Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 25 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
25
Dung lượng
304,36 KB
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Ứng dụng toán nội suy Lagrange khai triển Tatlor LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com `au Mo’ d ¯ˆ `eu ta cˆ `an pha’i xa Trong qua ´ trı`nh tı´nh toa ´ n, nhiˆ ´ c d¯i.nh gia ´ tri cu’a mˆ o.t `m sˆ o´ f (x) ’ `eu kiˆe.n chı’ m´ o c, d¯´o d¯iˆ o i cho biˆe´t mˆ o.t sˆ o´ gia ´ tri ta.i mˆ o.t d¯iˆe m tu `y ´y cho tru ´ o´ d¯iˆe’m o.t sˆ ´ ta.i mˆ `o d¯´o cu’a no a´p na `m `m sˆ o´ d¯ˆe´n cˆ ` cu’a d¯a.o `m sˆ o´ va (r` o i ra.c) cu’a x1 , x2, · · · , xk cho tru.´ o.c V´ o.i nh˜ u.ng tru.` o.ng ho p nhu vˆ a.y, ngu.` o.i ta thu.` o.ng tı`m ca ´ ch xˆ ay du ng mˆ o.t `m sˆ o´ P (x) ˜ n ca `eu kiˆe.n d¯˜a cho Ngoa da.ng d¯o n gia’n ho n, thu ` o ng la ` ca ´ c d¯a th´ u c d¯a.i sˆ o´, tho’a ma ´ c d¯iˆ `i ra, ta.i nh˜ u ng gia ´ tri x ∈ R ma ` x khˆ ong tru `ng v´ o i x1 , x2, · · · , xk , thı` P (x) ≈ f (x) (xˆ a´p xı’ theo mˆ o.t d¯ˆ o chı´nh xa ´ c na `o d¯´o) Ha `m sˆ o´ P (x) d¯u o c xˆ ay du ng theo ca ´ ch v` u.a mˆ o ta’ trˆen d¯u.o c go.i la ` `m nˆ o.i suy cu’a f (x); ca ´ c d¯iˆe’m x1 , x2, · · · , xk thu ` o ng d¯u o c go.i la ` ca ´ c nu ´ t nˆ o.i suy va ` ba `i toa ´ n xˆ ay du ng `m P (x) nhu vˆ a.y d¯u.o c go.i la ` Ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Su’ du.ng `m (d¯a th´ u.c) nˆ o.i suy P (x), ta dˆ˜e da `ng tı´nh d¯u.o c gia ´ tri tu.o.ng d¯ˆ o´i chı´nh `an d¯´ung gia xa ´ c cu’a `m sˆ o´ f (x) ta.i x ∈ R tu `y ´y cho tru.´ o.c T` u d¯´o, ta co ´ thˆe’ tı´nh gˆ ´ tri ’ d¯a.o `m va ` tı´ch phˆ an cua no ´ trˆen R ’ Ca ´ c ba `i toa ´ n nˆ o.i suy cˆ o d¯iˆe’n d¯` o.i t` u rˆ a´t s´ o.m va ` d¯´ong vai tro ` rˆ a´t quan tro.ng thu c tˆe´ Do d¯´o, viˆe.c nghiˆen c´ u.u ca ´ c ba `i toa ´ n nˆ o.i suy la ` rˆ a´t co ´ ´y nghı˜a `e vˆ O˙’ ca ´ c tru.` o.ng phˆ o’ thˆ ong, ly ´ thuyˆe´t vˆ a´n d¯`ˆe na `y khˆ ong d¯u.o c d¯`ˆe cˆ a.p, nhu.ng nh˜ u.ng ˜ ng ”ˆ u ´.ng du.ng so cˆ a´p cu’a no ´ cu a’n hiˆe.n” khˆ ong ´t, ı ch˘ a’ng ha.n ca ´ c phu.o.ng trı`nh d¯u.` o.ng ho˘ a.c phu.o.ng trı`nh m˘ a.t bˆ a.c hai, ca ´ c d¯˘ a’ng th´ u.c da.ng phˆ an th´ u.c va ` d¯˘ a.c biˆe.t la ` viˆe.c u ´ ng du.ng cˆ ong th´ u c nˆ o.i suy Lagrange va ` khai triˆe’n Taylor d¯ˆe’ gia’i mˆ o.t sˆ o´ ba `i toa ´n kho ´ ca ´ c d¯`ˆe thi ho.c sinh gio’i ca ´ c cˆ a´p `e ca Vı` vˆ a.y, viˆe.c hı`nh tha `nh mˆ o.t chuyˆen d¯`ˆe cho.n lo.c nh˜ u.ng vˆ a´n d¯`ˆe co ba’n nhˆ a´t vˆ ´ c ba `i toa ´ n nˆ o.i suy, du ´ o i go ´ c d¯ˆ o toa ´ n phˆ o’ thˆ ong, d¯˘ a.c biˆe.t la ` nh˜ u ng u ´ ng du.ng cu’a no ´ qua ´ ˜ ng co `an thiˆe´t Ho n n˜ trı`nh gia’i mˆ o.t sˆ o´ da.ng toa ´ n kho ´ la ` rˆ a´t cˆ u a, chuyˆen d¯`ˆe na `y cu ´ thˆe’ la `m ta `i liˆe.u tham kha’o cho ca ´ c gia ´ o viˆen gio’i va ` ca ´ c sinh viˆen nh˜ u ng n˘ am d¯`ˆ au cu’a bˆ a.c d¯a.i ho.c ´ tu.o’.ng muˆ Y o´n thu c hiˆe.n luˆ a.n v˘ an na `y hı`nh tha `nh tru.´ o.c cuˆ o´n sa ´ ch chuyˆen kha’o -ˆ [2] d¯` o.i D ay v` u.a la ` mˆ o.t thuˆ a.n lo i v` u.a la ` mˆ o.t kho ´ kh˘ an cho nˆ o˜ lu c tı`m kiˆe´m nh˜ u.ng ne ´t m´ o.i cho luˆ a.n v˘ an cu’a ta ´ c gia’, vı` cuˆ o´n sa ´ ch trˆen la ` mˆ o.t ta `i liˆe.u rˆ a´t quı´ gia ´ , ` ´ ` ´ ´ ` d¯´o hˆ au nhu chu a co ´ mˆ o.t ta `i liˆe.u toa ´ n so cˆ a p na `o d¯ˆe cˆ a.p d¯ˆe n vˆ a n d¯ˆe na `y mˆ o.t ca ´ ch tro.n ´ ` ` ´ ´ ´ ve n Do d¯´o, luˆ a.n v˘ an khˆ ong qua ´ d¯ˆe cˆ a.p sˆ au vˆe ly ´ thuyˆe t ma ` cˆ o g˘ ang tı`m kiˆe m nh˜ u.ng u ´.ng du.ng cu’a no ´ va `o viˆe.c gia’i va ` sa ´ ng ta ´ c ca ´ c ba `i tˆ a.p o’ phˆ o’ thˆ ong, d¯˘ a.c biˆe.t la ` nh˜ u.ng u ´.ng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com du.ng thu.` o.ng g˘ a.p cu’a cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange va ` khai triˆe’n Taylor `om ca `an Mo’ d¯`ˆ Ba’n to ´ m t˘ a´t luˆ a.n v˘ an da `y 24 trang, gˆ ´ c phˆ au, ba chu.o.ng nˆ o.i dung, kˆe´t luˆ a.n va ` Ta `i liˆe.u tham kha’o o’ d¯iˆe’n Chu.o.ng 1: Ca ´ c ba `i toa ´ n nˆ o.i suy cˆ `e ca Nˆ o.i dung chu.o.ng na `y trı`nh ba `y mˆ o.t ca ´ ch co ba’n nhˆ a´t vˆ ´ c ba `i toa ´ n nˆ o.i suy cˆ o’ d¯iˆe’n, d¯´o la ` Ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Lagrange, Ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Taylor, Ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Newton va ` Ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Hermite ´.ng du.ng cu’a cˆ ong th´ u.c nˆ o´ u Chu.o.ng 2: Mˆ o.t sˆ o.i suy -Dˆ `am quan tro.ng o’ ay la ` mˆ o.t nh˜ u ng nˆ o.i dung tro.ng tˆ am cu’a luˆ a.n v˘ an V´ o.i tˆ phˆ o’ thˆ ong, cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange va ` nh˜ u.ng u ´.ng du.ng cu’a no ´ d¯u.o c d¯`ˆe cˆ a.p tha `nh `an riˆeng chu o ng na mˆ o.t phˆ `y v´ o i nh˜ u ng phu o ng pha ´ p gia’i toa ´ n kha ´ d¯a da.ng va ` `eu d¯˘ mˆ o.t sˆ o´ lu o ng ba `i tˆ a.p d¯`ˆe xuˆ a´t kha ´ phong phu ´ Nhiˆ a’ng th´ u c du ´ o i da.ng phˆ an th´ uc `on gˆ `eu ba co ´ nguˆ o´c t` u cˆ ong th´ u c nˆ o.i suy Lagrange d¯˜a d¯u o c luˆ a.n v˘ an pha ´ t hiˆe.n Nhiˆ `i ` ng ca toa ´ n thi cho.n ho.c sinh gio’i quˆ o´c gia va ` quˆ o´c tˆe´ d¯˜a d¯u o c gia’i b˘ a ´ ch ´ap du.ng cˆ ong `an co th´ u c nˆ o.i suy na `y Phˆ `n la.i cu’a chu o ng trı`nh ba `y mˆ o.t sˆ o´ u ´ ng du.ng cu’a ca ´ c cˆ ong th´ u.c ˜ ng d¯u.o c gi´ `an cuˆ nˆ o.i suy co `n la.i Mˆ o.t sˆ o´ ba `i tˆ a.p da `nh cho ba.n d¯o.c cu o.i thiˆe.u o’ phˆ o´i chu.o.ng ´.ng du.ng cˆ Chu.o.ng 3: U ong th´ u.c nˆ o.i suy d¯ˆe’ u.´ o.c lu.o ng va ` xˆ a´p xı’ `m sˆ o´ Chu.o.ng na `y ta ´ ch riˆeng mˆ o.t u ´.ng du.ng cu’a ca ´ c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy d¯ˆe’ u.´ o.c lu.o ng va ` xˆ a´p xı’ `m sˆ o´ Mˆ o.t sˆ o´ da.ng toa ´ n kho ´ o’ phˆ o’ thˆ ong liˆen quan d¯ˆe´n vˆ a´n d¯`ˆe na `y d¯˜a d¯u.o c d¯`ˆe cˆ a.p, d¯´o co ´ nh˜ u.ng ba `i ca ´ c d¯`ˆe thi cho.n ho.c sinh gio’i quˆ o´c gia va ` quˆ o´c tˆe´ Mˆ o.t ˜ ’ `an cu’a luˆ sˆ o´ phˆ a.n v˘ an d¯a d¯u o c d¯˘ ang ta’i ca ´ c ky’ yˆe´u hˆ o.i nghi chuyˆen nga `nh, ch˘ ang ha.n [1] ˜ Luˆ a.n v˘ an d¯u.o c hoa `n tha `nh nh` o su hu.´ o.ng dˆ a˜n khoa ho.c va ` nhiˆe.t tı`nh cu’a Tiˆe´n sy -a `ay rˆ `en d¯a.t Tri.nh D `o Chiˆe´n - Ngu ` o i Thˆ a´t nghiˆem kh˘ a´c va ` tˆ a.n tˆ am cˆ ong viˆe.c, truyˆ ˜ ng nhu kinh nghiˆe.m nghiˆen c´ `eu kiˆe´n th´ nhiˆ u c quı´ ba ´ u cu u u khoa ho.c suˆ o´t th` o.i gian nghiˆen c´ u.u d¯`ˆe ta `i Chı´nh vı` vˆ a.y ma ` ta ´ c gia’ luˆ on to’ lo `ng biˆe´t o.n chˆ an tha `nh va ` sˆ au s˘ a´c -a ˜ Tri.nh D `ay gia d¯ˆ o´i v´ o i Thˆ ´ o hu ´ o ng dˆ a˜n - Tiˆe´n sy `o Chiˆe´n Nhˆ an d¯ˆ ay, ta ´ c gia’ xin d¯u o c ba `y to’ lo `ng biˆe´t o.n chˆ an tha `nh d¯ˆe´n: Ban Gia ´ m Hiˆe.u, - a.i ho.c va - a.i ho.c, Khoa toa - a.i ho.c Qui Nho n, cu Pho `ng d¯a `o ta.o D ` sau D ´ n cu’a tru ` o ng D `ng quı´ `ay cˆ thˆ o gia ´ o d¯˜a tham gia gia’ng da.y va ` hu ´ o ng dˆ a˜n khoa ho.c cho l´ o p cao ho.c toa ´ n kho ´ a UBND tı’ nh, So’ gia ´ o du.c va ` d¯a `o ta.o tı’ nh Gia Lai, Ban Gia ´ m Hiˆe.u tru.` o.ng THPT Ia Grai `ay cˆ d¯˜a cho ta ´ c gia’ co hˆ o.i ho.c tˆ a.p, cu `ng v´ o.i quı´ thˆ o gia ´ o cu’a nha ` tru.` o.ng d¯˜a d¯ˆ o.ng viˆen, se’ `eu kiˆe.n thuˆ chia cˆ ong viˆe.c va ` ta.o mo.i d¯iˆ a.n lo i d¯ˆe’ ta ´ c gia’ nghiˆen c´ u.u va ` hoa `n tha `nh luˆ a.n v˘ an na `y Trong qua ´ trı`nh hoa `n tha `nh luˆ a.n v˘ an, ta ´ c gia’ co `n nhˆ a.n d¯u.o c su quan tˆ am d¯ˆ o.ng viˆen cu’a ca ´ c ba.n d¯`ˆ ong nghiˆe.p, ca ´ c anh chi em ca ´ c l´ o p cao ho.c kho ´ a VII, VIII, XIX cu’a tru ` o ng Da.i ho.c Qui Nho n Ta ´ c gia’ xin chˆ an tha `nh ca’m o n tˆ a´t ca’ nh˜ u.ng su quan tˆ am d¯ˆ o.ng viˆen d¯´o LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - ˆe’ hoa D `n tha `nh luˆ a.n v˘ an na `y, ta ´ c gia’ d¯˜a tˆ a.p trung rˆ a´t cao d¯ˆ o hoc tˆ a.p va ` nghiˆen ˜ ng nhu rˆ `eu ha.n chˆe´ c´ u u khoa ho.c, cu a´t cˆ a’n thˆ a.n nhˆ an chˆe´ ba’n Trong d¯´o ´t ı nhiˆ ˜ ng nhu trı`nh d¯ˆ `e th` vˆ o.i gian cu o hiˆe’u biˆe´t nˆen qua ´ trı`nh thu c hiˆe.n khˆ ong thˆe’ tra ´ nh ´ ` ´ ’ ’ ’ ’ ’ a.n d¯u o c su chı bao cua quı´ thˆ o va ` nh˜ u.ng a t mong nhˆ ay cˆ ´ t, ta ´ c gia rˆ khoi nh˜ u ng thiˆe u so go ´ p ´y cu’a ba.n d¯o.c d¯ˆe’ luˆ a.n v˘ an d¯u.o c hoa `n thiˆe.n ho.n Quy Nho.n, tha ´ ng 03 n˘ am 2008 Ta ´ c gia’ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chu.o.ng C´ ac b` to´ an nˆ o.i suy cˆ o˙’ d ¯iˆ e˙’n ˜ su’ du.ng o’ `y, luˆ a.n v˘ an d¯`ˆe cˆ a.p mˆ o.t sˆ o´ ba `i toa ´ n nˆ o.i suy cˆ o’ d¯iˆe’n se Trong chu.o.ng na ca ´ c chu.o.ng sau, d¯´o la `: Ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Lagrange, Bai toa ´ n nˆ o.i suy Taylor, Ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Newton va ` Ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Hermite L` o i gia’i cho ca ´ c ba `i toa ´ n na `y la ` ca ´ c d¯a th´ u.c nˆ o.i suy tu.o.ng u ´.ng ma ` ch´ u.ng minh chi tiˆe´t d¯˜a d¯u.o c trı`nh ba `y [2] 1.1 1.1.1 B` to´ an nˆ o.i suy Lagrange Ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Lagrange ˜ y xa ´ c d¯.inh Cho ca ´ c sˆ o´ thu c xi , ai, v´ o.i xi = xj , v´ o.i mo.i i = j, i, j = 1, 2, · · · , N Ha ` d¯a th´ u c L(x) co ´ bˆ a.c degL(x) ≤ N − va ` tho’a ca ´ c d¯iˆeu kiˆe.n L(xi ) = , ∀i = 1, 2, · · · , N 1.1.2 - a th´ D u.c nˆ o.i suy Lagrange Ky ´ hiˆe.u N Li (x) = j=1,j=i x − xj ; i = 1, 2, · · · , N xi − x j Khi d¯´o, d¯a th´ u.c N L(x) = Li (x) i=1 ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n cu’a ba la ` d¯a th´ u.c nhˆ a´t tho’a ma `i toa ´ n nˆ o.i suy Lagrange va ` ta go.i d¯a th´ u.c na `y la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.2 1.2.1 B` to´ an nˆ o.i suy Taylor Ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Taylor ˜ y xa Cho ca ´ c sˆ o´ thu c x0 , ai, v´ o.i i = 0, 1, · · · , N − Ha ´ c d¯.inh d¯a th´ u.c T (x) co ´ bˆ a.c ˜ n ca `eu kiˆe.n degT (x) ≤ N − va ` tho’a ma ´ c d¯iˆ T i (x0) = , ∀i = 0, 1, · · · , N − 1.2.2 - a th´ D u.c nˆ o.i suy Taylor - a th´ D u.c N −1 T (x) = i=0 (x − x0 )i i! ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n cu’a ba a´t tho’a ma `i toa ´ n nˆ o.i suy Taylor va ` go.i d¯a th´ u.c na `y la ` d¯a th´ u.c nhˆ la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Taylor 1.3 1.3.1 Ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Newton Ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Newton ˜ y xa ´ c d¯.inh d¯a th´ u.c N (x) co ´ bˆ a.c Cho ca ´ c sˆ o´ thu c xi , , v´ o.i i = 1, 2, · · · , N Ha ˜ `eu kiˆe.n degN (x) ≤ N − va ` tho’a ma n ca ´ c d¯iˆ i−1 N (xi ) = , ∀i = 1, 2, · · · , N 1.3.2 - a th´ u.c nˆ D o.i suy Newton Ky ´ hiˆe.u x t Ri (x1 , x2, · · · , xi, x) = t1 ti−2 ··· x1 x2 x3 dti−1 dt2.dt1.dt; i = 1, 2, · · · , N xi d¯´o, d¯a th´ u.c N Ri−1 (x1, x2, , xi−1, x) N (x) = i=1 = a1 + a2 R(x1, x) + a3 R2 (x1, x2, x) + · · · + aN RN −1(x1 , · · · , xN −1, x) ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n cu’a ba la ` d¯a th´ u.c nhˆ a´t tho’a ma `i toa ´ n nˆ o.i suy Newton va ` ta go.i d¯a th´ u.c na `y la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Newton LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nhˆ a.n xe ´ t 1.1 V´ o.i xi = x0 , v´ o.i mo.i i = 1, 2, · · · , N , thı` Ri (x0 , x1, · · · , xi−1, x) = Ri x0, · · · , x0, x i t x `an lˆ t1 = x0 = ti−2 ··· x0 x0 dti−1 dt2.dt1 dt x0 (x − x0 )i ; v´ o.i i = 1, 2, · · · , N i! Khi d¯´o N R i x , · · · , x , x = N (x) = i=1 `an i lˆ = a0 + a1 R(x0, x) + a2 R2 (x0, x0, x) + · · · + aN −1 RN −1 x0 , · · · , x0, x `an N −1 lˆ N −1 = a0 + a1 (x − x0) + a2 N −1 = i=0 (x − x0) (x − x0) + · · · + aN −1 (N − 1)! (x − x0)i ≡ T (x) i! Vˆ a.y, v´ o.i xi = x0 , ; ∀i = 1, 2, · · · , N , thı` d¯a th´ o.i suy Newton chı´nh la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i u.c nˆ suy Taylor 1.4 1.4.1 Ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Hermite Ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Hermite Cho ca ´ c sˆ o´ thu c xi , aki , i = 1, 2, · · · , n; k = 0, 1, · · · , pi − va ` xi = xj , v´ o.i mo.i i = j, ˜ y xa d¯´o p1 + p2 + · · · + pn = N Ha ´ bˆ a.c degH(x) ≤ N − va ` ´ c d¯.inh d¯a th´ u.c H(x) co ˜ n ca `eu kiˆe.n tho’a ma ´ c d¯iˆ H (k)(xi ) = aki , ∀i = 1, 2, · · · , n; ∀k = 0, 1, · · · , pi − 1.4.2 - a th´ D u.c nˆ o.i suy Hermite Ky ´ hiˆe.u n (x − xj )pj ; W (x) = j=1 Wi (x) = W (x) = (x − xi )pi n (x − xj )pj ; i = 1, 2, · · · , n j=1,j=i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Go.i d¯oa.n khai triˆe’n Taylor d¯ˆe´n cˆ a´p th´ u pi −1−k, v´ o.i k = 0, 1, · · · , l; l = 0, 1, · · · , pi −1, ta.i x = xi cu’a `m sˆ o´ (i = 1, 2, · · · , n) la ` Wi (x) T Wi (x) (pi −1−k) pi −1−k = l=0 (x=xi ) Wi (x) (l) (x=xi ) (x − xi )l l! d¯´o, d¯a th´ u.c n pi −1 H(x) = i=1 k=0 (x − xi )k aki Wi (x)T k! Wi (x) (pi −1−k) (x=xi ) ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n cu’a ba u.c ` ta go.i d¯a th´ `i toa ´ n nˆ o.i suy Hermite va la ` d¯a th´ u.c nhˆ a´t tho’a ma na `y la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Hermite Nhˆ a.n xe ´ t 1.2 V´ o.i n = 1, thı` i = va ` p1 = N Khi d¯´o, ta co ´ W (x) = (x − x1 )N ; W1(x) = W (x) = (x − x1 )N Do d¯´o, d¯oa.n khai triˆe’n T W1(x) (N −1−k) (N −1−k) =T (x=x1 ) (x=x1 ) = Khi d¯´o, ta co ´ N −1 H(x) = ak1 k=0 (x − x1 )k ≡ T (x) k! Vˆ a.y, v´ o.i n = 1, thı` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Hermite chı´nh la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Taylor Nhˆ a.n xe ´ t 1.3 V´ o.i k = 0, thı` pi = 1, v´ o.i mo.i i = 1, 2, · · · , n Khi d¯´o p1 + p2 + · · · + pn = N, hay n = N Do d¯´o, ta co ´ N W (x) = (x − xj ); j=1 N Wi (x) = (x − xj ), i = 1, 2, · · · , N j=1,j=i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com d¯´o, d¯oa.n khai triˆe’n Taylor Wi (x) T = Wi (xi ) = (x=xi ) , i = 1, 2, · · · , N N (xi − xj ) j=1,j=i Vˆ a.y, ta co ´ N H(x) = N a0i i=1 j=1,j=i x − xj ≡ L(x) xi − x j Vˆ a.y, v´ o.i k = 0, thı` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Hermite chı´nh la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange Trong tru ` o ng ho p tˆ o’ng qua ´ t, viˆe.c biˆe’u diˆ˜en d¯a th´ u c Hermite kha ´ ph´ u.c ta.p Du.´ o.i d¯ˆ ay la ` mˆ o.t `eu kiˆe.n chı’ va `i tru ` o ng ho p riˆeng d¯o n gia’n kha ´ c cu’a d¯a th´ u c nˆ o.i suy Hermite, hˆe d¯iˆ a´t `m bˆ a.c nhˆ ch´ u a d¯a.o Nhˆ a.n xe ´ t 1.4 Nˆe´u pi = 2, v´ a.c k = o.i mo.i i = 1, 2, · · · , n, thı` d¯´o k = ho˘ + V´ o i k = 0, ta co ´ (pi−1−k) Wi (x) T Wi (x) =T (x=xi ) (1) 1 Wi (x) = l=0 (x=xi ) (x − xi )l (x=xi ) l! (l) = W (xi ) − i2 (x − xi ) Wi (xi ) Wi (xi ) = W (xi ) o.i i = 1, 2, · · · , n 1− i (x − xi ) , v´ Wi (xi ) Wi (xi) + V´ o.i k = 1, ta co ´ T Wi (x) (pi−1−k) =T (x=xi ) = Wi (x) (0) = (x=xi ) l=0 Wi (x) (x − xi )l (x=xi ) l! (l) 1 W (xi) − i (x − xi ) = Wi (xi ) Wi2 (xi) Wi (xi) Khi d¯´o, ta co ´ n H(x) = i=1 k=0 (x − xi )k aki Wi (x)T k! n a0i Wi (x)T = i=1 n Wi (x) a0i = i=1 n = i=1 n = i=1 Wi (x) Wi (x) (pi −1−k) (x=xi ) (1) +a1i (x − xi )Wi(x)T (x=xi ) Wi (x) (0) (x=xi ) 1 W (xi ) 1− i (x − xi ) +a1i (x − xi ) Wi (xi ) Wi (xi) Wi(xi ) W (xi ) Wi (x) a0i − i (x − xi ) +a1i (x − xi ) Wi (xi ) Wi (xi ) Wi (x) W (xi ) a0i − a0i i − a1i (x − xi ) Wi (xi ) Wi (xi ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ` `an ba Ngoa `i ra, phˆ `i toa ´ n nˆ o.i suy Lagrange, ta d¯˜a biˆe´t r˘ a ng n Li (x) = j=1,j=i x − xj ; i = 1, 2, · · · , n xi − x j 1, i = j Li (xj ) = 0, i = j va ` Do d¯´o Li (xi) ≡ 1, ∀i = 1, n Vˆ a.y Wi (x) = Wi (xi) n j=1,j=i (x − xj )2 = L2i (x); i = 1, n (xi − xj )2 - a.o D `m theo x hai vˆe´ cu’a d¯˘ a’ng th´ u.c trˆen, ta d¯u.o c Wi (x) = 2Li(x)Li (x) = 2Li(xi ) Wi (xi) Do d¯´o, d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Hermite tru.` o.ng ho p na `y co ´ da.ng n L2i (x) a0i − 2a0i Li (xi) − a1i (x − xi ) H(x) = i=1 Du.´ o.i d¯ˆ ay la ` mˆ o.t va `i minh ho.a cho viˆe.c vˆ a.n du.ng ca ´ c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy (do ta ´ c gia’ sa ´ ng ta ´ c) ˜ n ca `eu kiˆe.n sau: Ba `i toa ´ n 1.1 Cho d¯a th´ u.c P (x) bˆ a.c 4, tho’a ma ´ c d¯iˆ P (−1) = 3a + (a > 0) ; P (0) = 0; P (1) = 4(3 + a); P (3)(−2) = −48; P (4)(2008) = 24 ` ng: Ch´ u.ng minh r˘ a Q(x) = P (x) + P (x) + P (x) + P (3)(x) + P (4) (x) > ∀x ∈ R ˜ n: Ba `i toa ´ n 1.2 Cho d¯a th´ u.c P (x) bˆ a.c n, tho’a ma P (2007) < 0; −P (2007) ≤ 0, P (2007) ≤ 0, · · · , (−1)nP (n) ≤ 0; P (2008) > 0, P (2008) ≥ 0, P (2008) ≥ 0, · · · , P (n)(2008) ≥ ` Ch´ u.ng minh r˘ a ng ca ´ c nghiˆe.m thu c cu’a P (x) thuˆ o.c (2007; 2008) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 10 Chu.o.ng Mˆ o.t sˆ o´ u ´.ng du.ng cu˙’a cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy `y trı`nh ba `y mˆ o.t sˆ o´ u ´.ng du.ng cu’a ca ´ c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy, d¯´o d¯`ˆe cˆ a.p Chu.o.ng na `eu u sˆ au ho n d¯ˆ o´i v´ o i cˆ ong th´ u c nˆ o.i suy Lagrange, cˆ ong th´ u c co ´ nhiˆ ´ ng du.ng d¯ˆe’ gia’i mˆ o.t sˆ o´ ba `i toa ´ n kho ´ o’ hˆe phˆ o’ thˆ ong chuyˆen toa ´ n Vˆ a´n d¯`ˆe u ´.ng du.ng cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy u.´ o.c lu.o ng va ` xˆ a´p xı’ `m sˆ o´ la ` hai nˆ o.i dung ˜ thuˆ quan tro.ng va ` tu.o.ng d¯ˆ o´i kho ´ , v´ o.i nh˜ u.ng ky a.t ch´ u.ng minh kha ´ ph´ u.c ta.p, d¯u.o c trı`nh ba `y o’ chu.o.ng sau 2.1 2.1.1 ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange Mˆ o.t sˆ o´ u ´.ng du.ng cu˙’ a cˆ Cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange - i.nh nghı˜a 2.1 Cho n sˆ D o´ x1 , x2, · · · , xn phˆ an biˆe.t va ` n sˆ o´ a1 , a2, · · · , an tu `y ´y Thˆe´ ˜ `on ta.i nhˆ thı` tˆ a´t mˆ o.t d¯a th´ u c P (x) v´ o i bˆ a.c khˆ ong vu o t qua ´ n − 1, tho’a ma n P (xj ) = aj ; ∀j = 1, 2, · · · , n - a th´ D u.c co ´ da.ng n n aj j=1 i=1,ı=j x − xi xj − x i (2.1) (2.2) - a th´ D u.c (2.2) d¯u.o c go.i la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange ho˘ a.c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange Ca ´ c sˆ o´ x1 , x2, · · · , xn d¯u o c go.i la ` ca ´ c nu ´ t nˆ o.i suy ( ) T` u cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange, ta co ´ - i.nh nghı˜a 2.2 Cho n sˆ D o´ x1 , x2, · · · , xn phˆ o.i bˆ a.c an biˆe.t Thˆe´ thı` mo.i d¯a th´ u.c P (x) v´ khˆ ong vu.o t qua ´ n − d¯`ˆeu co ´ thˆe viˆe´t du.´ o.i da.ng n P (x) = n P (xj ) j=1 i=1,i=j x − xi xj − x i (2.3) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 11 ´ nghı˜a hı`nh ho.c) Nhˆ a.n xe ´ t 2.1 (Y - a th´ D u.c (2.3) va ` (2.4) kha ´ quen thuˆ o.c chu.o.ng trı`nh toa ´ n phˆ o’ thˆ ong Ta thu’ d¯i tı`m ´y nghı˜a hı`nh ho.c cu’a chu ´ ng, ch˘ a’ng ha.n (2.4) ` o Oxy cho d¯iˆe’m A(x1; y1 ), B(x2; y2), C(x2; y2), v´ a’ng to.a d¯ˆ a.t ph˘ Gia’ su’ r˘ a ng, trˆen m˘ o.i ´ c t` u.ng d¯ˆ x1 , x2.x3 kha oi mˆ o.t `on ta.i nhˆ Thˆe´ thı`, theo (2.1) va ` (2.2) tˆ a´t mˆ o.t d¯u.` o.ng cong y = P (x), d¯´o la ` ˜n d¯a th´ u c v´ o i degP (x) ≤ 2, tho’a ma P (x1 ) = y1 (nghı˜a la o.ng cong qua d¯iˆe’m A); ` d¯u.` P (x2 ) = y2 (nghı˜a la o.ng cong qua d¯iˆe’m B); ` d¯u.` P (x3 ) = y3 (nghı˜a la o.ng cong qua d¯iˆe’m C) ` d¯u.` Ho.n n˜ u.a, d¯u.` o.ng cong co `n co ´ phu.o.ng trı`nh cu thˆe’ la ` y = P (x), tro `n d¯´o P (x) co ´ da.ng o´ aj chı´nh la (2.4) va ` ca ´ c hˆe sˆ ` yj , j = 1, 2, + V´ o i degP (x) = 2, d¯`ˆ o thi y = P (x) la ` parabol d¯i qua d¯iˆe’m A, B, C + V´ o.i degP (x) = 1, d¯`ˆ o thi y = P (x) la ` d¯u.` o.ng th˘ a’ng d¯i qua d¯iˆe’m A, B, C, khˆ ong cu `ng phu o ng v´ o i tru.c hoa `nh + V´ o i degP (x) = 0, d¯`ˆ o thi y = P (x) la ` d¯u.` o.ng th˘ a’ng d¯i qua d¯iˆe’m A, B, C, cu `ng phu o ng v´ o i tru.c hoa `nh Cˆ ong th´ u c nˆ o.i suy Lagrange chı´nh la ` ”ca ´ c gˆ o´c” cu’a mˆ o.t sˆ o´ phu.o.ng trı`nh d¯u.` o.ng cong (ho˘ a.c d¯u.` o.ng th˘ a’ng) d¯i qua ca ´ c d¯iˆe’m cho tru.´ o.c m˘ a.t ph˘ a’ng to.a d¯ˆ o Nhˆ a.n xe ´ t 2.2 V´ o.i d¯a th´ u.c P (x) co ´ degP (x) ≤ n − cho tru.´ o.c, ca ´ c sˆ o´ aj (2.2) d¯u.o c thay bo’.i P (xj ), v´ o.i j = 1, 2, · · · , n Bˆ ay gi` o ta thu’ d¯i tı`m mˆ o.t u ´.ng du.ng cu’a (2.5) Gia’ su’ x1 , x2, · · · , xn la an biˆe.t, n ≥ Xe ´t d¯a th´ u.c ` n sˆ o´ thu c phˆ n P (x) = xn − (x − xi ) (2.4) i=1 T` u d¯´o, ´ap du.ng (2.5), ta co ´ n j=1 xnj = n i=1,i=j (xj − xi ) n xj (2.5) j=1 ˜ y tı`m mˆ Bˆ ay gi` o., ta o.t u ´.ng du.ng cu’a (2.15) d¯ˆe’ ta.o nh˜ u.ng d¯˘ a’ng th´ u.c m´ o.i Tro’ la.i v´ o.i d¯a th´ u.c P (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 , an = 0, n ≥ 2, co ´ n nghiˆe.m thu c phˆ an biˆe.t x1 , x2, , xn V´ o i n gia ´ tri phˆ an biˆe.t x1 , x2, , xn, ´ap du.ng cˆ o.i suy Lagrange d¯ˆ o´i v´ o.i d¯a ong th´ u.c nˆ th´ u.c f (x) = xk , k n − 1, ta co ´ n k xkj ωj (x) x = j=1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 12 Ta co ´ n xk = j=1 xkj ω(x) = an (x − xj )ω (xj ) n xkj j=1 n i=1,i=j (x − xi ) P (xj ) Biˆe’u th´ u.c cuˆ o´i cu `ng la ` mˆ o.t d¯a th´ u.c co ´ hˆe sˆ o´ cu’a xn−1 la ` n an j=1 xkj P (xj ) So sa ´ nh ca ´ c hˆe sˆ o´ cu’a d¯a th´ u.c xk , ta d¯u.o c ca ´ c d¯˘ a’ng th´ u.c sau: n j=1 xkj P (xj ) n j=1 2.1.2 = 0, ∀k ∈ {0, 1, 2, , n − 2}; xkj , v´ o.i k = n − = P (xj ) an (2.6) (2.7) Mˆ o.t sˆ o´ u ´.ng du.ng `an tro.ng tˆ `an na Phˆ am cu’a phˆ `y tˆ a.p trung va `o viˆe.c ´ap du.ng mˆ o.t ca ´ ch kha ´ linh hoa.t ’ ´ ` cˆ ong th´ u c nˆ o.i suy Lagrange d¯ˆe gia’i mˆ o.t sˆ o ba `i toa ´ n kho ´ , d¯´o co ´ ca ´ c d¯ˆe thi cho.n ho.c sinh gio’i nu ´ o c, khu vu c va ` quˆ o´c tˆe´ ` ng 3; 1; 7, ta.i x b˘ ` ng −1; 0; Ba `i toa ´ n 2.1 Xa ´ c d¯.inh d¯a th´ u.c bˆ a.c hai nhˆ a.n gia ´ tri b˘ a a tu o ng u ´ ng ` Ba `i toa ´ n 2.2 Cho a1 , a2, , an la a ng nˆe´u d¯a th´ u.c f (x) ` n sˆ o´ kha ´ c Ch´ u.ng minh r˘ co ´ bˆ a.c khˆ ong l´ o.n ho.n n − 2, thı`: T= f (a1) f (an ) + + = (a1 − a2 )(a1 − a3) (a1 − an ) (an − a1 )(an − a2 ) (an − an−1 ) ` ng nˆe´u d¯a th´ Ba `i toa ´ n 2.3 Ch´ u.ng minh r˘ a u.c bˆ a.c hai nhˆ a.n gia ´ tri nguyˆen ta.i ba gia ´ tri nguyˆen liˆen tiˆe´p cu’a biˆe´n sˆ o´ x, thı` d¯a th´ u c nhˆ a.n gia ´ tri nguyˆen ta.i mo.i x nguyˆen `an Ba `i toa ´ n 2.4 Cho a1 , a2, , an la ` n sˆ o´ kha ´ c Go.i Ai (i = 1, 2, , n) la ` phˆ ˜ y tı`m phˆ `an du r(x) phe du phe ´p chia d¯a th´ u c f (x) cho x − Ha ´p chia f (x) cho (x − a1 )(x − a2) (x − an ) ´ Tha Ba `i toa ´ n 2.5 (Vˆ od ¯i.ch Chˆ au A ´ i Bı`nh Du.o.ng, 2001) Trong m˘ a.t ph˘ a’ ng v´ o.i hˆe tru.c to.a d¯ˆ o vuˆ ong go ´ c, mˆ o.t d¯iˆe’m d¯u.o c go.i la ` d¯iˆe’m hˆ o˜n ho p `an to.a d¯ˆ `an la nˆe´u mˆ o.t hai tha `nh phˆ o cu’a d¯iˆe’m d¯´o la ` sˆ o´ h˜ u.u tı’ , tha `nh phˆ ` sˆ o´ vˆ o ˜ tı’ Tı`m tˆ a´t ca’ ca ´ c d¯a th´ u c co ´ hˆe sˆ o´ thu c cho d¯`ˆ o thi cu’a mˆ oi d¯a th´ u c d¯´o khˆ ong ch´ ua ’ bˆ a´t ky ` d¯iˆe m hˆ o˜n ho p na `o ca’ Ba `i toa ´ n 2.6 Tı`m tˆ a´t ca’ ca ´ c c˘ a.p d¯a th´ u.c P (x) va ` Q(x) co ´ bˆ a.c ba v´ o.i ca ´ c hˆe sˆ o´ thu c ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n: tho’a ma a) Ca’ hai d¯a th´ u.c nhˆ a.n gia ´ tri ho˘ a.c ta.i ca ´ c d¯iˆe’m x = 1, 2, 3, 4; LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 13 b) Nˆe´u P (1) = ho˘ a.c P (2) = 1, thı` Q(1) = Q(3) = 1; c) Nˆe´u P (2) = ho˘ a.c P (4) = 0, thı` Q(2) = Q(4) = 0; d) Nˆe´u P (3) = ho˘ a.c P (4) = 1, thı` Q(1) = ˜ - 1975) Ba `i toa ´ n 2.7 (Vˆ od ¯i.ch My - a th´ ˜ n ca D u.c P (x) bˆ a.c n tho’a ma ´ c d¯˘ a’ ng th´ u.c P (k) = k Cn+1 , v´ o.i k = 0, 1, 2, , n Tı´nh P (n + 1) Ba `i toa ´ n 2.8 Gia’ su’ d¯a th´ u.c c0 + c1 x + c2 x2 + + cn xn co u.u tı’ ´ gia ´ tri h˜ u.u tı’ x h˜ ` Ch´ u.ng minh r˘ a ng, tˆ a´t ca’ ca ´ c hˆe sˆ o´ c0, c1, c2, , cn la o´ h˜ u.u tı’ ` nh˜ u.ng sˆ ˜ n ca Ba `i toa ´ n 2.9 Cho p la ` mˆ o.t sˆ o´ nguyˆen tˆ o´ va ` P (x) ∈ Z[x] la ` d¯a th´ u.c bˆ a.c s tho’a ma ´c `eu kiˆe.n d¯iˆ 1) P (0) = 0, P (1) = ` ng 1, v´ 2) P (n) ho˘ a.c chia hˆe´t cho p ho˘ a.c co ´ sˆ o´ du b˘ a o.i mo.i n ∈ Z + ` ng: s ≥ p − Ch´ u.ng minh r˘ a ˜n Ba `i toa ´ n 2.10 Tı`m tˆ a´t ca’ ca ´ c d¯a th´ u.c P (x) co ´ bˆ a.c nho’ ho.n n (n ≥ 2) va ` thoa’ ma `eu kiˆe.n d¯iˆ n (−1)n−k−1 Cnk P (k) = k=0 ˜ y ca Ba `i toa ´ n 2.11 Cho sˆ o´ tu nhiˆen s va ` da ´ c d¯a th´ u.c Pn (x) co ´ bˆ a.c khˆ ong vu.o t s Gia’ ` ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n thiˆe´t r˘ a ng `m sˆ o´ g(x) xa ´ c d¯.inh (0; 1) va ` thoa’ ma | g(x) − Pn (x) |< ; ∀x ∈ (0; 1); n = 1, 2, n ` `on ta.i d¯a th´ Ch´ u.ng minh r˘ a ng d¯´o tˆ u.c Q(x) bˆ a.c khˆ ong vu.o t s tru `ng v´ o.i g(x) (0; 1) Ba `i toa ´ n 2.12 Cho n sˆ o´ nguyˆen du.o.ng d¯ˆ oi mˆ o.t kha ´ c x1 , x2, , xn Go.i pj = P (xj ), d¯´o n P (x) = (x − xj ) j=1 ` ng da ˜ y (uk ) xa Ch´ u.ng minh r˘ a ´ c d¯.inh theo cˆ ong th´ u.c n uk = i=1 xki pi ˜ y sˆ la ` mˆ o.t da o´ nguyˆen Ba `i toa ´ n 2.13 1) Cho d¯a th´ u.c f (x) co ´ bˆ a.c n v´ o.i ca ´ c hˆe sˆ o´ thu c va ` hˆe sˆ o´ bˆ a.c cao nhˆ a´t ` ` b˘ a ng a Gia’ su’ f (x) co ´ n nghiˆe.m phˆ an biˆe.t x1, x2, , xn kha a ng ´ c Ch´ u ng minh r˘ (−1)n−1 ax1 x2 xn n k=1 = xk n x2 f k=1 k (xk ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 14 `on ta.i hay khˆ 2) Co ´ tˆ ong mˆ o.t d¯a th´ u.c f (x) bˆ a.c n le’ v´ o.i hˆe sˆ o´ bˆ a.c cao nhˆ a´t a = ˜n ´ c thoa’ ma ma ` f (x) co ´ n nghiˆe.m phˆ an biˆe.t x1 , x2, , xn kha 1 1 = 0? + + + + x1 f (x1) x2 f (x2) xn f (xn ) x1 x2 xn 2.2 2.2.1 ac cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy kh´ ac Mˆ o.t sˆ o´ u ´.ng du.ng cu˙’ a c´ Cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Taylor ˜ ng rˆ ´c ´ t d¯ˆe’ xa o’ng qua a´t tˆ ong th´ u.c d¯o.n gia’n va ` cu o.i suy Taylor cho ta cˆ Cˆ ong th´ u.c nˆ `an chı´nh cu’a d¯i.nh phˆ `m sˆ o´ Do d¯´o, d¯ˆe’ tı`m gi´ o i ha.n, ngu ` o i ta thu ` o ng du `ng cˆ ong th´ u.c khai triˆe’n Taylor t´ o.i mˆ o.t cˆ a´p na `o d¯´o Du.´ o.i d¯ˆ ay la ` mˆ o.t sˆ o´ vı´ du minh ho.a Ba `i toa ´ n 2.14 Tı´nh gi´ o.i ha.n √ sin(sin x) − x − x2 lim x→0 x5 Ba `i toa ´ n 2.15 Tı´nh gi´ o.i ha.n lim (cos(x.ex) − ln(1 − x) − x)cot x x→0 Mˆ o.t u ´.ng du.ng kha ´ quan tro.ng cu’a cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Taylor la ` viˆe.c xˆ a´p xı’ `m sˆ o´ Vˆ a´n ˜ d¯u o c trı`nh ba d¯`ˆe na `y se `y o’ chu o ng sau 2.2.2 Cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Newton o.i Ba `i toa ´ n 2.16 Cho bˆ o sˆ o´ thu c (x1; a1), (x2; a2), (x3; a3) Tı`m d¯a th´ u.c N (x) v´ ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n degN (x) ≤ va ` tho’a ma N (x1) = a1, N (x2 ) = a2 , N (x3 ) = a3 Ba `i toa ´ n 2.17 Cho (n + 1) c˘ a.p sˆ o´ (xj , yj ) (j = 0, , n) V´ o.i i = k ta d¯.inh nghı˜a [xi , xk ] = y i − yk ` sai phˆ an ta ´ ch bˆ a.c nhˆ a´t); ([xi , xk ] d¯u.o c go.i la xi − x k [xi+p , xi+p−1 , , xi+1, xi] = [xi+p, , xi+1 ] − [xi+p−1 , , xi] xi+p − xi ` sai phˆ an ta ´ ch bˆ a.c p) ([xi+p , xi+p−1, , xi+1, xi ] d¯u.o c go.i la ˜n ´ Cho x0 < x1 < < xn va ` cho `m sˆ o y(x) la ` `m kha’ vi liˆen tu.c d¯ˆe´n bˆ a.c n thoa’ ma ` `eu kiˆe.n y(xj ) = yj (j = 0, 1, , n) Ch´ d¯iˆ a ng u.ng minh r˘ [xn , xn−1 , , x0] = y (n) (x∗) , n! v´ o.i x∗ la ` mˆ o.t d¯iˆe’m na `o d¯´o (x0, xn ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 15 ` Ba `i toa ´ n 2.18 Ch´ u.ng minh r˘ a ng d¯a th´ u.c Pn (x) = y0 + [x1, x0](x − x0 ) + [x2, x1, x0](x − x0)(x − x1 ) (2.8) + + [xn , xn−1 , , x0](x − x0)(x − x1 ) (x − xn ) ˜ n ca thoa’ ma ´ c hˆe th´ u.c Pn (xj ) = yj ∀j ∈ {0, , n} ˜ ng chı´nh la Nhˆ a.n xe ´ t 2.3 Cˆ ong th´ u.c (2.8) cu ` mˆ o.t ca ´ ch viˆe´t kha ´ c cu’a d¯a th´ u.c nˆ o.i suy `an ca `y phˆ ´ c ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Newton d¯˜a d¯u o c trı`nh ba 2.2.3 Cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Hermite Nhˆ a.n xe ´ t 2.4 Trong ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Hermite, nˆe´u n = thı` i = ho˘ a.c i = Gia’ su’ p1 = va ` p2 = Thˆe´ thı` p1 + p2 = = N Khi d¯´o + Nˆe´u i = 1, thı` k = 0, 1, , P1 − Vˆ a.y k = + Nˆe´u i = 2, thı` k = 0, 1, , P2 − Vˆ a.y k = 0, k = 1, k = Bˆ ay gi` o., gia’ su’ a01 = 1, a02 = a12 = a22 = Ta co ´ ba `i tˆ a.p sau ˜ y xa Ba `i toa ´ n 2.19 Cho hai sˆ o´ thu c x1 = x2 Ha ´ bˆ a.c degH(x) ≤ ´ c d¯.inh d¯a th´ u.c H(x) co ˜ `eu kiˆe.n va ` tho’a ma n ca ´ c d¯iˆ H(x1) = 1, H(x2) = H (x2) = H (x2 ) = ˜ i v´ `an gu Mˆ o.t ca ´ ch tˆ o’ng qua ´ t, ta co ´ ba `i toa ´ n du.´ o.i d¯ˆ ay v´ o.i ca ´ ch gia’i gˆ o.i chu.o.ng trı`nh phˆ o’ thˆ ong Ba `i toa ´ n 2.20 Cho hai sˆ o´ phˆ an biˆe.t x0 va o.i ` x1 Tı`m tˆ a´t ca’ ca ´ c d¯a th´ u.c P (x) v´ ˜ n ca `eu kiˆe.n degP (x) ≤ n (n ∈ N∗) tho’a ma ´ c d¯iˆ P (x0 ) = P ( k)(x1) = 0, k ∈ {0, 1, , n − 1} Nhˆ a.n xe ´ t 2.5 Trong ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Hermite, nˆe´u n = thı` i = ho˘ a.c i = Gia’ su’ p1 = va ` p2 = Thˆe´ thı` p1 + p2 = = N Khi d¯´o + Nˆe´u i = 1, thı` k = 0, 1, , P1 − Vˆ a.y k = 0, k = + Nˆe´u i = 2, thı` k = 0, 1, , P2 − Vˆ a.y k = 0, k = 1, k = Bˆ ay gi` o , gia’ su’ a01 = a11 = 1, a02 = a12 = a22 = Ta d¯u.o c ba `i tˆ a.p sau LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 16 ˜ y xa Ba `i toa ´ n 2.21 Cho hai sˆ o´ thu c x1 = x2 Ha ´ bˆ a.c degH(x) ≤ ´ c d¯.inh d¯a th´ u.c H(x) co ˜ n ca `eu kiˆe.n va ` tho’a ma ´ c d¯iˆ H(x ) = H (x ) = 1 H(x ) = H (x ) = H (x ) = 2 ˜ ng co ˜ i v´ `an gu Mˆ o.t ca ´ ch tˆ o’ng qua ´ t, ta cu ´ ba `i toa ´ n du.´ o.i d¯ˆ ay, v´ o.i ca ´ ch gia’i gˆ o.i chu.o.ng trı`nh toa ´ n phˆ o’ thˆ ong Ba `i toa ´ n 2.22 Cho hai sˆ o´ phˆ an biˆe.t x0 va o.i ` x1 Tı`m tˆ a´t ca’ ca ´ c d¯a th´ u.c P (x) v´ ˜ n ca `eu kiˆe.n degP (x) ≤ n + (n ∈ N∗ ) tho’a ma ´ c d¯iˆ P (x0) = 1, P (x0 ) = 1, P ( k)(x1) = 0, k ∈ {0, 1, , n − 1} 2.3 Ba `i tˆ a.p `am Luˆ a.n v˘ an d¯˜a d¯`ˆe xuˆ a´t 10 ba `i tˆ a.p ta ´ c gia’ sa ´ ng ta ´ c ho˘ a.c su.u tˆ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 17 Chu.o.ng ´.ng du.ng cˆ U ong th´ u.c nˆ o.i suy d ¯ˆ e˙’ o.c lu.o ng v` a xˆ a´p xı˙’ h` am sˆ o´ u.´ ´.ng du.ng quan tro.ng cu’a ca ´ c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy la ` u.´ o.c lu.o ng va ` xˆ a´p Mˆ o.t nh˜ u.ng u -ˆ xı’ `m sˆ o´ D ay la ` mˆ o.t nˆ o.i dung quan tro.ng ly ´ thuyˆe´t `m Nh˜ u ng tru ` o ng ho p nho’ cu’a vˆ a´n d¯`ˆe na `y d¯˜a tro’ tha `nh nh˜ u.ng ba `i toa ´ n kho ´ o’ phˆ o’ thˆ ong va ` thu.` o.ng xuˆ a´t hiˆe.n ca ´ c ky ` thi ho.c sinh gio’i quˆ o´c gia va ` quˆ o´c tˆe´, ˜ d¯`ˆe cˆ Trong pha.m vi cu’a chu.o.ng trı`nh phˆ o’ thˆ ong chuyˆen toa ´ n, chu.o.ng na `y se a.p d¯ˆe´n ca ´c u ´.ng du.ng nˆeu trˆen am sˆ o´ o c lu.o ng h` U´ 3.1 3.1.1 U´ am sˆ o´ theo c´ ac n´ ut nˆ o.i suy Lagrange o c lu.o ng h` ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n: a.c hai f (x) = ax2 + bx + c tho’a ma Ba `i toa ´ n 3.1 Cho tam th´ u.c bˆ | f (x) | 1, | x | ` Chu ´ ng minh r˘ a ng v´ o.i mo.i M ≥ 1, ta co ´: | f (x) | 2M − 1, | x | M ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n Ba `i toa ´ n 3.2 Cho d¯a th´ u.c P (x) bˆ a.c khˆ ong vu.o t qua ´ 2n va ` thoa’ ma | P (k) | 1; ∀k ∈ {−n, −n + 1, , n − 1, n} ` Ch´ u.ng minh r˘ a ng | P (x) | 4n ; ∀x ∈ {−n; n} ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n | f (x) | Ba `i toa ´ n 3.3 Cho d¯a th´ u.c f (x) = ax4 +bx3 +cx2 +dx+e tho’a ma ` | x | Ch´ u ng minh r˘ a ng v´ o i mo.i M > cho tru ´ o c ta d¯`ˆeu co ´ 32 32 | f (x) | M − M + 1, | x | M 3 ` ng Ba `i toa ´ n 3.4 Gia’ su’ cho tru ´ o c ca ´ c sˆ o´ nguyˆen x0 < x1 < < xn Ch´ a u.ng minh r˘ n n−1 gi˜ u a ca ´ c gia ´ tri cu’a d¯a th´ u c x + a1 x + + an ta.i ca ´ c d¯iˆe’m x0 , x1, , xn luˆ on tı`m n! d¯u.o c mˆ o.t sˆ o´ ma ` gia ´ tri tuyˆe.t d¯ˆ o´i cu’a no ´ khˆ ong be ´ ho.n n LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 18 Ba `i toa ´ n 3.5 Cho d¯a th´ u.c P (x) bˆ a.c |P (k)| ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n 2n thoa’ ma 1, k = −n, −(n − 1), , 0, 1, , n ` ng Ch´ u.ng minh r˘ a |P (x)| 3.1.2 2n ∀x ∈ [−n, n] U´ am sˆ o´ theo c´ ac n´ ut nˆ o.i suy Chebyshev o c lu.o ng h` - a th´ u.c Chebyshev 3.1.2.1 D - inh nghı˜a 3.1 Ca ´ c d¯a th´ u.c Tn (x) (n ∈ N) d¯u.o c xa D ´ c d¯.inh nhu sau T (x) = 1; T (x) = x, T (x) = 2xT (x) − T (x) ∀n > n+1 n n−1 d¯u.o c go.i la ` ca ´ c d¯a th´ u.c Chebyshev (loa.i 1) - inh nghı˜a 3.2 Ca D ´ c d¯a th´ u.c Un (x) (n ∈ N) xa ´ c d¯.inh nhu sau U (x) = 0; U (x) = 1, U (x) = 2xU (x) − U (x) ∀n > n+1 n n−1 d¯u.o c go.i la ` ca ´ c d¯a th´ u.c Chebyshev (loa.i 2) 3.1.2.2 Tı ´nh chˆ a´t cu’a ca ´c d ¯a th´ u.c Tn (x) Tı ´nh chˆ a´t 3.1 Tn (x) = cos(n arccos x) v´ o.i mo.i x ∈ [−1, 1] ` Tı ´nh chˆ a´t 3.2 Tn (x) ∈ Z[x] bˆ a.c n co ´ hˆe sˆ o´ bˆ a.c cao nhˆ a´t b˘ a ng 2n−1 va ` la ` `m ch˘ a˜n n ch˘ a˜n; la ` `m le’ n le’ Tı ´nh chˆ a´t 3.3 Tn (x) co ´ d¯´ung n nghiˆe.m phˆ an biˆe.t trˆen [-1, ] la ` xk = cos Tı ´nh chˆ a´t 3.4 |Tn(x)| 2k + π (k = 0, 1, , n − 1) 2n ∀x ∈ [−1, 1] va ` |Tn (x)| = x = cos kπ , k ∈ Z n - a th´ Tı ´nh chˆ a´t 3.5 D u.c T ∗(x) = 21−n Tn (x) la a.c n v´ o.i hˆe sˆ o´ bˆ a.c cao nhˆ a´t ` d¯a th´ u.c bˆ ` ng va b˘ a ` co ´ d¯ˆ o lˆe.ch so v´ o i trˆen [−1, 1] la ` nho’ nhˆ a´t tˆ a´t ca’ ca ´ c d¯a th´ u c bˆ a.c n v´ o.i ` ng hˆe sˆ o´ bˆ a.c cao nhˆ a´t b˘ a 3.1.2.3 Tı ´nh chˆ a´t cu’a d ¯a th´ u.c Un (x) Tı ´nh chˆ a´t 3.6 Un (x) = sin(n arccos x) √ v´ o i mo.i x ∈ (−1, 1) − x2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 19 sin nt Tı ´nh chˆ a´t 3.7 Un (x) = Tn (x) = a.c n − co ´ hˆe sˆ o´ bˆ a.c cao , cos t = x, d¯a th´ u.c bˆ n sin t ` nhˆ a´t b˘ a ng 2n−1 va ` la ` `m ch˘ a˜n n le’; la ` `m le’ n ch˘ a˜n Tı ´nh chˆ a´t 3.8 Tn (x) co ´ d¯´ung n nghiˆe.m phˆ an biˆe.t trˆen [-1, ] la ` xk = cos Tı ´nh chˆ a´t 3.9 |Un (x)| 2k + π (k = 0, 1, , n − 1) 2n n ∀x ∈ [−1, 1] va ` |Tn (x)| n2 ∀x ∈ [−1, 1] Du.´ o.i d¯ˆ ay la ` mˆ o.t sˆ o´ ba `i toa ´ n ´ap du.ng ˜n Ba `i toa ´ n 3.6 Cho d¯a th´ u.c Pn−1 (x) bˆ o´ bˆ a.c cao nhˆ a´t a0 , tho’a ma a.c n − v´ o.i hˆe sˆ `eu kiˆe.n d¯iˆ − x2 |Pn−1 (x)| 1, ∀x ∈ [−1, 1] ` ng Ch´ u.ng minh r˘ a |a0 | 2n−1 ˜n Ba `i toa ´ n 3.7 Cho d¯a th´ u.c Pn−1 (x) bˆ o´ bˆ a.c cao nhˆ a´t a0 , tho’a ma a.c n − v´ o.i hˆe sˆ `eu kiˆe.n d¯iˆ − x2 |Pn−1 (x)| 1, ∀x ∈ [−1, 1] ` ng d¯´o Ch´ u.ng minh r˘ a |Pn−1 (x)| n, ∀x ∈ [−1, 1] Ba `i toa ´ n 3.8 Cho d¯a th´ u.c lu.o ng gia ´c P (t) = a1 sin t + a2 sin 2t + + an sin(nt) ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n thoa’ ma |P (t)| ∀t ∈ R \ { , −2π, −π, 0, π, 2π, } P (t) sin t n ∀t ∈ R \ { , −2π, −π, 0, π, 2π, } ` Ch´ u.ng minh r˘ a ng Ba `i toa ´ n 3.9 Cho d¯a th´ u.c lu.o ng gia ´c n P (x) = (aj cos jx + bj sin jx) j=0 ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n |P (x)| v´ thoa’ ma o.i mo.i x ∈ R ` ng |P (x)| n v´ Ch´ u.ng minh r˘ a o.i mo.i x ∈ R LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 20 Ba `i toa ´ n 3.10 Cho d¯a th´ u.c Pn (x) = a0 xn + a1xn−1 + + an ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n thoa’ ma |Pn (x)| 1, ∀x ∈ [−1, 1] ` ng d¯´o Ch´ u.ng minh r˘ a n2 , ∀x ∈ [−1, 1] |Pn (x)| (3.1) Nhˆ a.n xe ´ t 3.1 Du a va `o kˆe´t qua’ cu’a Ba `i toa ´ n 3.10, sau ´ap du.ng liˆen tiˆe´p kˆe´t qua’ ˜ thu d¯u o c kˆe´t qua’ sau: cu’a d¯.inh ly ´ na `y, ta se ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n u c P (x) thoa’ ma Nˆe´u d¯a th´ |Pn (x)| 1, ∀x ∈ [−1, 1], thı` |P (k) (x)| 3.2 [n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1)]2, ∀x ∈ [−1, 1] ap kh´ ac d ¯ˆ e˙’ u.´ o.c lu.o ng h` am sˆ o´ Mˆ o.t sˆ o´ phu.o.ng ph´ Ba `i toa ´ n 3.11 Cho a1 , a2, , an 1a ` ca ´ c sˆ o´ thu c ` minh r˘ a ng phu.o.ng trı`nh ` va ` khˆ ong d¯`ˆ ong th` o.i b˘ a ng Ch´ u.ng xn − a1 xn−1 − − an−1 x − an = (3.2) co ´ d¯´ung mˆ o.t nghiˆe.m du.o.ng nhˆ a´t Ba `i toa ´ n 3.12 Cho a1 , a2, , an 1a ` ca ´ c sˆ o´ thu c su’ R la ` nghiˆe.m du.o.ng cu’a phu.o.ng trı`nh (3.2) va ` n ` va ` khˆ ong d¯`ˆ ong th` o.i b˘ a ng Gia’ n A= aj ; B = j=1 jaj j=1 ` ng d¯´o Ch´ u.ng minh r˘ a AA RB ˜ y ca Ba `i toa ´ n 3.13 Cho da ´ c d¯a th´ u.c {Pn (x)}(n = 0, 1, 2, ) xa ´ c d¯.inh nhu sau P0 (x) = 0, Pn+1 (x) = Pn (x) + (x − Pn2 (x)) (n = 0, 1, 2, ) ` ng v´ Ch´ u.ng minh r˘ a o.i mo.i x ∈ [0, 1] va ` v´ o.i mo.i n ∈ N, ta luˆ on co ´ √ x − Pn (x) (3.3) n+1 Ba `i toa ´ n 3.14 Cho d¯a th´ u.c f (x) v´ o.i deg f = n va ` f (x) v´ o.i mo.i x ∈ R Ch´ u.ng ` minh r˘ a ng n f (k) (x) (3.4) k=0 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 21 3.3 o.i suy Xˆ a´p xı’ `m sˆ o´ theo d ¯a th´ u.c nˆ u.c d¯u.o c coi la ` `m sˆ o´ co ´ da.ng d¯o.n gia’n Trong sˆ o´ ca ´ c `m sˆ o´ biˆe´n sˆ o´ thu c thı` d¯a th´ `e nhiˆ `eu phu.o.ng diˆe.n nhˆ `e m˘ nhˆ a´t vˆ a´t la ` vˆ a.t tı´nh toa ´ n Bo’.i vˆ a.y, mˆ o.t vˆ a´n d¯`ˆe d¯u.o c chu ´ ng `eu ho n ca’ la ta quan tˆ am nhiˆ ` ba `i toa ´ n xˆ a´p xı’ mˆ o.t `m cho tru ´ o c bo’ i mˆ o.t d¯a th´ u c, d¯˘ a.c `eu kiˆe.n (cˆ `an va biˆe.t la ` tı`m d¯iˆ ` d¯u’) d¯ˆe’ mˆ o.t `m sˆ o´ cho tru ´ o c co ´ thˆe’ xˆ a´p xı’ d¯u o c bo’ i mˆ o.t d¯a th´ u.c `m sˆ o´ f (x) d¯u.o c xˆ a´p xı’ bo’.i d¯a th´ u.c Pn (x) (Pn (x) la o´ ho˘ a.c d¯a Gia’ su’ ` d¯a th´ u.c d¯a.i sˆ th´ u c lu o ng gia ´ c ho˘ a.c la ` ca ´ c d¯a th´ u c da.ng d¯˘ a.c biˆe.t kha ´ c) Go.i R[f, P, n] = |f (x) − Pn (x)| ` ´ ’ ’ ` nho’ ` xa ´ c d¯i.nh n cho R[f, P, n] la ´ c d¯.inh P (x) va an xa ´p xˆ a p xı Ta cˆ la ` d¯ˆ o lˆe.ch cua phe nhˆ a´t trˆen mˆ o.t d¯oa.n [a, b] cho tru.´ o.c Khi d¯´o Pn (x) d¯u.o c go.i la ` d¯a th´ u.c xˆ a´p xı’ tˆ o´t nhˆ a´t cu’a f (x) trˆen d¯oa.n [a, b] d¯´o va ` d¯u.o c ky ´ hiˆe.u la ` f (x) ≈ Pn (x) `an thı` co Nˆe´u `m sˆ o´ f (x) kha’ vi (n + 1) lˆ ´ thˆe’ su’ du.ng cˆ ong th´ u.c khai triˆe’n Taylor ta.i x=0 n f (k) (0) k f (x) = x + R(x, n) k! k=0 `an du R(x, n) = o(xn ) v´ o.i phˆ Nhu vˆ a.y n f (x) ≈ Pn (x) = k=0 f (k) (0) k x k! `an du Tuy nhiˆen l´ o.p ca ´ c `m kha’ vi (n + 1) lˆ `ng d¯ˆe’ xˆ a´p xı’ bo’.i d¯a th´ u.c la ` qua ´ he p, √ `eu l´ khˆ ong bao d¯u.o c nhiˆ o.p `m sˆ o´ liˆen tu.c quen biˆe´t nhu `m sˆ o´ f (x) = x, x ∈ [−1, 1] -ˆ `e xˆ D o´i v´ o.i ca ´ c `m sˆ o´ liˆen tu.c trˆen [a, b] ta vˆ a˜n co ´ ca ´ c d¯i.nh ly ´ tu.o.ng tu vˆ a´p xı’ chu ´ ng bo’.i d¯a th´ u.c ˜ d¯`ˆe cˆ `an na Trong phˆ `y, ta se a.p d¯ˆe´n hai vˆ a´n d¯`ˆe sau: Mˆ o.t la ` xˆ ay du ng ca ´ c d¯a th´ u.c xˆ a´p xı’ thˆ ong qua ca ´ c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy va ` hai la ` xˆ ay du ng cˆ ong th´ u.c tı´nh d¯ˆ o lˆe.ch sai sˆ o´ d¯ˆ o´i v´ o.i ca ´ c xˆ a´p xı’ d¯´o `om n + d¯iˆe’m phˆ Ba `i toa ´ n 3.15 Cho `m sˆ o´ f (x) va ` cho tˆ a.p ho p Ω gˆ an biˆe.t xj (x0 < x1 < · · · < xn ) tˆ a.p xa ´ c d¯.inh cu’a `m sˆ o´ f (x) ˜ y tı`m mˆ Ha o.t d¯a th´ u c Pn (x), bˆ a.c khˆ ong qua ´ n cho P (xj ) = f (xj ) (j = 0, , n) ` Ba `i toa ´ n 3.16 Ch´ u.ng minh r˘ a ng d¯a th´ u.c Pn (x) nˆeu Ba `i toa ´ n 3.15 la ` nhˆ a´t sˆ o´ ca ´ c d¯a th´ u.c bˆ a.c n ` Ba `i toa ´ n 3.17 Ch´ u.ng minh r˘ a ng nˆe´u d¯a th´ u.c Pn (x) Ba `i toa ´ n 3.15 co ´ da.ng n ak xk , Pn (x) = k=0 thı` ca ´ c hˆe sˆ o´ ak d¯u.o c xa ´ c d¯.inh mˆ o.t ca ´ ch nhˆ a´t t` u hˆe phu.o.ng trı`nh n ak xkj = f (xj ), j = 0, , n (3.5) k=0 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 22 ˜ n d¯iˆ `eu kiˆe.n Ba `i toa ´ n 3.18 Cho (n + 1) bˆ o ba sˆ o´ (xj , yj , dj ) (j = 0, , n) thoa’ ma x < x1 < x2 < · · · < x n Tı`m d¯a th´ u.c Pm (x) bˆ a.c m (m 2n + 1) cho Pm (xj ) = yj ; Pm (xj ) = dj , ∀j ∈ {0, , n} (3.6) `an khoa’ng (0, 1) Go.i Ba `i toa ´ n 3.19 Cho y(x) la ` `m sˆ o´ kha’ vi liˆen tu.c (n + 1) lˆ Pn (x) la a´p xı’ cu’a y(x) xa ´ c d¯.inh theo cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange trˆen tˆ a.p ` d¯a th´ u.c xˆ X = {xj | j = 0, , n} ⊆ (0, 1) ˜ y xa Ha ´ c d¯.inh d¯ˆ o lˆe.ch sai sˆ o´ Rn+1 (x) := |y(x) − Pn (x)| trˆen tˆ a.p {(0, 1) \ X} Ba `i toa ´ n 3.20 Cho d¯oa.n I ⊂ R va ` cho M = sup{|f (x)|; x ∈ I} Gia’ su’ ta d¯˜a xˆ a´p xı’ d¯u o c f (x) bo’ i d¯a th´ u c xˆ a´p xı’ bˆ a.c nhˆ a´t xa ´ c d¯.inh theo cˆ ong th´ u c nˆ o.i suy Lagrange ˜ y xa Ha ´ c d¯.inh gia ´ tri l´ o n nhˆ a´t cu’a d¯ˆ o lˆe.ch sai sˆ o´ phe ´p xˆ a´p xı’ trˆen Nhˆ a.n xe ´ t 3.2 T` u d¯´anh gia ´ |Rn+1(x)| M |w(x)|, (n + 1)! ta co ´ nhˆ a.n xe ´t sau d¯ˆ ay - ˆe’ thu d¯u.o c d¯a th´ D u.c xˆ a´p xı’ co ´ d¯ˆ o lˆe.ch sai sˆ o´ nho’ nhˆ a´t ta co ´ thˆe’ su’ du.ng mˆ o.t ´ ´ ´ ’ ca ´ c ca ´ ch ho˘ a.c la ` t˘ ang bˆ a.c xˆ a p xı n, ho˘ a.c phˆ an bˆ o la.i (cho.n) xj trˆen I cho tˆ o i u.u ho.n ho˘ a.c tı`m ca ´ ch gia’m d¯a.i lu.o ng |w(x)| 3.4 Ba `i tˆ a.p `am ´ ng ta ´ c ho˘ a.c su.u tˆ Luˆ a.n v˘ an d¯˜a d¯`ˆe xuˆ a´t 12 ba `i tˆ a.p ta ´ c gia’ tu sa LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 23 Kˆ e´t luˆ a.n cu’a luˆ a.n v˘ an Luˆ a.n v˘ an trı`nh ba `y hˆe thˆ o´ng mˆ o.t sˆ o´ nˆ o.i dung chı´nh sau: o.i suy Lagrange, Taylor, Newton, Nˆeu kˆe´t qua’ cu’a ca ´ c ba `i toa ´ n nˆ o.i suy la ` ca ´ c d¯a th´ u.c nˆ ’ ’ ong ´ c ba `i toa ´ n phˆ o thˆ ´ ng du.ng va Hermite d¯ˆe u `o viˆe.c gia’i ca ´.ng du.ng cˆ `au hˆe´t ca U ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange d¯ˆe’ tı`m d¯u.o c ba’n chˆ a´t cu’a hˆ ´ c d¯`ˆ ong nhˆ a´t th´ u c da.ng phˆ an th´ u c va ` ´ap du.ng mˆ o.t ca ´ ch kha ´ linh hoa.t cˆ ong th´ u c na `y d¯ˆe’ gia’i mˆ o.t sˆ o´ ba `i toa ´ n kho ´ , d¯´o co ´ ca ´ c d¯`ˆe thi ho.c sinh gio’i nu ´ o c, khu vu c va ` quˆ o´c tˆe´ Mˆ o.t sˆ o´ u ´.ng du.ng cu’a ca ´ c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Taylor, nˆ o.i suy Newton, nˆ o.i suy Hermite ´.ng du.ng cˆ U ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange va ` ca ´ c tı´nh chˆ a´t cu’a d¯a th´ u.c Chebyshev d¯ˆe’ u.´ o.c lu.o ng `m sˆ o´ Xˆ ay du ng ca ´ c d¯a th´ u.c xˆ a´p xı’ thˆ ong qua ca ´ c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy va ` xˆ ay du ng cˆ ong ´ ´ ´ th´ u c tı´nh d¯ˆ o lˆe.ch sai sˆ o d¯ˆ o i v´ o i ca ´ c xˆ a p xı’ d¯´o LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 24 ˙’ O ` LIE ˆ U THAM KHA TAI -a [1] Tri.nh D `o Chiˆe´n-Huy `nh Minh Thuˆ a.n, 2007, Ky’ yˆe´u”Mˆ o.t sˆ o´ chuyˆen d¯`ˆe toa ´ n ho.c hˆe ong th´ u c nˆ o.i suy Lagrange, NXB Tru ` o ng Da.i ho.c Khoa THPT, Mˆ o.t sˆ o´ u ´ ng du.ng cˆ ho.c Tu nhiˆen - DHQG Ha ` Nˆ o.i [2] Nguyˆ˜en V˘ an Mˆ a.u, 2007, Ca ´ c ba `i toa ´ n nˆ o.i suy va `u ´.ng du.ng, NXB Gia ´ o du.c - a th´ [3] Nguyˆ˜en V˘ an Mˆ a.u, 2001, D u.c d¯a.i sˆ o´ va ` phˆ an th´ u.c h˜ u.u tı’ , NXB Gia ´ o du.c - HQG TP Hˆ `o Chı´ Minh [4] Lˆe Hoa `nh Pho `, 2003, Chuyˆen kha’o d¯a th´ u.c, NXB D ˆ ` ˜ CONG ˆ ˆ´ -A DANH MU BO C CONG TRINH D -a Tri.nh D `o Chiˆe´n-Huy `nh Minh Thuˆ a.n, 2007, Ky’ yˆe´u”Mˆ o.t sˆ o´ chuyˆen d¯`ˆe toa ´ n ho.c hˆe - a.i ho.c Khoa THPT, Mˆ o.t sˆ o´ u ´ ng du.ng cˆ ong th´ u c nˆ o.i suy Lagrange, NXB Tru ` o ng D - HQG Ha ho.c Tu nhiˆen - D ` Nˆ o.i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... u.c nˆ o.i suy Lagrange ho˘ a.c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange Ca ´ c sˆ o´ x1 , x2, · · · , xn d¯u o c go.i la ` ca ´ c nu ´ t nˆ o.i suy ( ) T` u cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange, ta... ´ c d¯a th´ u.c nˆ o.i suy tu.o.ng u ´.ng ma ` ch´ u.ng minh chi tiˆe´t d¯˜a d¯u.o c trı`nh ba `y [2] 1.1 1.1.1 B` to´ an nˆ o.i suy Lagrange Ba `i toa ´ n nˆ o.i suy Lagrange ˜ y xa ´ c d¯.inh... toa ´ n nˆ o.i suy Lagrange va ` ta go.i d¯a th´ u.c na `y la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.2 1.2.1 B` to´ an nˆ o.i suy Taylor Ba