Đề tài điện động lực học lượng tử

z  Luận văn tốt nghiệp Đề tài " Điện động lực học lượng tử " LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điện động lực học lượng tử MỤC LỤC MỞ ĐẦU Phƣơng trình Dirac Các nghiệm phƣơng trình Dirac .6 Hiệp biến song tuyến tính 12 Photon 15 Các qui tắc Feynman cho Điện động lực học lƣợng tử 18 Ví dụ 22 Thủ thuật Casimir Định lý vết 27 Tiết diện va chạm thời gian sống 31 Sự tái chuẩn hóa 38 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điện động lực học lượng tử MỞ ĐẦU Trong quang học cổ điển, ánh sáng đƣợc truyền theo phƣơng giao thoa chúng tuân theo nguyên lý Fermat Tƣơng tự, Điện động lực học lƣợng tử (QED- quantum electrodynamics), ánh sáng (hay hạt nhƣ electron proton) truyền theo phƣơng gƣơng thấu kính Ngƣời quan sát (ở vị trí đặc biệt) nhận thấy cách đơn giản kết toán học hàm sóng tăng cƣờng, nhƣ tổng tích phân đƣờng Giải thích theo cách khác, quĩ đạo đƣợc quan niệm phi vật chất, cấu trúc toán học tƣơng đƣơng với chúng, giới hạn Tƣơng tự nhƣ quĩ đạo học lƣợng tử phi tƣơng đối tính, cấu trúc khác đóng góp vào phát triển Trƣờng lƣợng tử mô tả rõ tất yếu hồn thiện phƣơng trình chuyển động cổ điển Do theo hình thức luận QED, ánh sáng truyền nhanh chậm c, nhƣng truyền với vận tốc trung bình c Trong QED, lý thuyết nhiễu loạn lƣợng tử miêu tả hạt tích điện tƣơng tác thông qua trao đổi quang tử Biên độ tƣơng tác tính đƣợc lý thuyết nhiễu loạn; cơng thức hồn chỉnh có cách biểu diễn hình tƣợng đáng lƣu ý nhƣ biểu đồ Feynman QED lý thuyết mà biểu đồ Feynman đƣợc áp dụng Các biểu đồ đƣợc phát minh sở Lagrangian học Dùng biểu đồ Feynman, biểu diễn quĩ đạo từ điểm đầu điểm cuối Mỗi quĩ đạo đƣợc gắn với biên độ xác suất, biên độ thực mà ta quan sát tổng biên độ quĩ đạo Các quĩ đạo với pha khơng đổi đóng góp nhiều (do giao thoa với sóng ngƣợc pha) — kết giống nhƣ giao thoa sóng hai nguồn phát sóng đứng n học Mơ hình cũ điện động lực học lƣợng tử bao gồm trao đổi quang tử riêng lẻ, nhƣng Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger Richard Feynman nhận tình lại phức tạp nhiều tán xạ điện tử-điện tử bao gồm trao đổi vài quang tử Một điện tích điểm trần trụi khơng tồn tranh họ Điện tích ln tạo đám cặp hạt-phản hạt ảo xung quanh nó, đó, mơ men từ hiệu dụng thay đổi Coulomb bị biến đổi khoảng cách ngắn Các tính tốn từ mơ hình tái tạo lại liệu thực nghiệm Kusch Lamb với độ xác ngạc nhiên mơ hình điện động lực học lƣợng tử đƣợc coi lý thuyết xác có Tomonaga, Schwinger Feynman nhận giải Nobel vật lý năm 1965 Phát triển điện động lực học lƣợng tử lại có tầm quan trọng vĩ đại cho việc miêu tả tƣợng vật lý lƣợng cao Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điện động lực học lượng tử Phương trình Dirac Mẫu ―ABC‖ lý thuyết trƣờng lƣợng tử hồn tồn phù hợp nhƣng khơng mơ tả đƣợc giới thực hạt A,B,C có spin 0, quark lepton mang spin 1/2, trung tử mang spin Việc tính đến spin phức tạp mặt số học; lý ta đƣa phép tính Feynman ngữ cảnh lý thuyết ―đồ chơi‖ hoàn toàn khơng có rắc rối Trong học lƣợng tử phi tương đối tính hạt đƣợc mơ tả phƣơng trình Schrưdinger, cịn học lƣợng tử tương đối tính hạt có spin đƣợc mơ tả phƣơng trình Klein – Gordon, hạt có spin 1/2 phƣơng trình Dirac hạt có spin phƣơng trình Proca Tuy nhiên qui tắc Feynman đƣợc thiết lập phƣơng trình trƣờng dần hiệu lực Nhƣng với hạt có spin 1/2, kí hiệu qui tắc Feynman giả định tƣơng tự với phƣơng trình Dirac Thế nên ba phần tiếp theo, ta nghiên cứu lý thuyết Dirac theo nghĩa Ta thiết lập đƣợc phƣơng trình Schrưdinger việc bắt đầu với hệ thức xung lƣợng cổ điển áp dụng cách mô tả lƣợng tử : để toán tử thu đƣợc tác dụng lên hàm sóng  cho kết : (Phƣơng trình Schrưdinger) Phƣơng trình Klein – Gordon thu đƣợc phƣơng pháp này, bắt đầu với mối liên hệ – xung lƣợng tương đối tính Hoặc (từ ta bỏ qua năng, ta xử lý hạt tự ) Đáng ngạc nhiên cách mô tả lƣợng tử (7.2) không địi hỏi biến đổi tƣơng đối tính; theo kí hiệu vectơ bốn chiều : Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điện động lực học lượng tử Với Tức : Thay (1.5) vào (1.4) để đạo hàm tác động lên hàm sóng , ta thu đƣợc : Hay : (Phƣơng trình Klein – Gordon ) Schrưdinger rõ ràng khám phá phƣơng trình trƣớc phƣơng trình phi tƣơng đối tính mang tên ơng; chí cịn bị phủ nhận bị cho khơng tƣơng thích với ý nghĩa thống kê hàm sóng  [tức (2) xác suất tìm thấy hạt điểm (x,y,z)] Nguồn gốc khó khăn phƣơng trình Klein – Gordon phƣơng trình bậc hai theo thời gian t (phƣơng trình Schrưdinger phƣơng trình bậc theo t) Vì Dirac bắt đầu tìm kiếm phƣơng trình phù hợp với cơng thức – xung lƣợng tƣơng đối tính bậc theo thời gian Nhƣng năm 1934 Pauli Weisskopf ý nghĩa thống kê tự có vấn đề lý thuyết lƣợng tử tƣơng đối tính, hồn trả phƣơng trình Klein – Gordon trở lại vị trí tuyệt vời nó, trì phƣơng trình Dirac cho hạt có spin 1/2 Chiến lƣợc Dirac ―đặt thừa số‖ cho hệ thức – xung lƣợng (1.4) Việc trở nên dễ dàng ta có p0 (tức p = 0) : Ta đƣợc hai phƣơng trình bậc :  2 Phƣơng trình số hai phƣơng trình đảm bảo p p  - m c =0 Nhƣng vấn đề khác ba thành phần cịn lại p đƣợc tính đến, trƣờng hợp ta tìm biểu thức dƣới dạng : Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điện động lực học lượng tử  với   tám hệ số cần đƣợc xác định Khai triển vế phải (7.12), ta đƣợc : k  Để khơng có số hạng phụ thuộc tuyến tính vào pk, ta chọn  =  , sau ta k cần tìm hệ số  cho : k tức Ta thấy chọn  = 1,  =  =  = 1, nhƣng dƣờng nhƣ cách tránh khỏi ―các số hạng chéo‖ Ở điểm này, Dirac có ý tƣởng sáng giá:  ma trận thay số nhƣ ? Khi ma trận khơng giao hốn, ta tìm thấy tập hợp cho : với Hay ngắn gọn là: với g  ma trận Minkowski, dấu móc nhọn thể phản giao hốn tử Ta tự giải vấn đề cách bình thƣờng Điều thực đƣợc, ma trận nhỏ  Có số tập hợp tƣơng đƣơng ―ma trận gamma‖; ta sử dụng qui ƣớc chuẩn ― Bjorken Drell ‖ : Trong  (i = 1,2,3) ma trận Pauli ra, biểu thị cho ma trận đơn vị cấp i  2, biểu thị cho ma trận cấp  số Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điện động lực học lượng tử Nhƣ phƣơng trình ma trận cấp  4, hệ thức – xung lƣợng tƣơng đối tính cho thừa số : Bây ta thu đƣợc phƣơng trình Dirac tách số hạng (vấn đề số nào, mà cách chọn theo qui ƣớc): Thực thay thông thƣờng p  i   (phƣơng trình 7.5) , cho kết tác dụng lên hàm sóng  : ( Phƣơng trình Dirac) Lƣu ý  ma trận cấp  : Ta gọi ― lƣỡng Spinor‖ hay ― Spin Dirac ‖ (Mặc dù gồm thành phần nhƣng khơng phải vectơ chiều Trong phần ta thay đổi nhƣ ta thay đổi hệ qn tính; khơng phải phép biến đổi Lorenzt thông thƣờng) Các nghiệm phương trình Dirac Bây ta tìm nghiệm đơn giản phƣơng trình Dirac Trƣớc hết giả sử  độc lập vị trí : Cùng với (7.5), phƣơng trình mơ tả trạng thái có xung lƣợng lƣợng khơng( p = ) Phƣơng trình Dirac giản ƣớc thành : Hoặc : Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điện động lực học lượng tử Trong mang hai thành phần phía trên, mang hai thành phần phía dƣới Do Và nghiệm : Ta xem thừa số nhƣ phụ thuộc thời gian đặc trƣng trạng thái lƣợng tử với lƣợng E Đối với hạt đứng E = mc2, A trƣờng hợp p = xác mà ta mong đợi Nhƣng với B ? Dƣờng nhƣ mơ tả trạng thái với lƣợng âm (E = -mc2 ) Đây thất bại lớn điều mà Dirac cố tránh cách giả thiết ―biển vô hạn‖ không nhìn thấy đƣợc hạt có lƣợng âm, lấp đầy trạng thái khơng mong muốn Thay làm thế, ta giải thích nghiệm ―năng lƣợng âm‖ cách đƣa phản hạt với lƣợng dƣơng Theo đó, ví dụ nhƣ A mơ tả electron B mơ tả positron Mỗi hàm sóng spinor hai thành phần, với hệ có spin 1/2 Tóm lại, phƣơng trình Dirac với p = thừa nhận bốn nghiệm độc lập (bỏ qua thừa số chuẩn hóa ) Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điện động lực học lượng tử lần lƣợt mô tả electron với spin hƣớng lên, electron hƣớng xuống, positron với spin hƣớng lên positron với spin hƣớng xuống Tiếp theo ta tìm nghiệm sóng phẳng dƣới dạng : theo kí hiệu gọn : (với a số chuẩn hóa, khơng phù hợp với mục đích biểu diễn ta nhƣng cần thiết sau để giữ cho đơn vị phù hợp) Ta hi vọng tìm thấy lƣỡng spin u(p) cho (x) thỏa mãn phƣơng trình Dirac ( lúc p  (E/c,p) đơn giản tập hợp bốn tham số tùy ý, nhƣng chúng biểu diễn cho lƣợng xung lƣợng nên đơn giản ta gán cho chúng kí tự thích hợp từ bắt đầu) Do phụ thuộc vào x xác định số mũ Thay biểu thức vào phƣơng trình Dirac (7.20), ta có : Phƣơng trình đƣợc biết đến nhƣ ―phƣơng trình Dirac khơng gian xung lƣợng ‖ Lƣu ý phƣơng trình túy đại số khơng có đạo hàm Nếu u thỏa mãn phƣơng trình (2.12)  (ở phƣơng trình 2.10) thỏa mãn phƣơng trình Dirac (1.20) Ta có : Do : Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điện động lực học lượng tử Trong số dƣới A biểu thị cho hai thành phần phía B biểu thị cho hai thành phần phía dƣới Để thỏa mãn phƣơng trình (2.12), ta phải có Thay uB vào uA ta đƣợc : Nhƣng Nên với ma trận đơn vị cấp  Vậy Và Tức để thỏa mãn phƣơng trình Dirac, E p (ở phƣơng trình 2.10) phải tuân theo hệ thức – xung lƣợng tƣơng đối tính Phƣơng trình theo E (2.20) cho ta hai nghiệm: Nghiệm dƣơng ứng với trạng thái hạt, nghiệm âm ứng với trạng thái phản hạt Quay lại phƣơng trình (2.15) sử dụng (2.17), vấn đề trở nên đơn giản xây dựng bốn nghiệm độc lập phƣơng trình Dirac (bỏ qua thừa số chuẩn hóa) Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điện động lực học lượng tử 31 Tiết diện va chạm thời gian sống Bây ta quay lại với lĩnh vực quen thuộc Một tính M2 (hoặc M2), ta đặt vào cơng thức tiết diện va chạm: Trong trƣờng hợp tổng quát: Cho hai vật thể tán xạ CM (Center of Mass: hệ quy chiếu khối tâm): Hoặc phạm vi phịng thí nghiệm (LF: Laboratry Frame, ngƣợc với hệ quy chiếu khối tâm): Ví dụ 7.7 Tán xạ Mott tán xạ Rutherford Một electron (khối lƣợng m) tán xạ với muon có khối lƣợng lớn (M>>m) Giả sử bật trở lại M bỏ qua, tìm tiết diện tán xạ sai phân phạm hệ quy chiếu phịng thí nghiệm (M đứng yên) Giải: Tiết diện va chạm đƣợc cho Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điện động lực học lượng tử 32 Do bia đứng n, ta có (xem Hình 8): với E lƣợng electron tới (và tán xạ), p1 xung lƣợng tới, p3 xung lƣợng tán xạ, (chúng có độ lớn p1=p3=p, góc chúng : p1 p3 =p2.cos) Do đó: Hình Trước Electron tán xạ từ bia Sau Thay vào biểu thức (7.15), ta có: ( lƣu ý ) Đây cơng thức Mott Với phép xấp xỉ tốt, cho ta tiết diện va chạm sai phân tán xạ electron – proton Nếu electron tới phi tƣơng đối tính p2