Xây dựng hệ thống bài tập hỗ trợ cho việc học tập chương sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian

Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền Lời cảm ơn Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức Thầy giáo Trần Viết Điền, người tận tình hướng dẫn cho em trình thực tiểu luận Em xin chân thành cám ơn Thầy giáo giảng dạy, đóng góp ý kiến suốt thời gian học tập thực tiểu luận em Khoa Vật Lý Em xin cảm ơn bạn cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt thời gian vừa qua Em xin chân thành cám ơn cán Trung Tâm Thông Tin Trường Đại Học Sư Phạm tạo điều kiện cho em trình tìm kiếm tài liệu Sinh viên Trương Ngọc Quê SVTH: Trương Ngọc Quê i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền Mục Lục Lời cảm ơn i PHẦN I : MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU III PHẠM VI NGHIÊN CỨU IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VI BỐ CỤC TIỂU LUẬN PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Cở sở lý thuyết 1.1 Đại lượng động lực gì? 1.2 Đạo hàm toán tử theo thời gian 1.3 Phương trình chuyển động học lượng tử 1.4 Tích phân chuyển động 1.5 Tính đối xứng không gian, thời gian định luật bảo toàn 10 1.5.1 Định luật bảo toàn xung lượng 10 1.5.2 Định luật bảo tồn mơmen xung lượng 11 1.5.3 Định luật bảo toàn lượng 12 1.5.4 Định luật bảo toàn chẵn lẻ 13 Chương 2: Ví dụ tập 14 2.1 Các ví dụ 14 2.1.1 Ví dụ (Ví dụ cho mục 1.2): 14 2.1.2 Ví dụ (Ví dụ mục 1.3) 16 2.1.3 Ví dụ (Ví dụ mục 1.4) 17 2.1.4 Ví dụ (cơ sở áp dụng cho số tập tiếp theo) 18 2.1.5 Ví dụ 20 2.2 Bài tập 22 2.2.1 Bài tập1: 22 SVTH: Trương Ngọc Quê ii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền 2.2.2 Bài tập 2: 22 2.2.3 Bài tập 3: 23 2.2.4 Bài tập 4: 24 2.2.5 Bài tập 5: 25 2.2.6 Bài tập 6: 26 2.2.7 Bài tập 7: 28 2.2.8 Bài tập 30 Phần III: Kết Luận 33 Tài Liệu Tham Khảo 34 SVTH: Trương Ngọc Quê iii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền PHẦN I : MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Với phát triển nhiều ngành khoa học dần khám phá điều bí ẩn tồn giới tự nhiên Một ngành khoa học ngày phát triển vật lý Trong ngành vật lý học có nhiều kiến thức chuyên sâu giúp ta lý giải vấn đề giới mà ngành khoa học khác khơng thể giải thích rõ ràng Một công cụ chủ yếu vật lý học thuyết lượng tử mà học lượng tử Cơ học lượng tử hình thành vào nửa đầu kỷ 20 Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli số người khác tạo nên Một số vấn đề lý thuyết nghiên cứu ngày Cơ học lượng tử phận học lý thuyết Vật lý lý thuyết môn chuyên sâu vào vấn đề xây dựng thuyết vật lý Dựa tảng mô hình vật lý, nhà khoa học vật lý xây dựng thuyết vật lý Thuyết vật lý hiểu biết tổng quát người lĩnh vực, phạm vi vật lý định Dựa mơ hình vật lý tưởng tượng, nhà vật lý lý thuyếtbằng phưong pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học đề hệ thống qui tắc, định luật, nguyên lý vật lý dùng làm sở để giải thích tượng, kiện vật lý để tạo khả tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu vào đời sống thực tiễn Cơ học lượng tử lý thuyết vật lý học, mở rộng bổ sung cho học cổ điển Newton Cơ học lượng tử nghiên cứu chuyển động đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động lượng xung lượng vật có kích thước nhỏ bé, có thể rõ rệt lưỡng tính sóng hạt Lưỡng tính sóng hạt giả định tính chất vật chất, học lượng tử coi học Newton cho phép mơ tả xác đắn nhiều tượng vật lý mà học Newton khơng thể giải thích Chính đời học lượng tử giúp giải khó khăn mà học cổ điển cịn bế tắc Thơng qua việc học tập nghiên cứu học lượng tử mà đối tượng thiếu cần thiết nghiên cứu vật lý đặc biệt với sinh viên khoa Vật Lý SVTH: Trương Ngọc Quê LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền Việc học tập cần thiết sinh viên để hồn thành tốt chương trình học tập ngành khoa đề Với môn học có hệ thống kiến thức chuyên biệt học lượng tử Do nhằm giúp cho sinh viên học tập tốt học phần học lượng tử cần có hệ thống kiến thức hệ thống tập phục vụ Nhằm đáp ứng phần nhỏ mục đích em xin chọn vấn đề “xây dựng hệ thống tập hỗ trợ cho việc học tập chương Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” làm đề tài nghiên cứu II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Hệ thống hóa sở lý thuyết - Xây dựng ví dụ tập minh họa cho phần chương “sự phụ thuộc đại lượng động lực theo thời gian” - Nghiên cứu để mở rộng kiến thức, rèn luyện phương pháp giải tập, phương pháp nghiên cứu khoa học III PHẠM VI NGHIÊN CỨU Chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Xây dựng số ví dụ tập liên quan minh họa cho phần chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp chủ yếu phương pháp lý thuyết VI BỐ CỤC TIỂU LUẬN Tiểu luận gồm phần: - Phần 1: Phần mở đầu: Gồm: Lý chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu - Phần 2: Phần nội dung: Gồm chương:  Chương 1: Cơ sở lý thuyết  Chương 2: Ví dụ tập - Phần 3: Phần kết luận SVTH: Trương Ngọc Quê LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Cở sở lý thuyết 1.1 Đại lượng động lực gì? Để hiểu rõ khái niệm đại lượng động lực học lượng tử ta cần phải thông qua tiên đề tiên đề II, sau vào tìm hiểu tiên đề Trong học cổ điển đại lượng động lực A đơn giản biến số động lực đo (observable) Phép đo đại lượng động lực A hiểu tác động vật lý đặt lên hệ để thu số thực gọi “giá trị A” Để đơn giản ta xét phép đo không sai số (theo cách thông thường thực nghiệm, nghĩa sai số phép đo dụng cụ đo chủ quan người đọc) Ta biết học cổ điển khơng có phân biệt biểu diễn toán học đại lượng giá trị đo đại lượng Trong lúc đó, học lượng tử có phân biệt Tiên đề II đề cập đến biểu diễn toán học đại lượng động lực A với giá trị phát biểu sau: Tương ứng với đại lượng động lực A toán tử tuyến tính hermite ̂ tác dụng khơng gian Hilbert hàm trạng thái Các kết đo đại lượng A trị riêng toán tử ̂ Từ tiên đề II ý điểm sau:  Phép đo đại lượng động lực A biểu diễn cách tác dụng toán tử ̂ lên trạng thái | ⟩ Kết thu phép đo trị riêng (phổ trị riêng) tốn tử ̂ Phổ trị riêng gián đoạn liên tục điều tương ứng với hay phương trình trị riêng tốn tử ̂ sau: ̂ | ⟩, trường hợp phổ trị riêng gián đoạn, ̂ | ⟩, trường hợp phổ trị riêng liên tục, | ⟩ | ⟩ hàm riêng trực chuẩn toán tử ̂  Nếu đo đại lượng động lực A ta giá trị a trạng thái hệ chuyển từ | ⟩ sang | ⟩ (phép đo làm nhiễu loạn trạng thái hạt)  Tính chất tuyến tính cuẩ tốn tử ̂ liên quan đến nguyên lý chồng chất trạng thái, lúc tính chất Hermite ̂ liên quan đến tính thực giá trị đo dược đại lượng động lực A SVTH: Trương Ngọc Quê LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền Đạo hàm tốn tử theo thời gian 1.2 Ta tìm đạo hàm theo thời gian toán tử ̂ Muốn vậy, ta chấp nhận mệnh đề sau: Đạo hàm trị trung bình đại lượng động lực A trung bình đạo hàm đại lượng động lực A theo thời gian, nghĩa là: Trước hết ta tính đạo hàm theo thời gian trị trung bình A: ⟨ ⟨ ⃗ | ⃗ | ̂| ⃗ ⃗ | ⟩ ⃗ ⟨ | ̂| ⃗ ⟩ ⟩ Dùng phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian ta viết: ⃗ ̂ ⃗ ⃗ ̂ ⃗ ⃗ | ̂| ̂ Thay vào (1.2), ta được: ⟨ ⃗ | | ⃗ (⟨ ̂ ⟩ | ̂| ⃗ ⃗ ⟩ ⟨ ⃗ ⟩) Do tính chất Hermite tốn tử ̂ nên ta biến đổi tích vơ hướng thứ hai (1.4) sau: ⟨ ⃗ | | ⃗ ⟩ | ̂ ̂| ⃗ (⟨ ⃗ ⟩ ⟨ ̂ ̂| ⃗ ⟩ ⃗ | ̂ ̂| ⃗ ⟩) Hay: ⟨ ⃗ | ̂ ̂̂ Mặt khác, theo định nghĩa trị trung bình, ta có: ⟨ ⃗ | ̂ | ⃗ SVTH: Trương Ngọc Quê ⟩ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền So sánh (1.6) với (1.7) sử dụng (1.1) ta được: ̂ ̂ ̂ ̂) (̂ ̂ Phương trình (1.8) biểu thức đạo hàm theo thời gian toán tử ̂ Phương trình cịn gọi phương trình chuyển động Heisenberg Đối với số hạng thứ hai ta kí hiệu sau: (̂ ̂ ̂ ̂) [ ̂ ̂] { ̂ ̂} gọi móc Poisson lượng tử Lúc (1.8) trở thành: ̂ ̂ { ̂ ̂} Trong trường hợp đại lượng động lực A không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nghĩa đạo hàm tốn tử ̂ theo thời gian đơn giản móc Poison lượng tử tốn tử ̂ ̂ , (1.9) có dạng đơn giản: ̂ { ̂ ̂} Phương trình chuyển động học lượng tử 1.3 Phương tình (1.11) có dạng tương tự học cổ điển [ ] [H,A] móc Poisson cổ điển có dạng: [ ] ∑( ) Từ phương trình ta tìm phương trình chuyển động học cổ điển Thật vậy, cho A = x, ta được: [ ] ∑( ) Cho A=p ta được: [ ] ∑( ) Tương tự học cổ điển, phương trình (1.9) xác định biến thiên theo thời gian đại lượng động lực A tương ứng với toán tử ̂ Nếu đại lượng động lực xét toạ độ xung lượng hạt (không phụ thuộc SVTH: Trương Ngọc Quê LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền tường minh vào thời gian) ta phương trình chuyển động sau: ̂ ̂ { ̂ ̂} {̂ ̂ } Từ hai phương trình ta tìm phương trình diễn tả thay đổi theo thời gian giá trị trung bình tọa độ xung lượng, thể định lý Erenfest với nội dung sau: Các phương trình chuyển động lượng tử có dạng cổ điển ta thay đại lượng trị trung bình, cụ thể sau: + Trong cổ điển: + Trong lượng tử: Bây ta chứng minh định lý Erenfest Theo (1.1) ta có: ⟨ | ̂ | ⟩ ⟨ | ̂ | ⟩ Từ phương trình chuyển động Heisenberg, ta có dạng ̂ { ̂ ̂} ̂ ̂ [ ⁄ ̂] ̂ sau: [ ̂ ̂] Tính giao hốn tử [ ̂ ̂] ̂ [ ⁄ ̂ ̂] ̂ [ ⁄ ̂ ( ̂ ⁄ ̂ [̂ ̂] ⁄ ̂ ) ( ̂] ⁄ hay ̂ ̂ [ ⁄ ) ̂ ̂] ̂ ( ⁄ ) Thay vào phương trình (1.20), ta được: ̂ ̂ SVTH: Trương Ngọc Quê LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử ̂ Tương tự, ta có dạng ̂ {̂ ̂ } GVHD: Thầy Trần Viết Điền sau: [̂ ̂ ] Tính giao hốn tử [ ̂ ̂ ] [̂ ̂ ] ̂ ̂ ⁄ ̂ , ta , thay vào (1.23), ta được: ̂ Thay biểu thức đạo hàm toán tử ̂ vào (1.19): ⟨ | ̂ | ⟩ Tương tự, thay biểu thức đạo hàm toán tử ̂ vào (1.20), ta được: ⟨ | ̂ | ⟩ ⟨ | | ⟩ Như đạo hàm theo thời gian trị trung bình toạ độ trị trung bình xung lượng chia cho khối lượng hạt Đạo hàm theo thời gian trị trung bình xung lượng trị trung bình lực Từ ta thấy học lượng tử, trị trung bình toạ độ xung lượng hạt lực tác dụng lên liên hệ với phương trình tương tự học cổ điển Nói cách khác hạt chuyển động, trị trung bình của đại lượng học lượng tử biến thiên giá trị thực chúng cổ điển Định lý Erenfest chứng minh 1.4 Tích phân chuyển động Tương tự học học lượng tử đại lượng động lực A gọi tích phân chuyển động hay đại lượng bảo tồn ̅ , hay: Ta tìm điều kiện để đại lượng động lực tích phân chuyển động Ta sử dụng hệ thức: ⟨ | Điều kiện (1.27) cho ta ̂ SVTH: Trương Ngọc Quê ̂ | ⟩ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền Từ (2.1), (2.2), (2.3), (2.7) ta thấy rằng: [ ̂ ̂ ] momen xung lượng không bảo tồn , bình phương 2.1.5 Ví dụ Hạt chuyển động trường phụ thuộc vào x hay tìm đại lượng động lực sau đại lượng tích phân chuyển động: lượng, hình chiếu xung lượng, hình chiếu momen xung lượng bình phương momen xung lượng Lời giải: Do đại lượng động lực không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nên ta cần tính giao hốn tử tốn tử tương ứng với tốn tử Hamilton Cụ thể cần tính giao hoán tử sau đây: [ ̂ ̂ ], [ ̂ ̂ ], [ ̂ ̂ ], [ ̂ ̂ ], [ ̂ ̂ ], [ ̂ ̂ ], [ ̂ ̂ ], [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ Tốn tử Hamilton có dạng sau: ̂ Áp dụng tính chất tốn tử hệ thức giao hốn, ta có: , lượng tích phân chuyển động [ ̂ ̂] Ta tính giao hoán tử toán tử hình chiếu xung lượng lên trục, ta có: ̂ ̂ [ ̂ ̂ ] [̂ ̂ ] ̂ ] [̂ ̂ ] [ ⁄ [̂ ̂ ] ̂ [ ⁄ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [̂ ̂ ] [̂ ̂ ] ̂ [ ⁄ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [̂ ̂ ] Đối với hình chiếu momen xung lượng lên trụng có tốn tử tương ứng là: ̂ ̂ ̂ Tính cho ̂ , thì: ̂ [̂ ̂ ] [ ⁄ ̂ ̂ ] ( ̂ [ ̂ ̂ ] [̂ ̂ ̂ ] SVTH: Trương Ngọc Quê [̂ [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] ̂ ) ̂ ̂ ] [̂ [̂ [̂ ̂ ] ̂ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ] [̂ ̂ ] 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử Đối với ̂ , ta có: ̂ [̂ ̂ ] [ ⁄ ̂ GVHD: Thầy Trần Viết Điền ̂ ] [ ̂ ̂ ] ( ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ ) [̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ [̂ ̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ [̂ [̂ [̂ ̂ ) ̂ ̂ [̂ ̂ ] ̂ ̂ ] ̂ ̂ ] ̂ ] [ ̂ ̂ ] ̂ ) [̂ ̂ [̂ [ ̂ ̂ ] ( ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ ] [̂ ̂ ̂ ] ̂ ] Còn với ̂ , tính sau: ̂ ̂ ̂ ] [̂ ̂ ] [ ⁄ [̂ ̂ ] [̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ] [̂ ̂ ̂ ] ̂ ] Cịn bình phương momen xung lượng tốn tử tưowng ứng là: ̂ [̂ ̂ ] ̂ [ ⁄ ̂ Từ (2.7) ví dụ ta được: [ ̂ ̂ ] (̂ ̂ ̂ [̂ ̂ ] ̂ ] ̂ ̂ ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ [̂ ̂ ̂ ̂ ) ̂ ̂ (̂ { ̂ ] } { }̂ ̂ { } { }̂ ̂ { } { }̂ ) Do đó, ta thấy : [ ̂ ̂ ] Như vậy, đại lượng sau tích phân chuyển động: lượng, hình chiếu xung lượng lên trục y, lên trục z, hình chiếu momen xung lượng lên SVTH: Trương Ngọc Quê 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền trục x 2.2 Bài tập 2.2.1 Bài tập1: Chứng minh trị trung bình đạo hàm theo thời gian đại lượng vật lý không phụ thuộc tường minh vào thời gian trạng thái dừng phổ gián đoạn Lời giải: Gọi A đại lượng vật lý xét, ta có trị trung bình đạo hàm theo thời gian A là: ̂ ⟨ | ⟩ ⟨ |[ ̂ ̂ ] ⟩ Khai triển móc ta có: ̂̂ [ ̂ ̂] ̂ ̂ Áp dụng tính chất hermite tốn tử ̂ áp dụng phương trình trị riêng tốn tử ̂ : ̂ , ta được: |̂ ̂ ⟨ |̂ (⟨ ̂̂ ⟩ ⟩ ⟨ (⟨ |̂ |̂ ̂ ⟩ ⟨ | ̂̂ ⟩) ⟩) 2.2.2 Bài tập 2: Hạt chuyển động trường (̂) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ⁄ ̂ ⁄ ̂ ̂ Hãy chứng minh hệ thức sau: ̂ ( ̂ ̂ ) Lời giải: a)Áp dụng cơng thức phương trình chuyển động Heisenberg, ta có: (̂) { ̂ ̂} [ ̂ ̂] Với tốn tử Hamilton có dạng: ̂ ̂ Do đó: SVTH: Trương Ngọc Quê 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử [ ̂ ̂] ̂] ̂ [ GVHD: Thầy Trần Viết Điền [ ̂ ̂] ̂ [ ̂ ̂] [ ̂ ̂] ̂ ̂] ( ̂ [ ̂ ̂] [ ̂ ̂] ̂ ) [ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Như vậy: (̂) ̂ ̂ ̂ ̂ ⁄ b)Ta có: {̂ ̂ ̂ } ̂ ̂ ( ( [ ̂ [̂ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ] [ ̂ ̂] ̂ [ ̂ ̂] ̂ ̂ ⁄ [ ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ]) ̂ ] ̂[ ̂ [ ̂ ̂] ̂ ̂ ̂[ ̂ ̂ ]) ̂ c)Ta có: {̂ ̂ } ̂ ̂ [ ̂ ] ̂ [̂ ̂ ] [ [ ̂ ] ̂ ̂ ] ̂ ̂ [ ̂ ] [ ( ̂ ̂ ] ̂ ̂ ) 2.2.3 Bài tập 3: Với điều kiện tích phân chuyển động? Bài giải: Vì biểu diễn qua tọa độ xung lượng nên chúng không phụ thuộc tường minh vào thời gian Vì vậy, để chứng minh chúng tích phân chuyển động ta cần chứng minh [ ̂ ̂ ] Ta sử dụng [̂ ̂ ] tọa độ cầu, tốn tử ̂ ̂ ̂ có dạng: SVTH: Trương Ngọc Quê 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử ̂ ̂ GVHD: Thầy Trần Viết Điền ̂ ̂ ̂ với toán tử động là: ̂ { ( ) } Phần góc tốn tử Laplace hệ tọa độ cầu có dạng: [ [̂ ̂ ] [̂ [̂ ( ̂ ̂ ] ̂ ] ) ] [̂ ̂ ] [̂ ̂ ] Muốn cho giao hoán tử khơng phải khơng phụ thuộc , nghĩa [̂ ̂ ] [̂ [̂ ̂ ̂ ] ̂ ] [̂ ̂ ] [̂ ̂ ] Muốn cho giao hốn tử khơng phải không phụ thuộc vào , nghĩa ̂ Như vậy, hạt chuyển động trường xuyên tâm ̂ tích phân chuyển động 2.2.4 Bài tập 4: Tốn tử Hamilton hạt mang điện chuyển động từ trường có dạng: ̂ ⃗ ̂ ⃗ ⃗ vecto, m khối lượng hạt (a) Tìm tốn tử vận tốc hạt (b) Thiết lập hệ thức giao hoán toán tử thành phần Lời giải: Toán tử Hamilton hạt mang điện chuyển động từ trường có dạng: ̂ ̂ ⃗ ⃗ (a) Thay tốn tử Hamilton vào cơng thức tính tốn tử vận tốc ta sau: SVTH: Trương Ngọc Quê 24 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử ⃗ ⃗ [ ̂ ⃗] [ ⃗) [( ̂ (( ̂ (̂ ⃗] ⃗ ̂ [ ⃗) (̂ ([ GVHD: Thầy Trần Viết Điền ⃗ ⃗] [( ̂ ⃗ ⃗]) ⃗) ⃗] ⃗) ⃗] ⃗) ⃗] ( ̂ [( ̂ ⃗)) ⃗) (b) tính hệ thức giao hoán thành phần vận tốc công thức sau: [ ] [( ̂ ) ( ̂ ([ ̂ ̂ ] [ ( [ ] [( ̂ ) ( ̂ ̂ ] ] ) ( ̂ ̂ ] ( ̂ ] [ ̂ ]) ̂ ] [ ̂ ]) ̂ ] [ ̂ ]) ⃗ [ ⃗ ) [( ̂ ([ ̂ [ )] [ ( ] ] ) ([ ̂ [ )] )] [ ] ) [ ⃗ 2.2.5 Bài tập 5: Dùng phương trình chuyển động Heisenberg cho tọa độ, chứng tỏ trị trung bình xung lượng hạt trạng thái dừng khơng Lời giải: Trị trung bình xung lượng hạt trạng thái dừng xác định công thức sau: ⟨ | ̂ ⟩ Từ phương trình chuyển động Heisenberg cho tọa độ, ta có: ̂ ̂ [ ̂ ̂] ( ̂ ̂ ̂ ̂) Thay (2) vào (1), ta được: SVTH: Trương Ngọc Quê 25 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền ⟨ (̂̂ | |̂̂ ̂ ̂) ⟩ ⟨ |̂ ̂ Áp dụng tính chất hermite tốn tử ̂ , ta có: {⟨ ⟩ {⟨ ̂ |̂ |̂ ⟩ {⟨ ̂ ⟩ ⟨̂ ⟩} ⟨̂ |̂ |̂ ⟩} Sử dụng phương trình trị riêng tốn tử ̂ là: ̂ {⟨ |̂ ⟩ ⟨ |̂ Như ta có điều phải chứng minh ⟩} , thì: ⟩} 2.2.6 Bài tập 6: Hàm Hamilton dao động tử điều hịa chiều có dạng; ̂ ̂ ̂ , kiểm tra đại lượng sau, đại lượng tích phân chuyển động: a) Năng lượng b) Các hình chiếu xung lượng c) Các hình chiếu momen xung lượng d) Bình phương momen xung lượng Lời giải: Áp dụng điều kiện để đại lượng động lực A tích phân chuyển động dựa vào cơng thức sau: ̂ [ ̂ ̂] Với ̂ hàm hamilton Vì đại lượng động lực khơng phụ thuộc tường minh vào thời gian nên đạo hàm theo thời gian đại lượng khơng Do đó, ta cần tính giao hốn tử tốn tử tương ứng với toán tử hamilton a) Năng lượng tương ứng với tốn tử hamilton, ta có: [ ̂ ̂] [ ̂ ̂ ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ [ ̂ ] ̂ ] [ ̂ ̂ [ ̂ ̂ ] ] ̂ [̂ ̂ [ ̂ ] ̂ ] [̂ [ ̂ ] ̂ ] ̂ ̂ Do đó, lượng tích phân chuyển động SVTH: Trương Ngọc Quê 26 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử b) GVHD: Thầy Trần Viết Điền Các hình chiếu xung lượng tương ứng với toán tử: ̂ , ̂ , ̂ [̂ ̂ ] [ [̂ ̂ ] [ [̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ] ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ] ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ] ̂ Như vậy, hình chiếu xung lượng lên trục x khơng phải tích phân chuyển động, cịn hình chiếu xung lượng lên trục y z tích phân chuyển động c) Các hình chiếu momen xung lượng tương ứng với toán tử: ̂ , ̂ ,̂ [̂ ̂ ] ̂ ̂ ] ̂ [ ( ̂ [ ̂ ̂ ] ([ [̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] ̂ ) ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] ̂ [ ( ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ [̂ ̂ ] [ [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ̂ ̂ ] ( ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ ] ̂ ̂ ] [ [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] ̂ ) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ̂ ̂ ( [ ̂ ̂ ̂ ] ̂ ]) ̂ ] [ [ ̂ ̂ ] [ [ [ ̂ ̂ ] ̂ ) ̂ ̂ ] ̂ [ [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ ] ̂ ] [ [ ̂ ̂ ̂ ̂ ] ([ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ]) [ ̂ ]) Do đó, hình chiếu momen xung lượng lên trục x tích phân chuyển động, cịn lên trục y z khơng phải SVTH: Trương Ngọc Quê 27 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử d) GVHD: Thầy Trần Viết Điền Bình phương momen xung lượng có tốn tử tương ứng ̂ ̂ ̂ ̂ ] ̂ ] [̂ ̂ ] [ ⁄ [ ̂ ̂ ] [̂ Áp dụng ví dụ 4, ta có: [ ̂ ̂ ] (̂ ̂ ̂ [̂ ̂ ] ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ) ̂ ̂ (̂ ̂ ̂ ̂ ) ̂ ( ̂ ) Từ đó, ta kết quả: [ ̂ ̂ ] Do đó, bình phương momen xung lượng khơng phải tích phân chuyển động 2.2.7 Bài tập 7: Những đại lượng động lực sau đây: lượng, hình chiếu xung lượng, hình chiếu momen xung lượng bảo toàn hạt chuyển động trường biến thiên Lời giải: Muốn biết đại lượng động lực A có phải đại lượng bảo tồn ta phải áp dụng cơng thức sau: ̂ [ ̂ ̂] Trước hết ta xét toán tử Hamilton có dạng: ̂ ̂ ̂ ( ̂ Ta có: ̂ [ ̂ ̂] ( ̂ ̂ ) ̂ [ [ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ) ] [ [ ] ̂ ] ] [ ̂ SVTH: Trương Ngọc Quê [ ̂ ] [ ̂ [ ] ] [ ̂ ] ̂ ] 28 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền Do đó, lượng khơng phải đại lượng bảo toàn Đối với đại lượng động lực khác khơng phụ thuộc tường minh vào thời gian ta cần tính giao hốn tử toán tử tương ứng với toán tử hamilton Đối với hình chiếu momen xung lượng lên trục có tốn tử tương ứng là: ̂ , ̂ ̂ Ta có: [̂ ̂ ] [ ( ̂ ̂ ̂ ) ̂ ̂ ̂ ] [ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ [ ̂ [ ̂ [̂ ̂ ] [ ( ̂ ̂ ̂ ) [ ̂ [ ̂ [̂ ̂ ] [ ( ̂ ̂ ] ̂ ] [ ̂ ] [ ̂ ] [ ̂ ] ̂ ] ̂ ̂ ̂ ] ̂ ] [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ] [ [ ̂ ̂ ) ̂ ] ̂ ] ̂ ] [ ̂ ̂ ̂ ̂ ] [ ̂ ] ([ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ]) Đối với hình chiếu momen xung lượng lên trục có tốn tử tương ứng là: ̂ , ̂ ̂ Ta có: [̂ ̂ ] [ ( ̂ ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ ) ̂ ([ ̂ ̂ ] ( ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ]) [ ̂ ̂ ] ̂ ( ̂ SVTH: Trương Ngọc Quê [ [ ̂ ̂ ] ̂ [ ̂ ] ̂ [ ̂ ̂ ]) ̂ ̂ ) 29 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử [̂ ̂ ] [ ( ̂ GVHD: Thầy Trần Viết Điền ̂ ̂ ] ̂ ) ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ([ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ] ( ̂ [ ̂ ̂ ] [ ( ̂ ̂ [ ̂ [ ̂ ̂ ] ( ̂ [ ̂ ̂ ] ( ̂ ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ [ ̂ ̂ ]) ̂ ] ̂ ̂ ] ([ ̂ ̂ ] [ ̂ ] ̂ ̂ ̂ ) ̂ [ ̂ ̂ ]) [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ̂ [̂ ̂ ] ̂ ] [ ̂ ] [ [ ̂ ̂ ]) [ ̂ ̂ ] ̂ [ ̂ ] [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ [ ̂ ̂ ]) ̂ ̂ ) Như vậy, đại lượng bảo tồn là: hình chiếu xung lượng lên trục x, lên trục y, hình chiếu momen xung lượng lên trục z 2.2.8 Bài tập Những đại lượng động lực sau đây: lượng, hình chiếu xung lượng, hình chiếu momen xung lượng bình phương momen cung lượng bảo tồn hạt chuyển động trường đối xứng xuyên tâm Lời giải: Vì đại lượng khơng phụ thuộc tường minh vào thời gian nên ta cần tính giao hoán tử tương ứng đại lượng với toán tử hamilton Dạng toán tử Hamilton trường xuyên tâm là: ̂ ̂ ̂ ̂ { ( ) } đó: phần góc tốn tử laplace có dạng: ( SVTH: Trương Ngọc Quê ( ) ) 30 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền Toán tử tương ứng hình chiếu xung lượng lên trục là: ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) Các tốn tử tương ứng hình chiếu momen xung lượng lên trục là: ̂ { ̂ } { } ̂ ̂ Ta tính giao hoán tử toán tử tương ứng với tốn tử hamilton Trước hết ta tính cho lượng có tốn tử tương ứng là: ̂ , ta có: [ ̂ ̂] [̂ ̂ [̂ [̂ ̂ ̂ ̂ ] ̂ ] [̂ ̂ [̂ ] ̂ ] ] Thay dạng tốn tử lượng vào phương trình trên, ta được: [ ̂ ̂] ( ) ( ) Như lượng đại lượng bảo toàn Đối với hình chiếu xung lượng lên trục, ta có: [̂ ̂ ] [̂ ̂ [ [̂ ̂ ] [̂ ̂ ] [̂ ] ( ̂ [ SVTH: Trương Ngọc Quê ̂ ] [ ̂ ] )] ̂ ] ( [ [̂ ] )] 31 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử [̂ ̂ ] [̂ GVHD: Thầy Trần Viết Điền ̂ [ [̂ ̂ ] [ ] ̂ ] ( )] Như vậy, hình chiếu xung lượng lên trục đại lượng khơng bảo tồn Đối với hình chiếu momen xung lượng lên trục, ta có: [̂ ̂ ] [̂ ̂ ̂ ] [ ̂ ] [̂ [ ̂ ] { }] { [̂ ̂ ] [̂ } ̂ ̂ ] [ ̂ ] [̂ [ ̂ ] [̂ }] } ̂ [ ̂ ] [ { { [̂ ̂ ] ̂ ] [ ̂ ] ̂ ] [̂ [ ̂ ] ̂ ] [ ] Do đó, hình chiếu momen xung lượng lên trục đại lượng bảo toàn Đối với bình phương momen xung lượng ta có: [̂ ̂ ] [̂ ̂ [ ̂ ] [̂ ( ( ( ̂ ] ̂ ] [ ( ) ) [ ̂ ] )] ) Vậy bình phương momen xung lượng đại lượng bảo toàn SVTH: Trương Ngọc Quê 32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền Phần III: Kết Luận Dựa vào mục đích nghiên cứu đề tài giải số vấn đề sau đây: - Hệ thống hóa kiến thức chương “sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” - Xây dựng hệ thống tập chương, chủ yếu phần tích phân chuyển động bảo tồn đại lượng - Trình bày cách giải tập hỗ trợ cho việc học tập tốt chương hệ thống tập môn học lượng tử - Sử dụng nhuần nhuyễn cách tính giao hoán tử toán tử với toán tử Hamilton Nhìn chung chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” tương đối tập Tuy nhiên, chương góp phần giúp ta hiểu rõ vấn đề đại lượng động lực Qua tiểu luận, em thấy kiến thức thân nhiều hạn chế, việc giải tập chưa nhuần nhuyễn nhiều vướng mắc cần phải cố gắng Trong trình thực khơng tránh khỏi sai sót, mong GVHD thơng cảm góp ý thêm cho làm hồn chỉnh.Thông qua tiểu luận này, theo em giảng dạy vật lý phải xây dựng ví dụ cụ thể cho phần lý thuyết để dễ dàng hệ thống hóa kiến thức cách sâu sắc SVTH: Trương Ngọc Quê 33 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền Tài Liệu Tham Khảo Giáo trình Cơ Học Lượng Tử (Lê Đình – Trần Cơng Phong), NXB ĐH Huế, năm 2012 Bài tập Vật lý lý thuyết – tập (Ngyễn Hữu Mình (cb) – Tạ Duy Lợi – Đỗ Đình Thanh – Lê Trọng Trường), NXB Giáo Dục – 2007 Cơ học lượng tử (Phạm Quý Tư – Đỗ Đình Thanh), NXB ĐHQG Hà Nội Bài tập lượng tử (Vũ Văn Hùng), NXB ĐH Quốc Gia – 2006 Bài tập học lượng tử (Hoàng Dũng), NXB Đại Học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh – 2002 SVTH: Trương Ngọc Quê 34 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... theo thời gian? ?? - Xây dựng hệ thống tập chương, chủ yếu phần tích phân chuyển động bảo tồn đại lượng - Trình bày cách giải tập hỗ trợ cho việc học tập tốt chương hệ thống tập môn học lượng tử... giúp cho sinh viên học tập tốt học phần học lượng tử cần có hệ thống kiến thức hệ thống tập phục vụ Nhằm đáp ứng phần nhỏ mục đích em xin chọn vấn đề ? ?xây dựng hệ thống tập hỗ trợ cho việc học tập. .. tập chương Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian? ?? làm đề tài nghiên cứu II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Hệ thống hóa sở lý thuyết - Xây dựng ví dụ tập minh họa cho phần chương ? ?sự phụ thuộc đại