CHƯƠNG I CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook tailieutoan9999@gmail com CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Dạng 1 Phân tích đa thức thành nhân tử bậc hai, bậc ba, bậc bốn Phương pháp giải ch[.]
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com CHUYÊN ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bậc hai, bậc ba, bậc bốn Phương pháp giải chung Dùng máy tính nhẩm nghiệm tổng hệ số đa thức có nghiệm x=1 Tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ đa thức có nghiệm x=-1 số HĐT đáng nhớ: 2 2 1, a b a b2 2ab a b 4ab 2, a b a b 2ab a b 4ab 2 3, a b2 a b 2ab a b 2ab 4, a b3 a b a ab b2 a b 3ab a b 5, a b3 a b a ab b2 a b 3ab a b 6, a b2 a b a b 2 7, a b a b 4ab 4 8, a b a b a b a b 2ab 2 9, a b4 a b 2ab ab 3 2 10, a b c 3abc a b c a b c ab bc ca 2 2 2 11, a a b b a ab b a ab b 2 12, a a a a 1 a a 1 Dạng 1.1: Phân tích đa thức thành nhân tử bậc hai Cách 1:Tách hạng tử bậc bx Tính a.c phân tích a.c tích hai thừa số ac = a1c1 = a2c2 = Chọn hai thừa số có tổng b , chẳng hạn : ac = a1c1 với a1 + c1 = b Tách bx = a1x + c1x Dùng phương pháp nhóm số hạng để phân tích tiếp Cách 2:Tách hạng tử bậc ax2 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com 2 Ta thường làm làm xuất đẳng thức: a b a b a b Cách 3:Tách hạng tử tự c Ta tách c thành c1 c2để dùng phương pháp nhóm hạng tử tạo đẳng thức cách c1 nhóm với ax2 cịn c2 nhóm với bx Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a x x HD: Ta có: 3.4 = 12 = 2.6 , mà + = 2 Nên ta được: 3x x 3 x x x 3x x b x x HD: Cách 1: Tách hạng tử thứ 2: 3x x 3 x x x 3 x x x x 3x 2 Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x x x x x x 3x c x 11x HD: x 11x 28 x x d x x 24 HD: x x 24 x x 3 e x x HD: x x x 1 x f)3x2 – 7x + 2; Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com HD: 3x2 – 7x + = 3x2 – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x HD: Ta có: 3x x x x x x x x 3x Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x x HD: x x 16 12 3x 12 x 16 x x b) x x HD: x x x x 1 x 1 22 x 1 x c) x 12 x HD: x 12 x x 12 x 3x 32 x 3x 1 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 2001.2002 HD: 2 2 Ta có: x x 2001 2001 1 x x 2001 2001 x 2001 x 2001 x 2011 x 2011 x 2011 x 2011 x 2012 Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 2017.2018 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com HD : 2 Ta có: x x 2017.2018 x 2017 x 2018 x 2017.2018 x 2017 x 2018 Dạng 1.2: Phân tích đa thức thành nhân tử bậc ba Chú ý: Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a 4a 29a 24 HD: Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm 1,3 -8, nên có chứa nhân tử (a - 1), (a - 3) (a + 8), 3 2 Ta có: a 4a 29a 24 a a 5a 5a 24a 24 a a 1 5a a 1 24 a 1 a 1 a 5a 24 = a 1 a 3 a Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 x 11x HD : Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên -1, -2, -3, nên ta phân tích : x3 x 11x x 1 x x Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 x 17 x HD : Bấm máy tính cho ta có nghiệm x , nên có nhân tử : (3x - 1) nên ta có : 3x3 x 17 x 3x3 x x x 15 x x x 1 x 3x 1 3x 1 3x 1 x x Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 x x HD : Bấm máy tính cho ta có nghiệm x , nên có nhân tử : (2x - 1) Nên ta có : x3 x x 2 x3 x x x x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 14 x x Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com HD : Bấm máy tính cho ta nghiệm : x 1 nên có nhân tử : (3x + 1) Ta có : 3x3 14 x x 3x3 x 15 x x x x 3x 1 x 3x 1 3x 1 3x 1 x x 3 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x x HD : Cách : bấm máy tính cho ta nghiệm : x= -1 x= -2 Như ta có : x x x x 1 x Cách : Nhận xét : Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử là: x + Như ta có : x3 x x x3 x x x x x 1 x Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x HD : Ta nhận thấy nghiệm f(x) có x 1, 2 4 Chỉ có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhận tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – 3 2 Cách 1: x x x x x x x x x x 3 2 Cách 2: x x x x 4 x x x x x Bài 8: Phân tích đa thức P(x) = x3 – 2x – thành nhân tử HD: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – có số nghiệm x = Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x) Chia đa trhức P(x) = x3 – 2x – cho nhị thức x – , ta thương số Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Suy P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy P(x) = x3 – 2x – = ( x- 2)(x2 + 2x + 2) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 x HD : Ta có ước là: 1; 2; 4 Nhận thấy x = -2 nghiệm đa thức đa thức có nhân tử là: x – (-2) = x + x3 x x ( x 2) ( x x 2) 0 Hoặc: ( x3 8) ( x 4) ( x 2)( x x 2) b) x3 x x HD : Nhận thấy x = -1 nghiệm đa thức nên có nhân tử là: x + 2 x3 x x ( x x ) (4 x x) (4 x 4) ( x 1)( x 2) c) x3 19 x 30 HD : Ta có x = -3 nghiệm nên có nhân tử x +3 x3 19 x 30 x 3x 3x x 10 x 30 ( x 3)( x 3x 10) ( x 3)( x 2)( x 5) d) x x x 10 HD : Ta có: x = -1 nghiệm đa thức nên có nhân tử là: x +1 x3 x x 10 x3 x 3x 3x 10 x 10 ( x 1)( x 2)( x 5) e) 3x x 17 x HD: Các ước là: 1; 5 Nhận thấy đa thức nghiệm ngun, ta tìm nghiệm hữu tỷ đa thức Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com x p U ( 5) p q q U (3) Ta thấy nghiệm đa thức x 1 nên có nhân tử x hay 3x -1 3 Vậy: 3x3 x 17 x 3x x x x 15 x (3 x 1)( x x 5) Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 x ( x x 1) ( x x 1)3 HD : x3 3x ( x x 1) ( x x 1)3 2 x3 3x y y 2 x ( x y ) y ( x y )( x y ) ( x y )(2 x y xy ) ( x y )( x y )(2 x y ) ( x y ) (2 x y ) Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 5x2 + 8x – HD : x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x x HD : Dạng 1.3: Phân tích đa thức thành nhân tử bậc bốn e d 2 Chú ý: P( x) ax bx cx dx e ( ) (a 0) b a Cách giải: P( x) x [(ax Đặt t x e d e d ) (bx ) c]=x 2[a(x ) b( x ) c] x x a.x bx d d d t x ( )2 bx b b x Bài 1: Phân tích thành nhân tử: P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 HD: Đặt y = x2 ,có Q(y) = 6y2 + 19y + 15 Tìm m, n cho m.n = 90 m + n = 19 với m < 19, n < 19 Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com 6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15 = 3y(2y + 3) + 5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5) Do dó P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5) Bài 2: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 3x + thành nhân tử HD: Đa thức dạng: P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = k = -1 Cách giải: Đặt y = x2 + k biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử ay2 + bxy sử dụng HĐT Giải: Đặt y = x2 – suy y2 = x4 – 2x2 + Biến đổi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x = 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5x Từ Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 Tìm m, n cho m.n = - 10x2 m + n = 3x chọn m = 5x , n = - 2x Ta có : Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 = 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2 = 2y(y – x) + 5x(y – x) = ( y – x)( 2y – 5x) Do dó , P(x) = (x2 – x – )(2x2 + 5x – 2) Bài 3: Phân tích P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + thành nhân tử HD: Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2 Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử y2+ bxy sử dụng HĐT Giải: Dễ thấy b = 1, d = 2, e =4 đặt y = x2 – suy y2 = x4 – 4x2 + Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Biến đổi P(x) = x4 – 4x2 + – x3 – 6x2 + 2x = (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2 Từ Q(y) = y2 – xy – 6x2 Tìm m, n cho m.n = - 6x2 m + n = - x chọn m = 2x, n = -3x Ta có Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2 = y(y + 2x) – 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y – 3x) Do dó, P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2) Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – HD: Ta nhận thấy đa thức P(x) có nghiệm phân biệt -1 Vì P(-1) = P(2) = Do P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x – x – , ta thương phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + = (x + 1)2 + Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Bài 5: Phân tích đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử HD: Các ước 18 ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 f(1) = –18, f(–1) = –44, nn ± khơng phải l nghiệm f(x) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Dễ thấy khơng l số nguyn nn –3, ± 6, ± 9, ± 18 khơng l nghiệm f(x) Chỉ cịn –2 v Kiểm tra ta thấy l nghiệm f(x) Do đó, ta tách hạng tử sau : = (x – 3)(4x2 – x + 6) Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x 21x3 30 x 105 x 50 b x x x x c) x x x x 1( x 0) HD: a P( x) 2 x 21x 30 x 105 x 50 P( x ) x (2 x 30 21x x Đặt t x t x 105 50 25 ) x [2(x ) 21( x ) 30] x x x x 25 25 2.x x t 10 x x x G (t ) 2(t 10) 21t 30 2t 21t 50 (t 2)(2t 25) 5 P( x ) x [2(x+ ) 25][(x+ ) 2] (2 x 25 x 10)(2 x x 5) x x d b b x x x 3x 1[( ) ( e ) 1 ] 3 a 1 P( x ) x ( x x ) x [(x ) 3( x ) 6] x x x x Đặt x 1 t t x x t ; G (t ) t 3t t 3t (t 1)(t 4) x x x P( x) x ( x 1 1)( x 4) ( x x 1)( x x 1) x x c x x3 x x 1( x 0) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 ... 9x - 18 thành nhân tử HD: Các ước 18 ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 f(1) = – 18, f(–1) = –44, nn ± khơng phải l nghiệm f(x) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook:... thành nhân tử: x 20 08 x 2007 x 20 08 HD: x 2008x 2007 x 20 08 x x 2007 x 2007 x 2007 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com... x 2017.20 18 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN facebook: tailieutoan9999@gmail.com HD : 2 Ta có: x x 2017.20 18 x 2017 x 20 18 x 2017.20 18 x 2017