Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ MơC LụC Trang Mở đầu. Chơng 1: KIếN THứC chuẩn bị. 1.1 Bổ xung không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuẩn 1.1.2 Không gian Banach10 1.1.3 Không gian Banach khả li 10 1.1.4 Toán tử tuyến tính liên tục 1.2 Không gian Hilbert 12 1.2.1 Khái niệm không gian tiền Hilbert 12 1.2.2 Bất đẳng thức schwarz, chuẩn không gian tiền Hilbert 12 1.2.3 Khái niệm không gian Hilbert 14 1.2.4 Hệ thống trực giao trực chuẩn 15 1.2.4.1 Vectơ trực giao 15 1.2.4.2 Một số tính chất đơn giản .16 1.2.4.3 HÖ thèng trùc giao…………………………………………… ………17 1.2.4.4 HÖ thèng trùc chuẩn .17 1.2.4.5 Bất đẳng thức Bessel .19 1.2.4.6 Hệ trực chuẩn đầy đủ 20 1.2.4.7 Các định lý 20 1.2.4.8 C¬ së trùc chuÈn…………………………………………………… 23 1.2.5 PhÐp chiÕu…………………………………………………………….….24 1.2.6 Giá trị riêng, vectơ riêng26 1.2.7 Không gian Hilbert tách đợc28 1.2.8 Định lý biểu diễn Riesz, phiếm hàm tuyến tính song tuyến tính không gian Hilbert 31 1.2.9 Toán tử tuyến tính không gian Hilbert 36 1.2.9.1 Toán tử tự liên hợp 36 1.2.9.2 Toán tư ®èi xøng……………………………………………… 36 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán Cụng ngh 1.2.9.3 Toán tử hoàn toàn liên tục 40 1.2.10 Toán tử tích phân43 1.2.11 Phơng trình tích phân.46 1.2.12 Bài toán dẫn tới phơng trình tích phân 47 Chơng 2: MộT Số DạNG PHƯƠNG TRìNH TíCH PHÂN TUYếN TíNH49 2.1.Phơng trình tích phân với hạch đối xứng.49 2.1.1 Định nghĩa 2.1 49 2.1.2 Xét tồn nghiệm.49 2.2 Phơng trình tích phân với hạch thoái hoá 51 2.2.1 Định nghĩa 2.2 .51 2.2.2 Xét tồn nghiệm.51 2.2.3 Đinh lý Fredholm ( trờng hợp hạch thoái hoá ) 56 2.3.Phơng trình tích phân với hạch không đối xứng 56 2.3.1 Định nghĩa 2.3 .56 2.3.2 Xét tồn nghiệm.57 2.3.3 Định lý Fredholm ( trờng hợp tổng quát ) 61 2.4 Phơng trình Volterra 61 2.5 Một số cách giải phơng trình tích phân tuyến tính.62 2.5.1 Pơng pháp đại số 61 2.5.2 Phơng pháp xấp xỉ 62 2.5.3 Phơng pháp lặp liên tiếp 64 2.5.4 Bài tập áp dụng 67 Kết luận .84 Tài liệu tham khảo .85 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vng Khoa Toỏn Cụng ngh Mở đầu 1) Lý chọn đề tài Giải tích hàm ngành Toán học đợc xây dựng vào khoảng đầu kỷ XX đến hầu nh đ đợc xem nh ngành toán học cổ điển Trong trình phát triển, Giải tích hàm đ tích lũy đợc nội dung phong phú Những phơng pháp kết mẫu mực, tổng quát Giải tích hàm đ xâm nhập vào tất ngành toán học có liên quan sử dụng đến công cụ Giải tích không gian vectơ Chính điều đ mở phạm vi nghiên cứu lớn cho ngành Toán học Phơng trình tích phân không gian Hilbert mảng giải tích hàm đợc xây dựng từ toán thực tế vật lý, hoá học nhiều khoa học ứng dụng khác Cụ thể nh nghiên cứu tính đàn hồi, tính dẻo, nhiệt thay ®ỉi khèi l−ỵng cđa vËt, lý thut dao ®éng, lý thuyết xếp bảng, kỹ thuật điện, kinh tế, y học, Với mong muốn đợc nghiên cứu tìm hiểu sâu sắc môn bớc đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em đ chọn đề tài Một số dạng phơng trình tích phân tuyến tính 2) Mục đích v nhim v nghiên cứu Bớc đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Giải tích hàm đặc biệt phơng trình tích phân tuyến tính không gian Hilbert Hệ thống lại sở lý thuyết cần thiết toán tử không gian Hilbert từ đa số dạng phơng trình tích phân tuyến tính không gian Hilbert tồn nghiệm phơng trình dạng Đặc biệt hệ thống phơng pháp giải phơng trình tích phân bao gồm phơng pháp đại số hoá, phơng pháp lặp liên tiếp, phơng pháp xấp xỉ có tập áp dụng 3) Đối tợng nghiên cứu Đối tợng mà khoá luận nghiên cứu phơng trình tích phân tuyến tính không gian Hilbert, bên cạnh khoá luận nghiên cứu không LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ gian Hilbert lµm sở cho việc nghiên cứu đối tợng 4) Phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Trớc tiên đọc tài liệu liên quan tới nội dung đề tài Cụ thể nh tài liệu viết nguồn gốc thực tiễn sở lý thuyết dẫn tới phơng trình tích phân tuyến tính không gian Hilbert Từ làm tiền đề cho việc tìm hiểu phơng trình tích phân tuyến tính không gian Hilbert vận dụng kiến thức sở để đọc hiểu đối tợng ta cần nghiên cứu, phân tích, tổng hợp rút kết luận - Hỏi ý kiến chuyên gia: Chủ yếu giáo viên hớng dẫn 5) í ngha khoa hc v thực tiễn Khoá luận tài liệu tham khảo cho thầy giáo, bạn sinh viên khoa tốn Về thân bên cạnh việc tìm hiểu sâu phương trình tích phân tuyến tính khơng gian Hilbert cịn nâng cao kiến thức sở Giải tích hàm 6) CÊu tróc cđa khãa ln Ngồi lời nói đầu, mục lục, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khoá luận tài liệu dày 85 trang gồm hai chương: Ch−¬ng - KiÕn thøc chuÈn bị Chơng - Một số phơng trình tích phân tuyÕn tÝnh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ CHƯƠNG KIẾN THỨC chuÈn bÞ 1.1 BỔ SUNG VỀ KHƠNG GIAN BANACH 1.1.1 Khơng gian định chuẩn ∗ Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian vectơ trường K (thực phức), hàm thực ⋅ : X → ℝ thoả mãn ba tính chất: (i ) x ≥ ∀x ∈ Χ, x = ⇔ x = 0, ∀x ∈ Χ ( ii ) λ x = λ x , ∀x ∈ Χ, ∀λ ∈ Κ ( iii ) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ Χ Được gọi chuẩn Χ , cặp ( Χ , ⋅ ) gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn, hay khơng gian định chuẩn ∗ Ví dụ 1.1.1 Khơng gian vect¬ tất hàm số x = x ( t ) xác ñịnh ño ñược ñoạn [ a; b ] với bình phương mun khả tích [ a; b ] , ( −∞ < a < b < +∞ ) ta kí hiệu L2[ a ,b] L2[ a ,b] = x = x(t ) b ∫ a x(t ) dt < +∞ Khi ( L2[ a ,b] , ⋅ ) khơng gian định chuẩn, với chuẩn ⋅ xác ñịnh x = ∫ x ( t ) dt , x ∈ L2[a ,b] a b Thật vậy: ∀ x ∈ L2[a ,b] : x ( t ) ≥ , ∀t ∈ [ a, b ] suy b ∫ x (t ) a b 2 dt ≥ hay ∫ x ( t ) dt = x ≥ a b 2 ⇒ x = ⇔ ∫ x ( t ) dt = a LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ b ⇔ ∫ x ( t ) dt = ⇔ x ( t ) = hầu khắp nơi [ a, b ] 2 a ⇔ x ( t ) = hầu khắp nơi [ a, b ] ⇔ x ( t ) = 0, ∀t ∈ [ a, b ] ⇔ x = θ 2 ∀λ ∈ Κ , x ∈ L2[a ,b] : λ x = ∫ λ x ( t ) dx = ∫ λ x(t ) dt a a b b 2 2 = λ ∫ x ( t ) dt = λ ∫ x ( t ) dt = λ ⋅ x a a b b ∀y, x ∈ L2[a ,b] : ( x + y )( t ) = x ( t ) + y ( t ) , ∀t ∈ [ a, b ] nên: 1 b 2 b 2 x + y = ∫ ( x + y )( t ) dt = ∫ ( x ( t ) + y ( t ) ) dt a a từ bất ñẳng thức Holder: b b ∫ x ( t ) ⋅ y ( t ) dt ≤ ∫ x ( t ) a a 2 dt ⋅ ∫ y ( t ) dt a b Ta có: b b ( x + y = ∫ x ( t ) + y ( t ) dt ≤ ∫ x ( t ) + y ( t ) 2 a ) dt a 1 b 2 b 2 b 2 ≤ ∫ x ( t ) dt + ⋅ ∫ y ( t ) dt ∫ x ( t ) dt + ∫ y ( t ) dt a a a a b 2 1 b b 2 2 = ∫ x ( t ) + ∫ y ( t ) dt = a a Cho nên x + y ≤ ( x + y ) (x + y ) hay: x+ y ≤ x + y LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ ∗ Tính Chất +) d ( x, y ) = x − y , ∀x, y ∈ ( Χ, ⋅ ) mêtric X +) Trong khơng gian tuyến tính định chuẩn X ( i ) Phép cộng phép nhân vô hướng ánh xạ liên tục ( ii ) Chuẩn ⋅ hàm số liên tục X Chứng minh ( i ) : Giả sử hai dãy { xn } , { yn } không gian ñịnh chuẩn X, hội tụ tới x0 , y0 thuộc X, tức lim xn = x0 , lim yn = y0 {λn } dãy số trường K với lim λn = λ0 ∈ Κ Khi đó: xn + yn − ( x0 + y0 ) = xn − x0 + yn − y0 ≤ xn − x0 + yn − y0 → +) ⇒ lim ( xn + yn ) = x0 + y0 +) λn xn − λ0 x0 = λn ( xn − x0 ) + ( λn − λ0 ) x0 ≤ λn ( xn − x0 ) + ( λn − λ0 ) x0 ≤ ≤ λn xn − x0 + λn − λ0 x0 → (khi n → ∞ ) Tõ ®ã cã: lim ( λn xn ) = λ0 x0 ( ii ) : Với x, y ∈ Χ ta có: x = x− y+ y ≤ x− y + y ⇒ x − y ≤ x− y (1) y = y−x+x ≤ y−x + x = x− y + x ⇒ y − x ≤ x− y (2) Từ (1) (2) suy ra: x − y ≤ x− y Do ñó, với { xn } dãy phần tử X mà hội tụ tới x0 ∈ Χ thì: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ xn − x0 ≤ xn − x0 → (khi n → ∞ ) Suy lim xn = x0 , hay ta có chuẩn ⋅ hàm số liên tục X 1.1.2 Không gian Banach ∗ Định nghĩa 1.1.2 Một khơng gian định chuẩn X gọi khơng gian Banach dãy X ñều hội tụ X ∗ Dãy { xn } không gian ñịnh chuẩn X ñược gọi dãy ∀ε >0 cho trước, ∃n0 ∈ Ν ∗ ñể ∀m, n ≥ n0 ta có xn − xm < ε ∗ Ví dụ 1.1.2 Khơng gian ℝ với chuẩn x = n n ∑x i =1 i , x = ( xi )i =1, n Định lý 1.1.2 Khơng gian định chuẩn X không gian Banach chuỗi hội tụ tuyệt ñối ñều hội tụ ∞ Chứng minh Giả sử X không gian Banach, chuỗi ∑x n =1 ∞ X, tức chuỗi ∑ n =1 xn n hội tụ tuyệt ñối hội tụ, gọi {Sn } dãy tổng riêng chuỗi ∞ ∑x n =1 n với n Sn = ∑ xk , với số tự nhiên n, p ta có: k =1 S n + p − Sn = n+ p ∑x k k = n +1 ≤ n+ p ∑ k = n +1 xk → n, p → ∞ Suy {Sn } dãy khơng gian X, X khơng gian Banach ∞ nên dãy hội tụ, chuỗi ∑x n =1 n hội tụ Ngược lại, X không gian ñịnh chuẩn thỏa mãn chuỗi hội tụ tuyệt ñối ñều hội tụ, ta X không gian Banach Thật vậy, giả sử { xn } dãy khơng gian tuyến tính định chuẩn X, với số tự nhiên n tồn số tự nhiên kn cho m ≥ kn , l ≥ kn xl − xm ≤ 2n (3) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ { } dãy Ta chọn kn cho: k1 < k2 < k3 < < kn < ta có dãy xkn { xn } hội tụ X, từ (3) suy xkn+1 − xkn < , ∀n ∈ ℕ∗ n Suy chuỗi ( ) ( ) ( ) xk1 + xk2 − xk1 + xk3 − xk2 + + xkn+1 − xkn + (4) có xkn+1 − xkn → n → ∞ Do (4) hội tụ tuyệt ñối, theo giả thiết chuỗi (4) hội tụ Mặt khác, { } hội tụ X, {x } dãy suy Sn = xkn , với n ∈ ℕ Do xkn n chuỗi { xn } hội X Suy ( Χ, ⋅ ) không gian Banach 1.1.3 Không gian Banach khả li ∗ Định nghĩa 1.1.3 Không gian Banach X ñược gọi khả li (hay tách ñược) tồn dãy { xn }n phần tử X trù mật khắp nơi X ∗ Ví dụ 1.1.3 Không gian hàm số liên tục [0,1] kí hiệu C[0,1] , khơng gian khả li với dãy { xn } ⊂ C[0,1] xác ñịnh bởi: x0 = , xn ( t ) = t n , n ∈ ℕ trù mật khắp nơi C[0,1] 1.1.4.Tốn tử tuyến tính liên tục ∗ Định nghĩa 1.1.4 Cho ( X , X ) (Y , Y ) hai không gian tuyến tính định chuẩn trường K Ánh xạ A : X → Y gọi toán tử tuyến tính liên tục vừa tuyến tính vừa liên tục ∗ Chú ý A liên tục ñiểm x0 ∈ Χ ⇔ với dãy { xn } phần tử Χ thỏa mãn lim xn − x0 X = lim Axn − Ax0 y =0 + ) A liên tục X A liên tục ñiển thuộc X + ) A ñược gọi tuyến tính ∀x, y ∈ Χ : A ( x + y ) = Ax + Ay LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ A ( λ x ) = λ Ax, ∀λ ∈ Κ Định lý 1.1.4 Giả sử cho A : X → Y tốn tử tuyến tính từ khơng gian định chuẩn X vào khơng gian định chuẩn Y, mệnh ñề sau tương ñương: i A liên tục ii A liên tục θ ∈ Χ iii A bị chặn ( ∃M > : Ax ≤ M x , ∀x ∈ Χ ) Chứng minh i ⇒ ii : A liên tục, tức A liên tục ñiểm thuộc X A hiển nhiên liên tục θ ∈ Χ ii ⇒ i : Giả sử A liên tục θ ∈ Χ , với x thuộc Χ dãy { xn }n hội tụ tới ñiểm x ∈ Χ , ta lim Axn = Ax Thật vậy, xn , x ∈ Χ , ∀n ∈ ℕ∗ nên ( xn − x ) ∈ Χ lim ( xn − x ) = (do tính liên tục phép cộng không gian n →∞ ñịnh chuẩn ) Theo giả thiết A liên tục θ ∈ Χ suy ra: lim A ( xn − x ) = Aθ = ⇒ lim Axn = Ax Nên A liên tục x , với x ∈ Χ nên A liên tục i ⇒ iii : Giả sử A liên tục, ta chứng minh A bị chặn Thật vậy, A liên tục X nên A liên tục phần tử θ ∈ Χ , ∃∂ > cho x ∈ Χ mà x ≤ ∂ ta có Ax ≤ Bây với x ∈ Χ , x ≠ đặt u = ∂x u = ∂ nªn: x Au ≤ Thay u = ∂x ñược: x A ∂x ∂ = ⋅ Ax ≤ ⇔ Ax ≤ ⋅ x x x ∂ (5) Bất ñẳng thức (5) ñúng cho trường hợp x = θ , A bị chặn iii ⇒ i : Giả sử A bị chặn, ta chứng minh A liên tục Thật vậy, với x phần 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ Gi¶i: Ta cã hƯ {e } ®éc lËp tun tÝnh với s [ 0;1] , đặt c = ∫ et g ( t ) dt s Phơng trình đ cho có dạng g ( s ) = + λ e s c , b©y ta xác định c Thay (2) vào (1) ta đợc: e c ∫ et et cdt = , ∀s ∈ [ 0;1] s Do {e s } độc lập tuyến tính nên suy ra: t t c − λ ∫ e e cdt = 0 λ e2 λ c = λ ∫ e cdt , c 1 − + =0 2 2t Đến ta có hai trờng hợp xảy ra: - NÕu c = th× ∀λ ∈ Κ ta cã g ( s ) = + λ e s , ∀s ∈ [ 0;1] Hay g = nghiệm phơng trình đ cho - NÕu c ≠ , th× − λ e2 + g (s) = + λ =0 = , thay vào (2) ta đợc e −1 2 s e c , víi mäi c ≠ e2 − x 2e s c 2e t c V× r»ng víi g ( s ) = , y ( x ) − λ ∫ ty ( t ) dt = f ( x ) ta cã g ( t ) = kh«ng e −1 e − a ®ång nhÊt b»ng víi ∀t ∈ [ 0;1] Do vËy c = λ ∫ et g ( t ) dt ≠ tho¶ m n Vậy nghiệm phơng trình là: e s g (s) = , ∀λ ∈ Κ e Bài tập Giải phơng trình: 71 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ 1 φ ( x) − λ[π x ∫ sin(π y )φ ( y )dy + 2π x ∫ sin(2π y )φ ( y )dy ] = f ( x) (*) 0 Giải Đặt 1 sin( y) ( y)dy = z , ∫ sin(π y) f ( y )dy = f 0 1 1 ∫ sin(2π y)φ ( y)dy = z , ∫ sin(2π y) f ( y )dy = f 2 Ph−¬ng trình (*) trở thành: (1 ) z1 2(1 − λ NÕu λ ≠ π 4 π2 )λ z2 = f1 z1 + (1 − λ ) z2 = f th× ta t×m ®ù¬c z1 = (1 + λ ) f1 + 2(1 − 1− 4λ π2 )λ f π2 λ (− ) f1 + (1 − λ ) f z2 = 4λ 1− π v× thÕ φ ( x) = f ( x) + π z1 x + 2πλ z2 x NÕu λ = Chúng ta có phơng trình đại số liên hợp: (1 )1 + (1 − cã nghiÖm π 4 π ε2 = )ε1 + (1 + π )ε = π π ε1 = ( )C , ε = (1 )C , C sè tïy ý Khi ®ã chóng ta cịng cã: π π f1 − (1 − ) f = 72 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Cụng ngh Nếu hai điều kiện thỏa m n phơng trình: ( x) = f ( x) + π f1 − 2(1 + )Cx + π Cx π 1 − (π / 2) ( C - h»ng sè) kh«ng cã nghiệm 2.5.4.2 Giải phơng pháp lặp Bài tËp Giải phương trình g ( s ) = + λ ∫ [sin( s + t )] g (t )dt Giải: Phương trình cho tương ñương với phương trình π g ( s ) = + λ ∫ ( sin t cos s + sin s cos t ) g (t )dt Ta ñặt go ( s ) = π g1 ( s ) = + λ ∫ ( sin t cos s + sin s cos t ) 1.dt π π 0 = + λ cos s ∫ sin tdt + λ s ins ∫ cos tdt = + 2λ cos s π g ( s ) = + λ ∫ (sin t cos s + sin s cos t ) g1 ( t ) dt π = + λ ∫ (sin t cos s + sin s cos t ) (1 + λ cos t ) dt π = + λ ∫ (sin t cos s + sin s cos t )dt + 2λ π ∫ (sin t cos s + sin s cos t ) cos tdt π = + 2λ cos s + 2λ ∫ (sin t cos s + sin s cos t ) cos tdt = + 2λ cos s + πλ sins π g ( s ) = + λ ∫ (sin t cos s + sin s cos t ) g ( t ) dt 73 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ π = + λ ∫ (sin t cos s + sin s cos t ) (1 + 2λ cos t + πλ sin t ) dt π λ cos s = + 2λ cos s + πλ sin s + 2 π g ( s ) = + λ ∫ (sin t cos s + sin s cos t ) g ( t ) dt π π λ cos t = + λ ∫ (sin t cos s + sin s cos t ) 1 + 2λ cos t + πλ sin t + dt 3 π λ cos s π λ sins = + 2λ cos s + πλ sin s + + làm liên tiếp trình ta kết quả: ∞ πλ πλ g ( s ) = + ∑ i = ( 2λ cos s ) + ∑ 1= (πλ sins ) 2i ∞ πλ = 1+ ( 2λ cos s + πλ sin s ) ∑ i =1 ∞ 2i 2i =1+ ( 2λ cos s + πλ sin s ) − π 2λ 2 , víi π λ < Hay ta cã thÓ viÕt: g (s) = + 4λ 2λ cos s + πλ sin s ) , víi λ < 2 ( −π Bài tập Giải phơng trình sau: g ( s ) = + λ ∫ (1 − 3st ) g ( t ) dt Gi¶i: f ( s ) = 1, k ( s, t ) = 3st đặt g o ( s ) = ( g1 ( s ) = + λ ∫ (1 − 3st ) dt = + λ − t 1 ) ( ) g ( s ) = + λ ∫ (1 − 3st ) g1 ( t ) dt = + λ ∫ (1 − 3st ) 1 + λ − t dt 0 74 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương ( Khoa Tốn – Cơng nghệ ) =1+ λ 1− t + λ2 ( ) g ( s ) = + λ ∫ (1 − 3st ) g ( t ) dt = + λ − t + λ + λ 1 − s 4 λ 2 λ 4 λ λ ⇒ g ( s ) = λ 1 − s 1 + + + + 1 + + + 2 2 λ 2 λ 4 = 1 + + + 1 + λ 1 − s 2 2 ⇒ g (s) = + λ ( − 6s ) − λ2 , víi λ < x Bµi tập Giải phơng trình ( x ) = x + λ ∫ ( s − x ) ϕ ( s ) ds Gi¶i: ϕo ( x ) = x Đặt x x2 ( x ) = x + λ ∫ ( s − x ) ϕo ( s ) ds = x − 3! x x3 x5 ϕ2 ( x ) = x + λ ∫ ( s − x ) ϕ1 ( s ) ds = x − + 3! 5! x x5 x x n +1 n Cuèi cïng ta đợc ( x ) = x + − + + ( −1) + 3! 5! 7! ( 2n + 1)! (ì ) Vế phải (ì ) khai triển Taylor hàm sin x x = Do nghiệm phơng trình là: ( x ) = sin x x Bài tập Giải phơng trình sau: ( x ) = + ∫ ( s − x ) ( s ) ds Giải: Đặt o ( x ) = 75 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ x x x2 ϕ1 ( x ) = + ∫ ( s − x ) ϕo ( s ) ds = + ∫ ( s − x ) sds = − 2! 0 s2 x2 x4 ϕ2 ( x ) = + ∫ ( s − x ) ϕ1 ( s ) ds = + ∫ ( s − x ) 1 − ds = − + 2! 2! 4! 0 x x 2n x3 x n x Cuối ta đợc ( x ) = x − + + + ( −1) + 2! 4! ( 2n ) ! Vậy nghiệm phơng trình là: ( x ) = cos x x Bài tập Giải phơng trình sau ϕ ( x ) = + ∫ ϕ ( s ) ds Gi¶i: ϕo ( x ) = Đặt x x 0 x x ( x ) = + ∫ ϕo ( s ) ds = + ∫ ds = + x x2 ϕ2 ( x ) = + ∫ ϕ1 ( s ) ds = + ∫ (1 + s ) ds = + x + 0 x2 xn Cuối ta đợc ( x ) = + x + + + + 2! n! Suy nghiệm phơng trình là: ϕ ( x ) = ex 2.5.4.3 Gi¶i b»ng phơng pháp xấp xỉ Bài tập Giải phơng trình sau: e ϕ ( x ) = + ∫ s xϕ ( s ) ds , (1 ≤ s e ) Giải: Đây phơng trình tích phân có nhân không thoái hoá, ta xấp xỉ nhân Κ ( s, x ) = s x bëi mét nhân thoái hoá Khai triển Taylor hàm s x theo biến x x = là: s = + ( ln s ) x + x ( ln s ) 2 x2 + ( ln s ) x3 + 76 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Ta lÊy xÊp xØ: Khoa Tốn – Cơng nghệ Κ ( s, x ) = s ≈ + ( ln s ) x + x ( ln s ) x2 , Giờ tìm nghiệm phơng trình tích ph©n: ( ln s ) x ϕ ( x ) = + ∫ 1 + ( ln s ) x + 1 e e ®Ỉt e e c1 = ∫ ϕ ( s ) ds ; c2 = ∫ ( ln s ) ϕ ( s ) ds ; c3 = ∫ ( ln s ) 1 2 ϕ ( s ) ds ( 3.1) ϕ ( s ) ds Thay vào ( 3.1) đợc phơng trình: ϕ ( x ) = + c1 + c2 x + c3 x ( 3.2 ) Thay ( 3.2 ) vào phơng trình ( 3.1) đợc: ln s ) x ( c1 + c2 x + c3 x = ∫ 1 + ( ln s ) x + ( c1 + c2 s + c3 s ) ds 1 e Do tÝnh ®éc lËp tun tÝnh cđa hƯ {1, x, x } ta cã hƯ ph−¬ng tr×nh: (12 − 6e) c1 − ( 3e2 − 3) c2 − ( 2e3 − 2) c3 = 6( e −1) −36c1 + ( 27 − 9e2 ) c2 − (8 + 8e3 ) c3 = 36 ( 72 − 36e) c1 − ( 9e − 9) c2 + ( 76 − 4e ) c3 = 36( e 2) Giải phơng trình đợc: 3e5 + e 34e3 16e2 + 49e + 20 c1 = −5e5 − 4e4 + 26e3 − 61e − 42e + 119 2e5 − 2e3 + 2e + 15 c2 = −5e5 − 4e4 + 26e3 − 61e − 42e + 119 −9e3 + 27e − 63 c3 = −5e5 − 4e4 + 26e3 − 61e − 42e + 119 Thay vào phơng trình ( 3.2 ) đợc nghiệm xấp xỉ phơng trình đ cho 3e5 + e4 34e3 − 16e2 + 49e + 20 ϕ ( x) = + + −5e5 − 4e4 + 26e3 − 61e2 − 42e + 119 −9e3 + 27e − 63 2e5 − 2e3 + 2e + 15 x2 + x+ 5 −5e − 4e + 26e − 61e − 42e + 119 −5e − 4e + 26e − 61e − 42e + 119 77 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ 2.5.4.4 Mét vài tập đa phơng trình vi phân tuyến tính Bài tập Giải phơng trình tÝch ph©n sau x a) y ( x ) − λ ∫ ty ( t ) dt = f ( x ) a Giải: Lấy đạo hàm theo biến x hai vế đợc phơng trình tơng đơng: y ' ( x ) − λ xy ( x ) = f ' ( x ) phơng trình vi phân tuyến tính cấp y ( x ) Ta giải đợc x x nghiệm nã lµ: y ( x ) = ∫ f ' ( x ) e dx e 2 x b) ∫ ( Ax + Bt + C ) y ( t ) dt = f ( x ) a Giải: Phơng trình đ cho tơng đơng với phơng trình: x x x a a a Ax ∫ y ( t ) dt + B ∫ ty ( t ) dt + C ∫ y ( t ) dt = f ( x ) LÊy đạo hàm hai vế theo biến x ta đợc: x A∫ y ( t ) dt + Axy ( x ) + Bxy ( x ) + Cy ( x ) = f ' ( x ) a x ⇔ ( A + B ) x + C y ( x ) + A∫ y ( t ) dt = f ' ( x ) a đặt y ( x ) = z ' ( x ) thay vµo phơng trình ta có ( A + B ) x + C z ' ( x ) + Az ( x ) = f ' ( x ) (1*) phơng trình vi phân tuyến tính cấp mét ®èi víi y ( x ) = z ' ( x ) Ta giải phơng trình Trớc hết giải phơng trình nhất: ( A + B ) x + C z ' ( x ) + Az ( x ) = (2*) - NÕu A + B = phơng trình (1*) trở thµnh: 78 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ Cz ' ( x ) + Az ( x ) = f ' ( x ) (3*) +) C = , (3*) trở thành Az ( x ) = f ' ( x ) ⇒ A = B = C = thay vào phơng trình đ cho ta cã f ( x ) = ⇒ A ≠ th× z ( x ) = ⇒ y ( x) = f ' ( x) A f " ( x) A +) C phơng trình (3*) trë thµnh f ' ( x) A z ( x) + z ( x) = C C ' (4*) −A A C dx Giải phơng trình z ( x ) + z ( x ) = ta đợc z ( x ) = ε e C ' (5*), ( số tuỳ ý) Bây coi ε lµ hµm cđa x ta cã z ( x ) = ε e ' ' −A ∫ C dx A CA dx e thay vào phơng C trình (4*) đợc: A A CA dx A −CA dx ' εe + εe = f ( x) C C C −A dx ' ∫ C ⇒ε e = f ' ( x) C ε 'e∫ C dx − A ∫ C dx ' ⇒ ε = ∫ f ( x) e +Κ, C A 1 ∫ −CA dx ∫ C dx ' thay vào (5*) đợc: z ( x ) = f ( x ) e dx + Κ e C Suy nghiƯm cđa (1*) lµ: A d −CA dx ' ∫ C dx y ( x ) = e f x e dx + Κ ( ) , K lµ h»ng sè tuú ý ∫ C dx - NÕu A + B ≠ , chia c¶ hai vÕ cđa (2*)biĨu thøc ( A + B ) x + C đợc: 79 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ f ' ( x) A z ( x) + z ( x) = ( A + B) x + C ( A + B) x + C ' (6*) phơng trình vi phân tuyến tính cấp z ( x ) , giải tơng tự có z ( x ) = ε e −A ∫ ( A+ B ) x + C dx , coi ε lµ hµm cđa biến x đợc: z ( x) = e ' ' −A ∫ ( A+ B ) x + C dx −A A ∫ A+ B x + C dx − εe ( ) C f ' ( x) −A thay vào phơng trình (6*) đợc e ' = ∫ ' f ' ( x) ( A + B) x + C ∫ ( A+ B ) x + C dx = ( A + B) x + C A e ∫ ( A+ B) x+C dx dx + Κ −A A f ' ( x) ∫ ( A+ B) x +C dx ∫ ( A+ B) x +C dx ⇒ z ( x) = e e dx + Κ ∫ ( A + B) x + C − Adx Adx f ' ( x) ∫ ( A+ B) x+C d ∫ ( A+ B) x+C ⇒ y ( x ) = e e dx + Κ = ∫ ( A + B) x + C dx A ln ( A+ B ) x +C f ' ( x) d A−+AB ln ( A+ B) x +C A+ B e dx = e + Κ ∫ + + dx A B x C ( ) Bài tập Giải phơng trình sau: x a) ∫ ( x − t ) y ( t ) dt = f ( x) a x b) ∫(x − t ) y ( t ) dt = f ( x ) a x c) ∫ ( Ax + Bt ) y ( t ) dt = f ( x ) a H−íng dÉn gi©i: x a) x ∫ ( x − t ) y ( t ) dt = f ( x) ⇒ f ( x) = 2∫ ( x − t ) y ( t ) dt ' a a 80 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ x ⇒ f ( x ) = ∫ y ( t ) dt ⇒ y ( x ) = " f "' ( x ) a f "' ( x ) ⇒ y ( x) = x b) ∫(x x −t 2 ) y ( t ) dt = f ( x ) ⇔ ∫ x y ( t ) dt − ∫ t y ( t ) dt = f ( x ) a a x ⇔x x 2 a x ∫ y ( t ) dt − ∫ t y ( t ) dt = f ( x ) a a x ⇒ x ∫ y ( t ) dt + x y ( x ) − x y ( x ) = f ' ( x ) a x ⇒ x ∫ y ( t ) dt = f ' ( x ) a đặt y ( x ) = z ( x ) phơng trình trªn cho ta: z ( x ) = ' ⇒ z ( x) = f ' ( x) 2x x c) ∫ ( Ax xf " ( x ) − f ' ( x ) 2x2 x + Bt 2x , víi x ≠ ⇒ y ( x) = z ( x) = ' f ' ( x) x ) y ( t ) dt = f ( x ) ⇔ Ax ∫ y ( t ) dt + B ∫ t y ( t ) dt = f ( x ) a a a x ⇒ xA∫ y ( t ) dt + Ax y ( x ) + Bx y ( x ) = f ' ( x ) a x ⇒ xA∫ y ( t ) dt + ( A + B ) x y ( x ) = f ' ( x ) a đặt y ( x ) = z ' ( x ) ta co phơng trình: xAz ( x ) + ( A + B ) x z ' ( x ) = f ' ( x ) phơng trình tuyến tính cấp z ( x ) Giải phơng trình ta đợc: +) NÕu A + B = 81 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ - A = f ( x ) = phơng trình đ cho thoả m n với hàm số y ( x ) - A phơng trình có nghiệm y ( x ) = f " ( x) Bx − f ' ( x) Bx +) NÕu A + B ≠ phơng trình có nghiệm là: f ' ( x ) A2+AB ln ( A+ B ) x d −2 B ln ( A + B ) x ∫ y ( x ) = e e dx + Κ dx A + B ( A + B) x 2.5.4.5 Bài tập làm thêm Bài tập Giải phơng tr×nh sau: x a) ∫ e λ ( x −t ) y ( t ) dt = f ( x ) a x b) ∫ ( ln x − ln t ) y ( t ) dt = f ( x ) a x c) ∫ cos λ ( x − t ) y ( t ) dt = f ( x ) a Đáp số : a) y ( x ) = f ' ( x ) − λ f ( x ) b) y ( x ) = f ' ( x ) + xf '' ( x ) c) y ( x ) = f ' ( x ) + λ ∫ f ( x ) dx + Κ , Κ lµ h»ng sè tuú ý Bài tập Giải phơng trình sau: a) y ( x ) = 3∫ xsy ( s ) ds + x − π b) y ( x ) = ∫ cos ( x + s ) y ( s ) ds + x c) y ( x ) = − x − x + ∫ 3 + ( x − s ) − ( x − s ) y ( s ) ds 82 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ x d) y ( x ) = 29 + x + ∫ ( x − s + ) y ( s ) ds Đáp số: a) y ( x ) = Cx − 2, C lµ h»ng sè tuú ý b) y ( x ) = − 2sin x 1− π c) y ( x ) = e x d) y ( x ) = e2 x − e3 x b Bµi tËp ∫ sin ( λ x − t )y ( t ) dt = f ( x ) , ( < a < b < + ) a Đáp Sè: y ( x ) = f '' ( x ) + λ f ( x ) 2λ 83 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ KếT LUận Trên toàn nội dung khóa luận em trình bày đề tài Một số dạng Phơng trình tích phân tuyến tính Căn vào nhiệm vụ mà đề tài đặt khoá luận đ đa đợc bốn dạng phơng trình tích phân tuyến tính cụ thể: Phơng trình tích phân với hạch đối xứng, phơng trình tích phân với hạch thoái hoá, phơng trình tích phân với hạch không đối xứng, phơng trình Volterra Ba phơng pháp giải phơng trình tích phân gồm: Phơng pháp đại số hoá, phơng pháp lặp liên tiếp, phơng pháp xấp xỉ 11 tập có lời giải theo ba phơng kể trên, tập cho đáp số Qua trình nghiên cứu hoàn thành luận văn dới hớng dẫn tận tình thầy giáo Trần Anh Tuấn bớc đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Giải tích hàm, đặc biệt số phơng trình tích phân tuyến tính không gian Hilbert Mặc dù có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đợc góp ý thầy cô giáo b¹n 84 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường ĐH Hùng Vương Khoa Tốn – Cơng nghệ Tµi liƯu tham kh¶o [1] Ngun Phơ Hy (2006), Gi¶i tÝch hµm, NXB Khoa häc vµ KÜ thuËt Hµ Néi [2] Nguyễn Xuân Liêm (2000), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] A.N Kolmogorov, S.V Fomine (1983), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm (bản dịch tiếng Việt), tập III, NXB Gáo dôc [5] Lokenath Debnath, Piotr Mikusinski (1990), Introduction to Hilbert Space and Applications, Acadimic Press, USA [6] Harry Hochstadt (1973), Integral Equations, A Wiley-Interscience Publication, Canada 85 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... thích hợp, phương trình tích phân ñưa ñược dạng ( A − λ I ) g = f A tốn tử tích phân, A tốn tuyến tính phương trình tích phân tuyến tính Sau ta quan t©m tới phương trình tích phân tuyến tính ∗ Định... 1.2.10 Toán tử tích phân4 3 1.2.11 Phơng trình tích phân. 46 1.2.12 Bài toán dẫn tới phơng trình tích phân 47 Chơng 2: MộT Số DạNG PHƯƠNG TRìNH TíCH PHÂN TUYếN TíNH4 9 2.1.Phơng trình tích phân với hạch... (t ) phải tìm nằm dấu tích phân nằm ngồi dấu tích phân - Một phương trình tích phân gọi tuyến tính hàm phải tìm bậc ( ví dụ phương trình (27) (28) tuyến tính cịn phương trình (29) khơng phải