Chuyên đề BỒI DƯỠNG HSG toán 8

[r]

Chuyên đề tìm GTLN, GTNN (Dành cho bồi dỡng HSG lớp 8) 1 Khái niệm cực trị biểu thức

Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S xác định Nếu với giá trị biến (x0, y0, z0) S mà ta có: P(x0, y0, z0) P(x, y, , z)

hc P(x0, y0, z0) P(x, y, , z) th× ta nãi P(x, y, , z) lín nhÊt nhỏ (x0, y0,

z0) miÒn S

P(x, y, , z) đạt giá trị lớn (x0, y0, z0) S gọi P đạt cực đại (x0, y0,

z0) Pmax (x0, y0, z0) Tơng tự ta có: P đạt giá trị nhỏ (x0, y0, z0) S

còn gọi P đạt cực tiểu (x0, y0, z0) Pmin (x0, y0, z0)

Giá trị lớn nhất, nhỏ P miền xác định S gọi cực trị P miền S

Nguyên tắc chung tìm cực trị biểu thức

Tìm cực trị biểu thức miền xác định vấn đề rộng phức tạp, nguyên tắc chung là:

*) Để tìm giá trị nhỏ biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai bớc:

- Chứng tỏ P k ( với k số ) với giá trị biến miền xác định S

- Chỉ trờng hợp xảy dấu đẳng thức

*) Để tìm giá trị lớn biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai bớc:

- Chứng tỏ P k ( với k số ) với giá trị biến miền xác định S

- Chỉ trờng hợp xảy dấu đẳng thức

Chú ý không đợc thiếu bớc hai bớc trên.

VÝ dô: Cho biÓu thøc A = x2 + (x - 2)2

Một học sinh tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc A nh sau: Ta cã x2 ; (x - 2)2 nªn A 0.

Vậy giá trị nhỏ A Lời giải có khơng? Giải:

Lời giải không Sai lầm lời giải chứng tỏ A nhng cha đợc trờng hợp xảy dấu đẳng thức Dấu đẳng thức khơng xảy ra, khơng thể có đồng thời:

Lời giải là:

A = x2 + (x - 2)2 = x2 + x2 - 4x +4 = 2x2 - 4x +

= 2(x2 -2x - +1) + = 2(x - 1)2 + 2

Ta cã: (x - 1)2 , ∀ x

⇒ 2(x - 1)2 + ∀ x

⇒ A ∀ x Do A = x =

Vậy giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A b»ng víi x = KiÕn thøc cÇn nhí:

Để tìm cực trị biểu thức đại số, ta cần nắm vững:

a) Các tính chất bất đẳng thức, cách chứng minh bất đẳng thức b) Sử dụng thành thạo số bất đẳng thức quen thuộc:

* a2 0, tæng quát: a2k (k nguyên dơng)

Xảy dấu đẳng thức ⇔ a =

* -a2 0, tỉng qu¸t: -a2k (k nguyên dơng)

Xy du ng thức ⇔ a =

* |a|≥0 (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = 0) * |a|≤ a ≤|a| (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = 0) * |a|+|b|≥|a+b| (Xảy dấu đẳng thức ⇔ ab 0)

* |a|−|b|≥|a − b| (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a b a b 0)

* 1

2 a

a

 

,

∀

a >0 vµ 1

2 a

a

 

,

∀

a <0

*

2

2

a b  a b  ab

  

  ∀ a,b (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = b)

*

1

,

a b ab

a b

   

(Xảy dấu đẳng thức ⇔

a = b)

II - c¸c biƯn ph¸p thùc hiƯn

(Một số dạng toán cực trị đại số)

Dạng 1: toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của mét biĨu thøc lµ tam thøc bËc hai.

VÝ dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức. A(x) = x2- 4x+1

Trong x biến số lấy giá trị thực H

íng dÉn gi¶i :

Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi dạng A(x) k (k số) với giá trị biến trờng hợp xảy đẳng thức

Lêi gi¶i: A(x) = x2- 4x+1

= x2- 2.2x+1

= (x2- 2.2x+4)- 3

= (x- 2)2- 3

Víi giá trị x: (x - 2)2 0 nên ta cã:

A(x) = (x- 2)2- 3 -3

Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ -3 x=2 Đáp số: A(x)nhỏ = - với x=2

VÝ dô 2 : Tìm giá trị lớn biểu thức B(x) = -5x2- 4x+1

Trong x biến số lấy giá trị thực H

íng dÉn gi¶i :

Gợi ý: Để tìm giá trị lớn biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đa B(x) về dạng B(x) k (k số) với giá trị biến giá trị lớn B(x)= k xảy đẳng thức

Lêi gi¶i: B(x) = -5x2 – 4x+1

2

5

5

x x

 

   

 

2

2 2

5

5 5

x x

     

             

 

2 5 25 x                 2 4 5 1 5 5 x           2 5 x         

Với giá trị x:

2 x      

  nªn

2 5 x         

suy ra: B(x)=

2

2 9 ( )

5 5

B x  x     

Vậy B(x)đạt giá trị lớn B(x)=

5, x =

Đáp sè: B(x)lín nhÊt =

9

5 víi x =



VÝ dô 3: (Tỉng qu¸t)

Cho tam thøc bËc hai P = ax2 +bx + c

Tìm giá trị nhỏ P a > Tìm giá trị lín nhÊt cđa P nÕu a <

H

íng dÉn gi¶i :

Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) P ta cần phải biến đổi cho P = a.A2(x) + k Sau xét với trờng hợp a>0 a<0 để tìm giá trị nhỏ lớn

nhÊt

Lêi gi¶i:

P = a.A2(x) + k

= a (x2 + b

ax) + c

¿a(x2+2 x b

2a+ b2

4a2)+c − b2

4a2

2

2

b

a x k

a

      

  víi

Do

2

b x

a

     

nên:

+Nếu a>0

2

b a x

a

     

  P k

+NÕu a<0 th×

2

b a x

a

     

  P k

VËy b x

a 

th× P có giá trị nhỏ k (nếu a>0) giá trị lớn k (nếu a<0)

Dạng 2: toán tìm giá trị nhỏ nhất,giá tri lớn nhÊt cđa ®a thøc bËc cao:

VÝ dơ4:

Tìm giá trị nhỏ A = (x2 + x + 1)2

H

íng dÉn gi¶i :

(?) Ta nhËn thÊy A = (x2 + x + 1)2 0, nhng giá trị nhỏ A có phải hay không? Vì sao?

Trả lời : Mặc dù A nhng giá trị nhỏ A vì: x2 + x +1 ≠

Do Amin (x2 + x +1)min

(?) HÃy tìm giá trị nhỏ x2 + x +1? tìm giá trị nhỏ A?

Trả lời: Ta có x2 + x +1 =

2 2 1 1 1

2 4

x  x   

1 3

2 4

x

 

    

 

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa x2 + x + b»ng

3 4 víi

1

x

Trả lời: Giá trị nhỏ A b»ng

3

4 16

    

  víi

1

x 

VÝ dô 5:

Tìm giá trị nhỏ

H

ớng dẫn giải : Gợi ý: -H·y viÕt biĨu thøc díi d¹ng A2(x) + B2(x) 0

-Xét xem xảy dấu đẳng thức nào? Giá trị nhỏ biểu thức bao nhiêu?

Lêi gi¶i: x4 - 6x3 + 10x2 - 6x +9

= x4 - 2.x2.3x + (3x)2 + x2 - 2x.3 +32 = (x2 - 3x)2 + (x - 3)2 0

Xảy đẳng thức khi:

x2–3x = 0 x(x-3) = 0 x = 0

  x =  x = x – = x – = x =

Vậy giá trị nhỏ cđa biĨu thøc b»ng víi x = Đáp số: Giá trị nhỏ biểu thức b»ng víi x = 3

Dạng 3: tốn Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ A =  x - 1 + x - 3 H

íng dÉn gi¶i :

Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối phải nghỉ tới khoảng nghiệm định nghĩa giá trị tuyệt đối biểu thức

A NÕu A A =

- A NÕu A

Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ A, ta tính giá trị A khoảng nghiệm So sánh giá trị A khoảng nghiệm để tìm giá trị nhỏ A

Lêi gi¶i

Do x < nên -2x > -4 A = - 2x >3 + Trong khoảng x x - 2 = x -

x - 5 = - (x - 5) = - x

⇒ A = x - + - x = + Trong kho¶ng x > th× x - 2 = x -

x - 5 = x -

⇒ A = x - + x - = 2x -

Do x > nên 2x > 10 A = 2x – >

So sánh giá trị A khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ cđa A b»ng vµ chØ x

Đáp số: Amin = x

Cách 2: Ta sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối tổng nhỏ bằng tổng giá trị tuyệt đối.Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức A

Lêi gi¶i: A = x - 2+ x = x - 2+ 5 x Ta cã: x - 2 + 5 - x x - + - x =

x - 2

A =   (x - 2) (5 - x)

5 - x

x Vậy giá trị nhỏ nhÊt cđa A b»ng vµ chØ x

dạng 4: Bài toán Tìm gtnn, gtln phân thức có tử là hằng số, mẫu tam thøc bËc hai

VÝ dô 7 : Tìm giá trị lớn của 4x - 4x

M 



H

Gỵi ý: Sư dơng tÝnh chÊt a b, ab >0

⇒ 1

a b hoặc theo quy tắc so sánh hai phân số tử, tử mẫu dơng

Lêi gi¶i:

XÐt M =

4x - 4x 5 =

3

(2 )x  4x 1 4 = (2x -1) 4

Ta thÊy (2x - 1)2 nªn (2x - 1)2 + 4

Do đó:

3

(2x -1) 4 4

Tr¶ lêi: VËy M lín nhÊt b»ng

4 2x – = => x =

Đáp số: Mlớn nhất=

3

4 với x =

VÝ dơ 8: T×m giá trị nhỏ

1 2x - x -

B

H

íng dÉn gi¶i :

Ta cã: B =

2x - x - 4 =

1 x - 2x



 =

1 (x - 1)





V× (x - 1)2 => (x + 1)2 + 3

=>

1

(x - 1) 3  => -

1

(x - 1) 3

 



VËy B nhá nhÊt b»ng



x 1= => x =1

Đáp sè: Mnhá nhÊt =

1



víi x =

Lập luận dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức

1

x2−3

MÉu thức x2 - có giá trị nhỏ -3 x = 0

Nhng víi x = th×

1

3

x giá trị lớn phân thức

Chẳng hạn với x = th×

1

1

3

x    

Nh vËy tõ -3 < kh«ng thĨ suy -

1

 

Vậy từ a < b suy đợc

1

a  b a vµ b dấu

dạng 5:Bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn phân thức có mẫu bình phơng nhị thức

Ví dụ Tìm giá trị nhỏ

2

1 ( 1)

x x

A x

  



C¸ch :

Gợi ý: Hãy viết tử thức dới dạng lũy thừa x + 1, đổi biến cách viết A d-ới dạng tổng biểu thức lũy thừa

x+1 Từ tìm giá trị nhỏ A

Lêi gi¶i: Ta cã: x2 + x + = (x2 + 2x + 1) - (x +1) + 1

= (x + 1)2 - (x + 1) + 1

Do A =

2

2 2

( 1) ( 1) 1

1

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x x

A

x x x x x

 

     

  

Đặt

1

y x 

 biểu thức A trở thành: A = - y + y2

Ta cã: A = - y + y2 = y2 – 2.y

2 + ( )2 +

3

= (y −1

2)

2

+

4

3

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa A b»ng

y=−1

2=0⇒y=

2⇔

1

x+1=

1

⇔ x + = x =

Đáp sè: Anhá nhÊt =

4 x =

C¸ch 2:

Gợi ý: Ta viết A dới dạng tổng số với biểu thức khơng âm Từ tìm giá trị nhỏ A

Lêi gi¶i: A=x

2 +x+1 (x+1)2 =

4x2+4x+1

4(x+1)2 =

3x2+6x+3+x2−2x+1

4(x+1)2

x −1¿2 ¿

x+1¿2

4¿

x+1¿2+¿

3¿

A=¿

x −1¿2 ¿

x+1¿2

4¿ ¿

A=3

4+¿

A=3

4+[

x −1 2(x+1)]

2

3

A

(v×

2

1

0 2( 1)

x x   

  



  )

Vậy giá trị nhỏ A

4 x-1=0 ⇒ x=1

Đáp số: Anhỏnhất=

3

dạng 6: toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn cña mét

biểu thức đại số cách đa dạng

( )

A x

k  (hc

2 ( )

0

A x

k  ) Ví dụ 10:

Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc:

2

3 10 ( )

2

x x

M x

x x

  

 

(Víi x thuéc tập hợp số thực) H

ớng dẫn giải : Gỵi ý: Tõ M(x) = 3x

2

+6x+10

x2+2x+3 ta cã:

M(x) = 3x

+6x+9+1

x2+2x+3 =

3(x2+2x+3)+1 x2

+2x+3

(?) Ta chia tử thức mẫu thức biểu thức cho x2 + 2x + đợc khơng? Vì sao?

Trả lời: Vì x2 + 2x + = x2 + 2x + + = (x+1)2 > với giá trị x nên sau

khi chia tử mẫu cho x2 + 2x + ta đợc

M(x) =

1

(x 1)



 

(?) Bài toán xuất điều mới?

Trả lời: Bài toán trở thành tìm giá trị lớn biểu thức (x2) 2

(?) H·y t×m giá trị lớn

1

(x) 2 từ suy giá trị lớn M(x) Trả lời: Vì (x+1)2 0 Với x

Nªn (x+1)2 + víi mäi x

Do

1

2

1 1

( ) 3

( 1) 2

M x

x

      

DÊu “=” x¶y x+1=0 hay x=-1

Vậy giá trị lớn M(x) =

2 vµ chØ x=-1

Đáp số: M(x)Lớn =

1

2 víi x = -1

Email: info@123doc.org