TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM ĐỀ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐHBK HÀ NỘI MÔN TOÁN Mã đề thi I PHẦN TRẮC NGHIỆM TOÁN HỌC Câu 1 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi[.]
TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM ĐỀ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐHBK HÀ NỘI MƠN TỐN Mã đề thi I PHẦN TRẮC NGHIỆM TOÁN HỌC Câu Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên gồm chữ số đơi khác số chia hết cho 25? B 14 A 18 Câu 5 A S Trong không B S gian A 35 m 3 để bất phương trình vơ nghiệm Tính S với A 1;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0;5 Câu D 30 Gọi S tổng tất giá trị nguyên tham số m log mx x log Câu C 20 B hệ C S 0 trục tọa độ vuông D S góc Oxyz, cho điểm Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC 35 15 C D Cho khối chóp tứ giác có tất cạnh a Gọi V1 ,V2 thể tích khối V1 chóp khối lập phương có chung mặt cầu ngoại tiếp với khối chóp Khi đó, V2 A Câu D B C D 13 Cho đa giác 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác Xác suất để đỉnh chọn đỉnh hình chữ nhật A 216 Câu C z 1 i z 3i 1 Cho số phức z thỏa mãn Giá trị lớn A 13 Câu B B 969 C 323 D Nhà bạn A , B , C nằm vị trí tạo thành tam giác vng B (như hình vẽ), AB 10 km, BC 25 km bạn tổ chức họp mặt nhà bạn C Bạn B hẹn chở bạn A vị trí M đoạn đường BC Từ nhà, bạn A xe buýt đến điểm hẹn M với tốc độ 30 km/h từ M hai bạn A , B di chuyển đến nhà bạn C xe máy với tốc độ 50 km/h Hỏi điểm hẹn M cách nhà bạn B km để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất? A km Câu B 7,5 km C 10 km D 12,5 km Khi xây nhà, chủ nhà cần làm bồn nước gạch xi măng có dạng hình hộp đứng đáy hình chữ nhật có chiều rộng x (m), chiều dài gấp lần chiều rộng khơng nắp, có chiều cao h (m), tích m Tìm chiều rộng đáy hình chữ nhật để chi phí xây dựng thấp A 1,5(m) Câu B 2(m) C 1(m) D 2,5(m) x x y log x log y log Tính tỉ số y Cho x, y số thực dương thỏa x 4 A y x 3 B y x 5 C y x 2 D y Câu 10 Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn tháng, lãi suất 5% quý theo hình thức lãi kép (sau tháng tính lãi cộng vào gốc) Sau tháng, người gửi thêm 50 triệu đồng với kì hạn lãi suất trước Tính tổng số tiền người nhận sau năm (Tính từ lần gửi tiền đầu tiên) A 179,676 triệu đồng B 177,676 triệu đồng C 178,676 triệu đồng D 176,676 triệu đồng Câu 11 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , đáy có tâm O cạnh a , cạnh bên a Khoảng SAD cách từ O đến a A a B a C D a Câu 12 Đường cong hình vẽ đồ thị hàm số Hàm số hàm số nào? y x 1 x A B y x 1 x C y x 1 x D y x 1 x 2 Câu 13 Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn đường Parabol qua gốc tọa độ hai đoạn thẳng AC BC hình vẽ bên A S 25 B S 20 10 S C D S 9 x x 1 Câu 14 Biết phương trình 0 có nghiệm a Tính P a log3 1 A P 2 C P 3 B P 4 D P 5 x y 1 z 1 mặt phẳng P : x y z 0 Phương trình mặt Câu 15 Cho đường thẳng d: P (S ) d cầu điểm A có tâm nằm đường thẳng A 1; 1;1 x 2 x 1 C 2 , có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với qua là: 2 y z 1 1 x 4 y z 1 1 x 3 D y 1 z 1 1 B y 1 z 1 2 Câu 16 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có đáy hình vng cạnh a cạnh bên 2a S Diện tích xung quanh xq hình nón có đỉnh tâm O hình vng ABC D đáy hình trịn nội tiếp hình vng ABCD a 17 S xq A B S xq a a 17 S xq C D S xq a 17 Câu 17 Cho hàm số y x2 x có đồ thị C Số điểm có tọa độ nguyên thuộc C B A Câu 18 Cho hàm số sau: y f x C D có đạo hàm liên tục R, có đồ thị hàm Tìm số điểm cực trị hàm số A B y f x 2022 2020 x 2021 y hình vẽ C M a; b y f x D x 1 x có khoảng cách từ M đến đường thẳng Câu 19 Gọi điểm thuộc đồ thị hàm số d : y 3x nhỏ Tìm giá trị biểu thức T 3a b B T 3 A T 4 C T 9 D T 10 Câu 20 Một sở sản xuất đồ gia dụng đặt hàng làm cốc hình nón khơng nắp nhơm tích V 9a Để tiết kiệm sản suất mang lại lợi nhuận cao sở sản suất cốc hình nón có bán kính miệng cốc R cho diện tích nhơm cần sử dụng Tính R ? 3a R 3 A 3a R 6 B C R 3a D R 9a z 2i 2 Câu 21 Tập hợp số phức z thỏa mãn điều kiện đường tròn tâm I Tổng tất giá trị m để khoảng cách từ I đến đường thẳng d : 3x y 2m 0 A B 15 Câu 22 Cho điểm C D x 1 t d : y 1 2t z t I 1;0; đường thẳng Phương trình mặt cầu đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB A x 1 y2 z 20 B x 1 y2 z2 20 S có tâm I cắt x 1 16 y2 z2 D x 1 y2 z2 C Câu 23 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Góc đường thẳng SA với mặt phẳng ( ABC ) 60 Khoảng cách hai đường thẳng GC SA a A 10 a B a D a C 4(sin x cos x) sin x cos6 x 4sin x m Câu 24 Cho phương trình m tham số Để phương trình vơ nghiệm giá trị thích hợp m A m 0 m0 B m C m D m 25 hay Câu 25 Các nghiệm phương trình z z 0 biểu diển hình học điểm A điểm B mặt phẳng tọa độ Độ dài AB A B C D 2 II PHẦN TỰ LUẬN Câu 26 Cho lăng trụ ABC ABC có cạnh đáy a Đường chéo AB mặt bên tạo với đáy góc 60 Gọi I trung điểm BC a Tính diện tích tồn phần thể tích lăng trụ BCC B b Tính tan góc đường thẳng AB mặt phẳng Câu 27 Trong hình vẽ, xe A kéo xe B sợi dây dài 35 m qua ròng rọc độ cao 12 m Xe A xuất phát từ N chạy với vận tốc không đổi m / s theo chiều mũi tên M 12 m B A N a) Đặt AN x BN y (đơn vị mét) Tìm hệ thức liên hệ x y b) Tính vận tốc xe B xe A cách N khoảng m HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác số chia hết cho 25? A 18 B 14 C 20 Lời giải D 30 Chọn B Gọi số cần tìm x abc bc 25;75 Do x chia hết cho 25 nên nên - c có cách chọn - b có cách chọn - a có cách chọn Vậy có 1.2.7=14 số Câu Gọi S tổng tất giá trị nguyên tham số m m 3 để bất phương trình log mx x log 5 A S vơ nghiệm Tính S B S C S 0 Lời giải D S Chọn A log mx x log x mx 0 5 2 BPT vô nghiệm x mx 0, x m 16 m m , m m 3; 1; 0;1; 2 Vì Vậy S Câu Trong không gian với A 1;0; , B 0;3;0 , C 0;0;5 A 35 B hệ trục tọa độ vng góc Oxyz, cho điểm Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC 35 15 C Lời giải D Chọn A R Câu 35 OA2 OB OC 2 Cho khối chóp tứ giác có tất cạnh a Gọi V1 ,V2 thể tích khối V1 chóp khối lập phương có chung mặt cầu ngoại tiếp với khối chóp Khi đó, V2 A Chọn A B C Lời giải D Giả sử hình chóp S ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O Vì OA OB OC OD OS a O tâm hình vng ABCD 1 a a3 V1 S ABCD SO a 3 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R OA a 2 Gọi MNPQ.M N PQ hình lập phương nội tiếp mặt cầu tâm O NQ 2 R a MN Suy NQ a 3 2a V2 MN V1 Vậy V2 Câu z 1 i z 3i 1 Cho số phức z thỏa mãn Giá trị lớn A 13 B C Lời giải Chọn D Cách 1: Gọi z x yi x, y z 3i x y 3 i D 13 Khi I 2;3 nằm đường trịn tâm Ta có z 3i 1 x y 1 z 1 i x 1 nên điểm M x; y điểm biểu diễn số phức z bán kính R 1 y 1 HM , H 1;1 I , R , H cố định nên MH lớn M giao HI với Do M chạy đường tròn đường tròn I, R x 2 3t HI : y 3 2t Vì M HI M 3t ;3 2t Lại có Ta có phương trình đường thẳng M I , R 9t 4t 1 t 13 13 13 13 13 13 M ;3 ;3 ; M 13 13 13 13 Khi Tính độ dài MH ta lấy MH 13 z 3i 1 z 3i 1 w 2i 1 Cách 2: Đặt w z i Ta có (Đường trịn tâm Vậy Câu I 3; , bán kính R 1 ) max z i max w OI R 13 Cho đa giác 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác Xác suất để đỉnh chọn đỉnh hình chữ nhật A 216 B 969 C 323 Lời giải D Chọn C Mỗi hình chữ nhật có đỉnh 20 đỉnh nội tiếp đường trịn tâm O có đường chéo qua O Ngược lại, với cặp đường chéo qua O , ta có đầu mút chúng đỉnh hình chữ nhật Suy số hình chữ nhật nói số cặp đường chéo C10 Vậy xác suất cần tính Câu P C10 C 20 323 Nhà bạn A , B , C nằm vị trí tạo thành tam giác vng B (như hình vẽ), AB 10 km, BC 25 km bạn tổ chức họp mặt nhà bạn C Bạn B hẹn chở bạn A vị trí M đoạn đường BC Từ nhà, bạn A xe buýt đến điểm hẹn M với tốc độ 30 km/h từ M hai bạn A , B di chuyển đến nhà bạn C xe máy với tốc độ 50 km/h Hỏi điểm hẹn M cách nhà bạn B km để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất? B 7,5 km A km C 10 km Lời giải D 12,5 km Chọn B BM x x 0 Đặt Để A đến nhà C nhanh A theo lộ trình A M C Thời gian A đến nhà C T Câu x T x 100 25 x 30 50 50 Ta có 30 x 100 T 0 15 x x 100 x Khi xây nhà, chủ nhà cần làm bồn nước gạch xi măng có dạng hình hộp đứng đáy hình chữ nhật có chiều rộng x (m), chiều dài gấp lần chiều rộng khơng nắp, có chiều cao h (m), tích m Tìm chiều rộng đáy hình chữ nhật để chi phí xây dựng thấp A 1,5(m) B 2(m) Chọn C V 2 x h h 3x Ta có: C 1(m) Lời giải D 2,5(m) S 2 x xh xh 2 x 2 2 2 x 3 x 6 x x x x x 2 x x 1 x Đẳng thức xảy Câu x x y log x log y log Tính tỉ số y Cho x, y số thực dương thỏa x 4 A y x 3 B y x 5 C y Lời giải x 2 D y Chọn D x 9t x y t log x log y log t y 6 x y 4t 2t t t t x y x 3 3 3 3 4t 9t 6t 6.4t 0 2 2 y 2 2 2 2 Ta có: Câu 10 Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn tháng, lãi suất 5% quý theo hình thức lãi kép (sau tháng tính lãi cộng vào gốc) Sau tháng, người gửi thêm 50 triệu đồng với kì hạn lãi suất trước Tính tổng số tiền người nhận sau năm (Tính từ lần gửi tiền đầu tiên) A 179,676 triệu đồng B 177,676 triệu đồng C 178,676 triệu đồng D 176,676 triệu đồng Lời giải Chọn D Tổng gốc lãi sau tháng đầu: A 100 5% triệu đồng Tổng gốc lãi sau năm kể từ lần gửi tiền đầu tiên: B A 50 5% 176, 676 triệu đồng Câu 11 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , đáy có tâm O cạnh a , cạnh bên a Khoảng SAD cách từ O đến a A a B a C Lời giải Chọn C D a Ta có OC a a SO SC OC 2 OE AD d O, SAD OF OF SE Dựng OE Trong CD a OE.SO a OF 2 2 OE SO Câu 12 Đường cong hình vẽ đồ thị hàm số Hàm số hàm số nào? A y x 1 x B y x 1 x C y x 1 x D y x 1 x 2 Lời giải Chọn D 2;0 tiếp xúc với Ox điểm 1;0 nên chọn đáp Do đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm án D Câu 13 Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn đường Parabol qua gốc tọa độ hai đoạn thẳng AC BC hình vẽ bên A S 25 B S 20 10 S C Lời giải D S 9 Chọn B Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y x , y x 2, x 0, x 2 2 x2 x3 22 23 10 S1 x x dx x 2.2 0 3 Khi diện tích hình phẳng phần gạch chéo S 2.S1 20 x x 1 Câu 14 Biết phương trình 0 có nghiệm a Tính P a log3 1 A P 2 B P 4 C P 3 Lời giải D P 5 Chọn C x 2 x 1 x 1 VN 0 2.2 0 x x log 3 2x x P log 3.log log 3 x y 1 z 1 mặt phẳng P : x y z 0 Phương trình mặt Câu 15 Cho đường thẳng d: P (S ) d cầu điểm A có tâm nằm đường thẳng A 1; 1;1 x 2 x 1 C 2 , có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với là: 2 y z 1 1 y 1 z 1 x 4 y z 1 1 x 3 D y 1 z 1 1 B Lời giải Chọn B 2 qua Gọi I tâm (S) I d I 3t ; t ; t P Mặt phẳng Bán kính R IA 11t 2t d ( I , ( P )) tiếp xúc với ( S ) nên 5t R 11t 2t t 0 R 1 t 24 R 77 37 37 37t 24t 0 I 1; 1;0 Vì ( S ) có bán kính nhỏ nên chọn t 0, R 1 Suy Vậy phương trình mặt cầu (S): x 1 2 y 1 z 1 Câu 16 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có đáy hình vng cạnh a cạnh bên 2a S Diện tích xung quanh xq hình nón có đỉnh tâm O hình vng ABC D đáy hình trịn nội tiếp hình vng ABCD a 17 S xq A B S xq a a 17 S xq C Lời giải D S xq a 17 Chọn A Dựa vào giả thiết ta có bán kính đáy hình nón bán kính đường trịn nội tiếp hình vng nên r a ABCD Chiều cao hình nón khoảng cách từ O đến mặt phẳng nên h 2a Độ dài đường sinh hình nón l h r 4a Diện tích xung quanh hình nón Câu 17 Cho hàm số y C Lời giải Chọn A Ta có: y a a 17 a 17 2 x2 x có đồ thị C Số điểm có tọa độ nguyên thuộc C B A S xq rl a a 17 x2 1 x 1 x 1 D x0 y0 1 x C nên Gọi M ( x0 ; y0 ) có tọa độ nguyên thuộc Câu 18 Cho hàm số sau: y f x có đạo hàm liên tục R, có đồ thị hàm Tìm số điểm cực trị hàm số A B y f x 2022 2020 x 2021 x0 0 y0 2 x y0 0 y f x hình vẽ C Lời giải D Chọn A Ta có y f x 2022 2020 x 2021 Tịnh tiến đồ thị ta thấy suy y f x 2022 2020 y f x 2022 2020 cắt trục Ox điểm Do hàm số có điểm cực trị y M a; b x 1 x có khoảng cách từ M đến đường thẳng Câu 19 Gọi điểm thuộc đồ thị hàm số d : y 3x nhỏ Tìm giá trị biểu thức T 3a b B T 3 A T 4 C T 9 D T 10 Lời giải Chọn A a 2a x 1 b 2 y M a; b a2 a2 x2 điểm thuộc đồ thị hàm số d : y 3x hay d : x y 0 3 6 3 a 2 2 a2 a2 10 10 3a d M,d a 2 Nếu a Nếu a a 2 d M,d Do đó: 2 a 4 d M , d 10 a2 a2 2 a a a 2 a2 a2 10 d M , d 10 a 1 a b T 3a b 4 Câu 20 Một sở sản xuất đồ gia dụng đặt hàng làm cốc hình nón khơng nắp nhơm tích V 9a Để tiết kiệm sản suất mang lại lợi nhuận cao sở sản suất cốc hình nón có bán kính miệng cốc R cho diện tích nhơm cần sử dụng Tính R ? 3a R 3 A 3a R 6 B D R 9a C R 3a Lời giải Chọn B 27a 2 V 9a 3 R h h l h R R Ta có Do 3a S xq R.l R 3a 2R2 R6 R4 3a 2R2 3a 3a 3a 3a 2R2 R6 R4 R6 R2 R 6 3a R2 R 3a 12 9 a 3a R 3a 2 R R Dấu xảy R z 2i 2 Câu 21 Tập hợp số phức z thỏa mãn điều kiện đường tròn tâm I Tổng tất giá d : x y m trị m để khoảng cách từ I đến đường thẳng A B 15 C Lời giải D Chọn D z 2i 2 x yi 2i 2 x y i 2 x y 4 Đặt z x yi Ta có: z 2i 2 I 0; Tập hợp số phức z thỏa mãn điều kiện đường trịn tâm Vì khoảng 2m 2 I 0; 5 d : x y m cách từ đến đường thẳng nên: m m Tổng tất giá trị m Câu 22 Cho điểm x 1 t d : y 1 2t z t I 1;0; đường thẳng Phương trình mặt cầu đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB A x 1 x 1 y2 z 20 B 16 y2 z2 D x 1 x 1 y2 z2 S có tâm I cắt 20 y2 z2 C Lời giải Chọn B Đường thẳng qua MI 0; 1; Ta có M 1;1; có vectơ phương u 1; 2;1 u, MI 5; 2; 1 Gọi H hình chiếu I d u, MI IH d I ; AB u Ta có: IH R Xét tam giác IAB, có Vậy phương trình mặt cầu là: IH 15 R x 1 y2 z2 20 Câu 23 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Góc đường thẳng SA với mặt phẳng ( ABC ) 60 Khoảng cách hai đường thẳng GC SA a A 10 a B a D a C Lời giải Chọn C S H C B G E A SG GA.tan 60 Xét tam giác SGA ta có: ABC , kẻ Xét mặt phẳng Vì : CG // SAx GH Ta có nên Ax //CG , kẻ GE Ax , GH SE Ta có d SA, CG GH d SA, CG d CG , SAx d G , SAx GH GS GE GS GE a GH Suy a a2 a a a 2 với 3 a 2 GE GA.sin 600 a a A 4(sin x cos x) sin x cos6 x 4sin x m Câu 24 Cho phương trình m tham số Để phương trình vơ nghiệm giá trị thích hợp m A m 0 m0 B m C m Lời giải Chọn D sin x cos x 1 sin x sin x cos x 1 sin x Ta có phương trình: cos x (5 3cos x) 4(1 cos x) m D m 25 hay t 1;1 Đặt t cos x , 4t 2t m t 1;1 Xét hàm số f (t ) 4t 2t , f '(t ) 8t f '(t ) 8t 0 t Bảng biến thiên Vậy m 25 hay m Câu 25 Các nghiệm phương trình z z 0 biểu diển hình học điểm A điểm B mặt phẳng tọa độ Độ dài AB A B C D 2 Lời giải Chọn D z 1 i z z 0 z 1 i Do A 1; , B 1; AB 2 II PHẦN TỰ LUẬN Câu 26 Cho lăng trụ ABC ABC có cạnh đáy a Đường chéo AB mặt bên tạo với đáy góc 60 Gọi I trung điểm BC a Tính diện tích tồn phần thể tích lăng trụ BCC B b Tính tan góc đường thẳng AB mặt phẳng Lời giải a Ta có: AB, ABC B AB 60 Suy BB AB tan 60 a Diện tích tồn phần hình lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ: S 3a.a V S ABC BB a 7a a2 3a a 4 b Ta có: ABC AI BC I AI BCC B AB, BCC B AB; BI AB Mà AI BB nên Trong tam giác BBI vuông B : BI BI BB2 a2 13a a 13 3a BI 4 a AI 39 tan ABI BI a 13 13 Trong tam giác AIB vuông I : Câu 27 Trong hình vẽ, xe A kéo xe B sợi dây dài 35 m qua ròng rọc độ cao 12 m Xe A xuất phát từ N chạy với vận tốc không đổi m / s theo chiều mũi tên M 12 m B A N a) Đặt AN x BN y (đơn vị mét) Tìm hệ thức liên hệ x y ... Câu 17 Cho hàm số y x2 x có đồ thị C Số điểm có tọa độ nguyên thuộc C B A Câu 18 Cho hàm số sau: y f x C D có đạo hàm liên tục R, có đồ thị hàm Tìm số điểm cực trị hàm số... x 4sin x m Câu 24 Cho phương trình m tham số Để phương trình vơ nghiệm giá trị thích hợp m A m 0 m0 B m C m D m 25 hay Câu 25 Các nghiệm phương trình z z 0 biểu... 24 Cho phương trình m tham số Để phương trình vơ nghiệm giá trị thích hợp m A m 0 m0 B m C m Lời giải Chọn D sin x cos x 1 sin x sin x cos x 1 sin x Ta có phương