TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM ĐỀ THI ĐÁNH GIÁ NÂNG LỰC ĐHBK HÀ NỘI MÔN TOÁN Mã đề thi I PHẦN TRẮC NGHIỆM TOÁN HỌC Câu 1 Cho hàm số liên tục và xác định trên , biết rằng Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới[.]
TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM ĐỀ THI ĐÁNH GIÁ NÂNG LỰC ĐHBK HÀ NỘI MƠN TỐN Mã đề thi I Câu 1: PHẦN TRẮC NGHIỆM TOÁN HỌC y f x f x x 3x Cho hàm số liên tục xác định , biết Hàm số y f x 4x đồng biến khoảng đây? 2; 1 3; 1 1; 2; A B C D Công ty sữa Vinamilk thiết kế sản phẩm dạng hình hộp chữ nhật có đáy hình chữ nhật có chiều rộng chiêu dài Sản phẩm chứa dung tích 180 ml Khi thiết kế công ty đặt mục tiêu cho vật liệu làm vỏ hộp tiết kiệm Để công ty tiết kiệm vật liệu chiều dài đáy hộp gần giá trị sau đây? Câu 2: A 4,83 cm Câu 3: B 6,53 cm C 5,55 cm m 5;5 Gọi S tập số nguyên để phương trình D 6,96 cm x x x 2m x có nghiệm Số tập tập S A B C 16 D 32 x x y log m Hàm số có tập xác định 1 m m m 4 A B m C D 2x x Câu 4: Câu 5: Câu 6: Câu 7: x Cường độ ánh sáng qua môi trường nước biển giảm dần theo công thức I I e , với I cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu vào môi trường nước biển x độ sâu môi trường Biết mơi trường nước biển có số hấp thụ = 1,4 Hỏi độ sâu 30 mét cường độ ánh sáng giảm lần so với cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu vào nước biển? A e21 lần B e42 lần C e21 lần D e42 lần Một anh sinh viên T nhập học đại học vào tháng năm 2020 Bắt đầu từ tháng năm 2020, vào ngày mồng hàng tháng anh vay ngân hàng triệu đồng với lãi suất cố định 0, 8%/ tháng Lãi tháng trước cộng vào số nợ để tiếp tục tính lãi cho tháng Vào ngày mồng hàng tháng kể từ tháng năm 2022 sau anh không vay ngân hàng anh trả cho ngân hàng triệu đồng việc làm thêm Hỏi sau ngày anh trường (30/6/2024) anh nợ ngân hàng tiền? A 49 024 000 đồng B 46 640 000 đồng C 47 024 000 đồng D 45 401 000 đồng Cho hình chóp S.ABC cạnh đáy 2a cạnh bên 3a Gọi M điểm thay đổi P cạnh AB, qua M song song với SA, BC chia khối chóp S.ABC thành hai phần P Biết thiết diện hình chóp S.ABC cắt hình thoi Tính thể tích phần chứa đỉnh A Câu 8: a 23 18a 23 V 125 A B 27a 23 36a 23 V V 125 125 C D Cho hình lập phương có cạnh a Diện tích tồn phần hình nón có đỉnh tâm mặt đáy đường tròn nội tiếp mặt đối diện Câu 9: a2 a 1 a2 a2 Stp Stp Stp Stp B 4 A C D Người ta muốn làm giá đỡ cho cầu ngọc có bán kính r cho phần cầu bị khuất chiếm cầu theo chiều cao Biết giá đỡ hình trụ rỗng phía trong, tính bán kính mặt giá đỡ r r A B 2 r C r D Câu 10: Người ta thiết kế lọ sản phẩm đựng kem chống nắng với thiết kế khối cầu viên bi khổng lồ, nửa nắp hộp, nửa lại thiết kế bên khối trụ nằm nội tiếp nửa mặt cầu để đựng kem chống nắng Theo dự kiến nhà sản xuất dự định để khối cầu có bán kính R 3 2a Để đựng nhiều kem chiều cao khối trụ h m na với m, n Mệnh đề sau đúng? A m n 6 B m n 9 C m n 8 D m n 7 f x x 1 x y f x Câu 11: Cho hàm số liên tục , thỏa mãn với x Tích phân f x dx 49 A B C D 40 Câu 12: Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t h có đồ thị phần đường parabol hình bên Tính quãng đường S mà vật di chuyển A 6km B 5km C 20km D 2km z 2 z 2i 1 2 Câu 13: Cho số phức cho z i z S a b Tính giá trị biểu thức A S 0 B S 1 C S 2 D S z 2i 1 z 2i z 2i Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn Gọi S diện tích phần mặt phẳng chứa điểm biểu diễn số phức z Tính S S S A S B S 2 C D z a bi a, b x 1 3t d : y z 5 4t Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho đườngthẳng Gọi đường thẳng qua điểm u 1; 2; A 1; 3;5 có vectơ phương Đường phân giác góc nhọn tạo d có phương trình là: x 2t x 2t x 1 7t x 1 t y 2 5t y 2 5t y 5t y z 6 11t z 11t z 5 t z 5 7t A , B C D A 1; 2;3 Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết điểm , đường x 5t y 0 z 1 4t trung tuyến BM đường cao CH có phương trình tương ứng x y 2 z 16 13 Viết phương trình đường phân giác góc A x y z x y z 1 10 13 A B x y z x y z 3 1 11 5 C D y2 1 : x z Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y 1 z 2 : 1 Gọi Q mặt phẳng chứa 1 tạo với 2 góc lớn Khi cos A B C D ABC chứa BC hợp với mặt phẳng góc P (0° < < 90°) Gọi , góc hợp hai đường thẳng AB, AC Tính giá trị 2 biểu thức P cos sin sin A P 0 B P C P 2 D P 1 Cho tứ diện ABCD có cạnh 11 Gọi I trung điểm cạnh CD Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BI A B 2 C D Cho đa giác có n cạnh (n > 4) Tìm n để đa giác có số đường chéo số cạnh A n = 8.B n = 16 C n = D n = Gọi S tập hợp số tự nhiên có năm chữ số chia hết cho Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Xác suất để số chọn số chia hết cho 1902 6667 A B 5712 C D 20000 Tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình sin x cos x sin 2 x 4m 4 cos x a; b có nghiệm đoạn Tính 2b a A B C D Một cấp số cộng có u7 27 u20 79 Tổng 30 số hạng đầu cấp số cộng Câu 18: Cho tam giác ABC vuông A Mặt phẳng Câu 19: Câu 20: Câu 21: Câu 22: Câu 23: P A 1083 B 1380 C 1830 D 1038 Câu 24: Người ta trồng 3003 theo dạng hình tam giác sau: hàng thứ trồng cây, hàng thứ hai trồng cây, hàng thứ ba trồng cây, , tiếp tục trồng hết số Số hàng trồng A 77 B 79 C 76 D 78 Câu 25: Số đo ba cạnh hình hộp chữ nhật lập thành cấp số nhân Biết thể tích khối hộp chữ nhật là 125 cm3 diện tích tồn phần 150 cm2 Tính tổng số đo ba cạnh hình hộp chữ nhật 65 105 35 cm cm cm A 15cm B C D II PHẦN TỰ LUẬN (2 câu) Câu 1: Biểu đồ bên thể tỷ lệ phần trăm chi phí năm 2020 công ty Tổng chi công ty gấp lần chi phí cho Nghiên cứu? Nếu chi cho Quảng cáo 210 triệu đồng chênh lệch chi cho Vận chuyển chi cho Thuế triệu đồng? Nếu chi cho Lãi vay 245 triệu đồng tổng chi cho Quảng cáo, Thuế Nghiên cứu triệu đồng? Năm 2020 công ty xây dựng tốt thương hiệu trả thêm nhiều khoản vay nên năm 2021 chi phí cho Lãi vay giảm 25% so với năm 2020 công ty định giảm 20% chi phí cho Quảng cáo Tồn lượng giảm chi phí dùng để tăng lương cho tồn nhân viên Hỏi chi phí cho Lương năm 2021 tăng phần trăm so với năm 2020? Câu 2: Một cửa hàng bán vải thiều Bắc Giang với giá bán kg 40 000 đồng Với giá bán cửa hàng bán khoảng 30 kg Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cửa hàng giảm kg 4000 đồng số vải thiều bán tăng thêm 40 kg Xác định giá bán để cửa hàng thu lợi nhuận lớn nhất, biết giá nhập ban đầu kilôgam 25 000 đồng HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: y f x f x x 3x Cho hàm số liên tục xác định , biết Hàm số y f x 4x đồng biến khoảng đây? 2; 1 3; 1 1; 2; A B C D Lời giải Chọn đáp án C f x x x x 1 x x x f x x x Ta có x 3 f x 0 x 4 Đặt y g x f x x Khi x 0 g x x f x x 0 f x x 0 Ta có x x x 3 x x 4 Bảng xét dấu x x x 0 x x x x g x y g x f x x 1; Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số đồng biến khoảng Câu 2: Công ty sữa Vinamilk thiết kế sản phẩm dạng hình hộp chữ nhật có đáy hình chữ nhật có chiều rộng chiêu dài Sản phẩm chứa dung tích 180 ml Khi thiết kế công ty đặt mục tiêu cho vật liệu làm vỏ hộp tiết kiệm Để công ty tiết kiệm vật liệu chiều dài đáy hộp gần giá trị sau đây? A 4,83 cm B 6,53 cm C 5,55 cm D 6,96 cm Lời giải Chọn D Ta có 180ml = 180cm3 x cm Gọi chiều dài đáy hộp x (cm), x > 0, chiều rộng đáy hộp h cm Gọi chiều cao hộp chữ nhật , h 270 V x x.h 180 cm3 h cm x Ta tích khối hộp chữ nhật Diện tích toàn phần khối hộp chữ nhật 270 270 900 STP 2.x x 2.x x cm x cm f x x x x 900 f x x x đạt giá trị nhỏ Áp Yêu cầu toán trở thành tìm x dương để hàm số 450 450 x dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương , x , x ta có 450 450 450 450 x 3 x f x 3 270000, x x x x x Câu 3: 450 450 2700 x x 6,96 cm x x Dấu “=” xảy m 5;5 Gọi S tập số nguyên để phương trình 2x x A Chọn D x x x 2m x có nghiệm Số tập tập S B C 16 D 32 Lời giải x 0 x x 0 x 2 x x 0 Điều kiện xác định x Nhận xét: Đặt t x x x x 2 x2 t Phương trình trở thành: 2m t t m t t 1 f t t t f t 2t f t 0 t 1 t , với t Do t , Xét hàm số m Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm m 5;5 S 1; 2;3; 4;5 Vì m nên ta có Vậy số tập tập hợp S 32 2t 2t Câu 4: y log x x m Hàm số A m có tập xác định B m m C Lời giải D m Chọn D x x Điều kiện: m x x m * x Hàm số cho có tập xác định x Đặt t 2 với t , bất phương trình (*) trở thành t t m 0, t f t t t , t f t 2t f t 0 t Xét hàm số ta có ; 1 f t f 0; 2 Lập bảng biến thiên ta tìm Để bất phương trình t t m 0, t Câu 5: m 1 m 4 x Cường độ ánh sáng qua môi trường nước biển giảm dần theo công thức I I e , với I cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu vào môi trường nước biển x độ sâu môi trường Biết mơi trường nước biển có số hấp thụ = 1,4 Hỏi độ sâu 30 mét cường độ ánh sáng giảm lần so với cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu vào nước biển? A e21 lần B e42 lần C e21 lần D e42 lần Lời giải Chọn B Khi bắt đầu vào mơi trường nước biển x = I1 I e 30 Ở độ sâu 30 mét I I e I I e 30 I e 42 I1 42 42 I e Vậy ta có I1 , I tăng e lần so với I1 , nói cách khác I giảm e lần so với I1 Câu 6: Một anh sinh viên T nhập học đại học vào tháng năm 2020 Bắt đầu từ tháng năm 2020, vào ngày mồng hàng tháng anh vay ngân hàng triệu đồng với lãi suất cố định 0, 8%/ tháng Lãi tháng trước cộng vào số nợ để tiếp tục tính lãi cho tháng Vào ngày mồng hàng tháng kể từ tháng năm 2022 sau anh không vay ngân hàng anh trả cho ngân hàng triệu đồng việc làm thêm Hỏi sau ngày anh trường (30/6/2024) anh nợ ngân hàng tiền? A 49 024 000 đồng B 46 640 000 đồng C 47 024 000 đồng D 45 401 000 đồng Lời giải Chọn B Anh sinh viên vay hàng tháng a = triệu đồng từ tháng 9/2020 đến hết tháng 8/2022, tổng cộng 24 tháng T a ar a r Cuối tháng thứ 1: T2 T1 a T1 a r a r a r Cuối tháng thứ 2: n n T a r a r a r Tiếp tục đến cuối tháng n: n Tn a r 1 r n 1 r Suy Vậy tổng số tiền vay đến cuối tháng 8/2022 24 0,8% T24 3 0,8% 79, 662 0,8% triệu Tính từ cuối tháng 8/2022 anh sinh viên T thiếu ngân hàng A = 79,662 bắt đầu trả hàng tháng m 2 triệu từ tháng 9/2022 đến tháng 6/2024, tổng cộng 22 tháng T.a.i.l.i.e.u.c.h.u.a.n.v.n Đầu tháng 9/2022, nợ A – m = 79,662 – = 77,662 triệu T 77, 662 r 1 Cuối tháng 9/2022, tiền nợ có lãi đến cuối tháng Đầu tháng 10/2022 sau trả nợ m cịn nợ 77,662(r + 1) – m T2 77, 662 r 1 m r 77, 662 r m r Cuối tháng 10/2022, nợ T2 77, 662 r m r m r Cuối tháng 11/2022 nợ Tiếp tục đến cuối tháng 6/2024 nợ 22 21 20 T22 77, 662 r m r m r m r 22 77, 662 r m r 22 1 r 21 r 77, 662 0,8% 0,8% Câu 7: 1 0,8% 21 1 0,8% 46, 64 triệu đồng Cho hình chóp S.ABC cạnh đáy 2a cạnh bên 3a Gọi M điểm thay đổi P cạnh AB, qua M song song với SA, BC chia khối chóp S.ABC thành hai phần P Biết thiết diện hình chóp S.ABC cắt hình thoi Tính thể tích phần chứa đỉnh A a 23 18a 23 V 125 A B C V 27a 23 125 Chọn C V D Lời giải 36a 23 125 Gọi O trọng tâm ABC , I trung điểm BC P Gọi N, P, Q giao điểm với cạnh SB, SC, AC ABC có cạnh 2a 2 2a 2a AO AI 3 Vì SABC hình chóp nên Xét tam giác vng SOA có: SO ABC SO SA2 AO a 69 1 a 69 2a a 23 VSABC SO.S ABC 3 MNPQ hình thoi MN MQ x Ta có: MN MQ x x 6a 1 1 x 3a 2a Ta có: SA BC VSAMNPQ AM t 2t t V Đặt AB Ta có cơng thức tính nhanh S ABC AM MQ t BC Áp dụng AB Câu 8: VSAMNPQ VS ABC 81 81 27 23a t 2t VSAMNPQ VS ABC 125 125 125 Cho hình lập phương có cạnh a Diện tích tồn phần hình nón có đỉnh tâm mặt cịn đáy đường tròn nội tiếp mặt đối diện a2 a2 Stp Stp B A a2 Stp C Lời giải 1 a2 Stp D Chọn C Giả sử ta có hình lập phương điểm hình vẽ a r OM BC 2 Bán kính đáy hình nón Đường sinh hình nón a2 a Diện tích tồn phần hình nón l OM OO2 OM a Stp S xq S đáy rl r Câu 9: a2 1 Người ta muốn làm giá đỡ cho cầu ngọc có bán kính r cho phần cầu bị khuất chiếm cầu theo chiều cao Biết giá đỡ hình trụ rỗng phía trong, tính bán kính mặt giá đỡ r r A B 2 r C r D Lời giải Chọn A Giả sử ta có mặt cắt qua trục vật thể hình vẽ Chiều cao hình cầu đường kính, nên theo đề ta có r 2r phần khuất cao 2r OH Suy Bán kính mặt giá đỡ bán kính đường tròn giao tuyến r 2r r r Vậy Câu 10: Người ta thiết kế lọ sản phẩm đựng kem chống nắng với thiết kế khối cầu viên bi khổng lồ, nửa nắp hộp, nửa lại thiết kế bên khối trụ nằm nội tiếp nửa mặt cầu để đựng kem chống nắng Theo dự kiến nhà sản xuất dự định để khối cầu có bán kính R 3 2a Để đựng nhiều kem chiều cao khối trụ h m na với m, n Mệnh đề sau đúng? A m n 6 B m n 9 C m n 8 D m n 7 Lời giải Chọn D OH h h 3 2a Giả sử chiều cao khối trụ 2 Ta có OM R 3 2a , HM 18a h Vậy Vtru 18a h 2 h r 18a h h 2 y r 18a h h 0;3 2a Xét hàm số y 18a 3h y 0 h 6a y 6a 12 6a y 0 y 2a 0 Ta có , , V Vậy tru lớn h 6a m n 1 7 Câu 11: Cho hàm số y f x liên tục , thỏa mãn f x x 1 x với x Tích phân f x dx A Chọn C Khi x 0 , ta có: B 49 C Lời giải D 40 f x x 1 x x x f x3 x 1 x x x * Lấy tích phân từ đến hai vế (*) ta 1 x x f x x 1 dx x x x dx f x t 2 x3 x 1 49 x 1 d x3 x 1 49 f t dt 49 f x dx t h Câu 12: Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian có đồ thị phần đường parabol hình bên Tính quãng đường S mà vật di chuyển A 6km B 5km C 20km D 2km Lời giải Chọn A P : v t a.t b.t c 0; ; 1;1 ; 3;5 Gọi qua điểm có tọa độ ta có hệ phương trình a.0 b.0 c 2 c 2 a.1 b.1 c 1 b a.9 b.3 c 5 a 1 v t 2 2t t Vậy Quãng đường vật di chuyển 3 3 2 S 2t t dt 2t t t 6 km 0 z 2 z 2i 1 2 z a bi a, b Câu 13: Cho số phức cho z i z Tính giá trị biểu thức S a b A S 0 B S 1 C S 2 Lời giải Chọn D Điều kiện: z 1; z i z 2 1 z z i a bi a b 1 i z i Ta có 2 a b a b 1 4a 2b 0 1 z 2i 2 z i z a b 1 i a bi Lại có, z 2 a b 1 a 1 b a b 0 a 4a 2b a b b Từ (1) (2) ta có hệ phương trình Vậy S a b D S z 2i 1 z 2i z 2i Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn Gọi S diện tích phần mặt phẳng chứa điểm biểu diễn số phức z Tính S S S A S B S 2 C D Lời giải Chọn C z x yi x, y Giả sử Khi Và z 2i 1 x 1 y i 1 x 1 2 2 y 1 x 1 y 1 z 2i z 2i 2 2 x 1 y x 3 y 2 2 x 1 y x 3 y y x T O 0;0 Gọi nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d : y x , không chứa gốc tọa độ Khi C I 1; tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đề nửa hình trịn tâm , bán kính R 1 thuộc T Vì đường thẳng d qua tâm I 1; hình trịn C nên diện tích cần tìm S x 1 3t d : y z 5 4t Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho đườngthẳng Gọi đường thẳng qua điểm u 1; 2; A 1; 3;5 có vectơ phương Đường phân giác góc nhọn tạo d có phương trình là: x 2t x 2t x 1 7t x 1 t y 2 5t y 2 5t y 5t y z 6 11t z 11t z 5 t z 5 7t A , B C D Lời giải Chọn B 5b;0;1 4b BM C 16c; 13c;3 5c CH Giả sử , Ta có 16c 13c 5c M ; ; 2 +) Tọa độ trung điểm M AC C nửa diện tích hình trịn Do 16c 5t c 0 13c M BM 0 C 4; 2;3 t 5c 1 4t Mà AB 5b 1; 2; 4b w 16; 13;5 +) Lại có, Vectơ phương CH AB.w 0 16 5b 1 13 4b 0 b 0 Do AB CH nên B 0; 0;1 AB 1; 2; AC 3; 4;0 +) , AB 2 AC u1 ; ; u2 ; ; AB 3 AC 5 Đặt , 22 u u1 u2 ; ; 15 15 v 2; 11; Chọn vectơ phương đường phân giác góc A x y z 11 5 Vậy phương trình đường phân giác góc A A 1; 2;3 Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết điểm , đường x 5t y 0 z 1 4t trung tuyến BM đường cao CH có phương trình tương ứng x y 2 z 16 13 Viết phương trình đường phân giác góc A x y z x y z 1 10 13 A B x y z x y z 3 1 11 5 C D Lời giải Chọn D B 5b;0;1 4b BM C 16c; 13c;3 5c CH Giả sử , Ta có 16c 13c 5c M ; ; 2 +) Tọa độ trung điểm M AC 16c 5t c 0 13c M BM 0 C 4; 2;3 t 5c 1 4t Mà AB 5b 1; 2; 4b w 16; 13;5 +) Lại có, Vectơ phương CH AB.w 0 16 5b 1 13 4b 0 b 0 Do AB CH nên B 0; 0;1 AB 1; 2; AC 3; 4;0 +) , AB 2 AC u1 ; ; u2 ; ; AB 3 AC 5 Đặt , 22 u u1 u2 ; ; 15 15 v 2; 11; Chọn vectơ phương đường phân giác góc A x y z 11 5 Vậy phương trình đường phân giác góc A 1 : x y2 z Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y 1 z 2 : 1 Gọi Q mặt phẳng chứa 1 tạo với 2 góc lớn Khi cos A B C D Lời giải Chọn C u1 1; 2; 1 M 1; 2; Q Đường thẳng có vectơ phương qua điểm Vì chứa 1 nên qua M vectơ pháp tuyến vng góc với u1 Do đó, ta giả sử Q phương trình có dạng 2 A x 1 B y Cz 0 A B 1 C 0 với A B C Q Q n A; B; C A; B; A B Gọi góc 2 Do vectơ pháp tuyến A B C , vectơ phương 2 u2 2; 1; nên ta có A 3B A 3B sin 2 A2 AB B A AB 5B Ta xét hai trường hợp 2 sin +) Trường hợp B 0 4r 3 A sin r 2r 4r B +) Trường hợp B 0 , ta đặt 4r 3 f r 2r 4r Từ đó, ta xét hàm số 2 4r 2r r r 4r 4r 3 r f r 2 2r r r 4r Ta có 3 f 0 f 25 nên ta lập bảng biến thiên, từ Mặt khác r , 25 sin thu giá trị lớn Khi đó, lim f r 8 +) So sánh hai trường hợp trên, ta thu sin cos Từ ABC chứa BC hợp với mặt phẳng góc P (0° < < 90°) Gọi , góc hợp hai đường thẳng AB, AC Tính giá trị 2 biểu thức P cos sin sin A P 0 B P C P 2 D P 1 Lời giải Chọn D ABC Gọi d đường thẳng vng góc với A, S giao điểm P P SBC d Khi AI BC I BC AH SI H SI Kẻ , Khi SIA; ABH ; ACH Câu 18: Cho tam giác ABC vuông A Mặt phẳng P HI AH AH P cos sin sin AI AB AC HI HI AH AH 1 AI AC AI AI AB 2 Câu 19: Cho tứ diện ABCD có cạnh 11 Gọi I trung điểm cạnh CD Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BI A B 2 C D Lời giải Chọn D Dựng hình bình hành BICK BICK hình chữ nhật BI CD Gọi H tâm BCD Vẽ HM KC M, HN AM N CK AHM CK HN HN ACK Ta có BI / / ACK Ta có d AC , BI d BI , ACK d H , ACK HN Xét tam giác vng ABH có 11 66 AH AB BH 11 11 HM CI (vì BICK hình chữ nhật) Ta có 2 66 11 d AC , BI HN 2 22 11 AH HM Xét AHM vng có AH HM Câu 20: Cho đa giác có n cạnh (n > 4) Tìm n để đa giác có số đường chéo số cạnh A n = B n = 16 C n = D n = Lời giải Chọn C 2 Tổng số đường chéo cạnh đa giác Cn số đường chéo đa giác Cn n Để số đường chéo số cạnh n! Cn2 n n 2n n n 1 4n n 4 n 4 n 5 2! n ! Câu 21: Gọi S tập hợp số tự nhiên có năm chữ số chia hết cho Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Xác suất để số chọn số chia hết cho 1902 6667 A B 5712 C D 20000 Lời giải Chọn C Giả sử số có năm chữ số có dạng abcde Vì số cần tìm chia hết e có cách chọn chữ số Khi đó, a có cách chọn a 0; vị trí b, c, d vị trí có 10 cách chọn n 18000 Suy số phần tử tập S 2.9.103 = 18000 phần tử Số có năm chữ số bé chia hết cho 10000 lớn 99995 Gọi biến cố B: “một số lấy từ tập S chia hết cho 3”, số lấy phải chia hết cho 15 Số có năm chữ số bé chia hết cho 15 10005 lớn 99990 Vì chia hết cho 15 nên số tập B xem cấp số cộng với u1 10005 , 99990 10005 6000 15 n B 6000 PB n B 6000 n 18000 Hay Vậy Câu 22: Tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình sin x cos x sin 2 x 4m 4 cos x a; b có nghiệm đoạn Tính 2b a A B C D Lời giải Chọn A sin x cos x sin 2 x 4m 4 cos x Ta có: sin x cos x 2sin x cos x sin 2 x cos x 4m 0 sin x cos x m 0 cos 2 x cos x 4m un 99990 , d 15 n Đặt t cos x t 1;1 Ta có phương trình t 4t 4m * với t 1;1 Phương trình cho có nghiệm x phương trình (*) có nghiệm f t t 4t Lập bảng biến thiên hàm 1;1 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm t 1;1 4m 5 m 0 Vậy a ; b 0 suy 2b a 2 t 1;1 Câu 23: Một cấp số cộng có u7 27 u20 79 Tổng 30 số hạng đầu cấp số cộng A 1083 B 1380 C 1830 D 1038 Lời giải Chọn C Gọi d công sai cấp số cộng u7 27 u 6d 27 u 3 u 79 d 4 u1 19d 79 Khi ta có: 20 30.29.d 30.29.4 S30 30u1 30.3 1830 2 Do Câu 24: Người ta trồng 3003 theo dạng hình tam giác sau: hàng thứ trồng cây, hàng thứ hai trồng cây, hàng thứ ba trồng cây, , tiếp tục trồng hết số Số hàng trồng A 77 B 79 C 76 D 78 Lời giải Chọn A Gọi số hàng thứ n un Ta có: u1 1, u2 2, u3 3 , … S u1 u2 u3 un 3003 u Nhận xét dãy số n cấp số cộng có u1 1 , cơng sai d 1 n 2u1 n 1 d S 3003 Khi Suy n 2.1 n 1 1 n 77 3003 n n 1 6006 n n 6006 0 n 77 n 78 Vậy số hàng trồng 77 Câu 25: Số đo ba cạnh hình hộp chữ nhật lập thành cấp số nhân Biết thể tích khối hộp chữ nhật là 125 cm3 diện tích tồn phần 150 cm2 Tính tổng số đo ba cạnh hình hộp chữ nhật 65 105 35 cm cm cm A 15cm B C D Lời giải Chọn A x, y , z cm; x, y, z Gọi số đo ba cạnh hình hộp chữ nhật x y x.q q z x.q Theo giả thiết ta có: V x y.z x q 125 x.q 5 1 Thể tích khối hình hộp chữ nhật Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật Stp 2 x y y.z z.x 2 x q x q x q 150 x.q 5 x.q 5 q 1 2 2 x 5q 10 x 5 Từ (1) (2) ta có x q x q x q 150 x y z 5 Suy tổng ba kích thước + + = 15(cm) II PHẦN TỰ LUẬN (2 câu) Câu 1: Biểu đồ bên thể tỷ lệ phần trăm chi phí năm 2020 công ty 1 Tổng chi công ty gấp lần chi phí cho Nghiên cứu? Nếu chi cho Quảng cáo 210 triệu đồng chênh lệch chi cho Vận chuyển chi cho Thuế triệu đồng? Nếu chi cho Lãi vay 245 triệu đồng tổng chi cho Quảng cáo, Thuế Nghiên cứu triệu đồng? Năm 2020 công ty xây dựng tốt thương hiệu trả thêm nhiều khoản vay nên năm 2021 chi phí cho Lãi vay giảm 25% so với năm 2020 công ty định giảm 20% chi phí cho Quảng cáo Tồn lượng giảm chi phí dùng để tăng lương cho tồn nhân viên Hỏi chi phí cho Lương năm 2021 tăng phần trăm so với năm 2020? Lời giải Tổng chi công ty gấp số lần chi phí cho Nghiên cứu là: 20 12,5 15 10 20 17,5 20 (lần) 210 12,5 175 Chi phí cho Vận chuyển là: 15 (triệu đồng) 210 10 140 Chi phí cho Thuế là: 15 (triệu đồng) Chênh lệch chi cho Vận chuyển chi cho Thuế là: 175 – 140 = 35 (triệu đồng) 245 15 10 420 Tổng chi cho Quảng cáo, Thuế Nghiên cứu là: 17.5 (triệu) Gọi chi phí cho Quảng cáo năm 2020 x Khi đó: x 7x 17,5 +) Chi phí cho Lãi vay năm 2020 là: 15 x 4x 20 +) Chi phí cho Lương năm 2020 là: 15 4x 7x 73x 25% 20% x 40 Chi phí cho Lương năm 2021 là: Chi phí cho Lương năm 2021 tăng so với 2020 là: 73x x x 59 36,875% : 160 40 Câu 2: Một cửa hàng bán vải thiều Bắc Giang với giá bán kg 40 000 đồng Với giá bán cửa hàng bán khoảng 30 kg Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cửa hàng giảm kg 4000 đồng số vải thiều bán tăng thêm 40 kg Xác định giá bán để cửa hàng thu lợi nhuận lớn nhất, biết giá nhập ban đầu kilôgam 25 000 đồng Lời giải 25000 x 40000 Gọi x (đồng) giá bán thực tế kilôgam vải thiều Ta lập luận sau: Giá 40 000 đồng bán 30 kg vải thiều Giảm giá 000 đồng bán thêm 40 kg vải thiều Giảm giá 40 000 – x bán thêm kg vải thiều? 40 40000 x 4000 100 Theo số kilơgam bán thêm là: Do số kg vải thiều bán tương ứng với giá bán x: 1 30 x 430 40000 x 100 100 F x F x Gọi hàm lợi nhuận thu ( : đồng) F x x 430 x 25000 x 680 x 10750000 100 100 Ta có: 40000 x Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn F x x 680 x 10750000 25000; 40000 100 1 F x x 680 F x 0 x 680 0 x 34000 50 50 Ta có: F x 25000; 40000 Vì hàm liên tục đoạn nên ta có: F 25000 0 F 34000 810000 F 40000 450000 ; ; F x Vậy với x = 34000 đạt giá trị lớn Vậy để cửa hàng thu lợi nhuận lớn giá bán thực tế kg vải thiều 34 000 đồng ... cho hai đường thẳng x y 1 z 2 : 1 Gọi Q mặt phẳng chứa 1 tạo với 2 góc lớn Khi cos A B C D ABC chứa BC hợp với mặt phẳng góc P (0° < < 90°) Gọi , góc hợp hai. .. khối chóp S.ABC thành hai phần P Biết thiết diện hình chóp S.ABC cắt hình thoi Tính thể tích phần chứa đỉnh A a 23 18a 23 V 125 A B C V 27a 23 125 Chọn C V D Lời giải 36a 23 125 Gọi O... Khi đó, lim f r 8 +) So sánh hai trường hợp trên, ta thu sin cos Từ ABC chứa BC hợp với mặt phẳng góc P (0° < < 90°) Gọi , góc hợp hai đường thẳng AB, AC Tính giá