Một số ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc giải toán ở trường THPT

TRƯờng đại học hùng vơng Khoa khoa học tự nhiên Một số ứng dụng phơng pháp toạ độ việc giảI toán trờng thpt Ngời hớng dẫn: Ths Nguyễn Chí Thanh Ng−êi thùc hiƯn : Nguyễn Phương Thảo Lớp K4 ĐHSP Toán Phú Thọ, Tháng 06 năm 2009 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC Lời nói đầu……………………………………………………………… .3 Mục lục…………………………………………………………………… Chương I: Các kiến thức chuẩn bị Chơng II: Mt s lp bi toán gii bng phng phỏp to ủ 2.1 Các toán tÝnh to¸n 15 2.2 Các toán giải phơng trình, hệ phơng trình 18 2.3 Các toán giải bất phơng trình, hệ bất phơng trình 20 2.4 Các toán chứng minh bất đẳng thức 22 2.5 Các toán tìm cực trị 23 2.6 Các toán tìm quỹ tích 26 2.7 Các toán dựng hình 28 Chương III: Một số toán vận dụng 30 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo……………………………………………………….52 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Lý chọn ñề tài Hình học giải tích mơn học chương trình tốn phổ thơng đại học, sở để học tốt mơn tốn khác Chính vậy, việc hiểu nắm vững mơn học cần thiết Hình học giải tích ñược sáng lập ñồng thời hai nhà bác học người Pháp Descartes(1596- 16500 Ferma(1601-1655) Đặc trưng mơn học dùng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học Phổ biến nước ta từ năm 90 kỉ XX, phương pháp tọa ñộ ñã chứng tỏ ưu ñiểm Phương pháp khơng dùng để giải tốn hình mặt phẳng hay khơng gian chiều mà cịn giải tốn khơng gian n chiều với hình dạng phức tạp mà việc vẽ hình để giải tốn điều khơng thể Gần đây, nhiều kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi hay tạp chí tốn học có nhiều tốn khơng liên quan tới hình học giải phương pháp tọa độ Đó tốn giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Hoặc tốn chứng minh bất đẳng thức hay tìm cực trị Điều ñã gợi cho ñề xuất ñề tài: “Một số ứng dụng phương pháp tọa ñộ việc giải toán trường THPT” Qua việc nghiên cứu nội dung này, chúng tơi có điều kiện củng cố lại kiến thức ñã học, bổ sung thêm nhiều ñiều bổ ích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chng 1: Các kiến thức chuẩn bị Các khái niệm 1.1 Khái niệm hệ trục tọa ñộ mặt phẳng y Hệ tọa ñộ afin (O; i , j ) có sở ( i, j ) gồm hai vectơ đơn vị vng góc với ñược gọi hệ tọa ñộ trực chuẩn ( hay cịn gọi hệ tọa độ Descartes vng gãc) KÝ hiƯu: Oxy (hình 1.1) 1.2 Tọa độ vectơ- Tọa ñộ ñiểm Đối với hệ trục tọa ñộ (O; i , j ), vectơ a ñược M(x, y) y j O i x x Hình 1.1 viết dạng: a = xi+ y j cặp số (x, y) ñược gọi tọa ñộ vectơ a Kí hiệu: a =(x, y) Trong mặt phẳng Oxy, tọa ñộ vectơ OM ñược gọi tọa ñộ ñiểm M Kí hiệu: M(x, y) ⇔ OM = xi + y j 1.3 Phép tính vectơ: Trong mặt phẳng cho véctơ: a = (a1 , a2 ) ; b = (b1 , b2 ) điểm A(xA, yA); B(xB, yB) Ta có: •  a = b1 a = b ⇔   a = b • a +b = (a1+ b1, a2+ b2) • a − b = ( a1 − b1 , a2 − b2 ) • k a = (ka1 , ka2 ) • a = a12 + a2 • AB= ( x B − x A )2 + ( y B − y A) • a b ⇔ a1b2 = a2b1 • a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com • Nếu a , b khác thì: cos( a, b ) = a1b1 + a2b2 a12 + a2 b12 + b2 1.4 Các cơng thức liên quan §iĨm M( x , y )chia ñoạn AB theo tỉ số k ≠ -1 ⇔ MA = k MB M M ⇔ x − kx  B  x = A 1− k  M  y − ky  B A y M = 1− k  §iĨm I (x1 , y1) trung điểm đoạn thẳng §iĨm M trọng tâm cña ∆ ABC ⇔ x +x  B x = A AB ⇔  y +y  B y = A  x +x +x  B C  x = A  M  y +y +y  B A C y M =  Phương trình đường thẳng: Ax + By+ C =0 (1), A2 + B2 ≠ §ường thẳng cho bi (1) cú vectơ pháp tuyến n = ( A, B); vect¬ chØ ph−¬ng u (-B, A) Đường thẳng ñi qua ñiểm M ( x0 , y0 ) có vectơ pháp tuyến n =( A, B) có phương trình là: A(x- x0 ) + B( y- y0) =0 Phương trình tham số đ−êng thẳng qua điểm M ( x0 , y0 ) có  x = x + a t vect¬ chØ ph−¬ng u ( a, b) là:   y = y + b t Phương trình tắc đường thẳng ñi qua ñiểm M ( x0 , y0 ) cã vectơ phương u ( a, b) là: x − x0 y − y0 = a b Phương trình đường thẳng qua điểm M ( x0 , y0 ) có hệ số góc k cho trước: y = k(x- x0) + y0 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương trình đường thẳng ñi qua A( a, 0) B(0, b) có phương trỡnh: x y + = (còn gọi phơng trình đoạn chắn) a b Cho chựm ủng thng xác định hai đường thẳng c¾t nhau: (d1): A1 x + B1 y + C1 = ñường thẳng (d2): A x + B2 y + C2 = Khi đường thẳng chùm có phương trình d¹ng: α ( A1 x + B1 y + C1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 ) = với α + Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng Trong hệ toạ độ trực chuẩn cho đờng thẳng (d1) có phơng trình: Ax + By +C = điểm M( x0 , y0 ) Khoảng cách từ M đến đờng thẳng (d1) đợc tính theo công thức: d(M, d1)= Ax0 + By0 + C A2 + B Gãc gi÷a hai đờng thẳng Trong hệ toạ độ trực chuẩn cho đờng thẳng (a) có phơng trình: Ax + By +C = (a) có a n phơng trình: Ax + By +C = Khi đó: góc hai đờng thẳng (a) (a) đợc tính theo công thức: cos α = AA '+ BB ' A + B A' + B ' 2 n' a' Hỡnh 1.2 Nh vậy: đờng thẳng (a) (a) vuông góc với AA '+ BB ' = Đờng tròn có tâm I( a, b); bán kính R > có phơng trình là: (x- a) + (y- b)2= R2 z 1.5 Khái niệm hệ trục tọa độ khơng gian Cho trơc täa ®é Ox, Oy, Oz đơi vng góc M k với chung điểm gốc O Gọi i , j , k O vectơ đơn vị tơng ứng trục Ox, i Oy, Oz HƯ trơc nh− vËy gäi lµ hƯ täa ®é Descartes vu«ng gãc Oxyz, hay (O; i, j, k ) 1.6 Tọa ñộ vectơ - Tọa ñộ ñiểm j y M' x Hình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + Đối với hệ trục tọa ñộ (O; i , j, k ),nếu vectơ a ñược viết dạng: a = xi+ y j + zk cặp số (x, y, z) gọi tọa độ vectơ a , kí hiệu: a =(x, y, z) + Trong khơng gian Oxyz, tọa độ vectơ OM ñược gọi tọa ñộ ñiểm M Kí hiệu: M(x, y, z) ⇔ OM = xi + y j + zk 1.7 Phép tính vectơ: Trong không gian cho véctơ: a = (a1 , a2 , a3 ) ; b = (b1 , b2 , b3 ) ñiểm M ( x1 , y1 , z1 ); M ( x2 , y2 , z2 ) Ta có: a +b = ( a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) a − b = ( a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 ) k a = (ka1 , ka2 , ka ) M 1M = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) Khoảng cách d hai ñiểm M ( x1 , y1 , z1 ) M ( x2 , y2 , z2 ) ñộ dài vectơ M M , ñược xác ñịnh bởi: d = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2 Điểm M(x, y, z) chia ñoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k: MM = k MM ñược xác ñịnh công thức:  x =   y =   z=  x1 − kx2 1− k y1 − ky2 1− k z1 − kz2 1− k • Đặc biệt: Nếu k= -1 M trung điểm ñoạn thẳng M1M2 Khi ñó x +x y +y z +z tọa ñộ ñiểm M là: M ( A B , A B , A B ) 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com NÕu u = ( x1 , y1 , z1 ) ; v = ( x2 , y2 , z2 ) th×: u.v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ã Đặc biệt: u v ⇔ u.v = NÕu u ≠ , v ≠ th×: cos( u, v ) = u.v x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 2 2 2 u.v x1 + y1 + z1 x2 + y2 + z2 Tích vevtơ (hay tích có hướng) hai vectơ u ( x1 , y1 , z1 ) v ( x2 , y2 , z2 ) kí hiệu u, v  vectơ xác ñịnh bởi: u,v =  y1    y  z1 z2 , z1 x1 z2 x2 , y1  x1  y  x2 Các tính chất: u v cộng tuyến ⇔ u, v  = u ⊥ u, v  v ⊥ u, v  u, v  = u v sin α   α góc hai vectơ u v  u , v  = −  v, u       ku, v  = u, kv  = k u, v  k ∈ R       u , v + t  = u , v  + u , t       Điều kiện cần đủ để vectơ u , v , t đồng phẳng là: u, v t = 1.8 Các công thức liên quan Diện tích tam giác có đỉnh A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3) đợc cho c«ng thøc: A S =  AB, AC △ABC y2 −y1 z2 −z1 z2 −z1 x2 −x1 x2 −x1 y2 −y1 = + + hay: S △ABC y3 −y1 z3 −z1 z3 −z1 x3 −x1 x3 −x1 y3 −y1 2 B C ThĨ tÝch h×nh hộp dựng vectơ AB , AD , AA ' lµ: D' Vhép=  AB; AD  AA ' A C' B' A' C D A B B D C LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Thể tích hình tứ diện ABCD là: V tø diÖn = 1 AB; AC  AD Điểm G trọng tâm ABC vµ chØ khi: x +x +x y +y +y z +z +z G = ( A B C , A B C , A B C ) 3 Điểm G trọng tâm tứ diện ABCD chØ khi: x +x +x +x y +y +y +y z +z +z +z G = ( A B C D , A B C D , A B C D ) 4 Vect¬ n ≠ n»m đờng thẳng vuông góc với mp(P) gọi vectơ pháp tuyến (P) Mặt phẳng (P) qua M( x0 , y0 , z0 ) có vectơ pháp tuyến n(A, B, C ) có phơng trình là: A(x - x0)+ B(y - y0)+ C(z - z0)= Phơng trình tổng quát mp(P) là: Ax+By+Cz+D=0 với ( A2 + B + C > ) Mét sè trờng hợp đặc biệt: mp: Ax + By + Cz = qua O(0, 0, 0) mp: Ax + Cz+D = song song víi Oy mp: Ax+ D = song song víi mp(yOz) mp: x= lµ mp(yOz) ∆ ABC cã n =  AB, AC  lµ vectơ pháp tuyến mp(ABC) Phơng trình x y z + + = đợc gọi phơng trình đoạn chắn a b c mặt phẳng qua A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) (a.b.c 0) Vị trí tơng đối mặt phẳng- Chùm mặt phẳng Cho mặt phẳng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P’): A’x+ B’y+ C’z+ D’= Khi ®ã: (P) ≡ (P’) ⇔ A:B:C:D=A’:B’:C’:D’  (P) (P’) ⇔  A : B : C = A ': B ': C '  A : B : C : D ≠ A ': B ': C ': D ' (P) c¾t (P’) ⇔ A:B:C ≠ A’:B’:C’ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 10 NÕu (P) c¾t (P’) theo đờng thẳng () mặt phẳng qua () có phơng trình: (Ax+ By+ Cz+D) + (Ax+ B’y+ C’z+ D’)=0, ( λ + µ ≠ ) Phơng trình đờng thẳng: Cho mặt ph¼ng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P’): A’x+ B’y+ C’z+ D= 0, (P) (P)= () Khi phơng trình tổng quát () là: Ax + By + Cz + D =   A’x + B’y + C’z + D’ = (1) (2) mp(1) cã vectơ pháp tuyến n1 = ( A, B, C ) , mp(2) có vectơ pháp tuyến n2 = ( A ', B ', C ') Khi ®ã: u = n1 , n vectơ phơng () Đờng thẳng () qua điểm M( x0 , y0 , z0 ) cã vect¬ chØ ph−¬ng u (a, b, c)  x = x0 + at cã: + Phơng trình tham số là: y = y0 + bt   z = z0 + ct + Ph−¬ng trình tắc là: x x0 y y0 z − z0 = = (a.b.c ≠ 0) a b c Vị trí tơng đối đờng thẳng Cho ®−êng th¼ng (d) qua M0( x0 , y0 , z0 ) cã vect¬ chØ ph−¬ng u (a, b, c) , ®−êng th¼ng (d’) qua M( x '0 , y '0 , z '0 ) cã vect¬ chØ ph−¬ng u (a ', b ', c ') Khi ®ã: + d d đồng phẳng u, u ' MM =  u, u ' MM =  + d c¾t d’ ⇔   a : b : c ≠ a ': b ': c ' u Mo d d' M u' + d d’ ⇔ a: b: c = a’: b’: c’ ≠ ( x0 '− x0 ) : ( y0 '− y0 ) : ( z0 '− z0 ) ( tøc lµ u, u ' phơng nhng không phơng M M ' ) + d ≡ d’ ⇔ u ; u ' ; M M ' cïng ph−¬ng 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 38 Bài 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, mặt bên tạo với đáy góc Điểm K trung điểm SB H y tính góc mặt phẳng (AKC) (SAB) theo Giải: Ta thấy: Hình chóp S.ABCD có đỉnh không tam diện vuông Nếu gọi H= AC BD đỉnh H có trục vuông góc với tng đôi một, nên ta chọn hệ trục tọa ®é Oxyz nh− sau: H ≡ O, c¸c tia Ox, Oy, Oz lần lợt trùng với tia HA, HB, HS Giả sử cạnh hình vuông ABCD a , điểm toạ độ tơng ứng lµ: H(0, 0, 0); A(a, 0, 0); B(0, a, 0); C(-a, 0, 0); D(0, -a, 0); S(0, 0, a a h a tg β ); K(0, , ) víi h = tg β 2 2 z S Víi c¸ch chän nh− vËy, ta cã: Phơng trình mặt phẳng( AKC) là: hy- az =0 K Phơng trình mặt phẳng (SAB) là: D C x y z + + = ⇔ hx − hy − az − ah = a a h H Gọi góc mặt phẳng (AKC) (SAB) Ta cã: cos ϕ = cos( n1 , n2 ), víi: A B x y n1 (0, h − a) ; n2 (h, h, −a) ; ⇒ cos ϕ = h.0 + h.h − a.a h2 + a2 h2 + h2 + a = a − h2 h + a 2h + a Chia tử mẫu cho a ta đợc: cos = h a 2 h h  a  + 1 +  a      38 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 39 − 2cos β ⇒ cos ϕ = = tg β + 1 + tg β ( tg β + ) 2 2cos β 1 − tg β = = 3cos β −1 1  cos β +  2cos β  cos β  cos β  3cos β −1 3cos β −1 = cos β + 2(cos2 β + 1) 2cos β cos β VËy gãc ϕ (AKC) (SAB) góc thoả m n: cos ϕ = 3cos β − 2cos + Bài 14 Cho tam giác ABC có ®−êng cao CH Gäi I, K lµ trung ®iĨm cđa đoạn AB CH Một đờng thẳng d di động luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC M cắt cạnh BC N Dựng hình chữ nhật MNPQ với điểm P, Q AB Gọi J tâm hình chữ nhật MNPQ Chứng tỏ điểm I, K, J thẳng hàng Giải: Chọn hệ toạ độ vuông góc Oxy cho O H, tia Ox, Oy lần lợt trùng với tia HB, HC Ta cã: H(0, 0); A(a, 0); B(b, 0); C(0, c) I trung điểm AB nên I có toạ độ là: I( a+b ,0 ) K trung điểm CH nên K có toạ ®é lµ: K(0, c ) y C(0, c) Đ−êng thẳng (d) có phơng trình y= m (0 < m< c) M Đờng thẳng AC có phơng trình: N K x y + = ⇔ cx + ay − ac = a c J Đờng thẳng BC có phơng trình: A(a, 0) Q O H I P B x x y + = ⇔ cx + by − bc = b c 39 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 40 V× M= d AC nên toạ độ M thoả m n hệ phơng trình: y=m y=m a ( c − m)   VËy M( , m) ⇔  a ( c − m ) c cx + ay − ac = x = c   Tơng tự ta có toạ độ N là: N( b ( c − m) , m) c §iĨm P hình chiếu vuông góc N Ox nên toạ độ P là: P( b ( c m) , 0) c J trung điểm đoạn PM nên J có toạ độ là: J( Ta có: IK = (− (a + b)(c − m) m , ) 2c a+b c m( a + b ) m , ) ; IJ = (− , ) ⇒ IK = m c IJ 2 2c điểm I, K, J thẳng hàng (đpcm) Bài 15 Cho hai hình vuông ABCD BKMN có chung đỉnh B đỉnh M nằm DB kéo dài Chứng minh trung tuyến BE tam giác ABK nằm đờng thẳng chứa đờng cao BH tam giác BNC Giải: Chọn hệ toạ độ Đềcác vuông gãc Oxy cho: O ≡ B, c¸c tia Ox, Oy lần lợt trùng với tia BK, BA Với cách chọn đó, ta có: D B(0, 0); C(-1, 0); A(0, 1); D(-1, 1) A n Gi¶ sư N( 0, -n) ⇒ K(n, 0), E( , ) 2 E n Ta cã: BE = ( , ) ; NC = ( −1, n ) 2 n n ⇒ BE.NC = − + = 2 K C VËy BE ⊥ NC hay BE n»m đờng thẳng chứa đờng cao BNC B H N M Bài 16 Cho đờng tròn tâm O bán kính a, có hai đờng kính vuông góc với AB CD Trên tia CD lÊy ®iĨm M, N cho: CN = OM 40 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 41 Đờng thẳng AM cắt đờng tròn P H y xét xem N thay đổi đoạn CO, tam giác ANP có vuông N không? Nếu tam giác ANP vuông điểm N nằm vị trí nào? Giải: Chọn hệ trục toạ độ vuông góc Oxy cho: O trùng với tâm O đờng trßn, trơc Ox trïng víi tia OB, trơc Oy trïng với tia OC Đặt CN= OM = l (0 l a) Ta có tọa độ điểm: y C(0, a) O(0, 0); B(a, 0); C(, a); A(-a, 0); N(0, a-l); M(0, -1) N HƯ sè gãc m cđa đờng thẳng AN là: y y A = a l m= N x −x a N A B(a, 0) O A(-a, 0) x M(0, -l) P Phơng trình đờng thẳng AM: x y −a( y + 1) + = ⇔ lx + ay + al = ⇒ x = a l l D(0, -a) Toạ độ giao điểm đờng thẳng AM đờng tròn tâm O nghiƯm cđa lx + ay + al = (1) hÖ:  2  x + y = a (2) Rót x tõ (1) thay vµo (2) ta cã: a ( y + yl + l ) 2  a( y + l )  2 + y −a = −  + y =a ⇔ l l2   ⇔ (a + l ) y + 2a 2ly = y=0   ⇔ y (a + l ) y + 2a l  = ⇒  2a l y = −  a2 + l  2 + Víi y= ta có: x= -a toạ độ cđa ®iĨm A(-a, 0) 2a 2l a(a − l ) + Víi yP= − ta thay vµo (1) đợc: xP= a + y2 a2 + l 2 2 y −y P = (a − l )(a + l + 2a l ) HÖ số góc đờng thẳng NP là: k = N x −x a(l − a ) N P 41 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 42 Tam giác ANP vuông N AN NP ⇔ k m = -1 ⇔ k = VËy AN ⊥ NP ⇔ −1 m (a − l )(a + l + 2a 2l ) a =− ⇔ (a − l )2 l = 2 a(l − a ) a −l l = l = a Do đó: Tam giác ANP vuông N N C N O, trờng hợp khác tam giác ANP không vuông N Bài 17 Cho tam giác ABC cạnh a VÏ hai tia Aa, Bb cïng chiỊu vµ cïng vuông góc với (ABC) Gọi A1 , B1 ®iĨm di ®éng trªn Aa, Bb cho: A A1 + B B1 = l Xác định vị trí A1 , B1 cho △ A1 B1 C cã diện tích nhỏ Giải: Ta vẽ hình lăng trụ tam giác ABC.A2B2C2 Gọi O, O2 lần lợt trung điểm CB C2B2 Khi đó: OO2, OA, BC vuông góc với đôi Ta chọn hệ trục toạ độ Oxyz z a nh hình vẽ: b A2 B2 Đặt BB1 =t AA1= l- t ; (0 ≤ t ≤ l ) Ta cã: B1 a a C( − , 0, 0); B1(a, 0, t); A1(0, , l- t ); 2 A1 C2 x y a a CB1 = (a , 0, t); CA1 = ( , ,l − t) 2 Ta cã: S = CB , CA  △ ABC  1  =( − t t , O a   Mµ : CB1 , CA1  =  a   B A l −t l −t a a a,a 2  a     C a 3a a2 t, t − la , ) 2 42 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 43 3a 2t 9a 2t 3a ⇒ CB1 , CA1  = + − 3a 2tl + l a + 4 = 3a 2t − 3a 2lt + a 2l + a 4 ⇒S = 3a 2t − 3a 2lt + a 2l + a △ ABC 1 Ta tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm f(t) = 3a 2t − 3a 2lt + a 2l + a l ⇒ f(t) = 3a (t − )2 + a 2l + a 4 l Ta thấy f(t) đạt giá trị nhỏ nhÊt t = VËy A1( (0, a l l , ) ; B1(a, 0, ) 2 y Bµi 18 BiƯn ln theo m sè nghiƯm cđa hƯ:  log (x2 + y2 ) =  2(m +1) (II)   ( x + y) = (C) -2 x O Gi¶i: x+ y =2 §k: < 2(m + 1) ≠ ⇔ −1 < m ≠ −  x + y = 2(m + 1) (II) ⇔   ( x + y)2 = x+ y= -2 (1) (2) Gọi X1 X2 lần lợt lµ tËp nghiƯm cđa (1) vµ (2) Ta cã: + X1 tập điểm đờng tròn (C) tâm O(0, 0) bán kính R= 2(m + 1) + X2 tập điểm đờng thẳng (d1): x+ y =2 vµ (d2): x+ y= + Do tính đối xứng nên: d(O, d1)= d(O, d2)= ã d1 d2 không cắt (C) khi: R < ⇔ 2(m + 1) < ⇒ m < Hệ đ cho vô nghiệm 43 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 44 • d1 vµ d2 cïng lµ tiÕp tun cđa (C) khi: R = ⇔ 2(m + 1) = ⇒ m= Hệ có hai nghiệm phân biệt ã d1 d2 cắt (C) điểm phân biÖt ⇔ R> ⇔ 2(m + 1) > ⇒ m > ⇒ HƯ cã nghiƯm ph©n biƯt VËy: + Víi m < hƯ v« nghiƯm + víi m = hƯ cã nghiƯm ph©n biƯt + Víi m > hƯ cã nghiƯm phân biệt Bài 19 Cho điểm A cố định đờng thẳng a cho trớc, đờng tròn tâm O’ b¸n kÝnh r cho tr−íc H y dùng đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn tâm O tiếp xúc với đờng thẳng a A Giải: y + Cách dựng: Chọn hệ toạ độ Đềcác vuông nh sau: Trục Ax a, trục Ay đờng thẳng P O' O'' vuông góc với a A H - LÊy ®iĨm I(0, -r) a x A - Nèi IO’ I - Dùng ®−êng trung trùc (d) cđa O’I - O= (d) Ay - Đờng tròn tâm O, bán kính R đờng tròn cần dựng + Chứng minh: Theo cách dựng ta có: - (O, R) tiÕp xóc víi Ax t¹i A - O”I= O’’O’ =O”A+ AI= R+r ⇒ (O”) tiÕp xóc (O’) + BiƯn luận: - Với điểm I(0, r) với cách dựng tơng tự ta có thêm nghiệm hình Vậy toán có nghiệm hình 44 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 45 Bµi 20 Cho x, y, z số dơng thoả m n: x+ y+ z ≤ Chøng minh r»ng: x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 x y z Gi¶i: 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt: u = ( x, ) ; v = ( y, ) ; w = ( z, ) x y z 1 ⇒ u + v + w = ( x + y + z, + + ) x y z 1 ⇒ u + v + w = ( x + y + z )2 + ( + + )2 x y z Ta cã: u = x + 1 ; v = y2 + ; w = z2 + x y z ⇒ u + v + w = x2 + 1 + y2 + + z2 + x y z Do u + v + w ≤ u + v + w nªn: x2 + 1 1 1 + y + + z + ≥ ( x + y + z )2 + ( + + )2 (1) x y z x y z 2 1 1 1 1 Mµ: ( x+ y + z ) +  + +  = 81( x+ y + z )2 +  + +  − 80( x+ y + z )2 x y z x y z 1 1 ≥ 2.9(x+ y+ z)  + +  - 80(x+ y+ z)2.(2) x y z Theo bất đẳng thøc Bunhiacopxki ta cã: 1 1 1 (x+ y+ z)  + +  ≥ ( x + y + z )2 = (3) x y z x y z 1 1 Tõ (2) vµ (3) ⇒ ( x+ y + z ) +  + +  ≥ 2.9.9 − 80 =82 x y z KÕt hỵp víi (1) ⇒ x + 1 + y + + z + ≥ 82 x y z DÊu “=” x¶y khi: x= y= z= 45 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 46 x + VËy x + y + y + z + z 82 (đpcm) D Bài 21 Cho tứ diện ABCD Tìm điểm M không gian cho: MA2 + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ A C Giải: Giả sử hệ toạ độ Oxyz ta có: A(a1, a2, a3); B B(b1, b2, b3); C(c1, c2, c3); D(d1, d2, d3) M(x, y, z) Ta đặt h = MA2 + MB + MC + MD ⇔ h = ( x − a1 )2 + ( y − a2 )2 + ( z − a3 )2 + ( x − b1 )2 + ( y − b2 )2 + ( z − b3 )2 + +( x − c1 )2 + ( y − c2 )2 +( z − c3 )2 +( x − d1 )2 + ( y − d1 )2 + ( z − d3 )2 ⇔ h = x − 2(a1 + b1 + c1 + d1 ) x + y − 2(a2 + b2 + c2 + d ) y +4z −2(a3 + b3 + c3 + d3 ) z + a + a 2 + a + b1 + b 2 + b + c12 + c2 + c3 + d12 + d 2 + d a +b +c +d  h  a +b +c +d   a + b + c + d2   ⇒ =x− 1 1  + y− 2 +z− 3 3    4      − 2 (a1 + b1 + c1 + d1 ) + (a2 + b2 + c2 + d ) + (a3 + b3 + c3 + d3 )  + 16 2 2 2 2 2 (a1 + a2 + a32 + b1 + b + b + c1 + c2 + c3 + d1 + d + d ) Ta có: 1 (a1 + b1 + c1 + d1 ) ≤ (a12 + b12 + c12 + d12 ) ; 16 1 (a2 + b2 + c2 + d )2 ≤ (a2 + b2 + c2 + d 2 ) ; 16 1 (a3 + b3 + c3 + d3 )2 ≤ (a32 + b32 + c32 + d32 ) ; 16 ⇒− 1 (a1 + b1 + c1 + d1 ) + (a2 + b2 + c2 + d ) + (a3 + b3 + c3 + d3 )  + (a12 + a2 + 16 a32 + b1 + b 2 + b + c1 + c2 + c3 + d12 + d 2 + d ) ≥ 46 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 47 a1 + b1 + c1 + d1   x=  h  Vậy h nhá nhÊt ⇔ nhá nhÊt ⇔  y = a2 + b2 + c2 + d 4   a + b3 + c3 + d3 z= M trọng tâm tứ diện ABCD Bài 22 Cho góc tam diện vuông Oxyz Điểm N cố định nằm góc tam diện, mặt phẳng (P) qua N cắt Ox, Oy, Oz A, B, C Gọi khoảng cách từ N đến mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) lµ a, b, c TÝnh OA, OB, OC để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ Tính OA, OB, OC để OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ Giải: z Chọn hệ trục toạ độ Oxyz, theo giả thiết C ta có: N(a, b, c ) Khi đó: phơng trình (P) qua N có dạng: N c (P): m(x- a) + n(y- b) + k(z- c) = b (víi m, n, k > 0) a O Theo gi¶ thiết giao điểm (P) với Ox, Oy, Oz lần lợt là: A, B, C Ta có: A( ma + nb + kc , m B(0, 0, ma + nb + kc , 0) n C(0, 0, ma + nb + kc ) k Ta cã: VOABC= y A 0) ⇒ ma + nb + kc ; n ⇒ ma + nb + kc k x ⇒ ma + nb + kc ; m 1 (ma + nb + kc)3 OA.OB.OC = 6 m.n.k Theo bất đẳng thức Côsi ta có: B (ma + nb + kc) 3 m.a.n.b.k.c ≥ = 3 a.b.c m.n.k m.n.k (ma + nb + kc)3 27 ≥ a.b.c = a.b.c m.n.k 47 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 48 VËy Min VOABC = OA= a.b.c m.a= n.b= k.c, ®ã: ma + nb + kc ma + nb + kc ma + nb + kc = 3a; OB= = 3b; OC= = 3c m n k Theo bµi ta cã: OA+ OB+ OC= ma + nb + kc ma + nb + kc ma + nb + kc + + m n k  nb ma   kc ma   kc nb  = a+b+c+  + + + + + n   m k   n k  m Theo bất đẳng thức Côsi ta có: OA+ OB+OC ≥ a + b + c + ab + ac + bc = ( a+ b+ c )  nb ma m = n   kc ma DÊu “=” x¶y khi:  = ⇒ b.n = a.m2 = c.k k m  kc nb =  k  n Khi ®ã: OA= ma + nb + kc =a+ b m t−¬ng tù OB= b+ ba + bc ; OC= c+ VËy Min(OA+ OB + OC) = OB= b+ a + c b ( ba + bc ; OC= c+ a =a+ c ab + ac , ca + cb a+ b+ c ) OA= a + ab + ac ; ca + cb Mét sè bµi tËp tự giải Bài Cho điểm A, B cố định Tìm tập hợp điểm M cho: AM: BM=k víi < k ≠ 0) Bµi Cho hình lập phơng ABCD.ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm cạnh AD BB Chứng minh MN AC Xác định góc MN cạnh AB Bài Tìm m để bất phơng trình sau cã nghiÖm: m− x + x + m > m Bài Giải biện luận hệ: 48 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 49  x + y =  2  x + y ≤ a Bµi T theo m, biƯn ln sè nghiệm phơng trình: log m + (1 x − m ) = log m + [2(1 + x + m )] (11) 2 Bài Dựng tam giác biết đờng cao h Bµi Cho xy + yz + zx = Tìm giá trị bé biểu thức: A= x + y + z Bµi Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a Trên cạnh BD BA lấy điểm M, N cho BM= BN= t Gọi , lần lợt góc tạo MN với đờng thẳng BD AB Tính độ dài đoạn MN theo a t Tìm t để độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhÊt Chøng minh r»ng: cos2 α + cos2 β = TÝnh α vµ β MN đạt giá trị nhỏ Bài Cho sè thùc x, y, z tho¶ m n: x+ y- 3z = Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: x + y + z − x − y − z + 14 + x + y + z + x − y − z + Bài 10 Cho đờng tròn (C1 ) ( C2 ) 1đờng thẳng H y dựng hình vuông ABCD có đỉnh A C lần lợt nằm (C1 ) (C2 ) đỉnh B, D nằm Bài 11 Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa: y = x − px + p + x − 2qx+2q 49 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 50 KT LUN Đề tài Mt s ng dng ca phương pháp tọa độ việc giải tốn trường THPT” ñã giải vấn ñề ñặt đầu Đó là, đề tài đưa ứng dụng phương pháp tọa ñộ việc giải tốn giải phương trình, giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức hay tốn tìm quỹ tích, tìm cực trị, dựng hình Thơng qua đề tài người ñọc thấy rõ ñược ưu ñiểm phương pháp tọa độ việc giải tốn: lời giải ngắn gọn, dễ hiểu Ngoµi mét sè tập có lời giải, đề tài đa số tập để ngời đọc tự làm nhằm củng cố thêm kiến thức đ nêu đề tài ngời đọc vận dụng kiến thức để giải toán khác phơng pháp toạ ®é 50 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đậu Thế Cấp ( chủ biên), Nguyễn Hoàng Khanh, Nguyễn Lê Thống Nhất, Lương Xuân Thu, Nguyễn Tiến Việt, (2002), Tuyển chọn phương pháp giải toán sơ cấp, NXB Giáo dục Nguyễn Minh Chương, Lê Đình Phi, Nguyễn Cơng Quỳ, (1965) Hình học sơ cấp, NXB Giáo dục Văn Như Cương, (2004) Hình học giải tích, NXB Đại học sư phạm Đào Văn Dũng, (2007) Ba phương pháp giải tốn hình học khơng gian, NXB Giáo dục Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí, (2007), Phương pháp giải tốn hình học giải tích khơng gian, NXB Hà Nội Tạp chí tốn học tuổi trẻ, NXB giáo dục Trần Đình Thì, (2008), Dùng Hình học giải tích ñể giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất ñẳng thức…, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Lê Mậu Thống, Lê Mậu Thảo, Trần Đức Huyên, (2005), Phân loại phương pháp giải tốn hình học 12, NXB Hà Nội VưGotxki, (1975)Sổ tay toán học sơ cấp, NXB Tiến 51 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 52 52 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... giải phương pháp tọa độ Đó tốn giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Hoặc tốn chứng minh bất đẳng thức hay tìm cực trị Điều gợi cho chúng tơi đề xuất đề tài: ? ?Một số ứng dụng phương. .. 2: Một số lớp toán giảI phơng pháp toạ độ 2.1 Cỏc bi toỏn tớnh toỏn Phơng pháp giải: + Chọn hệ tọa độ thích hợp: - Trong mặt phẳng, chọn hệ tọa độ có đờng thẳng vuông góc với nhau, gốc tọa độ. .. trị nhỏ của: y = x − px + p + x − 2qx+2q 49 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 50 KT LUN Đề tài ? ?Một số ứng dụng phương pháp tọa ñộ việc giải tốn trường THPT? ?? giải vấn