SKKN Một số kinh nghiệm khi dạy học phần nguyên hàm cho học sinh trường thpt Lê Lai 1 I Mở đầu 1 1 Lý do chọn đề tài Nguyên hàm là phần khó học đối với học sinh bởi nó là bài toán ngược của bài toánđạ[.]
I Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Nguyên hàm phần khó học học sinh tốn ngược tốnđạo hàm nên địi hỏi học sinh phải nắm thật vững cách tínhđạo hàm có khả bao quát, tư sâu Các cơng thức tính ngun hàm trình bày sách giáo khoa Giải tích 12 giúp học sinh tìm nguyên hàm hàm số thường gặp đối tượng học sinh trung bình yếu phảiđúng nguyên dạng cơng thức học sinh làm được, cịn gặp khác dạng chút học sinh lúng túng, mà toán khác dạng phổ biến, thêm vàođó hình thức thi trắc nghiệm cũngđòi hỏi học sinh tốc độ làm phải thật nhanh kết nên đòi hỏi cần bảng nguyên hàm hàm số thường gặp tổng quát Một khó khăn với học sinh trình học nguyên hàmlà sử dụng phương pháp tìm nguyên hàm, em chưa biết sử dụng phương pháp đổi biến, sử dụng phương pháp phần bước làm cụ thể sử dụng hai phương pháp Với lý viết sáng kiến kinh nghiệm(SKKN) có tên “MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI DẠY HỌC PHẦN NGUYÊN HÀM CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT LÊ LAI-NGỌCLẶC” với mong muốn giải khó khăn mà chưa có tài liệu bàn sâu vấn đề 1.2 Mụcđích nghiên cứu Nhưđã trình bàyở trên, SKKN giúp học sinh tìm nhanh dễ dàng nguyên hàm thường gặp mà học thuộc bảng nguyên hàm sách giáo khoa học sinh cịn khó khăn, lúng túng tìm kết Mụcđích thứ hai SKKN giúp học sinh thành thạo, linh hoạt hai phương pháp tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến phần, qua giúp em tự tin đứng trước tốn ngun hàm, tích phân 1.3 Đối tượng nghiên cứu SKKN tập chung nghiên cứu cơng thức tìm ngun hàm hàm số thường gặp hai phương pháp tìm nguyên hàm đổi biến phần Cụ thể SKKN trình bày bảng tìm nguyên hàm hàm số thường gặp nêu dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp đổi biến, sử dụng phương pháp phần với bước làm cụ thể sử dụng hai phương pháp 1.4 Phương pháp nghiên cứu SKKN sử dụng số phương pháp nghiên cứu như: xây dựng sở lý thuyết, phương phápđiều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin SangKienKinhNghiem.net II Nội dung SKKN 2.1 Cơ sở lý luận SKKN 2.1.1.Các cơng thức tìm ngun hàm hàm số thường gặp a Vi phân hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xácđịnh (𝑎;𝑏) có đạo hàm x ∈ (𝑎;𝑏).Giả sử∆𝑥 số gia x cho x + ∆𝑥 ∈ (𝑎;𝑏) Tích 𝑓'(𝑥)∆𝑥 (ℎ𝑎𝑦𝑦'.∆𝑥) gọi vi phân hàm số f(x) x, ứng với số gia ∆𝑥, kí hiệu df(x) hay dy Chú ý Vì dx = ∆𝑥 nên: dy = 𝑓'(x)dx.[1] b Định nghĩa nguyên hàm Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng R Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K 𝐹'(𝑥) = 𝑓(𝑥), với mọi𝑥 ∈ K.[2] Kí hiệu họ nguyên hàm f(x) là: ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶, F(x) nguyên hàm f(x) 𝐶 ∈ R c Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp ∫𝑥𝛼𝑑𝑥 = ∫𝑥𝑑𝑥 𝑥 𝛼+1 𝛼 + 1𝑥 + 𝐶 (𝛼 ≠‒ 1) ∫ = 𝑙𝑛|𝑥|+ C ∫𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 𝑙𝑛𝑎 ∫𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = ‒ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 + 𝐶(𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = ‒ 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝐶 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶 ∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 Bảng [3] * Chú ý: Kết nguyên hàm khơng phụ thuộc vào kí hiệu biến: ∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶; ∫𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝐶; ∫𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢 = 𝑠𝑖𝑛𝑢 + 𝐶… SangKienKinhNghiem.net Khi tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xácđịnh Nếu k số khác thì∫𝑘.𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘.∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 2.1.2 Tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến số Định lí Nếu∫𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶𝑣à𝑢 = 𝑢(𝑥) hàm số cóđạo hàm liên tục ∫𝑓(𝑢(𝑥)).𝑢'(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑢(𝑥)) + 𝐶 * Hệ Với u = ax + b(a ≠ 0) ta có: ∫𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = 𝑎𝐹(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 [4] * Chú ý: Khi sử dụng phương pháp đổi biến đặt u = u(x) kết cuối phải viết theo biến x 2.1.3 Tìm nguyên hàm theo phương pháp phần Định lí Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K ∫𝑢(𝑥).𝑣'(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) - ∫𝑢'(𝑥).𝑣(𝑥)𝑑𝑥 * Chú ý: Vì 𝑣'(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑑𝑣; 𝑢'(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑑𝑢, nên đẳng thức viếtở dạng: ∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 - ∫𝑣𝑑𝑢 [5] 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Trước áp dụng SKKN giảng dạy học sinh khó khăn việc đưa kết nguyên hàm gặp tốn tìm ngun hàm hàm số thường gặp cho dù em có thuộc bảng nguyên hàm hàm số thường gặp sách Giải tích 12(Bảng 1), chẳng hạn yêu cầu tìm ∫𝑥5𝑑𝑥 em kết yêu cầu tìm ∫(2𝑥 + 3)5𝑑𝑥 học sinh hồn tồn lúng túng, có khoảng 20% học sinh làm Đối với việc vận dụng phương pháp tìm nguyên hàm học sinh khó khăn việc phân biệt dùng phương pháp đổi bến, dùng phương pháp phần trình áp dụng hai phương pháp cụ thể bước tiến hành em mờ mịt, khoảng 5% học sinh giỏi tiến hành làm trọn vẹn tốn tìm ngun hàm phải thời gian định làm nhiều tập em làm SangKienKinhNghiem.net 2.3.Một số kinh ngiệm dạy học nguyên hàm 2.3.1 Kinh ngiệm dạy học cơng thức tìm ngun hàm số hàm số thường gặp a Hình thành bảng tìm nguyên hàm - Sau giới thiệu bảng cơng thức tìm ngun hàm thường gặp sách Giải tích 12(Bảng 1) ta thay x hàm số dấu ∫bằng biểu thức bậc x dạng (ax + b) với a ≠ 0, ta bảng nguyên hàm sau: ∫(𝑎𝑥 + 𝑏)𝛼𝑑𝑥 = 𝛼 + 1(𝑎𝑥 + 𝑏)𝛼 + + 𝐶 (𝛼 ≠‒ 1) ∫𝑎𝑥 + 𝑏𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑎𝑥 + 𝑏|+ C ∫𝑎𝑚𝑥 + 𝑛𝑑𝑥 = 𝑎𝑚𝑥 + 𝑛 𝑙𝑛𝑎 + 𝐶(𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) ∫cos (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = sin (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 ∫sin (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = ‒ 𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 ∫ ∫ 𝑠𝑖𝑛 (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = ‒ cot (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 𝑐𝑜𝑠2(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = tan (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 Bảng Chứng minh: Ta cần chứng minh trường hợp ∫cos (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = sin (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶, trường hợp lại chứng minh tương tự - Đạo hàm vế phải:[sin (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶]' ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Ta chứng minh Bảng sau có phương pháp đổi biến số, chẳng hạn để chứng minh ∫cos (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = sin (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 ta đặt u = ax + b suy du = adx Khi ta được: SangKienKinhNghiem.net ∫ cos (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢 = 𝑠𝑖𝑛𝑢 + 𝐶 = sin (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 𝑎 𝑎 𝑎 Hoặc hiểu Bảng có kết hợp Bảng với hệ [4] Khi học sinh học thuộc bảng cơng thức tìm nguyên hàm mới(Bảng 2) dễ dàng nhiều việc tìm kết nguyên hàm hàm số thường gặp học sinh “tạm quên” Bảng b Các ví dụ áp dụng bảng nguyên hàm Ví dụ 1: Tìm: c ∫42𝑥 - 3𝑑𝑥 a.∫(3𝑥 + 1)5𝑑𝑥 1 b.∫2 ‒ 4𝑥𝑑𝑥 d.∫𝑒2 𝑥-5 𝑑𝑥 Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức tìm ngun hàm Bảng Ví dụ 2: a ∫cos ( ‒ 𝑥)𝑑𝑥 b ∫ 𝑠𝑖𝑛 (5𝑥 + 2) c ∫sin d ∫ 𝑑𝑥 𝜋 - 2𝑥 ( )𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠24𝑥 𝑑𝑥 Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức tìm ngun hàm Bảng Nhận xét: Học sinh cần thuộc bảng tìm nguyên hàm mới(Bảng 2) kết Giáo viên nên đưa nhiều ví dụ khác cho đa dạng, vét hết trường hợp mà học sinh lúng túng, ví dụ đưa nên theo cấp độ từ dễ đến khó, ví dụ trước gợi ý cách làm cho ví dụ sau, chẳng hạn: Ví dụ 3: Tính nguyên hàm sau: ∫ 𝑥5𝑑𝑥→ ∫𝑥 𝑑𝑥→ ∫(3𝑥 + 2) 𝑑𝑥→ ∫ 𝑑𝑥→ ∫ 3𝑥 + 𝑑𝑥 (3𝑥 + 2)3 Hướng dẫn: Áp dụng công thức ∫(𝑎𝑥 + 𝑏)𝛼𝑑𝑥 = 𝛼 + 1(𝑎𝑥 + 𝑏)𝛼 + + 𝐶 cho ∫𝑥5𝑑𝑥 với a =1, b = 𝛼 = Các nguyên hàm lại biến đổi dạng công thức SangKienKinhNghiem.net 2.3.2 Kinh nghiệm dạy học tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến số a Dấu hiệu bước làm: Nếu hàm số f(x) dấu ∫có chứa ngoặc, căn, mẫu số, biểu thức mũ ta thường dùng phương pháp đổi biến sau: Bước1: Đặt u = biểu thức ngoặc = biểu thức = mẫu số = biểu thức mũ Bước 2: Tính vi phân du Bước 3: Biến đổi toàn biểu thức f(x)dx dấu ∫ từ biến x biến u Bước 4: Áp dụng cơng thức tìm ngun hàm ta tìm ngun hàm theo biến u, sau có kết theo biến u ta thay u theo x đặt bước b Các ví dụ áp dụng tìm ngun hàm theo phương pháp đổi biến Ví dụ 4: Tìm ∫2𝑥(𝑥2 + 1)2017𝑑𝑥 Hướng dẫn: Đặt u = x2 + 1→ du = 2xdx, đó: ∫2𝑥(𝑥 + 1) Ví dụ 5: Tính∫𝑒𝑥 2017 𝑑𝑥 = + 3𝑥 + ∫𝑢 2017 𝑢2018 (𝑥2 + 1)2018 𝑑𝑢 = + 𝐶= + 𝐶 2018 2018 (2𝑥 + 3)𝑑𝑥 Hướng dẫn: Đặt u = x2 + 3x + 1→ du = (2x + 3)dx, ta có: ∫𝑒 𝑥2 + 3𝑥 + (2𝑥 + 3)𝑑𝑥 = ∫𝑒 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 𝑢 + 𝐶 = 𝑒𝑥 + 3𝑥 + + 𝐶 *Chú ý: Không phải cho dấu hiệu ngoặc, có lại có nhiều ngoặc có ngoặc mẫu số, có bàiđịi hỏi phải biến đổi hàm số dấu∫mới đổi biến Do cần vận dụng linh hoạt phương pháp đổi biến SangKienKinhNghiem.net Ví dụ 6: Tìm a ∫𝑠𝑖𝑛3𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 b ∫ 𝑙𝑛3𝑥 𝑥 𝑑𝑥 Hướng dẫn: a Viết lại∫𝑠𝑖𝑛3𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑖𝑛𝑥)3𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 Từ đặt u = sinx suy du = 3 cosxdx, ta có kết ∫𝑠𝑖𝑛 𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = ∫𝑢 𝑑𝑢 = b Viết lại ∫ ∫ 𝑙𝑛3𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑙𝑛3𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ = ∫𝑢3𝑑𝑢 = Ví dụ 7: Tính I = ∫ (𝑙𝑛𝑥)3 𝑥 𝑑𝑥 𝑢4 + 𝐶= 𝑒𝑥 𝑒𝑥 + 𝑒 - 𝑥 𝑢4 + 𝐶= 𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝐶 Từ đặt u = lnx suy 𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥, ta có kết 𝑙𝑛4𝑥 + C 𝑑𝑥 Hướng dẫn: Lưu ý cho học sinh vận dụng máy móc phương pháp đặt u mẫu số đặt u phần mũ khơng tính I, khó khăn phần mũ e (-x), ta phải xử lý chỗ Biến đổi sau: I = ∫ 𝑒𝑥 𝑒𝑥 + 𝑒 ∫ - 𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑒𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 + 𝑑𝑥 Đếnđây ta đặt u = 𝑒2𝑥 + 1, từ kết I = 2𝑙𝑛𝑢 + 𝐶 = 2ln (𝑒2𝑥 + 1) + 𝐶 Ngoài nhận dạng phương pháp đổi biến theo dấu hiệu trình bày bước 1, nên rèn luyện cho học sinh cách xét mối liên hệ biểu thức 1 dấu∫như: liên hệ cosx với sinxdx; sinx với cosxdx; lnx với𝑥𝑑𝑥; 𝑥𝑣ớ𝑖 2𝑑𝑥 ; 𝑥 tanx với 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥; cotx với 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥;… Mối liên hệ là: sinxdx vi phân cosx, đặt u = cosx du = sinxdx Tương tự cho việc xét mối liên hệ cho trường hợp cịn lại, từ ta sử dụng phương pháp đổi biến cho hợp lý 1 Ví dụ 8: Tính I =∫ 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑥 Hướng dẫn: Đặt u = 𝑥→𝑑𝑢 = ‒1 𝑥 𝑑𝑥, ta có: I = -∫𝑠𝑖𝑛𝑢.𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢 = ‒1 ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑢𝑑𝑢 SangKienKinhNghiem.net Nhận xét: Khi làm đếnđây thực tế cho thấy chưa học bảng tìm nguyên hàm mới(Bảng 2) học sinh lúng túng, thời gian, học bảng cơng thức học sinh phấn khởi kết quả, tốn tìm ngun hàm nhẹ nhàng nhiều, việc trang bị cho học sinh bảng công thức tìm nguyên hàm mới(Bảng 2) cần thiết Áp dụng Bảng ta kết ví dụ là: 1 I = 4𝑐𝑜𝑠2𝑢 + 𝐶 = 4𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 Ví dụ 9: Tính: ( ) 1 a ∫𝑥 sin 𝑥 + 𝑑𝑥 b ∫ 2cos (𝑥 ‒ 1)𝑑𝑥 c ∫ 𝑥 sin (2𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠2(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 Hướng dẫn: a Đặt u = biểu thức ngoặc là: u = 𝑥 + 1→𝑑𝑢 = ∫𝑥 sin (𝑥 ) ∫ + 𝑑𝑥 = , 2𝑥 𝑑𝑥 ta có: ‒2 -2 cosu + C = cos 𝑥2 + + 𝐶 sinudu = 3 ( ) b.Tương tự câu a Đặt u = biểu thức ngoặc là: u = 𝑥 ‒ c Đặt u = cos(2x+1) Một trường hợp đặc biệt hàm số dấu∫có chứa 𝑎2 ‒ 𝑥2(hoặc có chứa 2 )thì ta khử cách đặt x = g(u) = asinu(hoặc đặt x = 𝑎 +𝑥 g(u) = a.tanu) chẳng hạn: Ví dụ 10 Cho Tính I = ∫ 1 ‒ 𝑥2 𝑑𝑥 Hướng dẫn: Đặtx = sinu suy dx = cosudu, ta có I=∫ 𝑐𝑜𝑠𝑢 ‒ 𝑠𝑖𝑛 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢 = ∫|𝑐𝑜𝑠𝑢|𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑢 > { ‒∫∫𝑑𝑢,𝑑𝑢,𝑛ế𝑢 𝑛ế𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢 < (Dạng thường gặp tính tích phân có cận giáo viên cần định hướng cách làm dạng toán được) SangKienKinhNghiem.net 2.3.3 Kinh nghiệm dạy học tìm nguyên hàm theo phương pháp phần a Dấu hiệu bước làm Thường gặp dạng sau ta sử dụng phương pháp phần Dạng 1: ∫𝑓(𝑥).𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 Dạng 2: ∫𝑓(𝑥).𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 Dạng 3: ∫𝑓(𝑥).𝑒𝑥𝑑𝑥 Dạng 4: ∫𝑓(𝑥).𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 Các bước làm: Đối với dạng 1, dạng 2, dạng ta tiến hành sau: Bước 1: Đặt u = f(x); dv = phần cịn lại dấu∫ Bước 2: Tính du tìm v Bước 3: Áp dụng công thức phần ∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 ‒ ∫𝑣𝑑𝑢.(3) Trong nguyên hàm xuất ∫𝑣𝑑𝑢 đơn giản dễ tìm Riêng dạng ta tiến hành sau Bước 1: Đặt: u = lnx; dv = f(x)dx Bước bước b Các ví dụ áp dụng Ví dụ 11: Tính I = ∫(2𝑥 + 1)𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 Hướng dẫn: Đặt u = 2x+ 1; dv = sinxdx, du = 2dx, v = -cosx Theo công thức nguyên hàm phần, ta kết quả: I = -(2x+1)cosx + ∫2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = -(2x+1)cosx + 2sinx + C Ví dụ 12: Tính I = ∫(1 ‒ 𝑥)𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 Hướng dẫn: SangKienKinhNghiem.net Đặt u = lnx; dv = (1 - x)dx, đó𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥, 𝑣 = 𝑥 ‒ 𝑥2 Theo công thức nguyên hàm phần, ta kết quả: ( I= 𝑥‒ 𝑥2 𝑥2 𝑥2 )𝑙𝑛𝑥 ‒ (𝑥 ‒ )𝑑𝑥 = (𝑥 ‒ )𝑙𝑛𝑥 + ∫𝑥 4𝑥 ‒ 𝑥 + 𝐶 Nhận xét: Trong tốn tìm nguyên hàm phần nhiều sử dụng bảng nguyên hàm mới(Bảng 2) hiệu việc tính v tìm ngun hàm xuất hiện∫𝑣𝑑𝑢 cơng thức phần Ví dụ 13: Tính I = ∫𝑥.cos (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 Hướng dẫn: Đặt u = x; dv = cos(2x +1)dx →𝑑𝑢 = 𝑑𝑥;𝑣 = 2sin (2𝑥 + 1) Áp dụng công thức phần, ta được: 1 I = 2𝑥𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) ‒ 2∫sin (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 1 I = 2𝑥𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) + 4cos (2𝑥 + 1) + 𝐶 Có tìm nguyên hàm phải sử dụng hai phương pháp đổi biến phần sử dụng đổi biến nhiều lần phần nhiều lần Ví dụ 14: Tính I = ∫𝑥2𝑒 ‒ 3𝑥𝑑𝑥 Hướng dẫn: Đặt u = x2; dv = e-3xdx, du = 2xdx, v = ‒ ‒ 3𝑥 𝑒 Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta có I= ‒ ‒ 3𝑥 𝑥 𝑒 ‒ 3𝑥 + 𝑑𝑥 2∫𝑥𝑒 ⏟ 𝐼1 Tiếp tục sử dụng phương pháp phần cho nguyên hàm xuất 𝐼1 = ∫𝑥𝑒 ‒ 3𝑥𝑑𝑥 , ta kết I = ‒ ‒ 3𝑥 (𝑥 𝑒 2 + 3𝑥 + 9) + 𝐶 Ví dụ 15: Tính I = ∫𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 10 SangKienKinhNghiem.net Hướng dẫn: Đặt u = ex; dv = sinxdx→ du = exdx; v = - cosx Áp dụng công thức phần ta có: I = - excosx + ∫𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 ⏟ (*) 𝐼1 Tiếp tục áp dụng công thức nguyên hàm phần cho I1 ta có: I1 = 𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 ‒ ∫𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥.Thay I1 vào (*) ta được: I= -excosx 𝑥 + 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 ‒ ∫𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 ⏟ Suy ra: 2I = ex(sinx – cosx) 𝐼 Vậy: I = 2𝑒𝑥(𝑠𝑖𝑛𝑥 ‒ 𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝐶 Ví dụ 16: Tính I = ∫ 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥𝑑𝑥 Hướng dẫn: Học sinh phải thấy khó khăn tính I có kí hiệu căn, ta sử dung phương pháp đổi biến trước để khử Đặt u = 𝑥→𝐼 = ∫2𝑢2𝑠𝑖𝑛𝑢𝑑𝑢 Đến sử dụng phương pháp nguyên hàm phần, đặt v = u2; dw = sinudu, dv = 2udu, w = -cosu Theo công thức nguyên hàm phần, ta có 𝐼 = 2( ‒ 𝑢2𝑐𝑜𝑠𝑢 + ∫𝑢.𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢 ⏟ ) 𝐼1 Tiếp tục tính I1 theo phương pháp nguyên hàm phần, ta 𝐼 = 2( ‒ 𝑢2𝑐𝑜𝑠𝑢 + 2𝑢.𝑠𝑖𝑛𝑢 + 2𝑐𝑜𝑠𝑢) + 𝐶 Vậy𝐼 = 2( ‒ 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠 𝑥) + 𝐶 2.4 Hiệu SKKN Trước SKKN đượcáp dụng trường THPT Lê Lai - Ngọc Lặc học sinh ngại học phần nguyên hàm, khả tìm nguyên hàm dạng thường gặp yếu, việc vận dụng hai phương pháp tìm nguyên hàm đổi biến phần lúng túng , số lượng học sinh làm từ 15% đến 20% Trong năm gầnđây, đượcáp dung SKKN vào giảng dạy em học sinh cảm thấy dễ dàng toán tìm nguyên hàm, số lượng học sinh làm tăng lên rõdệt(đã có khoảng 80% học sinh làm 11 SangKienKinhNghiem.net bài) em khơng cịn sợ phần ngun hàm – tích phân nữa, chí cịn thích học phần Đối với đồng nghiệp trường sau tham khảo vàáp dụng SKKN vào giảng dạy cũngđã công nhận tác dụng hiệu cao SKKN III Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Từ bảng cơng thức tìm ngun hàm hàm số thường gặp sách Giải tích 12 kết hợp với phương pháp đổi biến, SKKN nàyđã trình bày thêm bảng cơng thức tìn ngun hàm hàm số thường gặp, tổng quát hơn, mang lại hiệu cao dạy học giáo viên học tập học sinh.Trong trình giảng dạy cũngđã học hỏi rút số kinh ngiệm giảng dạy phần phương pháp tìm nguyên hàm, từđóđưa dấu hiệu nhận biết dùng phương pháp đổi biến, dùng phương pháp phần bước làm cụ thể áp dụng hai phương pháp này, điềuđó giúp cho học sinh có sở việcáp dụng phương pháp tìm nguyên hàm tiến hành tìm nguyên hàm dễ dàng Nếu đượcáp dụng hợp lý SKKN trình giảng dạy việc dạy học phần nguyên hàmở trường THPT Lê Lai nói riêng cácđơn vị khác cấp học mà có chất lượng học sinh tương đương với trường THPT Lê Lai(chất lượng đầu vào trường THPT Lê Lai thấp, học sinh không bị điểm liệt đậu) chắn đạt hiệu cao 3.2 Kiến nghị Với hiệu SKKN nàyđã chứng minh thực tế giảng dạy, mong nội dung SKKN đượcáp dụng linh hoạt, rộng rãi cácđơn vị khácđể việc dạy học phần nguyên hàmđạt kết cao Tuy nỗ lực nhiều việcđúc kết kinh nghiệm trình bày cá nhân tơi chưa thấy hết cácđiểm chưa hay, chưa hợp lý hay khiếm khuyết cần bổ xung SKKN này, mong q đồng nghiệp gópý để SKKN hồn thiện mang lại hiệu cao TÔI XIN TRÂN TRỌNG CẢM ƠN! 12 SangKienKinhNghiem.net XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 22 tháng05 năm 2017 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Phạm Chí Đạt 13 SangKienKinhNghiem.net ... giảng dạy việc dạy học phần nguyên hàm? ?? trường THPT Lê Lai nói riêng cácđơn vị khác cấp học mà có chất lượng học sinh tương đương với trường THPT Lê Lai( chất lượng đầu vào trường THPT Lê Lai thấp,... Hiệu SKKN Trước SKKN đượcáp dụng trường THPT Lê Lai - Ngọc Lặc học sinh ngại học phần nguyên hàm, khả tìm nguyên hàm dạng thường gặp yếu, việc vận dụng hai phương pháp tìm nguyên hàm đổi biến phần. .. hàm hàm số thường gặp, tổng quát hơn, mang lại hiệu cao dạy học giáo viên học tập học sinh. Trong q trình giảng dạy tơi cũngđã học hỏi rút số kinh ngiệm giảng dạy phần phương pháp tìm nguyên hàm,