CÂU 44 VỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC NÂNG CAO BÁM SÁT Ề MINH HỌC 2022 Câu 1 [Mức độ 4] Cho số phức z thỏa mãn 3 4 5z i Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2P z z i[.]
CÂU 44 VỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC NÂNG CAO BÁM SÁT Ề MINH HỌC 2022 Câu [Mức độ 4] Cho số phức z thỏa mãn z 4i Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z z i Tính mơđun số phức w M mi 2 B w 309 A w 314 C w 1258 D w 137 Lời giải FB tác giả: Bùi Thanh Sơn Gọi z x yi x ; y Do z 4i nên điểm A biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I 3; , bán kính R Lại có P x yi x yi i x yi x y 1 i 2 2 x y x y 1 x y 2 Do điểm A thuộc đường thẳng : x y P Để tồn x ; y d I ; R 4.3 2.4 P 42 22 P 23 10 13 P 33 M max P 33 m P 13 w M m2 1258 Câu 2: [Mức độ 4] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 2i z2 z2 Số phức z thỏa mãn z 5i z 6i Giá trị nhỏ biểu thức z z1 z z2 A 23 B 13 11 Lời giải C D FB tác giả: Đoàn Thị Hường Gọi điểm M x1 ; y1 biểu diễn cho số phức 2z1 ; điểm I 4; biểu diễn cho số phức 4i ta có 1 z1 4i MI Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức 2z1 4 đường tròn C tâm I 4; , bán kính R z1 2i Gọi điểm N x2 ; y2 biểu diễn cho số phức z2 , điểm F1 1;0 biểu diễn cho số phức , điểm F2 1;0 biểu diễn cho số phức 1 , ta có z2 z2 NF1 NF2 Do tập hợp điểm N biểu diễn cho số phức z2 elip có hai tiêu điểm F1 ; F2 5 Gọi điểm P x; y biểu diễn cho số phức z , điểm B 1; biểu diễn cho số phức z 1 i , điểm 2 3i , C ;3 biểu diễn cho số phức z 5i z 6i z i z 3i PB PC Do tập hợp điểm P biểu diễn cho số 2 phức z đường trung trực đoạn thẳng BC có phương trình x y Khi ta có z z1 z z2 PM PN Điểm đối xứng I 4; qua đường thẳng I 0;8 nên đường tròn C đối xứng với đường tròn C qua đường thẳng có tâm I 0;8 bán kính R R Câu Xét số phức z a bi , a, b thỏa z z 15i i z z 1 Tính F a 4b z 3i đạt giá trị nhỏ A F B F C F D F Lời giải FB tác giả: Lê Chung Ta có: z z 15i i z z 1 8bi 15i i 2a 1 8b 15 2a 1 (1) 2 1 1 Đặt A z 3i a b 3 i a b 3 2 2 1 8b 15 b 3 4b2 32b 21 2 Xét hàm số f b 4b 32b 21 với b f b 8b 32 0, b Suy A 2a 1 15 15 (từ (1) suy b ) 8 15 15 hàm f b đồng biến ; 8 15 15 39 f dấu " " xảy b a 8 Vậy F a 4b 15 b 3 Do theo hình vẽ ta có: PM PN PM PN PM PN M N I O R ON 23 Câu 4: Trên tập hợp số phức, cho phương trình z az b , a , b 23 4 Vậy giá trị nhỏ biểu thức z z1 z z2 Biết phương trình cho có hai nghiệm z1 i z2 , giá trị az1 bz2 A B C 85 Lời giải Ta có: phương trình z az b có nghiệm z1 i nên 2 i D 10 a i b 4i i 2a b 2a b 4 a i 3 2a b a 4 4 a b Do z1 i z2 số phức liên hợp z1 nên z2 i az1 bz2 4 i i 9i 85 Câu Gọi S tập hợp tất số phức z thoả mãn z 2i z mi z m i , m hai số phức thuộc S cho z1 z2 lớn nhất, giá trị z1 z2 A 18 B C Lời giải Tác giả:Diệp Tuân; Fb:Tuandiep Chọn D D Gọi z1 , z2 Đặt z x yi, x, y z 2i Theo giả thiết có: z mi z m i , m x yi 2i x yi mi x yi m i , m 2 x 12 y 2 81 x 1 y 81 2 2 x y m x m y 1 2m x 2m y 1 2 Ta có 1 đường trịn C có tâm I (1; 2), R 9; 2 đường thẳng Vì có tối đa số phức z1 , z2 thoả mãn hệ phương trình cho Gọi A z1 , B z2 ta có z1 z2 OA OB AB Để z1 z2 đạt giá trị lớn AB đường kính đường trịn C Khi I trung điểm AB Ta có z1 z2 OA OB 2OI 2OI Câu [2D4-5.2-3] Cho số phức z thỏa mãn 1 22 z 1 i z 1 i P z 2i z Tổng giá trị lớn 2 giá trị nhỏ P A 9 B 11 C D 20 Lời giải FB tác giả: Quang Mến Pham Với z x yi ( x, y R) ta có + z i z i x y 1 i x y 1 i x 1 y 1 , (1) 2 + P z 2i z x y x 1 y 2 x y , (2) 2 2 +Vì tồn z nên hệ (1) (2) có nghiệm Từ (2) suy : y 2x P thay vào (1) x 1 2x P 1 2 16 x 1 x P 1 80 20 x P 18 x P P 63 , (*) 2 Phương trình (*) có nghiệm ' (2 P 18)2 20( P P 63) Đươc: 16P2 32P 1584 9 P 11 Vậy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ P Câu [Mức độ 3] Cho số phức z1 z2 thỏa mãn điều kiện z1 i z1 i z2 z2 2i Giá trị nhỏ biểu thức P z1 z2 z1 z2 thuộc khoảng A 5;6 B 7;8 D 4;5 C 8;9 Lời giải FB tác giả: Trần Bình Thuận Gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1 a bi , z2 c di a, b, c, d Ta có z1 i z1 i a b 1 i a b 1 i a b 1 a 1 b 1 2 2a 4b Vậy M di động đường thẳng d1 : x y Tương tự, N di động đường thẳng d : x y 3 Ta có z1 z2 z1 z2 a c b d 2 a 5 b2 c 5 d MN MA NA với A 5;0 Gọi A1 điểm đối xứng A qua d1 , A2 điểm đối xứng A qua d Khi đó, dễ thấy 16 12 26 A1 , A2 ; 5 5 Ta có MN MA NA MN MA1 NA2 A1 A2 Dấu xảy M , N , A1 , A2 thẳng hàng Vậy, giá trị nhỏ P Pmin Câu 8: [ Mức độ 3] z a bi , a, b 857 12 16 26 A1 A2 5 5 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 2i z2 i Xét số phức thỏa mãn 2a b Khi biểu thức T z z1 z z2 đạt giá trị nhỏ giá trị biểu thức P a b2 A B C D 10 Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Ngọc; Fb: Van Ngoc Nguyen Gọi M1 , M , M điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z Khi T z z1 z z2 MM MM Ta có z1 2i M thuộc đường tròn (C1 ) tâm I1 (3; 2) bán kính R1 z2 i z2 2i M thuộc đường trịn (C2 ) tâm I (4; 2) bán kính R2 Lại có z a bi , a, b thỏa mãn 2a b M thuộc đường thẳng d : x y Gọi (C3 ) đường tròn đối xứng với (C1 ) qua d (C3 ) tâm I ( ; 18 ) bán kính R3 Gọi A, B giao điểm I I với (C2 ) (C3 ) hình vẽ Ta có T MM1 MM MM MM AB T đạt giá trị nhỏ M giao điểm I I với d Phương trình đường thẳng I I x y 10 2 x y Tọa độ điểm M nghiệm hệ M (1; 2) 4 x y 10 Do P a b2 Câu [2D4-5.2-4] [Mức độ 4] Cho hai số phức z, w thay đổi thỏa mãn đẳng thức 1 i z zi A 2022 z 2022i 2021 w B 2i Giá trị lớn w 1011 C 2023 D 2019 Lời giải FB tác giả: Đặng Minh Huế Đặt u z i , z zi z i u Ta có : 1 i z zi 1 i u 2i 2022 z 2022i w 2022 z i w w 2i 2022 u 1 i u 2i w 2022 u 1 i u 2i w 2022 u u 4 2022 u 2 u 1011 Dấu xảy u z i Vậy giá trị lớn w Câu 10 Xét số z A w B 1011 thỏa mãn (3 i ) z z i Giá trị nhỏ biểu thức T w i w 1 C 2 D 2 Lời giải FB tác giả: Lê Bình Kiểm tra với z , biểu thức (3 i) z z i trở thành i (không đúng) w 1 Với z (3 i ) z z z 1 i (3 i ) z i w 1 w 1 z (3 z 1) 1 z i w 1 z 10 z z w 1 Đặt t z 0, z z w 1 10t 8t 3t 1 1 t 2 w 1 3t 1 1 t t 2 Với T w i AM điểm A 0; 1 , Điểm M nằm đường tròn Suy ra, w w thay đổi TMin AM Min AI R 2 Câu 11 [ Mức độ 4] Xét số phức z có phần thực âm thỏa mãn z Giá trị nhỏ biểu thức P z i z 3i z 3i A B 17 C 17 D 37 Lời giải FB tác giả: Nhật Hoàn Gọi M x; y điểm biểu diễn số phức z M x; y thuộc đường trịn C có tâm I 1;0 bán kính R Ta có: P z i z 3i z 3i MA MB MC với A 3;1 , B 0; , C 0; hai điểm B, C nằm đường tròn C Ta lấy điểm D 3;0 Khi tam giác BCD D 3;0 điểm thuộc đường tròn C Trên đường thẳng MD lấy điểm N cho MN MB Vì tam giác BNM cân M BMD sđ BD 60 nên tam giác BNM Ta có NBD CBN CBM CBN 60 NBD CBM DB DC Xét hai tam giác DBN tam giác CBM , ta có NBD CBM DN MC BDM BCM Khi P z i z 3i z 3i MA MN DN MA MD AD 37 Giá trị nhỏ biểu thức P z i z 3i z 3i 37 Câu 12 [ Mức độ 3] Xét hai số phức z1 , z2 thoả mãn z1 z2 z1 3z2 7i Giá trị lớn biểu thức P z1 2i z2 i A B C D Lời giải FB tác giả: Võ Đức Toàn Đặt w1 z1 2i; w2 z2 i Suy z1 w1 2i; z2 w2 i Khi z1 z2 w1 2i w2 i w1 2w2 w1 w2 w1 2w2 w1 2w2 w1 2w2 w1 2w2 w1 w2 2w1 w2 2w1w2 2 w1 12 w2 6w1 w2 6w1w2 12 2 Tương tự z1 3z2 7i w1 2i w2 i 7i 2w1 3w2 (1) 2w1 3w2 16 w1 w2 6w1 w2 6w1w2 16 (2) 2 Từ (1) (2) suy w1 w2 2 Do P w1 w2 w1 w2 Vậy giá trị lớn P w w2 2 4 1 3 w1 3; w2 3 Câu 13 [Mức độ 3] Cho số phức z a bi (a, b ) thỏa mãn z (1 i) | z | (4 3z)i Giá trị biểu thức P a 3b A P 6 B P 2 C P D P Lời giải FB tác giả: Vũ Khiên Ta có z 1 i | z | (4 3z )i z 3z i 1 i z z 4i 3iz 1 i z z 1 3i 4i 1 i z Mà z a bi a, b (1) z a b2 (1) a bi 1 3i 4i 1 i a b a 3b 3a b i a b a b2 i a 3b a b (2) 2 3a b a b a 3b a 3b 3a b a 2b với 3a b Thay vào (1) ta có b b 5b 2b b b 5b 2 2b 2 b b 2 (t / m) Với b 2 a a 3b Câu 14 [Mức độ 4] Gọi M , N , P điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn điều kiện z1 3i z1 , z2 z2 i , z3 z3 Khi M , N , P ba đỉnh tam giác giá trị nhỏ chu vi tam giác MNP A B 12 C 10 10 D 13 Lời giải FB tác giả: Phạm Đình Huấn z1 3i z1 x y 3 x y x y 2 2 z2 z2 i x y x 3 y 1 x y 2 z3 z3 PA PB AB với A 1; , B 3; P thuộc đoạn AB Gọi EF điểm đối xứng với P qua hai đường thẳng 3x y x y Ta có MN NP PM EM MN NF EF 2HK HK PH PK 2PH PK cos HPK PH PK PH PK cos C cos C AC BC AB AC.BC S PAC S PBC S ABC PH 10 PK 12 PK 12 10 PH HK PH 12 PH 10 12 10 PH PH Đặt PH x HK 8 10 8 10 8 10 36 36 x x x x 15 9 9 10 5 Vậy HK 12 MN NP PM 5 Câu 15: [2D4-5.1-4] Gọi S tập hợp tất số phức w z i cho số phức z thỏa mãn z i z i 36 Xét số phức w1 , w2 S thỏa mãn w1 w2 Giá trị lớn P w1 5i w2 5i 2 A 13 B 37 C 17 D 20 Lời giải FB tác giả: Hà Thị Thanh Huyền FB phản biện: Hồ Văn Dũng Gọi w x yi x, y Khi Gọi z a bi a, b Khi w 2z i z x y 1 i 2 1 z i z i 36 a b 1 i a b 1 i 36 a 3 b 1 suy x 1 y 1 I 1; 1 , R 12 2 36 Từ 1 144 Tức tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm Gọi A, B điểm biểu diễn w1 , w2 gọi M 0;5 Ta có: w1 w2 BA 2 Xét: P w1 5i w2 5i MA2 MB MA MB MI IA MI IB 2 2MI BA 2.MI BA.cos(MI , BA) 37 Dấu xảy BA hướng MI Vậy giá trị lớn P w1 5i w2 5i 37 2 Câu 16: [SD12.C4.5.D03.d] Cho hai số phức hàm số z1 , z2 thoã mãn z 2i z , z1 z2 2 số phức w thoã mãn w 4i Giá trị nhỏ biểu thức P z2 3i z1 w bằng: A 10 B 17 C D 26 Lời giải FB tác giả: HuongCao Gọi z x yi ta có z 2i z x y Gọi điểm biểu diễn z1 , z2 M , N M , N thuộc đường thẳng d : x y MN 2 Gọi điểm biểu diễn số phức w B Do w 4i nên B thuộc đường tròn C tâm I 2; bán kính R Khi P z2 3i z1 w NA MB Với A 2;3 Dựng hình bình hành ANMC C 0;5 Khi NA MC nên NA MB nhỏ MC MB nhỏ Ta có đường trịn C điểm C 0;5 nằm phía so với đường thẳng d nên gọi C ' điểm đối xứng với C 0;5 qua đường thẳng d C ' 2;3 Khi MC MB nhỏ C ', M , B thẳng hàng M giao điểm đường thẳng C ' I d ; B giao điểm đường thẳng C ' I đường trịn C Khi MC MB nhỏ C ' I R 17 Câu 17: [ Mức độ 3] Xét số phức z thỏa mãn z 2i số phức w thỏa 10i w 4i z 25i Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P w A B 10 C D Lời giải FB tác giả: Lương Công Sự Gọi w x yi với x , y Ta có 10i w 4i z 25i z 1 2i w 3i Lại có z 2i 1 2i w 3i 2i 1 2i w 5i w3i x yi i x 3 y 1 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm I 3;1 , bán kính R max P OM R OI 10 P ON OI R 10 Vậy max P P 10 Câu 18: [2D4-2.4-4] Cho z1 z2 hai số phức z thỏa mãn z 3i , đồng thời z1 z2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức w z1 z2 mặt phẳng tọa độ Oxy đường trịn có phương trình dạng x a y b A T 96 r r Tính giá trị biểu thức T a b r B T 64 C T D T 12 Lời giải FB tác giả: Phí Thị Nhung Gọi A; B điểm biểu diễn z1 ; z2 Từ giả thiết z 3i suy A; B thuộc đường tròn tâm I 5;3 , bán kính z1 z2 suy AB Gọi M trung điểm đoạn AB Khi ta tính IM Mặt khác, M điểm biểu diễn số phức z1 z2 , I điểm biểu diễn số phức 3i , thay vào ta có biểu thức z1 z2 3i z1 z2 10 6i Vậy điểm biểu diễn z1 z2 nằm đường tròn tâm J 10;6 ; r Khi a 10 ; b ; r Vậy a b r 96 Câu 19: [Mức độ 4] Xét số phức z w thỏa mãn z w , z w Giá trị nhỏ biểu thức P zw 2i z w A B 1 C 2 D Lời giải FB tác giả: Trần Chiến Ta có P zw 2i z w zw 2i z w 4i z w 2i 2i w 2i z 2i w 2i z 2i w 2i Trong hệ tọa độ Oxy , gọi A 0; 2 , M , N điểm biểu diễn số phức z , w Khi đó, z 2i MA w 2i NA Suy P MA.NA Ta có z w z w z w 2 2 2 z w 2 12 12 z w Suy MN Lại có z w , suy OM ON Do tam giác OMN vng cân O Vì OM ON nên gọi M sin a; cos a N sin b; cos b Ta có OM ON sin a.sin b cos a.cos b cos a b a b Khơng tính tổng quát, giả sử a b k k Khi đó, xN sin b sin a cos a yN cos b cos a sin a 2 2 Suy N cos a; sin a 2 Ta có P MA2 NA2 sin a cos a cos a sin a cos a 4sin a 25 20 sin a cos a 16sin a.cos a Đặt t sin a cos a sin a t 2; 4 Ta có t 2sin a.cos a 16sin a.cos a t 1 5 9 Khi đó, P 25 20t t 1 8t 20t 17 t 4 2 Suy P Đẳng thức xảy t 2; Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Câu 20: [2D4-5.1-4] Giả sử z1 , z2 hai số phức z thỏa mãn z i z số thực Biết z1 z2 Giá trị nhỏ z1 3z2 A 5 73 B 21 C 20 73 D 20 21 Lời giải Tác giả: chanhnghia01 Đặt z x yi, x, y Gọi A, B điểm biểu diễn cho số phức z1 , z2 Suy AB z1 z2 Ta có: z 8 iz x yi 8 i x yi x yi 8 ix y x x 2i xy yi xy y 2i 48 xi y Do z i z số thực nên ta x y x y Vậy tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn tâm I 3; bán kính r Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa MA 3MB OA 3OB 4OM Gọi H trung điểm AB Ta có HA HB AB MA AB HM MA HA 2 Từ HI R HB 16 , IM HI HM I 3; , bán kính r 73 , suy điểm M thuộc đường tròn C tâm 73 * Ta có z1 3z2 OA 3OB 4OM 4OM , z1 3z2 nhỏ OM nhỏ Ta có OM OM OI r 73 Vậy z1 3z2 4OM 20 73 Câu 21: [ Mức độ 4] Cho số phức z thỏa mãn z z z z Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P z 3i Giá trị M m A 10 34 C 10 58 B 10 58 D Lời giải FB tác giả: Nguyen Hoang Huy Đặt z x yi x, y Ta có z z z z x y x y Trong mặt phẳng phức, gọi M điểm biểu diễn hình học số phức z Khi tập hợp điểm M hình bình hành ABCD với A 0; , B 4;0 , C 0; 2 , D 4;0 P z 3i EM với E 3;3 P EH d E, AB với H hình chiếu vng góc E lên đoạn AB max P ED 58 Vậy M m 58 Câu 22: [SD12.C4.5.D03.d] Cho số phức z số phức w z i z i z 3i w i 2022 i 2023 w Giá trị lớn biểu thức T z i z 3i m, n Tính A P 124 P m.n B P 876 C P 416 D P 104 thỏa mãn m n với Lời giải FB tác giả: Nguyen Lieu Gọi w x yi với x, y Hệ thức w i 2022 i 2023 w w i.w i w i w i w w i x yi x yi i số phức w có phần thực phần ảo Gọi z a bi với a, b x 1 y2 x y 1 x y w z i z i z 3i z i z z z 3i a b i 2bi a bi 3i a b 2a 2b 1 2b 3 i Suy ra: a b2 2a 2b 2b 3 a 1 b (1) Do quỹ tích điểm biểu diễn số phức 2 z đường tròn C có tâm I 1; bán kính R 1 Biểu thức T z i z 3i z i z 3i z i z 3i MA2 MB , với điểm M biểu diễn số phức 2 z nằm đường tròn C có tâm I 1; bán kính R điểm A 3; 1 , B 1; 3 A M1 K I M2 M B AB Ta có T MA MB 2MK (với K trung điểm đoạn AB ) 2 2 Có K 1; 2 AB suy T MA MB 2MK 10 2 Suy Tmax MK max M , I , K thẳng hàng I nằm M , K Mặt khác ta có IM a 1; b 2 , IK 2; 4 IK Suy IM 1 5 5 IK M 1 ;2 ;b a 1 5 5 Vậy Tmax 2 1 10 52 m 52; n P m n 416 Câu 23: [2D4-5.2-4] Xét số phức z, w thỏa mãn z w Khi iz w 4i đạt giá trị nhỏ nhất, z w A B C 29 D 221 ... MI Vậy giá trị lớn P w1 5i w2 5i 37 2 Câu 16: [SD12.C4.5.D03.d] Cho hai số phức hàm số z1 , z2 thoã mãn z 2i z , z1 z2 2 số phức w thoã mãn w 4i Giá trị nhỏ biểu... C '' I đường trịn C Khi MC MB nhỏ C '' I R 17 Câu 17: [ Mức độ 3] Xét số phức z thỏa mãn z 2i số phức w thỏa 10i w 4i z 25i Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu... MN NP PM 5 Câu 15: [2D4-5.1-4] Gọi S tập hợp tất số phức w z i cho số phức z thỏa mãn z i z i 36 Xét số phức w1 , w2 S thỏa mãn w1 w2 Giá trị lớn P w1