SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH ONTHIONLINE NET SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008 2009 Môn Toán Lớp 9 Thời gian 150 phút (khôn[.]

ONTHIONLINE.NET SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008-2009 Mơn Tốn - Lớp Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 11 tháng 02 năm 2009 Bài : ( 4,0 điểm ) a) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x3 + y3 b) Tìm tất tam giác vng có độ dài cạnh số nguyên số đo diện tích số đo chu vi Bài : ( 4,0 điểm ) 3xy =  x+ y   a) Giải hệ phương trình : 5yz =  y + z   4zx =  z + x  b) Giải phương trình : 25 - x2 - 10 - x = Bài 3: ( 5,0 điểm) a) Cho a b số nguyên dương cho a +1 b +1  số nguyên; gọi a b d ước chung a b Chứng minh : d  a + b b) Chứng minh khơng có số nguyên x y thỏa mãn hệ thức: 2009 2008x + 2009y2010 = 2011 Bài : ( 2,0 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao kẻ từ B C cắt O Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác OAB đường tròn nội tiếp tam giác OAC có bán kính tam giác ABC tam giác cân Bài : ( 5,0 điểm ) Cho hai đường tròn (O; R) (O’; r) tiếp xúc với A Trên đường tròn (O; R) vẽ dây AB = R Trên cung lớn AB lấy điểm M, đường thẳng MA cắt đường tròn (O’; r) N (N khác A) Đường thẳng qua N song song với AB cắt đường thẳng MB E a) Chứng minh độ dài đoạn thẳng NE khơng phụ thuộc vị trí điểm M cung lớn AB; b) Tìm vị trí điểm M cung lớn AB để tam giác MNE có diện tích lớn tính giá trị lớn Hết -Giám thị coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008-2009 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN LỚP Bài : ( 4,0 điểm ) a) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x3 + y3 Bải giải Ta có M = x + y = (x + y)(x − xy + y2) = x2 − xy + y2 (vì x + y = 1) x y x y2 x2 y2  ) =   (  xy  ) = (x2 + y2) + ( 2 2 2  M  (x2+y2) Ngoài x + y =1  x2 + y2 + 2xy =  2(x2 + y2)−(x − y)2 = 1  2(x2 + y2)   (x2 + y2)  dấu xảy  x = y = 2 1 1  M  = dấu xảy  x = y = 2 1 Vậy giá trị nhỏ M , đạt x = y = 3 Điểm b) Tìm tất tam giác vng có độ dài cạnh số ngun tích số đo chu vi Bải giải Gọi a, b, c số đo cạnh tam giác vuông cần tìm Giả sử a b  c (1)  a  b c2 Ta có hệ phương trình :  (2) ab 2(a  b  c) Từ (1)  c2 = (a + b)2 − 2ab  c2 = (a + b)2 − 4(a + b + c) (theo (2))  (a + b)2 − 4(a + b) = c2 + 4c  (a + b)2 − 4(a + b) + = c2 + 4c +  (a + b − 2)2 = (c + 2)2  a + b − = c + (do a + b 2)  c = a + b − Thay vào (2) ta được: ab = 2(a + b + a + b − 4)  ab −4a−4b + =  b(a −4) −4(a−4) =  (a −4)(b−4) = Phân tích = 1.8 = 2.4 nên ta có:  a  1 a - =  a=5 a = hc   hc    b - = b = 12  b =8 b  8 Từ ta có tam giác vng có cạnh (5 ; 12 ; 13) (6 ; ; 10) 0,75 điểm 0,75 điểm 0,5 điểm số đo diện Điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm thỏa mãn yêu cầu toán Bài : ( 4,0 điểm ) 3xy =  x+ y   a) Giải hệ phương trình : 5yz =  y + z   4zx =  z + x  Bải giải + Hiển nhiên hệ có nghiệm x = y = z = Điểm 0,5điểm x  y 1   xy  x  y 2   y z 1   (II)    + Với xyz  (I) viết lại:   yz y z z  x 1      z x  zx 0,5điểm Cộng ba phương trình hệ (II) theo vế ta được: 1 11  1  11     (*) 2     x y z  x y z 0,5điểm Trừ phương trình (*) cho phương trình hệ (II) theo vế ta có : x = 1, y = 2, z = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (0; 0,5điểm 0; 0) (1; 2; 3) b) Giải phương trình : 25 - x2 - 10 - x = Bải giải Điểm 0,25điểm 0,25điểm ĐKXĐ: - 10  x  10 Đặt a = 25  x ; b = 10  x ( a, b  )  a  b 3 Ta hệ pt :  0,5điểm Giải hệ pt ta : a = ; b = Suy : x1 = ; x2 = -3 1,0 điểm 2  a  b 15 Bài 3: ( 5,0 điểm) a) Cho a b số nguyên dương cho a +1 b +1  số nguyên; gọi a b d ước chung a b Chứng minh : d  a + b Bải giải Ta có: nguyên Suy : Điểm a 1 b 1 ab  b  ab  a 2ab a  b a b    2  = : số a b ab ab ab ab 0,5 điểm a b số nguyên a, b số nguyên dương ab 0,5 điểm Nên a b 1 ab 0,5 điểm  a + b  ab Do d ước a nên a  d  a  d > Và d ước b nên b  d  b  d > Suy : ab  d2 nên a + b  d2 Vậy : d  a  b 0,5 điểm 0,5 điểm b) Chứng minh số nguyên x y thỏa mãn hệ thức: 2008x2009 + 2009y2010 = 2011 Bải giải - Nếu y chẵn với x  Z có 2008x2009 + 2009y2010 số chẵn; mà 2011 số lẻ, (vơ lý) - Nếu y lẻ y1005 số lẻ Đặt y1005 = 2k + ( k  Z )  2009y2010 = 2009(y1005)2 = 2009(2k + 1)2 = 2009(4k2 + 4k + 1) = 4[2009(k2 + k)] + 2009 Ta có 2009y2010 chia cho dư  2008x2009 + 2009y2010 chia cho dư 1; mà 2011 chia cho dư 3, (vô lý) Vậy khơng có số ngun x, y thỏa mãn hệ thức : 2008x2009 + 2009y2010 = 2011 Điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Bài : ( 2,0 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao kẻ từ B C cắt O Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác OAB đường tròn nội tiếp tam giác OAC có bán kính tam giác ABC tam giác cân Bải giải Điểm A Gọi O1 O2 tâm đường tròn nội tiếp Hình 0,25 đ tam giác AOB AOC Kẻ O1H  AB H O2K  AC K 0,25 điểm  O1H = O2K (gt) Điểm O trực tâm  ABC K H ˆ ˆ ˆ  ABO ACO (cùng phụ BAC ) O O ˆ ˆ OBH OCK O BO1H CO K (O1H O K;  ) 2 B C 0,5 điểm  BH CK  Nếu AB > AC AH > AK (AB = AH + HB AC = AK + KC) OH O K ˆ  O AK ˆ  OAB ˆ  OAC ˆ  ABC ˆ  AC  AB ˆ  ACB    O1AH AH AK Mâu thuẫn  Nếu AB < AC, lập luận tương tự ta có AB > AC Mâu thuẫn  Vậy AB = AC Tam giác ABC cân A 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Bài : ( 5,0 điểm ) Cho hai đường tròn (O; R) (O’; r) tiếp xúc với A Trên đường tròn (O; R) vẽ dây AB = R Trên cung lớn AB lấy điểm M, đường thẳng MA cắt đường tròn (O’; r) N (N khác A) Đường thẳng qua N song song với AB cắt đường thẳng MB E a) Chứng minh độ dài đoạn thẳng NE khơng phụ thuộc vị trí điểm M cung lớn AB b) Tìm vị trí điểm M cung lớn AB để tam giác MNE có diện tích lớn tính giá trị lớn Bải giải Điểm Hình 0,25 đ (0,75 điểm) (0,75 điểm) (0,25 điểm) NE MN OO` R  r    AB AM AO R R r  NE  AB R  r R a) Ta có Độ dài đoạn NE khơng đổi E B M K H A O’ O N M0 2 S  NE   R r  MAB  MNE    SMNE   SMAB SMAB  AB   R  b) MNE 0,5 điểm Diện tích tam giác MNE lớn  Diện tích tam giác AMB lớn 0,25 điểm Gọi Mo điểm cung lớn AB  Tam giác AMoB cân Mo Tiếp tuyến đường tròn (O; R) Mo cắt BM K ˆ B AMB ˆ  AKB ˆ (góc ngồi tam giác AMK), M nằm 0,5 điểm AM o hai điểm B K suy khoảng cách từ M đến AB không lớn khoảng cách từ K 0,25 điểm đến AB MoK // AB  M o O  AB H khoảng cách từ K đến AB 0,25 điểm MoH Vậy M điểm cung lớn AB diện tích  AMB 0,25 điểm có giá trị lớn R R(2  3) (2  3)R 0,5 điểm M o H R    MaxSAM B  2 o Diện tích  MNE có giá trị lớn 0,5 điểm (R  r) (2  3)R 2   (R  r) 2 R 4 Chú ý : + Mỗi tốn có nhiều cách giải khác nhau, học sinh có cách giải khác, hợp lý đúng xác cho điểm tối đa + Đối với tốn hình, khơng có hình vẽ không chấm + Đề nghị tổ giám khảo cần thảo luận thống quan điểm chấm chung 05 để rút kinh nghiệm, cho đảm bảo công cho tất thi ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008-2009 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN LỚP Bài... 0,5 điểm (R  r) (2  3)R 2   (R  r) 2 R 4 Chú ý : + Mỗi tốn có nhiều cách giải khác nhau, học sinh có cách giải khác, hợp lý đúng xác cho điểm tối đa + Đối với tốn hình, khơng có hình vẽ... số nguyên dương ab 0,5 điểm Nên a b 1 ab 0,5 điểm  a + b  ab Do d ước a nên a  d  a  d > Và d ước b nên b  d  b  d > Suy : ab  d2 nên a + b  d2 Vậy : d  a  b 0,5 điểm 0,5 điểm b)