Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Chuyên đề tìm GTLN, GTNN (Dành cho bồi dỡng HSG lớp 8) 1 Khái niệm cực trị biểu thức
Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S xác định Nếu với giá trị biến (x0, y0, z0) S mà ta có: P(x0, y0, z0) P(x, y, , z)
hc P(x0, y0, z0) P(x, y, , z) th× ta nãi P(x, y, , z) lín nhÊt nhỏ (x0, y0,
z0) miÒn S
P(x, y, , z) đạt giá trị lớn (x0, y0, z0) S gọi P đạt cực đại (x0, y0,
z0) Pmax (x0, y0, z0) Tơng tự ta có: P đạt giá trị nhỏ (x0, y0, z0) S
còn gọi P đạt cực tiểu (x0, y0, z0) Pmin (x0, y0, z0)
Giá trị lớn nhất, nhỏ P miền xác định S gọi cực trị P miền S
Nguyên tắc chung tìm cực trị biểu thức
Tìm cực trị biểu thức miền xác định vấn đề rộng phức tạp, nguyên tắc chung là:
*) Để tìm giá trị nhỏ biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai bớc:
- Chứng tỏ P k ( với k số ) với giá trị biến miền xác định S
- Chỉ trờng hợp xảy dấu đẳng thức
*) Để tìm giá trị lớn biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai bớc:
- Chứng tỏ P k ( với k số ) với giá trị biến miền xác định S
- Chỉ trờng hợp xảy dấu đẳng thức
Chú ý không đợc thiếu bớc hai bớc trên.
VÝ dô: Cho biÓu thøc A = x2 + (x - 2)2
Một học sinh tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc A nh sau: Ta cã x2 ; (x - 2)2 nªn A 0.
Vậy giá trị nhỏ A Lời giải có khơng? Giải:
Lời giải không Sai lầm lời giải chứng tỏ A nhng cha đợc trờng hợp xảy dấu đẳng thức Dấu đẳng thức khơng xảy ra, khơng thể có đồng thời:
(2)Lời giải là:
A = x2 + (x - 2)2 = x2 + x2 - 4x +4 = 2x2 - 4x +
= 2(x2 -2x - +1) + = 2(x - 1)2 + 2
Ta cã: (x - 1)2 , ∀ x
⇒ 2(x - 1)2 + ∀ x
⇒ A ∀ x Do A = x =
Vậy giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A b»ng víi x = KiÕn thøc cÇn nhí:
Để tìm cực trị biểu thức đại số, ta cần nắm vững:
a) Các tính chất bất đẳng thức, cách chứng minh bất đẳng thức b) Sử dụng thành thạo số bất đẳng thức quen thuộc:
* a2 0, tæng quát: a2k (k nguyên dơng)
Xảy dấu đẳng thức ⇔ a =
* -a2 0, tỉng qu¸t: -a2k (k nguyên dơng)
Xy du ng thức ⇔ a =
* |a|≥0 (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = 0) * |a|≤ a ≤|a| (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = 0) * |a|+|b|≥|a+b| (Xảy dấu đẳng thức ⇔ ab 0)
* |a|−|b|≥|a − b| (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a b a b 0)
* 1
2 a
a
,
∀
a >0 vµ 1
2 a
a
,
∀
a <0
*
2
2
a b a b ab
∀ a,b (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = b)
*
1
,
a b ab
a b
(Xảy dấu đẳng thức ⇔
a = b)
II - c¸c biƯn ph¸p thùc hiƯn
(Một số dạng toán cực trị đại số)
(3)
Dạng 1: toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của mét biĨu thøc lµ tam thøc bËc hai.
VÝ dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức. A(x) = x2- 4x+1
Trong x biến số lấy giá trị thực H
íng dÉn gi¶i :
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi dạng A(x) k (k số) với giá trị biến trờng hợp xảy đẳng thức
Lêi gi¶i: A(x) = x2- 4x+1
= x2- 2.2x+1
= (x2- 2.2x+4)- 3
= (x- 2)2- 3
Víi giá trị x: (x - 2)2 0 nên ta cã:
A(x) = (x- 2)2- 3 -3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ -3 x=2 Đáp số: A(x)nhỏ = - với x=2
VÝ dô 2 : Tìm giá trị lớn biểu thức B(x) = -5x2- 4x+1
Trong x biến số lấy giá trị thực H
íng dÉn gi¶i :
Gợi ý: Để tìm giá trị lớn biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đa B(x) về dạng B(x) k (k số) với giá trị biến giá trị lớn B(x)= k xảy đẳng thức
Lêi gi¶i: B(x) = -5x2 – 4x+1
2
5
5
x x
2
2 2
5
5 5
x x
(4)2 5 25 x 2 4 5 1 5 5 x 2 5 x
Với giá trị x:
2 x
nªn
2 5 x
suy ra: B(x)=
2
2 9 ( )
5 5
B x x
Vậy B(x)đạt giá trị lớn B(x)=
5, x =
Đáp sè: B(x)lín nhÊt =
9
5 víi x =
VÝ dô 3: (Tỉng qu¸t)
Cho tam thøc bËc hai P = ax2 +bx + c
Tìm giá trị nhỏ P a > Tìm giá trị lín nhÊt cđa P nÕu a <
H
íng dÉn gi¶i :
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) P ta cần phải biến đổi cho P = a.A2(x) + k Sau xét với trờng hợp a>0 a<0 để tìm giá trị nhỏ lớn
nhÊt
Lêi gi¶i:
P = a.A2(x) + k
= a (x2 + b
ax) + c
¿a(x2+2 x b
2a+ b2
4a2)+c − b2
4a2
2
2
b
a x k
a
víi
(5)Do
2
b x
a
nên:
+Nếu a>0
2
b a x
a
P k
+NÕu a<0 th×
2
b a x
a
P k
VËy b x
a
th× P có giá trị nhỏ k (nếu a>0) giá trị lớn k (nếu a<0)
Dạng 2: toán tìm giá trị nhỏ nhất,giá tri lớn nhÊt cđa ®a thøc bËc cao:
VÝ dơ4:
Tìm giá trị nhỏ A = (x2 + x + 1)2
H
íng dÉn gi¶i :
(?) Ta nhËn thÊy A = (x2 + x + 1)2 0, nhng giá trị nhỏ A có phải hay không? Vì sao?
Trả lời : Mặc dù A nhng giá trị nhỏ A vì: x2 + x +1 ≠
Do Amin (x2 + x +1)min
(?) HÃy tìm giá trị nhỏ x2 + x +1? tìm giá trị nhỏ A?
Trả lời: Ta có x2 + x +1 =
2 2 1 1 1
2 4
x x
1 3
2 4
x
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa x2 + x + b»ng
3 4 víi
1
x
Trả lời: Giá trị nhỏ A b»ng
3
4 16
víi
1
x
VÝ dô 5:
Tìm giá trị nhỏ
(6)H
ớng dẫn giải : Gợi ý: -H·y viÕt biĨu thøc díi d¹ng A2(x) + B2(x) 0
-Xét xem xảy dấu đẳng thức nào? Giá trị nhỏ biểu thức bao nhiêu?
Lêi gi¶i: x4 - 6x3 + 10x2 - 6x +9
= x4 - 2.x2.3x + (3x)2 + x2 - 2x.3 +32 = (x2 - 3x)2 + (x - 3)2 0
Xảy đẳng thức khi:
x2–3x = 0 x(x-3) = 0 x = 0
x = x = x – = x – = x =
Vậy giá trị nhỏ cđa biĨu thøc b»ng víi x = Đáp số: Giá trị nhỏ biểu thức b»ng víi x = 3
Dạng 3: tốn Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ A = x - 1 + x - 3 H
íng dÉn gi¶i :
Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối phải nghỉ tới khoảng nghiệm định nghĩa giá trị tuyệt đối biểu thức
A NÕu A A =
- A NÕu A
Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ A, ta tính giá trị A khoảng nghiệm So sánh giá trị A khoảng nghiệm để tìm giá trị nhỏ A
Lêi gi¶i
(7)Do x < nên -2x > -4 A = - 2x >3 + Trong khoảng x x - 2 = x -
x - 5 = - (x - 5) = - x
⇒ A = x - + - x = + Trong kho¶ng x > th× x - 2 = x -
x - 5 = x -
⇒ A = x - + x - = 2x -
Do x > nên 2x > 10 A = 2x – >
So sánh giá trị A khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ cđa A b»ng vµ chØ x
Đáp số: Amin = x
Cách 2: Ta sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối tổng nhỏ bằng tổng giá trị tuyệt đối.Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Lêi gi¶i: A = x - 2+ x = x - 2+ 5 x Ta cã: x - 2 + 5 - x x - + - x =
x - 2
A = (x - 2) (5 - x)
5 - x
x Vậy giá trị nhỏ nhÊt cđa A b»ng vµ chØ x
dạng 4: Bài toán Tìm gtnn, gtln phân thức có tử là hằng số, mẫu tam thøc bËc hai
VÝ dô 7 : Tìm giá trị lớn của 4x - 4x
M
H
(8)Gỵi ý: Sư dơng tÝnh chÊt a b, ab >0
⇒ 1
a b hoặc theo quy tắc so sánh hai phân số tử, tử mẫu dơng
Lêi gi¶i:
XÐt M =
4x - 4x 5 =
3
(2 )x 4x 1 4 = (2x -1) 4
Ta thÊy (2x - 1)2 nªn (2x - 1)2 + 4
Do đó:
3
(2x -1) 4 4
Tr¶ lêi: VËy M lín nhÊt b»ng
4 2x – = => x =
Đáp số: Mlớn nhất=
3
4 với x =
VÝ dơ 8: T×m giá trị nhỏ
1 2x - x -
B
H
íng dÉn gi¶i :
Ta cã: B =
2x - x - 4 =
1 x - 2x
=
1 (x - 1)
V× (x - 1)2 => (x + 1)2 + 3
=>
1
(x - 1) 3 => -
1
(x - 1) 3
VËy B nhá nhÊt b»ng
x 1= => x =1
Đáp sè: Mnhá nhÊt =
1
víi x =
(9)Lập luận dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức
1
x2−3
MÉu thức x2 - có giá trị nhỏ -3 x = 0
Nhng víi x = th×
1
3
x giá trị lớn phân thức
Chẳng hạn với x = th×
1
1
3
x
Nh vËy tõ -3 < kh«ng thĨ suy -
1
Vậy từ a < b suy đợc
1
a b a vµ b dấu
dạng 5:Bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn phân thức có mẫu bình phơng nhị thức
Ví dụ Tìm giá trị nhỏ
2
1 ( 1)
x x
A x
C¸ch :
Gợi ý: Hãy viết tử thức dới dạng lũy thừa x + 1, đổi biến cách viết A d-ới dạng tổng biểu thức lũy thừa
x+1 Từ tìm giá trị nhỏ A
Lêi gi¶i: Ta cã: x2 + x + = (x2 + 2x + 1) - (x +1) + 1
= (x + 1)2 - (x + 1) + 1
Do A =
2
2 2
( 1) ( 1) 1
1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x x
A
x x x x x
Đặt
1
y x
biểu thức A trở thành: A = - y + y2
Ta cã: A = - y + y2 = y2 – 2.y
2 + ( )2 +
3
= (y −1
2)
2
+
4
3
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa A b»ng
(10)y=−1
2=0⇒y=
2⇔
1
x+1=
1
⇔ x + = x =
Đáp sè: Anhá nhÊt =
4 x =
C¸ch 2:
Gợi ý: Ta viết A dới dạng tổng số với biểu thức khơng âm Từ tìm giá trị nhỏ A
Lêi gi¶i: A=x
2 +x+1 (x+1)2 =
4x2+4x+1
4(x+1)2 =
3x2+6x+3+x2−2x+1
4(x+1)2
x −1¿2 ¿
x+1¿2
4¿
x+1¿2+¿
3¿
A=¿
x −1¿2 ¿
x+1¿2
4¿ ¿
A=3
4+¿
A=3
4+[
x −1 2(x+1)]
2
3
A
(v×
2
1
0 2( 1)
x x
)
Vậy giá trị nhỏ A
4 x-1=0 ⇒ x=1
Đáp số: Anhỏnhất=
3
(11)dạng 6: toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn cña mét
biểu thức đại số cách đa dạng
( )
A x
k (hc
2 ( )
0
A x
k ) Ví dụ 10:
Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc:
2
3 10 ( )
2
x x
M x
x x
(Víi x thuéc tập hợp số thực) H
ớng dẫn giải : Gỵi ý: Tõ M(x) = 3x
2
+6x+10
x2+2x+3 ta cã:
M(x) = 3x
+6x+9+1
x2+2x+3 =
3(x2+2x+3)+1 x2
+2x+3
(?) Ta chia tử thức mẫu thức biểu thức cho x2 + 2x + đợc khơng? Vì sao?
Trả lời: Vì x2 + 2x + = x2 + 2x + + = (x+1)2 > với giá trị x nên sau
khi chia tử mẫu cho x2 + 2x + ta đợc
M(x) =
1
(x 1)
(?) Bài toán xuất điều mới?
Trả lời: Bài toán trở thành tìm giá trị lớn biểu thức (x2) 2
(?) H·y t×m giá trị lớn
1
(x) 2 từ suy giá trị lớn M(x) Trả lời: Vì (x+1)2 0 Với x
Nªn (x+1)2 + víi mäi x
Do
1
(12)2
1 1
( ) 3
( 1) 2
M x
x
DÊu “=” x¶y x+1=0 hay x=-1
Vậy giá trị lớn M(x) =
2 vµ chØ x=-1
Đáp số: M(x)Lớn =
1
2 víi x = -1
Email: info@123doc.org