GIẢI MỘT BÀI TOÁN QUỸ TÍCH NHƯ THẾ NÀO

( GIẢI MỘT BÀI TOÁN QUỸ TÍCH NHƯ THẾ NÀO ) NỘI DUNG 1 Định nghĩa quỹ tích Một hình (H) được gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất (hay tập hợp của những điểm M có tính chất ) khi nó chứa v.

Trường THCS Việt đoàn Tổ khoa học tự nhiên GIẢI MỘT BÀI TỐN QUỸ TÍCH NHƯ THẾ NÀO NỘI DUNG Định nghĩa quỹ tích Một hình (H) gọi quỹ tích điểm M có tính chất (hay tập hợp điểm M có tính chất điểm có tính chất ) chứa chứa Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thoả mãn tính chất hình H đó, ta phải chứng minh hai phần: Phần thuận: Mọi điểm có tính chất thuộc hình H Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) điểm có tính chất hình H Những thao tác tư cần thiết cho việc chuẩn bị giải tốn quỹ tích Việc giải tốn quỹ tích thực chất chứng minh dãy liên tiếp mệnh đề toán học Nhưng khác với tốn chứng minh hình học, phần lớn tốn quỹ tích, ta phải tìm cho ta cần phải chứng minh Những thao tác tư chuẩn bị giúp ta định hướng suy nghĩ, hình dung quỹ tích cần tìm chừng mực đó, giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo, giới hạn v.v nào? Dưới tơi xin trình bày kĩ thao tác tư chuẩn bị 2.1 Tìm hiểu kĩ tốn Tìm hiểu kĩ toán tức nắm yếu tố đặc trưng cho tốn Trong tốn quỹ tích thường có loại yếu tố đặc trưng: a) Loại yếu tố cố định: thông thường điểm Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường -1- b) Loại yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc, diện tích hình v.v Các yếu tố cố định không đổi thường cho kèm theo nhóm từ “cố định”, “cho trước”, “khơng đổi” c) Loại yếu tố thay đổi: thông thường điểm mà ta cần tìm quỹ tích đoạn thẳng, hình mà có điểm mà ta cần tìm quỹ tích Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v Ví dụ 1: Cho góc vng xOy cố định đoạn thẳng AB có độ dài cho trước; đỉnh A di chuyển cạnh Ox, đỉnh B di chuyển cạnh Oy Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB Trong toán thì: + Yếu tố cố định: Đỉnh O góc xOy + Yếu tố khơng đổi: độ dài đoạn thẳng AB + Yếu tố thay đổi: điểm A, điểm B kéo theo trung điểm M AB thay đổi Cần ý tốn có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu tố không đổi, nhiều yếu tố thay đổi Do vậy, ta tập trung vào yếu tố liên quan đến cách giải ta mà Cũng cần biết yếu tố cố định, không đổi, thay đổi lúc cho cách trực tiếp mà phải hiểu cách linh hoạt Chẳng hạn nói: “Cho đường trịn cố định ” ta hiểu tâm đường tròn điểm cố định bán kính đường trịn độ dài khơng đổi, hay ví dụ sau Ví dụ 2: Cho đường thẳng b điểm A cố định không thuộc đường thẳng b Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển đường thẳng b cho ln ln đồng dạng với Tìm tập hợp đỉnh C Trong ví dụ ta dễ dàng thấy: + Yếu tố cố định: đỉnh A, đường thẳng b + Yếu tố thay đổi: đỉnh B, đỉnh C Cịn yếu tố khơng đổi gì? hình dạng tam giác ABC Nếu dừng lại khái niệm chung hình dạng khơng đổi (tự đơng dạng) ta khơng thể giải tốn Do vậy, ta phải cụ thể hoá giả thiết tam giác ABC tự đồng dạng sau: - Các góc A, B, C có độ lớn khơng đổi; tỉ số cạnh, chẳng hạn AC số AB khơng đổi Như vậy, việc tìm hiểu kĩ tốn địi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc để tìm yếu tố cố định, yếu tố khơng đổi, yếu tố thay đổi thích hợp, giúp cho việc tìm cách giải tốn 2.2 Đốn nhận quỹ tích Thao tác tư đốn nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung hình dạng quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đường tròn), nhiều cịn cho HS biết vị trí kích thước quỹ tích Để đốn nhận quỹ tích ta thường tìm điểm quỹ tích Muốn nên xét vị trí đặc biệt, tốt sử dụng điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình xác, trực giác giúp ta hình dung hình dạng quỹ tích - Nếu điểm ta vẽ thẳng hàng có nhiều khả quỹ tích đường thẳng - Nếu điểm ta vẽ khơng thẳng hàng quỹ tích cần tìm đường tròn Ta làm sáng tỏ điều ví dụ sau: Ví dụ 3: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB=2R Một điểm M di chuyển nửa đường tròn Nối AM đặt tia AM đoạn AN = BM Tìm tập hợp điểm N Đốn nhận quỹ tích - Khi M  B BM  O AN  O hay N  A Vậy A điểm quỹ tích - Khi M đến vị trí điểm I, điểm cung AB, AI=BI nên N  I Vậy I điểm quỹ tích t' B' I M N O A B - Khi M  A dây cung AM đến vị trí tiếp tuyến At với đường trịn điểm A BM=BA nên điểm N dần đến vị trí điểm B’ tiếp tuyến At cho AB’=AB=2R; B’ điểm quỹ tích Do điểm A, I, B’ không thẳng hàng nên ta dự đốn điểm N nằm đường trịn qua điểm A, I, B’, tức đường trịn đường kính AB’ Ví dụ 4: Cho góc vng xOy Một điểm A chạy Ox, điểm B chạy Oy Người ta dựng hình chữ nhật OAMB Tìm tập hợp điểm M cho chu vi hình chữ nhật OAMB độ dài 2p cho trước Đốn nhận quỹ tích y D M Dễ thấy MA +MB = p B Khi A  O B  D Oy, mà OD = p Khi B  O A  C Ox, mà OC = p Dự đoán tập hợp M đoạn thẳng CD o A C x Ví dụ 5: Cho góc vng xOy điểm A cố định nằm góc Một góc vng tAz, đỉnh A, quay xung quanh đỉnh A; cạnh At cắt Ox B Az cắt Oy C Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn thẳng BC Dự đoán quỹ tích y M1 - Khi B  O điểm C dần đến vị trí điểm C1 C thuộc Oy điểm M đến vị z O trí M1 cho M O=M C =M A 1 A M M2 B x t  M1 nằm đường trung trực OA - Khi C  O điểm B dần đến vị trí B1 thuộc Ox điểm M đến vị trí M2 cho M2O=M2B1=M2A  M2 nằm đường trung trực OA Dự đốn quỹ tích đoạn M 2M1 thuộc đường trung trực đoạn thẳng OA, phần nằm góc xOy Giải tốn quỹ tích nào? Cần làm cho học sinh hiểu, giải tốn quỹ tích tiến hành chứng minh phần thuận (bao gồm phần giới hạn quỹ tích) chứng minh phần đảo Sau sâu vào phần 3.1 Chứng minh phần thuận Một phương hướng để chứng minh phần thuận đưa việc tìm quỹ tích quỹ tích Trong chương trình học trường Phổ thơng sở, học sinh giới thiệu quỹ tích (các tập hợp điểm) sau: 1) Tập hợp điểm cách hai điểm cố định đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm 2) Tập hợp điểm cách hai cạnh góc tia phân giác góc 3) Tập hợp tất điểm cách đường thẳng b khoảng l cho trước hai đường thẳng song song với đường thẳng b cách đường thẳng b khoảng l 4) Tập hợp tất điểm cách điểm cố định O khoảng không đổi r đường trịn tâm O, bán kính r 5) Tập hợp điểm M tạo thành với hai mút đoạn thẳng AB cho trước góc AMB có số đo ( khơng đổi) hai cung trịn đối xứng qua AB (gọi cung chứa góc vẽ đoạn AB) Trường hợp đặc biệt: Tập hợp điểm M ln nhìn hai điểm cố định A, B góc vng đường trịn đường kính AB Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất thoả tính chất ’ quỹ tích điểm ’ quỹ tích mà ta biết (như ’ “cách hai điểm cố định”; “cách điểm cố định đoạn không đổi”; “ cách đường thẳng cố định đoạn không đổi” v.v ) Như ta thay việc xét mệnh đề M( ) việc xét mệnh đề M( ’) mà M( )  M( ’) Ví dụ 6: Cho tam giác ABC điểm D di chuyển cạnh đáy BC Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn thẳng AD Đốn nhận quỹ tích  Nếu D  B M  P, mà AP=BP P điểm thuộc quỹ tích  Nếu D  C M  Q, mà AQ=QC Q điểm thuộc quỹ tích  Nếu D  H (với AH  BC H) M  I, mà IH=AH H điểm thuộc quỹ tích Do điểm P, I, Q thẳng hàng nên ta dự đoán quỹ tích điểm M đoạn thẳng PQ, đường trung bình tam giác ABC A Phân tích phần thuận Từ M kẻ MK  BC kẻ đường P cao AH  ABC Dễ thấy MK= AH Q M  ABC cố định nên AH không đổi suy MK không đổi B D K H C - Vậy điểm M luôn cách BC đoạn khơng đổi AH Ta thấy là: M( ): M trung điểm AD M( ’): M cách BC đoạn không đổi Như ta thay việc tìm quỹ tích điểm M, trung điểm đoạn thẳng AN, việc tìm quỹ tích điểm M ln cách cạnh BC đoạn khơng đổi AH , mà quỹ tích ta biết tìm, dạng tốn quỹ tích thứ Ví dụ 7: Cho tam giác cố định ABC Một điểm D di chuyển cạnh đáy BC Qua D người ta kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB E đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC F Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn thẳng EF Phân tích phần thuận A - Vì F DF//AEQvà P M E DE//AF nên B D C tứ giác AEDF hình bình hành, hai đường chéo EF AD giao trung điểm, M trung điểm EF trung điểm AD Bài toán đưa việc tìm quỹ tích trung điểm M đoạn thẳng AD Tính chất là: M( )  M trung điểm EF - Tính chất ’ là: M( ’)  M trung điểm AD Và ta thay việc tìm quỹ tích trung điểm EF việc tìm quỹ tích trung điểm AD, mà quỹ tích ta có cách đưa quỹ tích ví dụ Cần lưu ý thay điểm M( ) điểm M( ’) mà M( )  M( ’) tập hợp điểm M( ) tập hợp (một phận) tập hợp điểm M( ’), ví dụ tập hợp điểm M( ’) hai đường thẳng song song cách đường thẳng BC đoạn AH , tập hợp điểm M( ) đường trung bình PQ song song với cạnh BC tam giác ABC mà Trong nhiều trường hợp ta khơng thành cơng việc đưa quỹ tích mà nhờ vào thao tác dự đoán quỹ tích ta thấy quỹ tích đường cố định Trong trường hợp ta tìm cách chứng minh hình chứa điểm quỹ tích hình cố định Ví dụ 8: Cho nửa đường trịn đường kính AB điểm P di động nửa đường tròn Tiếp tuyến P cắt đường thẳng song song với AP, kẻ từ tâm O nửa đường trịn, điểm M Tìm tập hợp điểm M t M Phân tích phần thuận Nối MB; OM//AP nên O1  A (đồng vị) P O2  P1 (so le trong) Mặt khác OA=OP) A  P1 (vì A Vậy O1  O2 O1  O2   OP  OB   OPM  OBM OM chung  O B  OBM  OPM mà OPM  900 (góc tiếp tuyến với bán kính qua tiếp điểm) Vậy OMB  900  BM  AB AB cố định, điểm B cố định mà MB  AB  M chạy tia At vng góc với AB B Qua ví dụ đây, ta thấy để tiến hành việc chứng minh phần thuận, ta cần tìm cho mối liên hệ điểm cần tìm tập hợp với điểm cố định, tìm cách sử dụng yếu tố không đổi việc biểu diễn liên hệ - Nếu đầu có điểm cố định, ta nghĩ đến tập hợp điểm cần tìm đường trịn - Nếu đầu có hai điểm cố định A, B ta nối điểm cần tìm tập hợp M với A, B thử tính góc AMB thử chứng minh MA=MB - Nếu đầu xuất đường thẳng cố định ta thử tính khoảng cách từ điểm cần tìm quỹ tích đến đường thẳng cố định - Nếu đầu xuất hai đường thẳng song song liên tưởng đến tập hợp điểm cách hai đường thẳng song so đo đ ng ạn ị O Ví dụ th n P 9: Cho ẳn h g , đường P tròn N tâm O, Ph ân tíc h ph ần th uậ n bán kính R điểm P ngồi P đường trịn, c ố điểm N c ũ s n u g y c r ố a đ t ị r n u h n g di chuyể n đường tròn N đ ị n h , đ ố i i ể m Tìm tập I M O I c T ủ r a o hợp trung điểm M c ố n kí1 nh R g N M t P a m g i c P O N t h ì IM= 1 ON  R =không đổi 2 - Vậy M thuộc đường tròn tâm I bán I O Trong nhiều tập, chứng minh phần thuận, ta tìm hình (H’) chứa điểm M có tính chất , điều kiện hạn chế khác toán, tập hợp điểm M cần tìm hình (H) phận hình (H’) Trong trường hợp này, ta phải thức thêm cơng việc nữa: giới hạn quỹ tích Có nhiều cách nhìn nhận vị trí phần giới hạn quỹ tích Ta coi phần giới hạn phận việc chứng minh phần thuận Ta đặt phần giới hạn vào phần đảo, tách phần giới hạn thành phần riêng biệt, ngang với phần thuận phần đảo Trong trình dạy học sinh, tơi đặt giới hạn vào phần thuận Làm tránh việc chọn nhầm phải điểm khơng thuộc quỹ tích tiến hành chứng minh phần đảo Thơng thường, ta tìm điểm giới hạn quỹ tích cách xét điểm quỹ tích trường hợp giới hạn, ví dụ sau: Ví dụ 10: Cho góc vng xOy, đỉnh O Trên cạnh Ox có điểm A cố định cạnh Oy có điểm B cố định Một điểm C thay đổi di chuyển đoạn thẳng OB Gọi H hình chiếu điểm B tia AC Tìm tập hợp điểm H Giải 1) Phần thuận Vì H hình chiếu B y B AC nên BH  AC  BHA  90 Hai điểm A, B cố định Điểm H ln ln nhìn hai điểm A, B H C góc vng nên H nằm O đường trịn đường kính AB Chú ý: Đường trịn qua đỉnh O góc vng xOy A x Giới hạn: Vì điểm C di chuyển đoạn OB nên điểm H di chuyển đường trịn đường kính AB Ta phải tìm giới hạn  Khi điểm C đến vị trí điểm B điểm H đến vị trí điểm B  Khi điểm C đến vị trí điểm O, đầu mút đoạn thẳng OB, điểm H đến vị trí điểm O - Vậy điểm C di chuyển đoạn OB điểm H di chuyển cung OHB đường trịn đường kính AB Như vậy, để tìm giới hạn quỹ tích điểm C, điểm C di chuyển đoạn thẳng OB nên ta xét điểm quỹ tích điểm C dần đến đầu nút đoạn thẳng OB, tức C  B C  O Ví dụ 11: Cho hình vng cố định ABCD điểm P di động cạnh AB Trên tia CP bên đoạn thẳng CP ta lấy điểm M cho: MAB  PCB Tìm tập hợp điểm M Phần thuận D C Ta có: MAB  PCB P1  P2 (đối đỉnh)  MAB  P2  900  PCB  P1 A P B M  AMP  90 hay AMC  90 0 Điểm M nhìn hai điểm cố định A,C góc vng nên M nằm đường trịn đường kính AC (cũng đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD) Giới hạn Khi P  B M  B Khi P  A M  A Vậy M di chuyển cung nhỏ AB thuộc đường trịn đường kính AC Qua ví dụ đây, ví dụ 10, ta thấy hình (H) tìm chứng minh phần thuận (đường trịn đường kính AB) chứa tất điểm nhìn hai điểm cố định A, B góc vng có điểm thuộc cung OHB hình chiếu điểm B tia AC mà Việc tìm giới hạn giúp loại bỏ điểm khơng thuộc quỹ tích cần tìm 3.2 Chứng minh phần đảo Thơng thường điểm di động cần tìm quỹ tích M phụ thuộc vào di động điểm khác, điểm P chẳng hạn Trong phần đảo ta làm sau: Lấy vị trí P’ khác P ứng với ta điểm M’ hình H mà phần thuận ta chứng minh hình chứa điểm M có tính chất Ta phải chứng minh M’ có tính chất Ví dụ 10: 2) Phần đảo Lấy điểm C’ đoạn OB y B Nối AC’ tia AC’ cắt cung OHB H' điểm H’ Nối BH’ góc BH’A góc nội tiếp nửa đường tròn nên BH ' A  900  BH '  AC' H ' hình H C' C O A x chiếu điểm B tia AC’  Kết luận: Tập hợp hình chiếu H điểm B tia AC cung OB thuộc đường trịn đường kính AB (phần thuộc nửa mặt phẳng không chứa tia Ox, bờ đường thẳng Oy) Ví dụ 11: Cho hình vng cố định ABCD điểm P di động cạnh AB Trên tia CP bên đoạn thẳng CP ta lấy điểm M cho: MAB  PCB Tìm tập hợp điểm M Phần đảo D C Lấy điểm P’ thuộc cạnh AB hình vng Tia CP’ cắt cung nhỏ AB đường trịn đường kính AC điểm M’ P' A M' B Ta có AM 'C  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) P'  P'2 suy M ' AB  P'CB  Kết luận: Tập hợp điểm M cung AB (khôn g chứa đỉnh C) đườn g tròn ngoại tiếp hình g ABC D Lưu ý: Tuy vậy, t minh phần đảo cách lấy điểm M’ Giíi h¹n: r thuộc hình (H), ứng với ta có mt v trớ Vì điểm A o khỏc ca cỏc yếu tố chuyển động mà M’ phụ chØ ch¹y n thuộc, sau ta chứng minh điều Ox, g kiện M’ có tính chất Chúng ta xét ví dụ ®iĨm B chØ cụ thể sau ch¹y n Ví dụ 12: Cho gúc vuụng xOy Mt im A chy Oy đoạn h cạnh Ox, điểm B chạy cạnh Oy th¼ng AB i cho độ dài đoạn thẳng AB đoạn l cho chØ di ề trước Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng AB chuyÓn u gãc G xOy nên ta iải ph¶i giíi b Phần thuận: Nối OI Tam y B0 B' i giác AOB B II' t vuông mà o OI , t a c h ứ n g - I O A'A I0 x A0 Khi ®iĨm A ®Õn trung trùng víi tuyến ®iĨm O nên OI  tÝch n h¹n quü AB  l = không đổi Điểm O cố định, điểm I cách điểm O đoạn không đổi l nờn I nm trờn ng điểm B đến vÞ trÝ l trịn tâm O bán kính Bo điểm I đ ế n v ị t r Ý I t r u n g ® i ể m c ủ a đ o n - Khi điểm B đến trựng với điểm O điểm A đến vị trí Ao điểm I đến vị trí I0 trung điểm đoạn thẳng OA0 Trng THCS Việt đoàn Tổ khoa học tự - VËy đoạn thẳng AB di chuyển góc xOy thìnhiờn điểm I nằm trờn cung tròn I0I1 thuộc đờng tròn tâm O b¸n kÝnh l , tức cung phần tư đường trịn nằm góc xOy Phần đảo: Lấy điểm I’ thuộc cung phần tư I0I1 Quay cung tròn tâm I’, Bán kính l Ta có , cắt Ox A Oy B’ OI ' A' cân nên I 'OA'  I ' A'O Do OI ' A'  1800  2I 'OA' Tương tự OI ' B'  1800  2I 'OB'  OI ' A'OI ' B'  3600  2.900  1800 I ' A'  I ' A'  Suy ba điểm A’, I’, B’ thẳng hàng Ta lại có l  A' B'  l I’ trung điểm A’B’  Kết luận: Quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng AB cung I0I1 thuộc đường trịn tâm O, bán kính l (phần nằm góc xOy) Ví dụ 13: Cho góc vng xOy, hai điểm A, B cố định cạnh Ox điểm M di động cạnh Oy Đường thẳng vng góc với MA kẻ từ A cắt đường thẳng vng góc với MB kẻ từ B điểm N Tìm tập hợp điểm N Giải Phần thuận - Kẻ NH  Ox Gọi I trung điểm đoạn thẳng MN z y Do IA=IB(= MN) nên I nằm N I M trung trực đoạn thẳng AB Nếu gọi K trung điểm AB O A K BHx IK  AB Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường - 20 - Trường THCS Việt đồn Tổ khoa học tự Ta l¹i cã IK//OM//NH mà I trung điểm MNnhiờn nờn K trung ®iĨm cđa Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường - 21 - Trng THCS Vit on OH OH=2OK=không đổi VËy ®iĨm N di Tổ khoa học tự chunnhiên tia Hz vuông gúc với cạnh Ox điểm H cho OH=2OK Phần đảo Lấy điểm M trờn Oy, nối MA Đờng vuông gúc với MA kẻ từ A cắt tia Hz N Nối NB Mb Ta cần chứng minh: NB MB Gọi I trung ®iĨm cđa M’N’ Ta có: I ' A  ' 2M ' N (1) (I’A lµ trung tuyÕn øng với cạnh huyền MN tam giỏc vuông MAN) Mặt khỏc I trung điểm MN, K trung ®iĨm cđa OH nên I’K//M’O  I’K  AB mµ K trung điểm AB nờn IK đờng trung trùc cña AB, cho ta I’A=I’B Từ (2) (1) (2) =I’M’=I’N’ suy I ' B  ' 2M ' N z y N' I' Hay tam giác M’BN’ vng góc B Vậy N’B  M’B ' M O A K BH x  Kết luận: Tập hợp điểm N tia Hz nằm góc xOy, vng góc với cạnh Ox điểm H, cho OH=2OK (K trung điểm đoạn thẳng AB) Lưu ý: Trong toán này, liên hệ hai điểm M N phải thông qua giả thiết: M  Oy, MAN  1v, MBN  1v N giao điểm hai đường vng góc kẻ từ A với MA, kẻ từ B với MB Do ta phải chọn ba phương hướng sau để chứng minh phần đảo:  Chứng minh M’ Oy  Chứng minh M ' AN '  900 Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường - 22 -  Chứng minh M ' AN '  900 - Nếu ý cách dựng điểm M, N từ đầu ta dự đoán tập hợp N phải tia tương tự Oy chứng minh phần đảo, sau lấy điểm N’ Hz, dựng lại điểm M’, giao điểm đường vuông góc với N’A kẻ từ A với đường vng góc với N’B kẻ từ B, việc chứng minh M’Oy lặp lại y hệt phần thuận Như vậy, việc lựa chọn giả thiết để xây dựng “kế hoạch” chứng minh phần đảo quan trọng Nếu khéo chọn, nhiều giảm bớt khó khăn việc chứng minh cho ta lời giải hay Tổng quát: chứng minh phần đảo tốn quỹ tích, sau lấy điểm M thuộc hình vừa tìm được, ta phải chứng minh điểm M có tính chất T nêu đề Tính chất T thường tách làm hai nhóm tính chất T1 T2 Ta dựng điểm chuyển động cịn lại thoả mãn tính chất T1 chứng minh M điểm thoả mãn tính chất T Như thế, tuỳ theo cách chia nhóm T T2 mà có nhiều cách chứng minh đảo toán  ... đường trung trực OA Dự đốn quỹ tích đoạn M 2M1 thuộc đường trung trực đoạn thẳng OA, phần nằm góc xOy Giải tốn quỹ tích nào? Cần làm cho học sinh hiểu, giải tốn quỹ tích tiến hành chứng minh phần... Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất thoả tính chất ’ quỹ tích điểm ’ quỹ tích mà ta biết (như ’ “cách hai điểm cố định”; “cách... đoạn không đổi Như ta thay việc tìm quỹ tích điểm M, trung điểm đoạn thẳng AN, việc tìm quỹ tích điểm M cách cạnh BC đoạn không đổi AH , mà quỹ tích ta biết tìm, dạng tốn quỹ tích thứ Ví dụ 7: