Tổng ôn lý thuyết xác suất thông kê dành cho cao đẳng đại học Tổng hợp các lý thuyết một cách dễ hiểu nhất Ôn tập xác suất thống kê cho sinh viên Xác suất thống kê dành cho sinh viên tổng ôn thi cuối kỳ
Ph n I: Tóm t t lý thuy t Các lo i bi n c S kéo theo: A kéo theo B, n u A x y B x y S t ng ng: A t ng ng v i B, n u A x y B x y ng cl i Bi n c t ng: t ng c a A B, n u có nh t bi n c A, B x y (A ho c B x y ra) Bi n c hi u: bi n c A x y nh ng B khơng x y Bi n c tích: tích c a A B, n u c A B Bi n c A ng th i x y i l p c a A: bi n c A khơng x y ì ïA + A = W il pc aA Ûí ï ỵA.A = Ỉ S xung kh c: A xung kh c B n u A B không ng th i x y ra, A.B = Ỉ ìA + B = A + B.A ï Các tính ch t: íA.B = A + B ï ỵA + B = A.B Công th c: Pn ( x ) = Cnx p x q n - x Công th c Bernouli Là dãy n phép th th a mãn i u ki n sau + Các phép th c l p v i + Trong m i phép th ch có bi n c A ho c A xu t hi n + Xác su t hi n hi n A m i phép th c a dãy nh - P (A) = p ( ) - P A = - P (A ) = - p = q - x s l n bi n c A x y dãy n phép th Công th c c ng, nhân xác su t + Cho bi n c A, B Xác su t có i u ki n c a A v i i u ki n B xác su t c a A c tính sau B ã x y + A B c g i éP ( A | B) = P ( A ) cl pn u ê êë P ( B | A ) = P ( B ) (s x y hay không c a bi n c không nh h T ây suy A, B ng t i xác su t x y c a bi n c kia) c l p Û P ( A.B ) = P ( A ).P ( B ) Công th c c ng Công th c nhõn ã A, B xung kh c A.B = ặ P ( A + B) = P ( A ) + P ( B ) Các bi n • A1 ,A , A n xung kh c t ng ụi c xung ổ n n P ỗ Ai ÷ = å P (Ai ) è i =1 ø i=1 kh c • A, B cl p P ( A.B) = P ( A ) P ( B) • A1 ,A , A n Các bi n c p l p (trong toàn b ) P ( A1, A2 , A n ) = P ( A1 ) P ( A ) P ( A n ) cl p • A, B tùy ý Các bi n c tùy ý • A, B tùy ý P ( A.B) = P ( A ).P ( B | A ) = P ( B).P ( A | B ) P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A.B ) • A1 ,A , A n tùy ý P ( A1 ,A , A n ) = P ( A1 ).P ( A | A1 ).P ( A3 | A1A ) P ( A n | A1A A n -1 ) Công th c xác su t y , công th c Bayes Nhóm bi n c A1,A , , A n ( n ³ ) c a phép th g i m t nhóm y n u th a mãn hai tính ìïA1 + A + + A n = W ch t í ùợAi A j = ặ ( i j) Cụng th c xác su t y P ( A ) =P ( A1 ).P ( A|A1 ) +P ( A ).P ( A|A ) P ( A n ) P ( A|A n ) n = å P ( A i ).P ( A|A i ) i=1 Công th c Bayes: P ( Ai | A ) = P ( Ai ) P ( A | A i ) n å P ( A ) P ( A|A ) i i i=1 Bi n ng u nhiên Bi n ng u nhiên th ng c kí hi u b ng ch X, Y, Z, + Bi n ng u nhiên r i r c n u X ( W ) h u h n hay vô h n m c + Bi n ng u nhiên liên t c n u X ( W ) m t kho ng hay m t s kho ng hay toàn b Lu t phân ph i xác su t + Cho bi n ng u nhiên liên t c X Hàm f ( x ) , x Ỵ ì ï ïf ( x ) ³ 0, "x Ï ïï +¥ i u ki n sau: í ị f ( x ) dx = ï -¥ b ï ïP {a < X < b} = ị f ( x ) dx ïỵ a (a < b ) c g i hàm m t xác su t c a X n u th a a + Do P {X = a} = ò f ( x ) dx = , v y khác v i tr ng h p r i r c, v i bi n ng u nhiên liên t c ta quan a tâm t i xác su t X nh n m t giá tr c th + Xác su t c a bi n c {a < X < b} , {a £ X < b}, {a < X £ b}, {a £ X £ b} nh Hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên + Hàm phân ph i xác su t c a X, kí hi u F ( X ) hàm s th c xác nh nh sau: F ( X ) = P ( X < x ) , "x Ỵ + Hàm phân ph i xác su t cho bi t t l ph n tr m giá tr c a X n m v bên trái c a s x + V i bi n ng u nhiên r i r c: F ( X ) = å P (X = x ) = å P i xi < x + V i bi n ng u nhiên liên t c: F ( X ) = i xi < x x ị f ( x ) dx -¥ ì0 £ F ( X ) £ ï + Tính ch t c n nh : í P {a £ X < b} = F ( b ) - F ( a ) ï ỵP ( X < b ) = F ( b ) Các c tr ng c a bi n ng u nhiên R ir c M t c a X, ModX Liên t c + Là giá tr c a X ng v i xác su t l n + Là giá tr hàm m t nh t tr max + Là giá tr c a X nhi u kh n ng x y + Là giá tr mà X có nhi u kh n ng nh t xu t hi n kho ng ch a nh t ¥ Kì v ng, E(X) EX = å x i p i i =1 EX = +¥ ị x.f ( x ) dx -¥ xác su t t giá Ý ngh a: + Là giá tr trung bình c a bi n ng u nhiên, Nó ph n ánh giá tr trung tâm c a phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên + Trong th c t s n xu t hay kinh doanh n u c n ch n ph cao (hay l i nhu n cao), ta ch n ph ng án cho n ng su t ng án có n ng su t kì v ng cao (hay l i nhu n kì v ng cao) Tính ch t: + E (C ) = C , C h ng s + E ( CX ) = C.E ( X ) + E (X ± Y) = E (X) ± E (Y) + N u X, Y c l p: E ( X.Y ) = E ( X ).E ( Y ) ìå j ( x i ) pi , X roi rac ïï i + N u Y = j ( X ) E ( Y ) = í+¥ ï ị j ( x ) f ( x ) dx, X liên tuc ùợ-Ơ + Var ( X ) ( ) + Var ( X ) = E X - éëE ( X )ùû ìå x i2 pi ï ï i V i E ( X ) = í +¥ ï ị x 2f ( x ) dx ù ợ -Ơ Ph ng sai, Var(X) í ngh a: + Ph ng sai nh phân tán nh v y + Ph ng sai l n phân tán l n v y + Trong k thu t ph ng sai + Trong kinh doanh ph + Mu n dùng a c tr ng v c tr ng s g i s ( X ) = Var ( X ) c tr ng cho ng sai t p trung nh sai s c a thi t b c trung cho phân tán t p trung l n r i ro c a quy t có th so sánh v i l ch tiêu chu n nh c tr ng khác ta Tính ch t: + Var ( C ) = , C h ng s + Var ( CX ) = C Var ( X ) + N u X, Y c l p: ì ïVar ( X ± Y ) = Var ( X ) ± Var ( Y ) í 2 ï ỵs ( X ± Y ) = s ( x ) + s ( Y ) + Var ( X + C ) = Var ( X ) R ir c Trung v , Med(X) Med ( X ) = x i n u F ( xi ) £ Liên t c Med ( X ) = x n u £ F ( x i +1 ) , x i Ỵ X ( W ) F ( x0 ) = x0 ò f ( x ) dx = 0,5 -¥ Bi n ng u nhiên chi u + Hai bi n ng u nhiên X Y c g i ìP ( X = x i , Y = y j ) = P ( X = x i ).P ( Y = y j ) "i, j ï cl pn u ím n ïåå p ij = î i =1 j=1 + Phân ph i có i u ki n c a X v i i u ki n Y = y j Pi|y j = P ( X = x i | Y = y j ) = P (X = x i , Y = y j ) P (Y = y j ) 10 B ng phân ph i l c a X, c a Y 12 Hàm m t ng th i c a V=(X,Y) Cho b ng phân ph i xác su t ng th i c a V=(X,Y) Khi ó, hàm m t ng th i ìpij ( x, y ) = ( x i , y j ) ï f ( x, y ) = í ïỵ0 ( x, y ) ¹ ( x i , y j ) "i, j 11 Các tham s Hi p ph c tr ng ng sai cov ìå x i y jPij - E ( X ).E ( Y ) ï i, j cov ( X, Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E ( Y ) = í ïịị xyf ( x, y ) dxdy - E ( X ) E ( Y ) î R2 Chú ý m n E ( XY ) = åå x i y jpij i =1 j=1 Kì v ng có i u ki n c a X v i i u ki n Y = y j n n i =1 i =1 E ( X | Y = y j ) = å x i P ( X = x i | Y = y j ) = å x j.Pi| j n = å xi i =1 P (X = xi , Y = y j ) P(Y = y j ) Chú ý n m Ej ( X,Y ) = åå j ( x i , yi ).Pij i =1 j=1 Kì v ng c a hàm bi n ng u nhiên Z = f(X,Y) v i (X,Y) r i r c m n E ( Z ) = E éëf ( X,Y )ûù = åå f ( x i , y j ) pij i =1 j=1 cov ( X, Y ) r ( X, Y ) = s( X)s (Y ) ìs ( X ) = Var ( X ) ï í ïỵs ( Y ) = Var ( Y ) Chú ý H s t • r ( X, Y ) £ ng quan • Var ( aX ± bY ) = a Var ( X ) + b Var ( Y ) ± 2ab.cov ( X, Y ) ã X v Y c l p ị cov ( X, Y ) = • cov ( X, Y ) ị X v Y ph thu c l n 12 Lu t phân ph i xác su t + Th c hi n n phép th c l p + Trong m i l n th , ta quan tâm n bi n c A ó (x y hay khơng x y ra) v i p = P ( A ) ln h ng s khơng Kí hi u Phân ph i nh th c X B ( n,p ) X = {0,1,2, , n} i, không ph thu c vào phép th Cơng th c ìk = 0,1, 2, , n P ( X = k ) = C kn p kq n -k í ỵq = - p ìm = E ( X ) = n.p ï ís = Var ( X ) = n.p.q ï ỵn.p - q £ Mod ( X ) £ n.p + p M t t ng th có N ph n t g m lo i, ó có N A ph n t có tính ch t A L y ng u nhiên n ph n t t t ng th G i X s ph n t có tính ch t A n ph n t Kí hi u Cơng th c H ( N; N A ;n ) X • P (X = k ) = X = {0,1, 2, ,n} CkNA C nN kNA CnN • m = E ( X ) = n.p V i p= Phân ph i siêu b i NA : t l ph n t có tính ch t A N • s = Var ( X ) = n.p.q N-n N -1 V i q = - p : t l ph n t khơng có tính ch t A + Khi t ng th N l n, c m u n r t nh so v i N phân ph i nh th c phân ph i siêu b i cho k t qu g n b ng Nói cách khác, ta có N lón H ( N, N A , n ) ắắắắ đX n 50 B ( n, p ) ắắắ đX p < 0,1 Kớ hi u Hàm m t P (l ) v i l = n.p X N ( m, s ) f (x ) = e s 2p ( x -m )2 s2 + Hàm Gauss hàm ch n Hàm Gauss - x2 + f (x ) = e 2p + Hàm Laplace hàm l Hàm Laplace x t + j( x ) = e dt, "x Ỵ ị 2p ỉ b -m ỉ a -mư • P (a £ X Ê b ) = j ỗ ữ - jỗ ÷ è s ø è s ø Phân ph i chu n Cơng th c ỉ b -m • P (X < b) = jỗ ữ ố s ứ a -m • P ( X > a ) = - P ( X £ a ) = - P ( X < a ) = - j ổỗ ữ ố s ứ ổeử ã P ( X - m < e ) = 2j ỗ ÷ , "e > è sø P ( X - m < ks ) = 2j ( k ) N u k = ta có quy t c – sigma Quy t c k - sigma P ( X - m < 3s ) = 2j ( 3) = 0,9974 Ngh a là: sai s gi a X m không 3s g n ch c ch n (xác su t g n b ng 1) ì( a £ X £ b ) = ( a £ X < b + 1) ï í( a < X < b ) = ( a + £ X < b ) ï ỵ( a < X £ b ) = ( a + £ X < b + 1) Chú ý X np ³ B ( n, p ) ắắắ đX nq • P (X = k ) » ìïm = n.p N ( m, s ) v i í ùợs = n.p.q ổ k -m fỗ ữ s è s ø æ b - m - 0,5 ỉ a - m - 0,5 • P (a Ê X < b ) ằ j ỗ ữ - jỗ ữ s s ố ứ ố ứ 13 B ng liên h phân ph i Phân ph i nh th c X Phân ph i siêu b i N lón H ( N, N A , n ) ắắắắ đX n 50 B ( n, p ) ắắắ đX p < 0,1 P (l ) v i l = n.p X np ³ B ( n, p ) ắắắ đX nq ỡùm = n.p N ( m, s ) v i ùợs = n.p.q ã P (X = k ) ằ ổ k -m fỗ ữ s ố s ø ỉ b - m - 0,5 ỉ a - m - 0,5 • P (a £ X < b ) ằ j ỗ ữ - jỗ ÷ s s è ø è ø NA N 14 Lý thuy t m u cl ng tham s T ng th : t p h p t t c ph n t c n kh o s m t tính ch t A ó G i N s ph n t c a t ng th M u: t p h p g m ph n t c ch n t t ng th G i n s ph n t c a m u (c m u) + Trung bình c a t ng th : m = E ( X ) ng sai c a t ng th : s = Var ( X ) + Ph + T l (xác su t) c a ph n t có tính ch t A: p = n N n: s ph n t có tính ch t A - B ng s li u + D ng li t kê: x1 , x , , x k , ó m i x i có th l p l i S p x p l i s li u Þ B ng pp th c nghi m xi T ns ( ni ) x1 x2 … xk n1 n2 … nk + D ng kho ng: xi = a i + bi Þ B ng pp th c nghi m Công th c Cho b ng pp th c nghi m n = n1 + n + + n k Trung bình m u x x= k å nixi n n =1 Ph ì ỉ k n i x i2 - nx ữ ù ỗ k ù n - è i =1 ø ó x = n x s2 = í å i i n n =1 ï n éx2 - x ù ïỵ n - ëê ûú ng sai m u s2 ( ) s = s2 l ch m u s f = T l m uf cl ( a;b ) : kho v i m v i m s ph n t có tính ch t A ó n cl ng kho ng ng tin c y (kho ng cl ng) ng trung bình c a t ng th m : trung bình c a t ng th Gi thi t: Cho c m u n, tin c y g M c ý ngh a a = - g M c tiêu: tìm e : sai s tin c y g , x, s cl ng, xác cho i x ng ( ) mỴ ( -¥;x + e ) : kho ng tin c y t i a mẻ ( x - e; +Ơ ) : kho ng tin c y t i thi u mỴ x - e;x + e : kho ng tin c y Ph ng pháp: tùy vào n s 15 D ng toán th ng kê + B ng s li u M c ý ngh a a = - g + Bài toán cl ng trung bình tin c y g = - a Bài toán thu n s bi t s ch a bi t n < 30 s ch a bi t n ³ 30 cl ng TB (2 phía) ( ) mỴ x - e;x + e + cl ( cl Phõn ph i Student ng TBT mẻ -Ơ;x + e + aử ổ C = t ỗ n - 1, ữ 2ứ ố g j(C) = ị C ) ng TBTT ( mẻ x - e; +Ơ (1 phía) j ( C ) = 0,5 - a Þ C ) e= Cs s bi t n e: Bài toán ng C = t ( n - 1, a ) e= xác, sai s cl Cs s ch a bi t n ng c Cho n, e Tìm tin c y g Cho e, g Tìm c m u n e= C Þ CÞ g n e= C Þn n N u n tính ch a nguyên n = [k t qu ] + m = n - n0 Tìm c m u n c n i u tra thêm n: c m u c n i u tra n : c m u g c ban Chú ý e ph i nv v ix u + Bài toán ki m nh: so sánh trung bình v i m t s s bi t s ch a bi t n < 30 s ch a bi t n 30 aử ổ C = t ỗ n - 1, ÷ 2ø è ìïH : m = m ùợH : m m g j(C) = Þ C ìïH : m = m ìïH : m = m ho c í í ïỵH : m > m ïỵH : m < m j ( C ) = 0,5 - a Þ C Phân ph i Student t= (x - m ) n s s bi t t= ìt £C ï Ch p nh n H í - t £ C ït £ C ỵ + Bài tốn ki m C = t ( n - 1, a ) (x - m ) s n s ch a bi t ìt >C ï Ch p nh n H í- t > C ït > C ỵ nh: so sánh trung bình G i m i : trung bình c a t ng th th I si : m: c m u l y t t ng th th n: c m u l y t t ng th th x i : trung bình m u th I si : l ch chu n c a t ng th th i l ch chu n c a m u th i s bi t s ch a bi t n < 30 s ch a bi t n ³ 30 aử ổ C = t ỗ m + n - 2, ÷ 2ø è ìïH : m1 = m ùợH : m1 m g j(C) = Þ C ìïH : m1 = m ìïH : m1 = m ho c í í ïỵH : m1 < m ïỵH : m1 > m j ( C ) = 0,5 - a Þ C Phân ph i Student s1 , s bi t s1 , s ch a bi t m,n ³ 30 x1 - x t= C = t ( m + n - 2, a ) s12 s 22 + m n t= s1 , s ch a bi t m,n < 30 t= x1 - x s12 s 22 + m n V is ìt £C ï Ch p nh n H í - t £ C ït £ C ỵ + Bài toán cl x1 - x m - 1) s12 + ( n - 1) s 22 ( = ìt >C ï Ch p nh n H í - t > C ït > C ỵ ng t l Bài toán thu n p: t l ph n t có tính ch t A t ng th f: t l ph n t có tính ch t A m u cl j(C) = ng TL (2 phía) g ÞC Þf = m v i m: s ph n t có tính ch t A n ( -¥;f + e ) cl ng T cl ng TT ( f - e; +¥ ) j ( C ) = 0,5 - a Þ C s2 s + m n m+n-2 e=C Bài toán ng f (1 - f ) n c Cho n, e Tìm tin c y g Cho e, g Tìm c m u n e=C f (1 - f ) ÞCÞg n e=C f (1 - f ) Þn n N u n tính ch a ngun n = [k t qu ] + Tìm c m u n c n i u tra thêm m = n - n0 n: c m u c n i u tra n : c m u g c ban Chú ý e s khơng có + Bài toán ki m u nv nh: so sánh t l v i m t s ìï H : p = p ùợ H : p p j(C) = ìï H : p = p ìïH : p = p ho c í í ïỵ H : p > p ïỵH : p < p j ( C ) = 0,5 - a Þ C g ÞC t = (f - p0 ) ìt £C ï Ch p nh n H í - t £ C ït £ C ỵ n p (1 - p ) ìt >C ï Ch p nh n H í - t > C ït > C ỵ + Bài tốn ki m nh: so sánh t l G i pi : t l c a t ng th th i fi : t l c a m u th i m: c m u l y t t ng th th n: c m u l y t t ng th th ìï H : p = p ùợ H : p p j(C) = ìï H : p = p ìïH : p = p ho c í í ïỵ H : p > p ïỵH : p < p j ( C ) = 0,5 - a Þ C f= ìt £C ï Ch p nh n H í - t £ C ït £ C ỵ mf1 + nf m+n g ÞC t= f1 - f ổ 1ử f (1 - f ) ỗ + ÷ èm nø ìt >C ï Ch p nh n H í - t > C ït > C î ...3 Công th c c ng, nhân xác su t + Cho bi n c A, B Xác su t có i u ki n c a A v i i u ki n B xác su t c a A c tính sau B ã x y + A B c g i éP (... ê êë P ( B | A ) = P ( B ) (s x y hay không c a bi n c không nh h T ây suy A, B ng t i xác su t x y c a bi n c kia) c l p Û P ( A.B ) = P ( A ).P ( B ) Công th c c ng Cơng th c nhân • A, B xung... A n ) cl p • A, B tùy ý Các bi n c tùy ý • A, B tùy ý P ( A.B) = P ( A ).P ( B | A ) = P ( B).P ( A | B ) P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A.B ) • A1 ,A , A n tùy ý P ( A1 ,A , A n ) = P