y    Ví dụ 4: Giải hệ phương trình   xy    x  y  8 Phân tích : Nhìn vào hệ phương trình, ta thấy phương trình thứ hai hệ đối xứng với hai biến x, y phương trình thứ hệ biến lại đẳng cấp Đặc biệt hai phương trình hệ có tương đồng hai số , ta cần chọn thay hệ hệ số cho thuận tiện Khơng khó để nhận thấy hệ số gắn với biến cịn hệ số đóng vai trị hệ số tự thật Do đó, để thay có tính khả quan thay quan hệ biến hệ hệ số    x  3xy  4y 8 Ta biến đổi hệ phương trình cho trở thành:   x y  y x  4x  4y 8 Khi ta có: x y  y x  4x  4y x  3xy  4y   y  1 x  y  3y  x  4y  y  1 0     y  1 x   y   x  4y 0   y  1  x  y   x   0   Vậy rõ ràng hướng số thành công http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Lời giải :  x  3xy  4y 8 Hệ phương trình cho biến đổi thành hệ:  2  x y  y x  4x  4y 8 Từ hệ ta có: x y  y x  4x  4y x  3xy  4y   y  1 x  y  3y  x  4y  y  1 0    y 1   y  1 x   y   x  4y 0   y  1  x  y   x   0   y  x  x     Với y 1 thay vào phương trình thứ hệ ta có phương trình :   57 x  x  3x  12 0     57 x    Với y  x thay vào phương trình thứ hệ ta có phương trình : x 8 (vơ lí)  Với x  thay vào phương trình thứ hệ ta có phương trình:   17 y  y  3y  0     17 y   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:   57    57    17    17   ;1 ;  ;1 ;   4;  ;   4;  2           x; y   Ví dụ 5:  x y  xy  2y   x, y    Giải hệ phương trình  3 3  x y  x y  2xy  3xy  12y  Phân tích : Quan sát hệ cho, ta thấy hệ có cấu trúc gần giống với ví dụ xét Tuy nhiên trường hợp ta trực tiếp số  khả biến đổi đại số khó khăn việc bắt nhân tử chung Mặt khác quan sát hai phương trình hệ, ta nhận thấy hệ xét phương trình thứ hai có chứa đẳng thức liên quan đến phương trình thứ hệ 3 2 Thật ta có: x y   xy  1 x y  xy    Từ ta lên ý tưởng 2y x y  xy  vào phương trình thứ hai hệ để thực việc nhóm hạng tử bắt nhân tử chung Nhưng rõ ràng việc đòi hỏi khéo léo định thành cơng Hãy để ý xếp hệ phương trình biến y , từ ta nghỉ tới việc xét khả làm cho hệ có nghiệm y lược giản đưa hệ hệ dễ nhìn Khơng khó để nhận thấy hệ có nghiệm y 0 Do ta đưa hệ dạng :  x  x  y  y 2    x  x  2x 1  3x  12 1  0  y y y3  x  xt  t 2  3  x  t  x  2xt  12t  3x 0 Với hệ phương trình thứ hệ phương trình đẳng cấp bậc hai phương trình thứ hai hệ lại khơng có đặc biệt Tuy nhiên với nhận định ban đầu biết phương trình thứ hai hệ có xuất đẳng thức Với hệ ta đặt t  hệ trở thành : y 3 2 Thật vậy, ta có : x  t  x  t  x  xt  t   Với nhận xét ta có phương trình thứ hai hệ biến đổi thành phương trình : x  t  x  12t  2xt  3x 0   x  t  x  xt  t  x  2xt  12t  3x 0   Khi từ phương trình thứ hệ ta : x  xt  t vào phương trình vừa biến đổi ta thu phương trình :  x  t   x  2xt  12t  3x 0  x  x    2t  x   0 Tới đây, hệ xem thành công việc số Lời giải : Nhận xét y 0 không thỏa hệ phương trình cho Với y 0 ta biến đổi hệ cho trở thành :  x  x  y  y 2    x  x  2x 1  3x  12 1  0  y y y3  1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Đặt t  hệ  1 trở thành : y  x  xt  t 2  3  x  t  x  2xt  12t  3x 0 Từ phương trình thứ hai hệ ta biến đổi thành phương trình : x  t  x  12t  2xt  3x 0   x  t  x  xt  t  x  2xt  12t  3x 0   Kết hợp với phương trình thứ hệ ta có phương trình vừa biến đổi trở thành :  x  t   x  2xt  12t  3x 0  x  5x  2xt  10t 0  x   x  x    2t  x   0   x    x  2t  0    x 2t  Với x  ta thay vào phương trình thứ hệ ta : t  5t  23 0 (vơ lí)  Với x 2t tat hay vào phương trình thứ hệ ta được: 3t 2  t  6  Với t   y   6   6   ; ; Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    ;         Bình luận : Hệ phân tích giải phương pháp biến theo biến, nhiên hạn chế xử lý biến đổi đại số khơng thuận lợi địi hỏi khả biến đổi khéo léo Tuy nhiên, quan sát đặc biệt biến y ta cho phép biến đổi hệ trở nên dễ nhìn từ phép số phát huy tác dụng làm cho lời giải toán gọn nhẹ  x  2xy  x  3y   x, y    Ví dụ 6: Giải hệ phương trình  x  9y3  4x  9y  xy   x  y Phân tích : Quan sát hệ ta thấy hệ có cấu trúc vừa chứa thức vừa chứa phân thức, khó biết xuất phát từ đâu để thuận lợi cho việc giải hệ Thông thường với hệ kiểu hay xuất phát từ phương trình khơng chứa hệ Tuy nhiên, phương trình thứ hai hệ rõ ràng ta khó khai thác từ Phương trình thứ chứa thức lại dạng 10 f  x  g  x  nên ta sử dụng phép nâng lũy thừa để làm thức Mặt khác nâng lũy thừa làm giảm đại lượng x , sau ta cố gắng xem lại mối quan hệ biến với ? Ta có: x  2xy  x  3y  x  2xy  x  6xy  9y  4xy  9y 3 Quan sát vế phải phương trình hai hệ ta thấy có liên quan chặt chẽ với kết vừa thu x  9y3 x  9y3  4x  9y xy   4xy  9y xy   Thật vậy, ta có : x y x y   Khi thay vào ta biến đổi có phương trình : x  9y3 3  x  y  xy Vế trái vế phải phương trình biến đổi gợi hình ảnh đẳng thức nên ta có tìm mối liên hệ cho hai biến x, y nên giải tốt toán Như xem hệ thành công việc số  x  2xy  0 Lời giải : Điều kiện :   x  y 0 Từ phương trình thứ hệ ta có :  x  3y 0  x  3y 0 x  2xy  x  3y   2   4xy  9y 3  x  2xy   x  3y  Từ phương trình thứ hai hệ ta biến đổi trở thành phương trình : x  9y3  4xy  9y xy  x  y   1   Thay 4xy  9y vào  1 ta có : x  9y3 3xy  x  y    x  y  8y3  x 3y Thay x 3y vào phương trình thứ hệ ta có :  y 0 7 15y  6y    y  x 7 21y 3 2 7 ; Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình  x, y       x  x  4y 2   y    x, y    Ví dụ 7: Giải hệ phương trình   y x  4y 1 Phân tích : Hệ phương trình xét hệ chứa thức hình thức chưa giúp định hướng cho cách giải phương pháp http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 11 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Từ định dạng phương trình thứ hai hệ cho ta hướng biến đổi phương trình thứ hệ 2y  x  4y 4  x  Cụ thể ta biến đổi hệ trở thành :   y x  4y 1 Từ phương trình thứ hai hệ cấu trúc phương trình thứ hệ, giúp ta định hướng dùng phép nâng lũy thừa để khử bớt đại lượng làm xuất đại lượng có mặt phương trình thứ hai hệ Cụ thể ta có : 2y  x  4y 4  x  4y  4y x  4y  x  4y 16  2x  x  2y x  4y 8  x Rõ ràng tới ta nhận thấy cần thay hệ số y x  4y xem hệ giải trọn vẹn Lời giải : Điều kiện : x  4y 0 2y  x  4y 4  x   1 Hệ phương trình cho biến đổi thành hệ :  2  y x  4y 1 Từ phương trình thứ hệ (1) ta có : 2y  x  4y 4  x  4y  4y x  4y  x  4y 16  2x  x  2y x  4y 8  x  2 Thế y x  4y vào   ta có : 8  x  x 6 Thay x 6 vào (2) ta có :      5  y  y    y 36  4y 1     4y  36y  0 2   y   Đối chiếu điều kiện thử lại ta có nghiệm hệ phương trình là:          5   5   2       ;  6;   ;  6;  ;  6;          2 2         Bình luận : Hệ dùng ẩn phụ cách khác để giải Tuy nhiên, mắt “thế số” ta thấy toán giải gọn  x; y   6; 12 ... phương trình thứ hệ ta thu phương trình có nhân tử chung 2x  y Từ ta nhận thấy hệ giải phương pháp số Lời giải : Từ phương trình thứ hai hệ ta có : 4x  x  3y Thay vào phương trình thứ hệ. .. lời giải Hệ phương trình  2x  y  x  y   x  2x  1 7  2y   x, y    Giải hệ phương trình:   x  4x  1 7  3y Phân tích : Nhìn vào hệ phương trình xét, ta thấy hai phương trình. .. 0   Và tới chuyện sáng tỏ hệ phương trình hồn tồn giải phương pháp số Lời giải : Từ phương trình thứ hai hệ ta có : 8x  3x  y  8y Thay vào phương trình thứ hệ ta thu : x  7y x  2xy