Ứng dụng bài toán nội suy lagrange và khai triển tatlor

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Ứng dụng toán nội suy Lagrange khai triển Tatlor LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com àu Mo’ d ¯ˆ èu ta cˆ àn pha’i xa Trong qua ´ trı`nh tıńh toa ´ n, nhiˆ ´ c d¯i.nh gia ´ tri cu’a mˆ o.t `m sˆ o´ f (x) ’ èu kiê.n chı’ m´ o c, d¯ó d¯iˆ o i cho biê´t mˆ o.t sˆ o´ gia ´ tri ta.i mˆ o.t d¯iê m tu `y ý cho tru ´ o´ d¯iê’m o.t sˆ ´ ta.i mˆ ò d¯ó cu’a no a´p na `m `m sˆ o´ d¯êń cˆ ` cu’a d¯a.o `m sˆ o´ va (r` o i ra.c) cu’a x1 , x2, · · · , xk cho tru.´ o.c V´ o.i nh˜ u.ng tru.` o.ng ho p nhu vˆ a.y, ngu.` o.i ta thu.` o.ng tı`m ca ´ ch xˆ ay du ng mˆ o.t `m sˆ o´ P (x) ˜ n ca èu kiê.n d¯ã cho Ngoa da.ng d¯o n gia’n ho n, thu ` o ng la ` ca ´ c d¯a th´ u c d¯a.i sˆ o´, tho’a ma ´ c d¯iˆ ì ra, ta.i nh˜ u ng gia ´ tri x ∈ R ma ` x khˆ ong tru `ng v´ o i x1 , x2, · · · , xk , thı` P (x) ≈ f (x) (xˆ a´p xı’ theo mˆ o.t d¯ˆ o chıńh xa ´ c na ò d¯ó) Ha `m sˆ o´ P (x) d¯u o c xˆ ay du ng theo ca ´ ch v` u.a mˆ o ta’ trên d¯u.o c go.i la ` `m nˆ o.i suy cu’a f (x); ca ´ c d¯iê’m x1 , x2, · · · , xk thu ` o ng d¯u o c go.i la ` ca ´ c nu ´ t nˆ o.i suy va ` ba ì toa ´ n xˆ ay du ng `m P (x) nhu vˆ a.y d¯u.o c go.i la ` Ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Su’ du.ng `m (d¯a th´ u.c) nˆ o.i suy P (x), ta dˆ˜e da `ng tıńh d¯u.o c gia ´ tri tu.o.ng d¯ˆ oí chıńh àn d¯úng gia xa ´ c cu’a `m sˆ o´ f (x) ta.i x ∈ R tu `y ý cho tru.´ o.c T` u d¯ó, ta co ´ thê’ tıńh gˆ ´ tri ’ d¯a.o `m va ` tıćh phˆ an cua no ´ trên R ’ Ca ´ c ba ì toa ´ n nˆ o.i suy cˆ o d¯iê’n d¯` o.i t` u rˆ a´t s´ o.m va ` d¯óng vai tro ` rˆ a´t quan tro.ng thu c tê´ Do d¯ó, viê.c nghiên c´ u.u ca ´ c ba ì toa ´ n nˆ o.i suy la ` rˆ a´t co ´ ý nghıã è vˆ O˙’ ca ´ c tru.` o.ng phˆ o’ thˆ ong, ly ´ thuyê´t vˆ ań d¯`ê na `y khˆ ong d¯u.o c d¯`ê cˆ a.p, nhu.ng nh˜ u.ng ˜ ng ”ˆ u ´.ng du.ng so cˆ a´p cu’a no ´ cu a’n hiê.n” khˆ ong ´t, ı ch˘ a’ng ha.n ca ´ c phu.o.ng trı`nh d¯u.` o.ng ho˘ a.c phu.o.ng trı`nh m˘ a.t bˆ a.c hai, ca ´ c d¯˘ a’ng th´ u.c da.ng phˆ an th´ u.c va ` d¯˘ a.c biê.t la ` viê.c u ´ ng du.ng cˆ ong th´ u c nˆ o.i suy Lagrange va ` khai triê’n Taylor d¯ê’ gia’i mˆ o.t sˆ o´ ba ì toa ń kho ´ ca ´ c d¯`ê thi ho.c sinh gio’i ca ´ c cˆ a´p è ca Vı` vˆ a.y, viê.c hı`nh tha `nh mˆ o.t chuyên d¯`ê cho.n lo.c nh˜ u.ng vˆ ań d¯`ê co ba’n nhˆ a´t vˆ ´ c ba ì toa ´ n nˆ o.i suy, du ´ o i go ´ c d¯ˆ o toa ´ n phˆ o’ thˆ ong, d¯˘ a.c biê.t la ` nh˜ u ng u ´ ng du.ng cu’a no ´ qua ´ ˜ ng co àn thiê´t Ho n n˜ trı`nh gia’i mˆ o.t sˆ o´ da.ng toa ´ n kho ´ la ` rˆ a´t cˆ u a, chuyên d¯`ê na `y cu ´ thê’ la `m ta ì liê.u tham kha’o cho ca ´ c gia ´ o viên gio’i va ` ca ´ c sinh viên nh˜ u ng n˘ am d¯`ˆ au cu’a bˆ a.c d¯a.i ho.c ´ tu.o’.ng muˆ Y oń thu c hiê.n luˆ a.n v˘ an na `y hı`nh tha `nh tru.´ o.c cuˆ oń sa ´ ch chuyên kha’o -ˆ [2] d¯` o.i D ay v` u.a la ` mˆ o.t thuˆ a.n lo i v` u.a la ` mˆ o.t kho ´ kh˘ an cho nˆ o˜ lu c tı`m kiê´m nh˜ u.ng ne ´t m´ o.i cho luˆ a.n v˘ an cu’a ta ´ c gia’, vı` cuˆ oń sa ´ ch trên la ` mˆ o.t ta ì liê.u rˆ a´t quı´ gia ´ , ` ´ ` ´ ´ ` d¯ó hˆ au nhu chu a co ´ mˆ o.t ta ì liê.u toa ´ n so cˆ a p na ò d¯ê cˆ a.p d¯ê n vˆ a n d¯ê na `y mˆ o.t ca ´ ch tro.n ´ ` ` ´ ´ ´ ve n Do d¯ó, luˆ a.n v˘ an khˆ ong qua ´ d¯ê cˆ a.p sˆ au vê ly ´ thuyê t ma ` cˆ o g˘ ang tı`m kiê m nh˜ u.ng u ´.ng du.ng cu’a no ´ va ò viê.c gia’i va ` sa ´ ng ta ´ c ca ´ c ba ì tˆ a.p o’ phˆ o’ thˆ ong, d¯˘ a.c biê.t la ` nh˜ u.ng u ´.ng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com du.ng thu.` o.ng g˘ a.p cu’a cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange va ` khai triê’n Taylor òm ca àn Mo’ d¯`ˆ Ba’n to ´ m t˘ a´t luˆ a.n v˘ an da `y 24 trang, gˆ ´ c phˆ au, ba chu.o.ng nˆ o.i dung, kê´t luˆ a.n va ` Ta ì liê.u tham kha’o o’ d¯iê’n Chu.o.ng 1: Ca ´ c ba ì toa ´ n nˆ o.i suy cˆ è ca Nˆ o.i dung chu.o.ng na `y trı`nh ba `y mˆ o.t ca ´ ch co ba’n nhˆ a´t vˆ ´ c ba ì toa ´ n nˆ o.i suy cˆ o’ d¯iê’n, d¯ó la ` Ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Lagrange, Ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Taylor, Ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Newton va ` Ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Hermite ´.ng du.ng cu’a cˆ ong th´ u.c nˆ o´ u Chu.o.ng 2: Mˆ o.t sˆ o.i suy -Dˆ àm quan tro.ng o’ ay la ` mˆ o.t nh˜ u ng nˆ o.i dung tro.ng tˆ am cu’a luˆ a.n v˘ an V´ o.i tˆ phˆ o’ thˆ ong, cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange va ` nh˜ u.ng u ´.ng du.ng cu’a no ´ d¯u.o c d¯`ê cˆ a.p tha `nh àn riêng chu o ng na mˆ o.t phˆ `y v´ o i nh˜ u ng phu o ng pha ´ p gia’i toa ´ n kha ´ d¯a da.ng va ` èu d¯˘ mˆ o.t sˆ o´ lu o ng ba ì tˆ a.p d¯`ê xuˆ a´t kha ´ phong phu ´ Nhiˆ a’ng th´ u c du ´ o i da.ng phˆ an th´ uc òn gˆ èu ba co ´ nguˆ oć t` u cˆ ong th´ u c nˆ o.i suy Lagrange d¯ã d¯u o c luˆ a.n v˘ an pha ´ t hiê.n Nhiˆ ì ` ng ca toa ´ n thi cho.n ho.c sinh gio’i quˆ oć gia va ` quˆ oć tê´ d¯ã d¯u o c gia’i b˘ a ´ ch áp du.ng cˆ ong àn co th´ u c nˆ o.i suy na `y Phˆ `n la.i cu’a chu o ng trı`nh ba `y mˆ o.t sˆ o´ u ´ ng du.ng cu’a ca ´ c cˆ ong th´ u.c ˜ ng d¯u.o c gi´ àn cuˆ nˆ o.i suy co `n la.i Mˆ o.t sˆ o´ ba ì tˆ a.p da `nh cho ba.n d¯o.c cu o.i thiê.u o’ phˆ oí chu.o.ng ´.ng du.ng cˆ Chu.o.ng 3: U ong th´ u.c nˆ o.i suy d¯ê’ u.´ o.c lu.o ng va ` xˆ a´p xı’ `m sˆ o´ Chu.o.ng na `y ta ´ ch riêng mˆ o.t u ´.ng du.ng cu’a ca ´ c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy d¯ê’ u.´ o.c lu.o ng va ` xˆ a´p xı’ `m sˆ o´ Mˆ o.t sˆ o´ da.ng toa ´ n kho ´ o’ phˆ o’ thˆ ong liên quan d¯êń vˆ ań d¯`ê na `y d¯ã d¯u.o c d¯`ê cˆ a.p, d¯ó co ´ nh˜ u.ng ba ì ca ´ c d¯`ê thi cho.n ho.c sinh gio’i quˆ oć gia va ` quˆ oć tê´ Mˆ o.t ˜ ’ àn cu’a luˆ sˆ o´ phˆ a.n v˘ an d¯a d¯u o c d¯˘ ang ta’i ca ´ c ky’ yêú hˆ o.i nghi chuyên nga `nh, ch˘ ang ha.n [1] ˜ Luˆ a.n v˘ an d¯u.o c hoa `n tha `nh nh` o su hu.´ o.ng dˆ añ khoa ho.c va ` nhiê.t tı`nh cu’a Tiêń sy -a ày rˆ èn d¯a.t Tri.nh D ò Chiêń - Ngu ` o i Thˆ a´t nghiêm kh˘ ać va ` tˆ a.n tˆ am cˆ ong viê.c, truyˆ ˜ ng nhu kinh nghiê.m nghiên c´ èu kiêń th´ nhiˆ u c quı´ ba ´ u cu u u khoa ho.c suˆ o´t th` o.i gian nghiên c´ u.u d¯`ê ta ì Chıńh vı` vˆ a.y ma ` ta ´ c gia’ luˆ on to’ lo `ng biê´t o.n chˆ an tha `nh va ` sˆ au s˘ ać -a ˜ Tri.nh D ày gia d¯ˆ oí v´ o i Thˆ ´ o hu ´ o ng dˆ añ - Tiêń sy ò Chiêń Nhˆ an d¯ˆ ay, ta ´ c gia’ xin d¯u o c ba `y to’ lo `ng biê´t o.n chˆ an tha `nh d¯êń: Ban Gia ´ m Hiê.u, - a.i ho.c va - a.i ho.c, Khoa toa - a.i ho.c Qui Nho n, cu Pho `ng d¯a ò ta.o D ` sau D ´ n cu’a tru ` o ng D `ng quı´ ày cˆ thˆ o gia ´ o d¯ã tham gia gia’ng da.y va ` hu ´ o ng dˆ añ khoa ho.c cho l´ o p cao ho.c toa ´ n kho ´ a UBND tı’ nh, So’ gia ´ o du.c va ` d¯a ò ta.o tı’ nh Gia Lai, Ban Gia ´ m Hiê.u tru.` o.ng THPT Ia Grai ày cˆ d¯ã cho ta ´ c gia’ co hˆ o.i ho.c tˆ a.p, cu `ng v´ o.i quı´ thˆ o gia ´ o cu’a nha ` tru.` o.ng d¯ã d¯ˆ o.ng viên, se’ èu kiê.n thuˆ chia cˆ ong viê.c va ` ta.o mo.i d¯iˆ a.n lo i d¯ê’ ta ´ c gia’ nghiên c´ u.u va ` hoa `n tha `nh luˆ a.n v˘ an na `y Trong qua ´ trı`nh hoa `n tha `nh luˆ a.n v˘ an, ta ´ c gia’ co `n nhˆ a.n d¯u.o c su quan tˆ am d¯ˆ o.ng viên cu’a ca ´ c ba.n d¯`ˆ ong nghiê.p, ca ´ c anh chi em ca ´ c l´ o p cao ho.c kho ´ a VII, VIII, XIX cu’a tru ` o ng Da.i ho.c Qui Nho n Ta ´ c gia’ xin chˆ an tha `nh ca’m o n tˆ a´t ca’ nh˜ u.ng su quan tˆ am d¯ˆ o.ng viên d¯ó LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - ê’ hoa D `n tha `nh luˆ a.n v˘ an na `y, ta ´ c gia’ d¯ã tˆ a.p trung rˆ a´t cao d¯ˆ o hoc tˆ a.p va ` nghiên ˜ ng nhu rˆ èu ha.n chê´ c´ u u khoa ho.c, cu a´t cˆ a’n thˆ a.n nhˆ an chê´ ba’n Trong d¯ó ´t ı nhiˆ ˜ ng nhu trı`nh d¯ˆ è th` vˆ o.i gian cu o hiê’u biê´t nên qua ´ trı`nh thu c hiê.n khˆ ong thê’ tra ´ nh ´ ` ´ ’ ’ ’ ’ ’ a.n d¯u o c su chı bao cua quı´ thˆ o va ` nh˜ u.ng a t mong nhˆ ay cˆ ´ t, ta ´ c gia rˆ khoi nh˜ u ng thiê u so go ´ p ý cu’a ba.n d¯o.c d¯ê’ luˆ a.n v˘ an d¯u.o c hoa `n thiê.n ho.n Quy Nho.n, tha ´ ng 03 n˘ am 2008 Ta ´ c gia’ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chu.o.ng C´ ac b` to´ an nˆ o.i suy cˆ o˙’ d ¯iˆ e˙’n ˜ su’ du.ng o’ `y, luˆ a.n v˘ an d¯`ê cˆ a.p mˆ o.t sˆ o´ ba ì toa ´ n nˆ o.i suy cˆ o’ d¯iê’n se Trong chu.o.ng na ca ´ c chu.o.ng sau, d¯ó la `: Ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Lagrange, Bai toa ´ n nˆ o.i suy Taylor, Ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Newton va ` Ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Hermite L` o i gia’i cho ca ´ c ba ì toa ´ n na `y la ` ca ´ c d¯a th´ u.c nˆ o.i suy tu.o.ng u ´.ng ma ` ch´ u.ng minh chi tiê´t d¯ã d¯u.o c trı`nh ba `y [2] 1.1 1.1.1 B` to´ an nˆ o.i suy Lagrange Ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Lagrange ˜ y xa ´ c d¯.inh Cho ca ´ c sˆ o´ thu c xi , ai, v´ o.i xi = xj , v´ o.i mo.i i = j, i, j = 1, 2, · · · , N Ha ` d¯a th´ u c L(x) co ´ bˆ a.c degL(x) ≤ N − va ` tho’a ca ´ c d¯iêu kiê.n L(xi ) = , ∀i = 1, 2, · · · , N 1.1.2 - a th´ D u.c nˆ o.i suy Lagrange Ky ´ hiê.u N Li (x) = j=1,j=i x − xj ; i = 1, 2, · · · , N xi − x j Khi d¯ó, d¯a th´ u.c N L(x) = Li (x) i=1 ˜ n d¯iˆ èu kiê.n cu’a ba la ` d¯a th´ u.c nhˆ a´t tho’a ma ì toa ´ n nˆ o.i suy Lagrange va ` ta go.i d¯a th´ u.c na `y la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.2 1.2.1 B` to´ an nˆ o.i suy Taylor Ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Taylor ˜ y xa Cho ca ´ c sˆ o´ thu c x0 , ai, v´ o.i i = 0, 1, · · · , N − Ha ´ c d¯.inh d¯a th´ u.c T (x) co ´ bˆ a.c ˜ n ca èu kiê.n degT (x) ≤ N − va ` tho’a ma ´ c d¯iˆ T i (x0) = , ∀i = 0, 1, · · · , N − 1.2.2 - a th´ D u.c nˆ o.i suy Taylor - a th´ D u.c N −1 T (x) = i=0 (x − x0 )i i! ˜ n d¯iˆ èu kiê.n cu’a ba a´t tho’a ma ì toa ´ n nˆ o.i suy Taylor va ` go.i d¯a th´ u.c na `y la ` d¯a th´ u.c nhˆ la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Taylor 1.3 1.3.1 Ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Newton Ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Newton ˜ y xa ´ c d¯.inh d¯a th´ u.c N (x) co ´ bˆ a.c Cho ca ´ c sˆ o´ thu c xi , , v´ o.i i = 1, 2, · · · , N Ha ˜ èu kiê.n degN (x) ≤ N − va ` tho’a ma n ca ´ c d¯iˆ i−1 N (xi ) = , ∀i = 1, 2, · · · , N 1.3.2 - a th´ u.c nˆ D o.i suy Newton Ky ´ hiê.u x t Ri (x1 , x2, · · · , xi, x) = t1 ti−2 ··· x1 x2 x3 dti−1 dt2.dt1.dt; i = 1, 2, · · · , N xi d¯ó, d¯a th´ u.c N Ri−1 (x1, x2, , xi−1, x) N (x) = i=1 = a1 + a2 R(x1, x) + a3 R2 (x1, x2, x) + · · · + aN RN −1(x1 , · · · , xN −1, x) ˜ n d¯iˆ èu kiê.n cu’a ba la ` d¯a th´ u.c nhˆ a´t tho’a ma ì toa ´ n nˆ o.i suy Newton va ` ta go.i d¯a th´ u.c na `y la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Newton LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nhˆ a.n xe ´ t 1.1 V´ o.i xi = x0 , v´ o.i mo.i i = 1, 2, · · · , N , thı` Ri (x0 , x1, · · · , xi−1, x) = Ri x0, · · · , x0, x i t x àn lˆ t1 = x0 = ti−2 ··· x0 x0 dti−1 dt2.dt1 dt x0 (x − x0 )i ; v´ o.i i = 1, 2, · · · , N i! Khi d¯ó N R i x , · · · , x , x = N (x) = i=1 àn i lˆ = a0 + a1 R(x0, x) + a2 R2 (x0, x0, x) + · · · + aN −1 RN −1 x0 , · · · , x0, x àn N −1 lˆ N −1 = a0 + a1 (x − x0) + a2 N −1 = i=0 (x − x0) (x − x0) + · · · + aN −1 (N − 1)! (x − x0)i ≡ T (x) i! Vˆ a.y, v´ o.i xi = x0 , ; ∀i = 1, 2, · · · , N , thı` d¯a th´ o.i suy Newton chıńh la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i u.c nˆ suy Taylor 1.4 1.4.1 Ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Hermite Ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Hermite Cho ca ´ c sˆ o´ thu c xi , aki , i = 1, 2, · · · , n; k = 0, 1, · · · , pi − va ` xi = xj , v´ o.i mo.i i = j, ˜ y xa d¯ó p1 + p2 + · · · + pn = N Ha ´ bˆ a.c degH(x) ≤ N − va ` ´ c d¯.inh d¯a th´ u.c H(x) co ˜ n ca èu kiê.n tho’a ma ´ c d¯iˆ H (k)(xi ) = aki , ∀i = 1, 2, · · · , n; ∀k = 0, 1, · · · , pi − 1.4.2 - a th´ D u.c nˆ o.i suy Hermite Ky ´ hiê.u n (x − xj )pj ; W (x) = j=1 Wi (x) = W (x) = (x − xi )pi n (x − xj )pj ; i = 1, 2, · · · , n j=1,j=i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Go.i d¯oa.n khai triê’n Taylor d¯êń cˆ a´p th´ u pi −1−k, v´ o.i k = 0, 1, · · · , l; l = 0, 1, · · · , pi −1, ta.i x = xi cu’a `m sˆ o´ (i = 1, 2, · · · , n) la ` Wi (x) T Wi (x) (pi −1−k) pi −1−k = l=0 (x=xi ) Wi (x) (l) (x=xi ) (x − xi )l l! d¯ó, d¯a th´ u.c n pi −1 H(x) = i=1 k=0 (x − xi )k aki Wi (x)T k! Wi (x) (pi −1−k) (x=xi ) ˜ n d¯iˆ èu kiê.n cu’a ba u.c ` ta go.i d¯a th´ ì toa ´ n nˆ o.i suy Hermite va la ` d¯a th´ u.c nhˆ a´t tho’a ma na `y la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Hermite Nhˆ a.n xe ´ t 1.2 V´ o.i n = 1, thı` i = va ` p1 = N Khi d¯ó, ta co ´ W (x) = (x − x1 )N ; W1(x) = W (x) = (x − x1 )N Do d¯ó, d¯oa.n khai triê’n T W1(x) (N −1−k) (N −1−k) =T (x=x1 ) (x=x1 ) = Khi d¯ó, ta co ´ N −1 H(x) = ak1 k=0 (x − x1 )k ≡ T (x) k! Vˆ a.y, v´ o.i n = 1, thı` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Hermite chıńh la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Taylor Nhˆ a.n xe ´ t 1.3 V´ o.i k = 0, thı` pi = 1, v´ o.i mo.i i = 1, 2, · · · , n Khi d¯ó p1 + p2 + · · · + pn = N, hay n = N Do d¯ó, ta co ´ N W (x) = (x − xj ); j=1 N Wi (x) = (x − xj ), i = 1, 2, · · · , N j=1,j=i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com d¯ó, d¯oa.n khai triê’n Taylor Wi (x) T = Wi (xi ) = (x=xi ) , i = 1, 2, · · · , N N (xi − xj ) j=1,j=i Vˆ a.y, ta co ´ N H(x) = N a0i i=1 j=1,j=i x − xj ≡ L(x) xi − x j Vˆ a.y, v´ o.i k = 0, thı` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Hermite chıńh la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange Trong tru ` o ng ho p tˆ o’ng qua ´ t, viê.c biê’u diˆ˜en d¯a th´ u c Hermite kha ´ ph´ u.c ta.p Du.´ o.i d¯ˆ ay la ` mˆ o.t èu kiê.n chı’ va ì tru ` o ng ho p riêng d¯o n gia’n kha ´ c cu’a d¯a th´ u c nˆ o.i suy Hermite, hê d¯iˆ a´t `m bˆ a.c nhˆ ch´ u a d¯a.o Nhˆ a.n xe ´ t 1.4 Nêú pi = 2, v´ a.c k = o.i mo.i i = 1, 2, · · · , n, thı` d¯ó k = ho˘ + V´ o i k = 0, ta co ´ (pi−1−k) Wi (x) T Wi (x) =T (x=xi ) (1) 1 Wi (x) = l=0 (x=xi ) (x − xi )l (x=xi ) l! (l) = W (xi ) − i2 (x − xi ) Wi (xi ) Wi (xi ) = W (xi ) o.i i = 1, 2, · · · , n 1− i (x − xi ) , v´ Wi (xi ) Wi (xi) + V´ o.i k = 1, ta co ´ T Wi (x) (pi−1−k) =T (x=xi ) = Wi (x) (0) = (x=xi ) l=0 Wi (x) (x − xi )l (x=xi ) l! (l) 1 W (xi) − i (x − xi ) = Wi (xi ) Wi2 (xi) Wi (xi) Khi d¯ó, ta co ´ n H(x) = i=1 k=0 (x − xi )k aki Wi (x)T k! n a0i Wi (x)T = i=1 n Wi (x) a0i = i=1 n = i=1 n = i=1 Wi (x) Wi (x) (pi −1−k) (x=xi ) (1) +a1i (x − xi )Wi(x)T (x=xi ) Wi (x) (0) (x=xi ) 1 W (xi ) 1− i (x − xi ) +a1i (x − xi ) Wi (xi ) Wi (xi) Wi(xi ) W (xi ) Wi (x) a0i − i (x − xi ) +a1i (x − xi ) Wi (xi ) Wi (xi ) Wi (x) W (xi ) a0i − a0i i − a1i (x − xi ) Wi (xi ) Wi (xi ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ` àn ba Ngoa ì ra, phˆ ì toa ´ n nˆ o.i suy Lagrange, ta d¯ã biê´t r˘ a ng n Li (x) = j=1,j=i x − xj ; i = 1, 2, · · · , n xi − x j  1, i = j Li (xj ) = 0, i = j va ` Do d¯ó Li (xi) ≡ 1, ∀i = 1, n Vˆ a.y Wi (x) = Wi (xi) n j=1,j=i (x − xj )2 = L2i (x); i = 1, n (xi − xj )2 - a.o D `m theo x hai vê´ cu’a d¯˘ a’ng th´ u.c trên, ta d¯u.o c Wi (x) = 2Li(x)Li (x) = 2Li(xi ) Wi (xi) Do d¯ó, d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Hermite tru.` o.ng ho p na `y co ´ da.ng n L2i (x) a0i − 2a0i Li (xi) − a1i (x − xi ) H(x) = i=1 Du.´ o.i d¯ˆ ay la ` mˆ o.t va ì minh ho.a cho viê.c vˆ a.n du.ng ca ´ c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy (do ta ´ c gia’ sa ´ ng ta ´ c) ˜ n ca èu kiê.n sau: Ba ì toa ´ n 1.1 Cho d¯a th´ u.c P (x) bˆ a.c 4, tho’a ma ´ c d¯iˆ P (−1) = 3a + (a > 0) ; P (0) = 0; P (1) = 4(3 + a); P (3)(−2) = −48; P (4)(2008) = 24 ` ng: Ch´ u.ng minh r˘ a Q(x) = P (x) + P (x) + P (x) + P (3)(x) + P (4) (x) > ∀x ∈ R ˜ n: Ba ì toa ´ n 1.2 Cho d¯a th´ u.c P (x) bˆ a.c n, tho’a ma P (2007) < 0; −P (2007) ≤ 0, P (2007) ≤ 0, · · · , (−1)nP (n) ≤ 0; P (2008) > 0, P (2008) ≥ 0, P (2008) ≥ 0, · · · , P (n)(2008) ≥ ` Ch´ u.ng minh r˘ a ng ca ´ c nghiê.m thu c cu’a P (x) thuˆ o.c (2007; 2008) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 10 Chu.o.ng Mˆ o.t sˆ o´ u ´.ng du.ng cu˙’a cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy `y trı`nh ba `y mˆ o.t sˆ o´ u ´.ng du.ng cu’a ca ´ c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy, d¯ó d¯`ê cˆ a.p Chu.o.ng na èu u sˆ au ho n d¯ˆ oí v´ o i cˆ ong th´ u c nˆ o.i suy Lagrange, cˆ ong th´ u c co ´ nhiˆ ´ ng du.ng d¯ê’ gia’i mˆ o.t sˆ o´ ba ì toa ´ n kho ´ o’ hê phˆ o’ thˆ ong chuyên toa ´ n Vˆ ań d¯`ê u ´.ng du.ng cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy u.´ o.c lu.o ng va ` xˆ a´p xı’ `m sˆ o´ la ` hai nˆ o.i dung ˜ thuˆ quan tro.ng va ` tu.o.ng d¯ˆ oí kho ´ , v´ o.i nh˜ u.ng ky a.t ch´ u.ng minh kha ´ ph´ u.c ta.p, d¯u.o c trı`nh ba `y o’ chu.o.ng sau 2.1 2.1.1 ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange Mˆ o.t sˆ o´ u ´.ng du.ng cu˙’ a cˆ Cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange - i.nh nghıã 2.1 Cho n sˆ D o´ x1 , x2, · · · , xn phˆ an biê.t va ` n sˆ o´ a1 , a2, · · · , an tu `y ý Thê´ ˜ òn ta.i nhˆ thı` tˆ a´t mˆ o.t d¯a th´ u c P (x) v´ o i bˆ a.c khˆ ong vu o t qua ´ n − 1, tho’a ma n P (xj ) = aj ; ∀j = 1, 2, · · · , n - a th´ D u.c co ´ da.ng n n aj j=1 i=1,ı=j x − xi xj − x i (2.1) (2.2) - a th´ D u.c (2.2) d¯u.o c go.i la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange ho˘ a.c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange Ca ´ c sˆ o´ x1 , x2, · · · , xn d¯u o c go.i la ` ca ´ c nu ´ t nˆ o.i suy ( ) T` u cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange, ta co ´ - i.nh nghıã 2.2 Cho n sˆ D o´ x1 , x2, · · · , xn phˆ o.i bˆ a.c an biê.t Thê´ thı` mo.i d¯a th´ u.c P (x) v´ khˆ ong vu.o t qua ´ n − d¯`êu co ´ thê viê´t du.´ o.i da.ng n P (x) = n P (xj ) j=1 i=1,i=j x − xi xj − x i (2.3) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 11 ´ nghıã hı`nh ho.c) Nhˆ a.n xe ´ t 2.1 (Y - a th´ D u.c (2.3) va ` (2.4) kha ´ quen thuˆ o.c chu.o.ng trı`nh toa ´ n phˆ o’ thˆ ong Ta thu’ d¯i tı`m ý nghıã hı`nh ho.c cu’a chu ´ ng, ch˘ a’ng ha.n (2.4) ` o Oxy cho d¯iê’m A(x1; y1 ), B(x2; y2), C(x2; y2), v´ a’ng to.a d¯ˆ a.t ph˘ Gia’ su’ r˘ a ng, trên m˘ o.i ´ c t` u.ng d¯ˆ x1 , x2.x3 kha oi mˆ o.t òn ta.i nhˆ Thê´ thı`, theo (2.1) va ` (2.2) tˆ a´t mˆ o.t d¯u.` o.ng cong y = P (x), d¯ó la ` ñ d¯a th´ u c v´ o i degP (x) ≤ 2, tho’a ma P (x1 ) = y1 (nghıã la o.ng cong qua d¯iê’m A); ` d¯u.` P (x2 ) = y2 (nghıã la o.ng cong qua d¯iê’m B); ` d¯u.` P (x3 ) = y3 (nghıã la o.ng cong qua d¯iê’m C) ` d¯u.` Ho.n n˜ u.a, d¯u.` o.ng cong co `n co ´ phu.o.ng trı`nh cu thê’ la ` y = P (x), tro `n d¯ó P (x) co ´ da.ng o´ aj chıńh la (2.4) va ` ca ´ c hê sˆ ` yj , j = 1, 2, + V´ o i degP (x) = 2, d¯`ˆ o thi y = P (x) la ` parabol d¯i qua d¯iê’m A, B, C + V´ o.i degP (x) = 1, d¯`ˆ o thi y = P (x) la ` d¯u.` o.ng th˘ a’ng d¯i qua d¯iê’m A, B, C, khˆ ong cu `ng phu o ng v´ o i tru.c hoa `nh + V´ o i degP (x) = 0, d¯`ˆ o thi y = P (x) la ` d¯u.` o.ng th˘ a’ng d¯i qua d¯iê’m A, B, C, cu `ng phu o ng v´ o i tru.c hoa `nh Cˆ ong th´ u c nˆ o.i suy Lagrange chıńh la ` ”ca ´ c gˆ oć” cu’a mˆ o.t sˆ o´ phu.o.ng trı`nh d¯u.` o.ng cong (ho˘ a.c d¯u.` o.ng th˘ a’ng) d¯i qua ca ´ c d¯iê’m cho tru.´ o.c m˘ a.t ph˘ a’ng to.a d¯ˆ o Nhˆ a.n xe ´ t 2.2 V´ o.i d¯a th´ u.c P (x) co ´ degP (x) ≤ n − cho tru.´ o.c, ca ´ c sˆ o´ aj (2.2) d¯u.o c thay bo’.i P (xj ), v´ o.i j = 1, 2, · · · , n Bˆ ay gi` o ta thu’ d¯i tı`m mˆ o.t u ´.ng du.ng cu’a (2.5) Gia’ su’ x1 , x2, · · · , xn la an biê.t, n ≥ Xe ´t d¯a th´ u.c ` n sˆ o´ thu c phˆ n P (x) = xn − (x − xi ) (2.4) i=1 T` u d¯ó, áp du.ng (2.5), ta co ´ n j=1 xnj = n i=1,i=j (xj − xi ) n xj (2.5) j=1 ˜ y tı`m mˆ Bˆ ay gi` o., ta o.t u ´.ng du.ng cu’a (2.15) d¯ê’ ta.o nh˜ u.ng d¯˘ a’ng th´ u.c m´ o.i Tro’ la.i v´ o.i d¯a th´ u.c P (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 , an = 0, n ≥ 2, co ´ n nghiê.m thu c phˆ an biê.t x1 , x2, , xn V´ o i n gia ´ tri phˆ an biê.t x1 , x2, , xn, áp du.ng cˆ o.i suy Lagrange d¯ˆ oí v´ o.i d¯a ong th´ u.c nˆ th´ u.c f (x) = xk , k n − 1, ta co ´ n k xkj ωj (x) x = j=1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 12 Ta co ´ n xk = j=1 xkj ω(x) = an (x − xj )ω (xj ) n xkj j=1 n i=1,i=j (x − xi ) P (xj ) Biê’u th´ u.c cuˆ oí cu `ng la ` mˆ o.t d¯a th´ u.c co ´ hê sˆ o´ cu’a xn−1 la ` n an j=1 xkj P (xj ) So sa ´ nh ca ´ c hê sˆ o´ cu’a d¯a th´ u.c xk , ta d¯u.o c ca ´ c d¯˘ a’ng th´ u.c sau: n j=1 xkj P (xj ) n j=1 2.1.2 = 0, ∀k ∈ {0, 1, 2, , n − 2}; xkj , v´ o.i k = n − = P (xj ) an (2.6) (2.7) Mˆ o.t sˆ o´ u ´.ng du.ng àn tro.ng tˆ àn na Phˆ am cu’a phˆ `y tˆ a.p trung va ò viê.c áp du.ng mˆ o.t ca ´ ch kha ´ linh hoa.t ’ ´ ` cˆ ong th´ u c nˆ o.i suy Lagrange d¯ê gia’i mˆ o.t sˆ o ba ì toa ´ n kho ´ , d¯ó co ´ ca ´ c d¯ê thi cho.n ho.c sinh gio’i nu ´ o c, khu vu c va ` quˆ oć tê´ ` ng 3; 1; 7, ta.i x b˘ ` ng −1; 0; Ba ì toa ´ n 2.1 Xa ´ c d¯.inh d¯a th´ u.c bˆ a.c hai nhˆ a.n gia ´ tri b˘ a a tu o ng u ´ ng ` Ba ì toa ´ n 2.2 Cho a1 , a2, , an la a ng nêú d¯a th´ u.c f (x) ` n sˆ o´ kha ´ c Ch´ u.ng minh r˘ co ´ bˆ a.c khˆ ong l´ o.n ho.n n − 2, thı`: T= f (a1) f (an ) + + = (a1 − a2 )(a1 − a3) (a1 − an ) (an − a1 )(an − a2 ) (an − an−1 ) ` ng nêú d¯a th´ Ba ì toa ´ n 2.3 Ch´ u.ng minh r˘ a u.c bˆ a.c hai nhˆ a.n gia ´ tri nguyên ta.i ba gia ´ tri nguyên liên tiê´p cu’a biêń sˆ o´ x, thı` d¯a th´ u c nhˆ a.n gia ´ tri nguyên ta.i mo.i x nguyên àn Ba ì toa ´ n 2.4 Cho a1 , a2, , an la ` n sˆ o´ kha ´ c Go.i Ai (i = 1, 2, , n) la ` phˆ ˜ y tı`m phˆ àn du r(x) phe du phe ´p chia d¯a th´ u c f (x) cho x − Ha ´p chia f (x) cho (x − a1 )(x − a2) (x − an ) ´ Tha Ba ì toa ´ n 2.5 (Vˆ od ¯i.ch Chˆ au A ´ i Bı`nh Du.o.ng, 2001) Trong m˘ a.t ph˘ a’ ng v´ o.i hê tru.c to.a d¯ˆ o vuˆ ong go ´ c, mˆ o.t d¯iê’m d¯u.o c go.i la ` d¯iê’m hˆ oñ ho p àn to.a d¯ˆ àn la nêú mˆ o.t hai tha `nh phˆ o cu’a d¯iê’m d¯ó la ` sˆ o´ h˜ u.u tı’ , tha `nh phˆ ` sˆ o´ vˆ o ˜ tı’ Tı`m tˆ a´t ca’ ca ´ c d¯a th´ u c co ´ hê sˆ o´ thu c cho d¯`ˆ o thi cu’a mˆ oi d¯a th´ u c d¯ó khˆ ong ch´ ua ’ bˆ a´t ky ` d¯iê m hˆ oñ ho p na ò ca’ Ba ì toa ´ n 2.6 Tı`m tˆ a´t ca’ ca ´ c c˘ a.p d¯a th´ u.c P (x) va ` Q(x) co ´ bˆ a.c ba v´ o.i ca ´ c hê sˆ o´ thu c ˜ n d¯iˆ èu kiê.n: tho’a ma a) Ca’ hai d¯a th´ u.c nhˆ a.n gia ´ tri ho˘ a.c ta.i ca ´ c d¯iê’m x = 1, 2, 3, 4; LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 13 b) Nêú P (1) = ho˘ a.c P (2) = 1, thı` Q(1) = Q(3) = 1; c) Nêú P (2) = ho˘ a.c P (4) = 0, thı` Q(2) = Q(4) = 0; d) Nêú P (3) = ho˘ a.c P (4) = 1, thı` Q(1) = ˜ - 1975) Ba ì toa ´ n 2.7 (Vˆ od ¯i.ch My - a th´ ˜ n ca D u.c P (x) bˆ a.c n tho’a ma ´ c d¯˘ a’ ng th´ u.c P (k) = k Cn+1 , v´ o.i k = 0, 1, 2, , n Tıńh P (n + 1) Ba ì toa ´ n 2.8 Gia’ su’ d¯a th´ u.c c0 + c1 x + c2 x2 + + cn xn co u.u tı’ ´ gia ´ tri h˜ u.u tı’ x h˜ ` Ch´ u.ng minh r˘ a ng, tˆ a´t ca’ ca ´ c hê sˆ o´ c0, c1, c2, , cn la o´ h˜ u.u tı’ ` nh˜ u.ng sˆ ˜ n ca Ba ì toa ´ n 2.9 Cho p la ` mˆ o.t sˆ o´ nguyên tˆ o´ va ` P (x) ∈ Z[x] la ` d¯a th´ u.c bˆ a.c s tho’a ma ć èu kiê.n d¯iˆ 1) P (0) = 0, P (1) = ` ng 1, v´ 2) P (n) ho˘ a.c chia hê´t cho p ho˘ a.c co ´ sˆ o´ du b˘ a o.i mo.i n ∈ Z + ` ng: s ≥ p − Ch´ u.ng minh r˘ a ñ Ba ì toa ´ n 2.10 Tı`m tˆ a´t ca’ ca ´ c d¯a th´ u.c P (x) co ´ bˆ a.c nho’ ho.n n (n ≥ 2) va ` thoa’ ma èu kiê.n d¯iˆ n (−1)n−k−1 Cnk P (k) = k=0 ˜ y ca Ba ì toa ´ n 2.11 Cho sˆ o´ tu nhiên s va ` da ´ c d¯a th´ u.c Pn (x) co ´ bˆ a.c khˆ ong vu.o t s Gia’ ` ˜ n d¯iˆ èu kiê.n thiê´t r˘ a ng `m sˆ o´ g(x) xa ´ c d¯.inh (0; 1) va ` thoa’ ma | g(x) − Pn (x) |< ; ∀x ∈ (0; 1); n = 1, 2, n ` òn ta.i d¯a th´ Ch´ u.ng minh r˘ a ng d¯ó tˆ u.c Q(x) bˆ a.c khˆ ong vu.o t s tru `ng v´ o.i g(x) (0; 1) Ba ì toa ´ n 2.12 Cho n sˆ o´ nguyên du.o.ng d¯ˆ oi mˆ o.t kha ´ c x1 , x2, , xn Go.i pj = P (xj ), d¯ó n P (x) = (x − xj ) j=1 ` ng da ˜ y (uk ) xa Ch´ u.ng minh r˘ a ´ c d¯.inh theo cˆ ong th´ u.c n uk = i=1 xki pi ˜ y sˆ la ` mˆ o.t da o´ nguyên Ba ì toa ´ n 2.13 1) Cho d¯a th´ u.c f (x) co ´ bˆ a.c n v´ o.i ca ´ c hê sˆ o´ thu c va ` hê sˆ o´ bˆ a.c cao nhˆ a´t ` ` b˘ a ng a Gia’ su’ f (x) co ´ n nghiê.m phˆ an biê.t x1, x2, , xn kha a ng ´ c Ch´ u ng minh r˘ (−1)n−1 ax1 x2 xn n k=1 = xk n x2 f k=1 k (xk ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 14 òn ta.i hay khˆ 2) Co ´ tˆ ong mˆ o.t d¯a th´ u.c f (x) bˆ a.c n le’ v´ o.i hê sˆ o´ bˆ a.c cao nhˆ a´t a = ñ ´ c thoa’ ma ma ` f (x) co ´ n nghiê.m phˆ an biê.t x1 , x2, , xn kha 1 1 = 0? + + + + x1 f (x1) x2 f (x2) xn f (xn ) x1 x2 xn 2.2 2.2.1 ac cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy kh´ ac Mˆ o.t sˆ o´ u ´.ng du.ng cu˙’ a c´ Cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Taylor ˜ ng rˆ ć ´ t d¯ê’ xa o’ng qua a´t tˆ ong th´ u.c d¯o.n gia’n va ` cu o.i suy Taylor cho ta cˆ Cˆ ong th´ u.c nˆ àn chıńh cu’a d¯i.nh phˆ `m sˆ o´ Do d¯ó, d¯ê’ tı`m gi´ o i ha.n, ngu ` o i ta thu ` o ng du `ng cˆ ong th´ u.c khai triê’n Taylor t´ o.i mˆ o.t cˆ a´p na ò d¯ó Du.´ o.i d¯ˆ ay la ` mˆ o.t sˆ o´ vı´ du minh ho.a Ba ì toa ´ n 2.14 Tıńh gi´ o.i ha.n √ sin(sin x) − x − x2 lim x→0 x5 Ba ì toa ´ n 2.15 Tıńh gi´ o.i ha.n lim (cos(x.ex) − ln(1 − x) − x)cot x x→0 Mˆ o.t u ´.ng du.ng kha ´ quan tro.ng cu’a cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Taylor la ` viê.c xˆ a´p xı’ `m sˆ o´ Vˆ ań ˜ d¯u o c trı`nh ba d¯`ê na `y se `y o’ chu o ng sau 2.2.2 Cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Newton o.i Ba ì toa ´ n 2.16 Cho bˆ o sˆ o´ thu c (x1; a1), (x2; a2), (x3; a3) Tı`m d¯a th´ u.c N (x) v´ ˜ n d¯iˆ èu kiê.n degN (x) ≤ va ` tho’a ma N (x1) = a1, N (x2 ) = a2 , N (x3 ) = a3 Ba ì toa ´ n 2.17 Cho (n + 1) c˘ a.p sˆ o´ (xj , yj ) (j = 0, , n) V´ o.i i = k ta d¯.inh nghıã [xi , xk ] = y i − yk ` sai phˆ an ta ´ ch bˆ a.c nhˆ a´t); ([xi , xk ] d¯u.o c go.i la xi − x k [xi+p , xi+p−1 , , xi+1, xi] = [xi+p, , xi+1 ] − [xi+p−1 , , xi] xi+p − xi ` sai phˆ an ta ´ ch bˆ a.c p) ([xi+p , xi+p−1, , xi+1, xi ] d¯u.o c go.i la ñ ´ Cho x0 < x1 < < xn va ` cho `m sˆ o y(x) la ` `m kha’ vi liên tu.c d¯êń bˆ a.c n thoa’ ma ` èu kiê.n y(xj ) = yj (j = 0, 1, , n) Ch´ d¯iˆ a ng u.ng minh r˘ [xn , xn−1 , , x0] = y (n) (x∗) , n! v´ o.i x∗ la ` mˆ o.t d¯iê’m na ò d¯ó (x0, xn ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 15 ` Ba ì toa ´ n 2.18 Ch´ u.ng minh r˘ a ng d¯a th´ u.c Pn (x) = y0 + [x1, x0](x − x0 ) + [x2, x1, x0](x − x0)(x − x1 ) (2.8) + + [xn , xn−1 , , x0](x − x0)(x − x1 ) (x − xn ) ˜ n ca thoa’ ma ´ c hê th´ u.c Pn (xj ) = yj ∀j ∈ {0, , n} ˜ ng chıńh la Nhˆ a.n xe ´ t 2.3 Cˆ ong th´ u.c (2.8) cu ` mˆ o.t ca ´ ch viê´t kha ´ c cu’a d¯a th´ u.c nˆ o.i suy àn ca `y phˆ ´ c ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Newton d¯ã d¯u o c trı`nh ba 2.2.3 Cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Hermite Nhˆ a.n xe ´ t 2.4 Trong ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Hermite, nêú n = thı` i = ho˘ a.c i = Gia’ su’ p1 = va ` p2 = Thê´ thı` p1 + p2 = = N Khi d¯ó + Nêú i = 1, thı` k = 0, 1, , P1 − Vˆ a.y k = + Nêú i = 2, thı` k = 0, 1, , P2 − Vˆ a.y k = 0, k = 1, k = Bˆ ay gi` o., gia’ su’ a01 = 1, a02 = a12 = a22 = Ta co ´ ba ì tˆ a.p sau ˜ y xa Ba ì toa ´ n 2.19 Cho hai sˆ o´ thu c x1 = x2 Ha ´ bˆ a.c degH(x) ≤ ´ c d¯.inh d¯a th´ u.c H(x) co ˜ èu kiê.n va ` tho’a ma n ca ´ c d¯iˆ H(x1) = 1, H(x2) = H (x2) = H (x2 ) = ˜ i v´ àn gu Mˆ o.t ca ´ ch tˆ o’ng qua ´ t, ta co ´ ba ì toa ´ n du.´ o.i d¯ˆ ay v´ o.i ca ´ ch gia’i gˆ o.i chu.o.ng trı`nh phˆ o’ thˆ ong Ba ì toa ´ n 2.20 Cho hai sˆ o´ phˆ an biê.t x0 va o.i ` x1 Tı`m tˆ a´t ca’ ca ´ c d¯a th´ u.c P (x) v´ ˜ n ca èu kiê.n degP (x) ≤ n (n ∈ N∗) tho’a ma ´ c d¯iˆ P (x0 ) = P ( k)(x1) = 0, k ∈ {0, 1, , n − 1} Nhˆ a.n xe ´ t 2.5 Trong ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Hermite, nêú n = thı` i = ho˘ a.c i = Gia’ su’ p1 = va ` p2 = Thê´ thı` p1 + p2 = = N Khi d¯ó + Nêú i = 1, thı` k = 0, 1, , P1 − Vˆ a.y k = 0, k = + Nêú i = 2, thı` k = 0, 1, , P2 − Vˆ a.y k = 0, k = 1, k = Bˆ ay gi` o , gia’ su’ a01 = a11 = 1, a02 = a12 = a22 = Ta d¯u.o c ba ì tˆ a.p sau LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 16 ˜ y xa Ba ì toa ´ n 2.21 Cho hai sˆ o´ thu c x1 = x2 Ha ´ bˆ a.c degH(x) ≤ ´ c d¯.inh d¯a th´ u.c H(x) co ˜ n ca èu kiê.n va ` tho’a ma ´ c d¯iˆ  H(x ) = H (x ) = 1 H(x ) = H (x ) = H (x ) = 2 ˜ ng co ˜ i v´ àn gu Mˆ o.t ca ´ ch tˆ o’ng qua ´ t, ta cu ´ ba ì toa ´ n du.´ o.i d¯ˆ ay, v´ o.i ca ´ ch gia’i gˆ o.i chu.o.ng trı`nh toa ´ n phˆ o’ thˆ ong Ba ì toa ´ n 2.22 Cho hai sˆ o´ phˆ an biê.t x0 va o.i ` x1 Tı`m tˆ a´t ca’ ca ´ c d¯a th´ u.c P (x) v´ ˜ n ca èu kiê.n degP (x) ≤ n + (n ∈ N∗ ) tho’a ma ´ c d¯iˆ P (x0) = 1, P (x0 ) = 1, P ( k)(x1) = 0, k ∈ {0, 1, , n − 1} 2.3 Ba ì tˆ a.p àm Luˆ a.n v˘ an d¯ã d¯`ê xuˆ a´t 10 ba ì tˆ a.p ta ´ c gia’ sa ´ ng ta ´ c ho˘ a.c su.u tˆ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 17 Chu.o.ng ´.ng du.ng cˆ U ong th´ u.c nˆ o.i suy d ¯ˆ e˙’ o.c lu.o ng v` a xˆ a´p xı˙’ h` am sˆ o´ u.´ ´.ng du.ng quan tro.ng cu’a ca ´ c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy la ` u.´ o.c lu.o ng va ` xˆ a´p Mˆ o.t nh˜ u.ng u -ˆ xı’ `m sˆ o´ D ay la ` mˆ o.t nˆ o.i dung quan tro.ng ly ´ thuyê´t `m Nh˜ u ng tru ` o ng ho p nho’ cu’a vˆ ań d¯`ê na `y d¯ã tro’ tha `nh nh˜ u.ng ba ì toa ´ n kho ´ o’ phˆ o’ thˆ ong va ` thu.` o.ng xuˆ a´t hiê.n ca ´ c ky ` thi ho.c sinh gio’i quˆ oć gia va ` quˆ oć tê´, ˜ d¯`ê cˆ Trong pha.m vi cu’a chu.o.ng trı`nh phˆ o’ thˆ ong chuyên toa ´ n, chu.o.ng na `y se a.p d¯êń ca ć u ´.ng du.ng nêu trên am sˆ o´ o c lu.o ng h` U´ 3.1 3.1.1 U´ am sˆ o´ theo c´ ac n´ ut nˆ o.i suy Lagrange o c lu.o ng h` ˜ n d¯iˆ èu kiê.n: a.c hai f (x) = ax2 + bx + c tho’a ma Ba ì toa ´ n 3.1 Cho tam th´ u.c bˆ | f (x) | 1, | x | ` Chu ´ ng minh r˘ a ng v´ o.i mo.i M ≥ 1, ta co ´: | f (x) | 2M − 1, | x | M ˜ n d¯iˆ èu kiê.n Ba ì toa ´ n 3.2 Cho d¯a th´ u.c P (x) bˆ a.c khˆ ong vu.o t qua ´ 2n va ` thoa’ ma | P (k) | 1; ∀k ∈ {−n, −n + 1, , n − 1, n} ` Ch´ u.ng minh r˘ a ng | P (x) | 4n ; ∀x ∈ {−n; n} ˜ n d¯iˆ èu kiê.n | f (x) | Ba ì toa ´ n 3.3 Cho d¯a th´ u.c f (x) = ax4 +bx3 +cx2 +dx+e tho’a ma ` | x | Ch´ u ng minh r˘ a ng v´ o i mo.i M > cho tru ´ o c ta d¯`êu co ´ 32 32 | f (x) | M − M + 1, | x | M 3 ` ng Ba ì toa ´ n 3.4 Gia’ su’ cho tru ´ o c ca ´ c sˆ o´ nguyên x0 < x1 < < xn Ch´ a u.ng minh r˘ n n−1 gi˜ u a ca ´ c gia ´ tri cu’a d¯a th´ u c x + a1 x + + an ta.i ca ´ c d¯iê’m x0 , x1, , xn luˆ on tı`m n! d¯u.o c mˆ o.t sˆ o´ ma ` gia ´ tri tuyê.t d¯ˆ oí cu’a no ´ khˆ ong be ´ ho.n n LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 18 Ba ì toa ´ n 3.5 Cho d¯a th´ u.c P (x) bˆ a.c |P (k)| ˜ n d¯iˆ èu kiê.n 2n thoa’ ma 1, k = −n, −(n − 1), , 0, 1, , n ` ng Ch´ u.ng minh r˘ a |P (x)| 3.1.2 2n ∀x ∈ [−n, n] U´ am sˆ o´ theo c´ ac n´ ut nˆ o.i suy Chebyshev o c lu.o ng h` - a th´ u.c Chebyshev 3.1.2.1 D - inh nghıã 3.1 Ca ´ c d¯a th´ u.c Tn (x) (n ∈ N) d¯u.o c xa D ´ c d¯.inh nhu sau   T (x) = 1; T (x) = x,  T (x) = 2xT (x) − T (x) ∀n > n+1 n n−1 d¯u.o c go.i la ` ca ´ c d¯a th´ u.c Chebyshev (loa.i 1) - inh nghıã 3.2 Ca D ´ c d¯a th´ u.c Un (x) (n ∈ N) xa ´ c d¯.inh nhu sau   U (x) = 0; U (x) = 1,  U (x) = 2xU (x) − U (x) ∀n > n+1 n n−1 d¯u.o c go.i la ` ca ´ c d¯a th´ u.c Chebyshev (loa.i 2) 3.1.2.2 Tı ńh chˆ a´t cu’a ca ć d ¯a th´ u.c Tn (x) Tı ńh chˆ a´t 3.1 Tn (x) = cos(n arccos x) v´ o.i mo.i x ∈ [−1, 1] ` Tı ńh chˆ a´t 3.2 Tn (x) ∈ Z[x] bˆ a.c n co ´ hê sˆ o´ bˆ a.c cao nhˆ a´t b˘ a ng 2n−1 va ` la ` `m ch˘ añ n ch˘ añ; la ` `m le’ n le’ Tı ńh chˆ a´t 3.3 Tn (x) co ´ d¯úng n nghiê.m phˆ an biê.t trên [-1, ] la ` xk = cos Tı ńh chˆ a´t 3.4 |Tn(x)| 2k + π (k = 0, 1, , n − 1) 2n ∀x ∈ [−1, 1] va ` |Tn (x)| = x = cos kπ , k ∈ Z n - a th´ Tı ńh chˆ a´t 3.5 D u.c T ∗(x) = 21−n Tn (x) la a.c n v´ o.i hê sˆ o´ bˆ a.c cao nhˆ a´t ` d¯a th´ u.c bˆ ` ng va b˘ a ` co ´ d¯ˆ o lê.ch so v´ o i trên [−1, 1] la ` nho’ nhˆ a´t tˆ a´t ca’ ca ´ c d¯a th´ u c bˆ a.c n v´ o.i ` ng hê sˆ o´ bˆ a.c cao nhˆ a´t b˘ a 3.1.2.3 Tı ńh chˆ a´t cu’a d ¯a th´ u.c Un (x) Tı ńh chˆ a´t 3.6 Un (x) = sin(n arccos x) √ v´ o i mo.i x ∈ (−1, 1) − x2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 19 sin nt Tı ńh chˆ a´t 3.7 Un (x) = Tn (x) = a.c n − co ´ hê sˆ o´ bˆ a.c cao , cos t = x, d¯a th´ u.c bˆ n sin t ` nhˆ a´t b˘ a ng 2n−1 va ` la ` `m ch˘ añ n le’; la ` `m le’ n ch˘ añ Tı ńh chˆ a´t 3.8 Tn (x) co ´ d¯úng n nghiê.m phˆ an biê.t trên [-1, ] la ` xk = cos Tı ńh chˆ a´t 3.9 |Un (x)| 2k + π (k = 0, 1, , n − 1) 2n n ∀x ∈ [−1, 1] va ` |Tn (x)| n2 ∀x ∈ [−1, 1] Du.´ o.i d¯ˆ ay la ` mˆ o.t sˆ o´ ba ì toa ´ n áp du.ng ñ Ba ì toa ´ n 3.6 Cho d¯a th´ u.c Pn−1 (x) bˆ o´ bˆ a.c cao nhˆ a´t a0 , tho’a ma a.c n − v´ o.i hê sˆ èu kiê.n d¯iˆ − x2 |Pn−1 (x)| 1, ∀x ∈ [−1, 1] ` ng Ch´ u.ng minh r˘ a |a0 | 2n−1 ñ Ba ì toa ´ n 3.7 Cho d¯a th´ u.c Pn−1 (x) bˆ o´ bˆ a.c cao nhˆ a´t a0 , tho’a ma a.c n − v´ o.i hê sˆ èu kiê.n d¯iˆ − x2 |Pn−1 (x)| 1, ∀x ∈ [−1, 1] ` ng d¯ó Ch´ u.ng minh r˘ a |Pn−1 (x)| n, ∀x ∈ [−1, 1] Ba ì toa ´ n 3.8 Cho d¯a th´ u.c lu.o ng gia ć P (t) = a1 sin t + a2 sin 2t + + an sin(nt) ˜ n d¯iˆ èu kiê.n thoa’ ma |P (t)| ∀t ∈ R \ { , −2π, −π, 0, π, 2π, } P (t) sin t n ∀t ∈ R \ { , −2π, −π, 0, π, 2π, } ` Ch´ u.ng minh r˘ a ng Ba ì toa ´ n 3.9 Cho d¯a th´ u.c lu.o ng gia ć n P (x) = (aj cos jx + bj sin jx) j=0 ˜ n d¯iˆ èu kiê.n |P (x)| v´ thoa’ ma o.i mo.i x ∈ R ` ng |P (x)| n v´ Ch´ u.ng minh r˘ a o.i mo.i x ∈ R LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 20 Ba ì toa ´ n 3.10 Cho d¯a th´ u.c Pn (x) = a0 xn + a1xn−1 + + an ˜ n d¯iˆ èu kiê.n thoa’ ma |Pn (x)| 1, ∀x ∈ [−1, 1] ` ng d¯ó Ch´ u.ng minh r˘ a n2 , ∀x ∈ [−1, 1] |Pn (x)| (3.1) Nhˆ a.n xe ´ t 3.1 Du a va ò kê´t qua’ cu’a Ba ì toa ´ n 3.10, sau áp du.ng liên tiê´p kê´t qua’ ˜ thu d¯u o c kê´t qua’ sau: cu’a d¯.inh ly ´ na `y, ta se ˜ n d¯iˆ èu kiê.n u c P (x) thoa’ ma Nêú d¯a th´ |Pn (x)| 1, ∀x ∈ [−1, 1], thı` |P (k) (x)| 3.2 [n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1)]2, ∀x ∈ [−1, 1] ap kh´ ac d ¯ˆ e˙’ u.´ o.c lu.o ng h` am sˆ o´ Mˆ o.t sˆ o´ phu.o.ng ph´ Ba ì toa ´ n 3.11 Cho a1 , a2, , an 1a ` ca ´ c sˆ o´ thu c ` minh r˘ a ng phu.o.ng trı`nh ` va ` khˆ ong d¯`ˆ ong th` o.i b˘ a ng Ch´ u.ng xn − a1 xn−1 − − an−1 x − an = (3.2) co ´ d¯úng mˆ o.t nghiê.m du.o.ng nhˆ a´t Ba ì toa ´ n 3.12 Cho a1 , a2, , an 1a ` ca ´ c sˆ o´ thu c su’ R la ` nghiê.m du.o.ng cu’a phu.o.ng trı`nh (3.2) va ` n ` va ` khˆ ong d¯`ˆ ong th` o.i b˘ a ng Gia’ n A= aj ; B = j=1 jaj j=1 ` ng d¯ó Ch´ u.ng minh r˘ a AA RB ˜ y ca Ba ì toa ´ n 3.13 Cho da ´ c d¯a th´ u.c {Pn (x)}(n = 0, 1, 2, ) xa ´ c d¯.inh nhu sau P0 (x) = 0, Pn+1 (x) = Pn (x) + (x − Pn2 (x)) (n = 0, 1, 2, ) ` ng v´ Ch´ u.ng minh r˘ a o.i mo.i x ∈ [0, 1] va ` v´ o.i mo.i n ∈ N, ta luˆ on co ´ √ x − Pn (x) (3.3) n+1 Ba ì toa ´ n 3.14 Cho d¯a th´ u.c f (x) v´ o.i deg f = n va ` f (x) v´ o.i mo.i x ∈ R Ch´ u.ng ` minh r˘ a ng n f (k) (x) (3.4) k=0 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 21 3.3 o.i suy Xˆ a´p xı’ `m sˆ o´ theo d ¯a th´ u.c nˆ u.c d¯u.o c coi la ` `m sˆ o´ co ´ da.ng d¯o.n gia’n Trong sˆ o´ ca ´ c `m sˆ o´ biêń sˆ o´ thu c thı` d¯a th´ è nhiˆ èu phu.o.ng diê.n nhˆ è m˘ nhˆ a´t vˆ a´t la ` vˆ a.t tıńh toa ´ n Bo’.i vˆ a.y, mˆ o.t vˆ ań d¯`ê d¯u.o c chu ´ ng èu ho n ca’ la ta quan tˆ am nhiˆ ` ba ì toa ´ n xˆ a´p xı’ mˆ o.t `m cho tru ´ o c bo’ i mˆ o.t d¯a th´ u c, d¯˘ a.c èu kiê.n (cˆ àn va biê.t la ` tı`m d¯iˆ ` d¯u’) d¯ê’ mˆ o.t `m sˆ o´ cho tru ´ o c co ´ thê’ xˆ a´p xı’ d¯u o c bo’ i mˆ o.t d¯a th´ u.c `m sˆ o´ f (x) d¯u.o c xˆ a´p xı’ bo’.i d¯a th´ u.c Pn (x) (Pn (x) la o´ ho˘ a.c d¯a Gia’ su’ ` d¯a th´ u.c d¯a.i sˆ th´ u c lu o ng gia ´ c ho˘ a.c la ` ca ´ c d¯a th´ u c da.ng d¯˘ a.c biê.t kha ´ c) Go.i R[f, P, n] = |f (x) − Pn (x)| ` ´ ’ ’ ` nho’ ` xa ´ c d¯i.nh n cho R[f, P, n] la ´ c d¯.inh P (x) va an xa ´p xˆ a p xı Ta cˆ la ` d¯ˆ o lê.ch cua phe nhˆ a´t trên mˆ o.t d¯oa.n [a, b] cho tru.´ o.c Khi d¯ó Pn (x) d¯u.o c go.i la ` d¯a th´ u.c xˆ a´p xı’ tˆ o´t nhˆ a´t cu’a f (x) trên d¯oa.n [a, b] d¯ó va ` d¯u.o c ky ´ hiê.u la ` f (x) ≈ Pn (x) àn thı` co Nêú `m sˆ o´ f (x) kha’ vi (n + 1) lˆ ´ thê’ su’ du.ng cˆ ong th´ u.c khai triê’n Taylor ta.i x=0 n f (k) (0) k f (x) = x + R(x, n) k! k=0 àn du R(x, n) = o(xn ) v´ o.i phˆ Nhu vˆ a.y n f (x) ≈ Pn (x) = k=0 f (k) (0) k x k! àn du Tuy nhiên l´ o.p ca ´ c `m kha’ vi (n + 1) lˆ `ng d¯ê’ xˆ a´p xı’ bo’.i d¯a th´ u.c la ` qua ´ he p, √ èu l´ khˆ ong bao d¯u.o c nhiˆ o.p `m sˆ o´ liên tu.c quen biê´t nhu `m sˆ o´ f (x) = x, x ∈ [−1, 1] -ˆ è xˆ D oí v´ o.i ca ´ c `m sˆ o´ liên tu.c trên [a, b] ta vˆ añ co ´ ca ´ c d¯i.nh ly ´ tu.o.ng tu vˆ a´p xı’ chu ´ ng bo’.i d¯a th´ u.c ˜ d¯`ê cˆ àn na Trong phˆ `y, ta se a.p d¯êń hai vˆ ań d¯`ê sau: Mˆ o.t la ` xˆ ay du ng ca ´ c d¯a th´ u.c xˆ a´p xı’ thˆ ong qua ca ´ c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy va ` hai la ` xˆ ay du ng cˆ ong th´ u.c tıńh d¯ˆ o lê.ch sai sˆ o´ d¯ˆ oí v´ o.i ca ´ c xˆ a´p xı’ d¯ó òm n + d¯iê’m phˆ Ba ì toa ´ n 3.15 Cho `m sˆ o´ f (x) va ` cho tˆ a.p ho p Ω gˆ an biê.t xj (x0 < x1 < · · · < xn ) tˆ a.p xa ´ c d¯.inh cu’a `m sˆ o´ f (x) ˜ y tı`m mˆ Ha o.t d¯a th´ u c Pn (x), bˆ a.c khˆ ong qua ´ n cho P (xj ) = f (xj ) (j = 0, , n) ` Ba ì toa ´ n 3.16 Ch´ u.ng minh r˘ a ng d¯a th´ u.c Pn (x) nêu Ba ì toa ´ n 3.15 la ` nhˆ a´t sˆ o´ ca ´ c d¯a th´ u.c bˆ a.c n ` Ba ì toa ´ n 3.17 Ch´ u.ng minh r˘ a ng nêú d¯a th´ u.c Pn (x) Ba ì toa ´ n 3.15 co ´ da.ng n ak xk , Pn (x) = k=0 thı` ca ´ c hê sˆ o´ ak d¯u.o c xa ´ c d¯.inh mˆ o.t ca ´ ch nhˆ a´t t` u hê phu.o.ng trı`nh n ak xkj = f (xj ), j = 0, , n (3.5) k=0 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 22 ˜ n d¯iˆ èu kiê.n Ba ì toa ´ n 3.18 Cho (n + 1) bˆ o ba sˆ o´ (xj , yj , dj ) (j = 0, , n) thoa’ ma x < x1 < x2 < · · · < x n Tı`m d¯a th´ u.c Pm (x) bˆ a.c m (m 2n + 1) cho Pm (xj ) = yj ; Pm (xj ) = dj , ∀j ∈ {0, , n} (3.6) àn khoa’ng (0, 1) Go.i Ba ì toa ´ n 3.19 Cho y(x) la ` `m sˆ o´ kha’ vi liên tu.c (n + 1) lˆ Pn (x) la a´p xı’ cu’a y(x) xa ´ c d¯.inh theo cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange trên tˆ a.p ` d¯a th´ u.c xˆ X = {xj | j = 0, , n} ⊆ (0, 1) ˜ y xa Ha ´ c d¯.inh d¯ˆ o lê.ch sai sˆ o´ Rn+1 (x) := |y(x) − Pn (x)| trên tˆ a.p {(0, 1) \ X} Ba ì toa ´ n 3.20 Cho d¯oa.n I ⊂ R va ` cho M = sup{|f (x)|; x ∈ I} Gia’ su’ ta d¯ã xˆ a´p xı’ d¯u o c f (x) bo’ i d¯a th´ u c xˆ a´p xı’ bˆ a.c nhˆ a´t xa ´ c d¯.inh theo cˆ ong th´ u c nˆ o.i suy Lagrange ˜ y xa Ha ´ c d¯.inh gia ´ tri l´ o n nhˆ a´t cu’a d¯ˆ o lê.ch sai sˆ o´ phe ´p xˆ a´p xı’ trên Nhˆ a.n xe ´ t 3.2 T` u d¯ánh gia ´ |Rn+1(x)| M |w(x)|, (n + 1)! ta co ´ nhˆ a.n xe ´t sau d¯ˆ ay - ê’ thu d¯u.o c d¯a th´ D u.c xˆ a´p xı’ co ´ d¯ˆ o lê.ch sai sˆ o´ nho’ nhˆ a´t ta co ´ thê’ su’ du.ng mˆ o.t ´ ´ ´ ’ ca ´ c ca ´ ch ho˘ a.c la ` t˘ ang bˆ a.c xˆ a p xı n, ho˘ a.c phˆ an bˆ o la.i (cho.n) xj trên I cho tˆ o i u.u ho.n ho˘ a.c tı`m ca ´ ch gia’m d¯a.i lu.o ng |w(x)| 3.4 Ba ì tˆ a.p àm ´ ng ta ´ c ho˘ a.c su.u tˆ Luˆ a.n v˘ an d¯ã d¯`ê xuˆ a´t 12 ba ì tˆ a.p ta ´ c gia’ tu sa LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 23 Kˆ e´t luˆ a.n cu’a luˆ a.n v˘ an Luˆ a.n v˘ an trı`nh ba `y hê thˆ ońg mˆ o.t sˆ o´ nˆ o.i dung chıńh sau: o.i suy Lagrange, Taylor, Newton, Nêu kê´t qua’ cu’a ca ´ c ba ì toa ´ n nˆ o.i suy la ` ca ´ c d¯a th´ u.c nˆ ’ ’ ong ´ c ba ì toa ´ n phˆ o thˆ ´ ng du.ng va Hermite d¯ê u ò viê.c gia’i ca ´.ng du.ng cˆ àu hê´t ca U ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange d¯ê’ tı`m d¯u.o c ba’n chˆ a´t cu’a hˆ ´ c d¯`ˆ ong nhˆ a´t th´ u c da.ng phˆ an th´ u c va ` áp du.ng mˆ o.t ca ´ ch kha ´ linh hoa.t cˆ ong th´ u c na `y d¯ê’ gia’i mˆ o.t sˆ o´ ba ì toa ´ n kho ´ , d¯ó co ´ ca ´ c d¯`ê thi ho.c sinh gio’i nu ´ o c, khu vu c va ` quˆ oć tê´ Mˆ o.t sˆ o´ u ´.ng du.ng cu’a ca ´ c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Taylor, nˆ o.i suy Newton, nˆ o.i suy Hermite ´.ng du.ng cˆ U ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange va ` ca ´ c tıńh chˆ a´t cu’a d¯a th´ u.c Chebyshev d¯ê’ u.´ o.c lu.o ng `m sˆ o´ Xˆ ay du ng ca ´ c d¯a th´ u.c xˆ a´p xı’ thˆ ong qua ca ´ c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy va ` xˆ ay du ng cˆ ong ´ ´ ´ th´ u c tıńh d¯ˆ o lê.ch sai sˆ o d¯ˆ o i v´ o i ca ´ c xˆ a p xı’ d¯ó LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 24 ˙’ O ` LIE ˆ U THAM KHA TAI -a [1] Tri.nh D ò Chiêń-Huy `nh Minh Thuˆ a.n, 2007, Ky’ yêú”Mˆ o.t sˆ o´ chuyên d¯`ê toa ´ n ho.c hê ong th´ u c nˆ o.i suy Lagrange, NXB Tru ` o ng Da.i ho.c Khoa THPT, Mˆ o.t sˆ o´ u ´ ng du.ng cˆ ho.c Tu nhiên - DHQG Ha ` Nˆ o.i [2] Nguyˆ˜en V˘ an Mˆ a.u, 2007, Ca ´ c ba ì toa ´ n nˆ o.i suy va ù ´.ng du.ng, NXB Gia ´ o du.c - a th´ [3] Nguyˆ˜en V˘ an Mˆ a.u, 2001, D u.c d¯a.i sˆ o´ va ` phˆ an th´ u.c h˜ u.u tı’ , NXB Gia ´ o du.c - HQG TP Hˆ ò Chı´ Minh [4] Lê Hoa `nh Pho `, 2003, Chuyên kha’o d¯a th´ u.c, NXB D ˆ ` ˜ CONG ˆ ˆ´ -A DANH MU BO C CONG TRINH D -a Tri.nh D ò Chiêń-Huy `nh Minh Thuˆ a.n, 2007, Ky’ yêú”Mˆ o.t sˆ o´ chuyên d¯`ê toa ´ n ho.c hê - a.i ho.c Khoa THPT, Mˆ o.t sˆ o´ u ´ ng du.ng cˆ ong th´ u c nˆ o.i suy Lagrange, NXB Tru ` o ng D - HQG Ha ho.c Tu nhiên - D ` Nˆ o.i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... u.c nˆ o.i suy Lagrange ho˘ a.c cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange Ca ´ c sˆ o´ x1 , x2, · · · , xn d¯u o c go.i la ` ca ´ c nu ´ t nˆ o.i suy ( ) T` u cˆ ong th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange, ta... ´ c d¯a th´ u.c nˆ o.i suy tu.o.ng u ´.ng ma ` ch´ u.ng minh chi tiê´t d¯ã d¯u.o c trı`nh ba `y [2] 1.1 1.1.1 B` to´ an nˆ o.i suy Lagrange Ba ì toa ´ n nˆ o.i suy Lagrange ˜ y xa ´ c d¯.inh... toa ´ n nˆ o.i suy Lagrange va ` ta go.i d¯a th´ u.c na `y la ` d¯a th´ u.c nˆ o.i suy Lagrange LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.2 1.2.1 B` to´ an nˆ o.i suy Taylor Ba