Qua đó, giúp các em học sinh tham khảo, so sánh với bài thi vào lớp 10 năm 2022 2023 của mình thuận tiện hơn. Kỳ thi tuyển sinh vào 10 năm học 2022 2023 ... Các dạng toán xuất hiện trong bài thi gồm: giải hệ phương trình, giải phương trình, tính giá trị biểu thức ... de thi vao lop 10 mon toan chuyen ... ĐỀ Tuyển sinh vào LỚP 10 MÔN TOÁN chuyên năm 2022 2023 Trường THCS Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2022 -2023 Mơn thi: TỐN (Chun) Thời gian làm : 150 phút, khơng tính thời gian phát đề (Đề thi có 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) x x +2 x +3 x +2 a So sánh biểu thức A = + + 1 − : với − x +1 x − x + x − 3− x b Tính giá trị biểu thức B = x 2024 ( x + 1) − x 2023 + x + x = x + 3x − 3−2 3+2 Câu (2,0 điểm) a Giải phương trình: x − + x −1 = 3x + 4x x + y + xy = b Giải hệ phương trình: 1 x2 + 2x + y + y = Câu (2,0 điểm) a Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn phương trình y − y + 62 = ( y − 2) x + ( y − y + 8) x b Cho đa thức P( x) với số nguyên thỏa mãn P(2021).P(2022) = 2023 Chứng minh đa thức P( x) − 2024 khơng có nghiệm nguyên Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) dây cung AB không qua tâm O Gọi M điểm cung nhỏ AB; D điểm thay đổi cung lớn AB (D khác A B); DM cắt AB C a Chứng minh MB.BD = MD.BC; b Chứng minh MB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD điểm D thay đổi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm đường thẳng cố định Cho hình thoi ABCD có AB = Gọi R1, R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ABD Chứng minh R1 + R2 ≥ Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + 4b + c = 6ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a 2b a + 8b3 + + 2b + c a + c 16c ………… HẾT ……… Lời giải Câu x ≥ a ĐKXĐ: x ≠ x ≠ x x +2 x +3 x +2 + + A= 1 − : x +1 x − x + x − − x x +1− x x +2 x −9 ⇔ A + − : x + 3 x − x − x − x − ( = ⇔A )( ) ( x −3 = : x +1 x −2 x −3 ( )( ( ) ( x −2 )( x −3 ) x −2 x +1 ) Ta có : A + = x −2 + = x +1 Vì 5 >0⇒ A>− 2 x ≥ ⇒ A+ )( x−4 ) ( x −2 +5 ( ) x +1 ) x +1 = x +1 ( ) x +1 Vậy A > − b Vì x = − = 3−2 3+2 Do đó: B= −1 −1 nên x = nghiệm đa thức x + x − 2 x 2023 (2 x + x − 1) + x + x + = = 3− (2 x + x − 1) + x + x +1 Câu x>0 a ĐKXĐ: x ≥ − Phương trình cho đương đương với : x(3 x − 1) + x= − x 3x + ⇔ 12 x − (3 x += 1) x x + Đặt= a x= ,b b=a x + ta có phương trình 3a − b =2ab ⇔ (b − a )(b + 3a ) =0 ⇔ b = −3a 3x + = 2x Khi x + =−6 x +) Với 3x + = x , điều kiện x > , ta có x =1 x + 1= x ⇔ x + 1= x ⇔ x − x − 1= ⇔ x = − ( KTM ) +) Với x + =−6 x , điều kiện − ≤ x < , ta có − 153 x= 72 x + =−6 x ⇔ 36 x − x − =0 ⇔ + 153 ( KTM ) x = 72 2 − 153 72 ( x + 1)( y + 1) = Vậy phương trinh có hai nghiệm x = , x = x + y + xy = 1 b Ta có 1 ⇔ + = 2 x2 + 2x + y + y = ( x + 1) − ( y + 1) − Đặt u =x + 1, v =y + uv = Hệ cho trở thành 1 , điều kiện: u − + v − = uv = ⇔ 2 2 2 4(u + v − 2)= u v − u − v + u ≠ ±1 ( ∗) v ≠ ±1 uv= uv= u= v= ⇔ 2 ⇔ ⇔ (TM (∗)) 18 u + v = u + v =±6 u =v =−3 x = x = −4 Từ suy nghiệm hệ phương trình ; y = y = −4 Câu a Ta có: y − y + 62 = ( y − 2) x + ( y − y + 8) x ⇔ ( y − y + 6) + 56 = ( y − 2) x + ( y − 2)( y − 4) x ⇔ ( y − 2)( y − 3) + 56 = ( y − 2) x + ( y − 2)( y − 4) x ⇔ ( y − 2)( x + yx − x − y + 3) = 56 ⇔ ( x − 1)( y − 2)( x + y − 3) = 56 Nhận thấy ( y − 2) + ( x − 1) = x + y − , nên ta phải phân tích số 56 thành tích số nguyên mà tổng số đầu số cịn lại Như vậy, ta có: 56 =1.7.8 ⇒ ( x; y ) =( 2;9 ) 56 =7.1.8 ⇒ ( x; y ) =( 8;3) 56 =( −8 ) ( −7 ) ⇒ ( x; y ) =( −7;3) 56 = ( −8 ) ( −7 ) ⇒ ( x; y ) = ( 2; −6 ) 56 =( −8 ) ( −1) ⇒ ( x; y ) =( −7;9 ) 56 = ( −8 ) ( −1) ⇒ ( x; y ) = ( 8; −6 ) Vậy phương trình có nghiệm b Giả sử đa thức P ( x ) có nghiệm nguyên a Ta có: P ( a ) − 2024 = ( x − a ) Q ( x ) , ( Q ( x ) đa thức có hệ số nguyên) Ta có: P ( 2021) − 2024 = ( 2021 − a ) Q ( 2021) P ( 2022 ) − 2024 = ( 2022 − a ) Q ( 2022 ) Mà P ( 2021) P ( 2022 ) = 2023 số lẻ ⇒ P ( 2021) , P ( 2022 ) số lẻ Do 2021 − a , 2022 − a số lẻ ⇒ ( 2021 − a ) − ( 2022 − a ) số chẵn ⇒ −1 số chẵn (điều vơ lí) ⇒ P ( x ) − 2024 khơng có nghiệm ngun Câu a Chứng minh MB.BD = MD.BC = sd Ta có: MBC AM = sd MB MDB Mà: AM = MB ( M điểm cung AB ) = ⇒ MBC MDB Xét MBC MDB có góc chung BMC = MDB (cmt ) MBC Do đó, MBC ∽MDB( g g ) MB BC hay MB.BD MD.BC ( dpcm ) = ⇒ = MD BD b Chứng minh MB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD điểm D thay đổi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm đường thẳng cố định Gọi (I) đường tròn ngoại tiếp BCD = BDC = MBC ( BIC góc tâm chắn BC , BDC góc nội tiếp chắn BC ⇒ BIC (I)) BIC = ⇒ MBC 180 − BIC = Ta có BIC cân I ⇒ IBC + IBC = BIC + 180 − BIC = 90o ⇒ MBC 2 ⇒ MB ⊥ BI ⇒ MB tiếp tuyến (I), I ∈ đường thẳng vuông góc với MB Vì M, B cố định, nên đường thẳng vng góc với MB cố định Do đó, điểm D thay đổi tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD nằm đường thẳng cố định = Đặt CAB x⇒ ABD = 900 − x Xét ABC , theo định lý sin, ta có: Tương tự, xét ABD , có: AB = R2 ⇒ R2 = 2cosx 2sin ( 90 − x ) ⇒ R= + R2 Đặt s inx= t ( < t < 1) BC = R1 ⇒ R1 = 2sin x sin CAB 2 1 o + ( < x ≤ 90 ) s inx cosx 1 + t 1− t2 1 2t f (t ) =+ ⇒ f ' (t ) = − 2− 2 t t 1− t 2(1 − t ) − t ⇒ R1 + R= ⇒ f ' (t ) = ⇔ t = ⇒ R1 + R2 ≥ 2 2 2 (dpcm) + = 2 Câu Ta có: P = a 2b a + 8b3 + + 2b + c a + c 16c a a + 8b3 2b ⇔ = +1+ +1+ −2 P a+c 2b + c 16c a + 8b3 ⇔ P = ( a + 2b + c ) + −2 + 16c 2b + c a + c Ta có: ( x − y ) ≥ nên x + y ≥ xy ⇒ ( x + y ) ≥ xy ⇒ ⇒ x+ y với x; y > ≥ xy x+ y 1 + ≥ x y x+ y Lại có: x + y − xy ≥ xy nên ( x + y ) ( x + y − xy ) ≥ xy ( x + y ) ⇒ x3 + y ≥ xy ( x + y ) a.2b(a + 2b) + −2 2b + c + a + c 16c 2(a + 2b) 2ab(a + 2b) ⇔P≥ + a + 2b + 2c 16c ⇒ P ≥ ( a + 2b + c ) Mặc khác: a + 4b + c = 6ab nên (a − 2b) + c = 2ab (a + 2b) ⇒ c ≤ 2ab ⇔ 4a.2b = 4c ⇒ c ≤ Đặt t= a + 2b , ta có: P≥ 2t t +t + 2t 4 t t+2 = + = + − 16 t + 16 t + 16 16 t − = t + 16 8 t+2 Pmin = = ⇔= t t + 16 ⇒P≥2 a = a + 2b = ⇔ a = 2b ⇔ b = c = 2ab c = Vậy GTNN = P khi= a 3,= b = ,c ... ĐẠO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2022 -2023 Mơn thi: TỐN (Chun) Thời gian làm : 150 phút, khơng tính thời gian phát đề (Đề thi có 01 trang) ĐỀ CHÍNH... a ) Q ( 2021) P ( 2022 ) − 2024 = ( 2022 − a ) Q ( 2022 ) Mà P ( 2021) P ( 2022 ) = 2023 số lẻ ⇒ P ( 2021) , P ( 2022 ) số lẻ Do 2021 − a , 2022 − a số lẻ ⇒ ( 2021 − a ) − ( 2022 − a ) số chẵn... y + 62 = ( y − 2) x + ( y − y + 8) x b Cho đa thức P( x) với số nguyên thỏa mãn P(2021).P (2022) = 2023 Chứng minh đa thức P( x) − 2024 khơng có nghiệm nguyên Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O)