BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM viÖn to¸n häc TỐNG THỊ HỒNG NGỌC MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO T[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM viƯn to¸n häc TỐNG THỊ HỒNG NGỌC MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM viƯn to¸n häc TỐNG THỊ HỒNG NGỌC MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH Mà SỐ: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NCVC NGUYỄN VĂN NGỌC Hà Nội – 2015 Möc lửc M Ưu 1 Kián thực chuân b 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Tẵch phƠn suy rởng v giĂ tr chẵnh Cauchy cừa tẵch phƠn Bián ời Mellin Bi¸n êi Fourier Bi¸n êi Laplace 12 Bi¸n êi Hilbert 23 Phữỡng trẳnh tẵch phƠn trản khoÊng vổ hÔn 25 CĂc phữỡng trẳnh tẵch phƠn trản khoÊng hỳu hÔn 42 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Dăn luên CĂc phữỡng trẳnh giÊi bơng bi¸n êi Mellin Phữỡng trẳnh giÊi bơng bián ời Fourier Phữỡng trẳnh Volterra Phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d nhƠn Cauchy trản ton trửc Phữỡng trẳnh Abel loÔi mởt Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Abel loÔi hai Phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d nhƠn Cauchy Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Carlemann Phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d Hilbert 25 26 29 35 40 42 45 46 49 51 Kát luên 55 Ti liằu tham khÊo 56 i M Ưu NhiÃu vĐn à ToĂn hồc, Cỡ hồc, Vêt lỵ v cĂc ngnh k thuêt khĂc dăn án nhỳng phữỡng trẳnh, õ hm chữa biát ữủc chựa dữợi dĐu tẵch phƠn Nhỳng loÔi phữỡng trẳnh õ ữủc gồi l phữỡng trẳnh tẵch phƠn Phữỡng trẳnh tẵch phƠn l mởt chuyản ngnh quan trồng cừa toĂn hồc hiằn Ôi v l cổng cử hỳu ẵch nhiÃu lắnh vỹc nản ữủc quan tƠm nghiản cựu theo nhiÃu khẵa cÔnh khĂc nhữ sỹ tỗn tÔi nghiằm, cĂc phữỡng phĂp giÊi gƯn úng, tẵnh t chnh Lỵ thuyát tờng quĂt và cĂc loÔi phữỡng trẳnh tẵch phƠn tuyán tẵnh ữủc xƠy dỹng buời giao thới cừa cĂc thá k XIX, XX, chừ yáu l cĂc cổng trẳnh cừa Volterra, Fredholm v Hilbert, v.v Xt phữỡng trẳnh tẵch phƠn tuyán tẵnh trản khoÊng (a, b) cõ dÔng sau ( xem [1], [4] ) Z λu(x) + b K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, a (1) õ u(x) l hm cƯn tẳm (ân hm), K(x, y) l hm  biát v ữủc gồi l "nhƠn" hay "hÔch" cừa phữỡng trẳnh, f (x) l hm  cho v ữủc gồi l " vá phÊi" cừa phữỡng trẳnh, l tham số cừa phữỡng trẳnh Phữỡng trẳnh (1) ữủc gồi l phữỡng trẳnh tẵch phƠn loÔi mởt hay loÔi hai, tũy thuởc vo tham số = 0, hay λ 6= 0, t÷ìng ùng Trong ph÷ìng trẳnh (1) cĂc cên tẵch phƠn a, b l cĂc số hỳu hÔn, vổ hÔn hay nỷa vổ hÔn, v l cĂc Ôi lữủng cố nh hay bián thiản, nhƠn K(x, y) câ thº l h m li¶n tưc, kh£ têng, hay cõ ký bĐt thữớng no õ ối vợi phữỡng trẳnh tẵch phƠn tuyán tẵnh dÔng (1), Luên vôn ny quan tƠm tợi hai dÔng c biằt sau Ơy: (a, b) l khoÊng vổ hÔn, hay nỷa vổ hÔn, cỏn nhƠn K(x, y) l hm liản tửc, hay cõ bĐt thữớng no õ K(x, x) = Luên vôn ThÔc sắ toĂn hồc (a, b) l K(x, x) = Tống Th Hỗng Ngồc khoÊng hỳu hÔn, cỏn nhƠn K(x, y) l cõ bĐt thữớng Theo thuêt ngỳ [4], nhỳng phữỡng trẳnh tẵch phƠn trản Ơy ữủc gồi l phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d v l à ti hồc têp cừa Luên vôn ny Mửc ẵch cừa Luên vôn l tẳm hiu v hồc têp cĂch giÊi hẳnh thực cừa mởt số lợp phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d theo nghắa trản Ơy Luên vôn bao gỗm cĂc nởi dung sau: Chữỡng 1: Kián thực chuân b Trẳnh by và tẵch phƠn suy rởng, tẵch phƠn ký d Cauchy, cĂc bián ời tẵch phƠn Mellin, Fourier, Laplace v Hilbert l m cì sð nghi¶n cùu c¡c phữỡng trẳnh tẵch phƠn chữỡng sau Chữỡng 2: Phữỡng trẳnh tẵch phƠn trản khoÊng vổ hÔn Trẳnh by mởt số lợp phữỡng trẳnh tẵch phƠn cõ th giÊi ữủc bơng cĂc php bián ời tẵch phƠn Mellin, Fourier, Laplace v Hilbert Chữỡng 3: Xt cĂc phữỡng trẳnh tẵch phƠn ký d trản khoÊng hỳu hÔn vợi nhƠn Cauchy, Logarit v Hilbert Luên vôn ữủc hẳnh thnh dỹa trản cĂc t i li»u [1]-[4], â [4] l t i li»u ch½nh Luên vôn ữủc hon thnh tÔi Viằn ToĂn hồc - Vi»n H n l¥m Khoa håc v Cỉng ngh» Vi»t Nam, dữợi sỹ hữợng dăn cừa thƯy TS NCVC Nguyạn Vôn Ngồc Tổi xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi ThƯy  tên tƠm hữợng dăn v ởng viản tổi suốt quĂ trẳnh thỹc hiằn Luên vôn Tổi xin cÊm ỡn cĂc ThƯy, Cổ Phữỡng trẳnh vi phƠn  quan tƠm giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh lm luên vôn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban lÂnh Ôo Viằn ToĂn hồc Viằt Nam cĂc ThƯy, Cổ  trỹc tiáp giÊng dÔy lợp Cao hồc ToĂn K21, cĂc bÔn hồc viản  tÔo iÃu kiằn thuên lủi, ởng viằn giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi Viằn H Nởi, ngy 28/08/2015 TĂc giÊ luên vôn Tống Th Hỗng Ngồc Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 Tẵch phƠn suy rởng v giĂ tr chẵnh Cauchy cừa tẵch phƠn ã Ănh giĂ tẵch phƠn suy rởng Cõ hai loÔi tẵch phƠn suy rởng: (1) tẵch phƠn m hm dữợi dĐu tẵch phƠn cõ im giĂn oÔn vổ cên cừa tẵch phƠn v (2) tẵch phƠn m cên cừa tẵch phƠn l vổ hÔn Sỹ tỗn tÔi cừa cÊ hai loÔi tẵch phƠn phử thuởc sỹ tỗn tÔi cừa mởt giợi hÔn hoc nhiÃu giợi hÔn Tẵch phƠn suy rởng ữủc gồi l hởi tử náu mồi giợi hÔn liản quan tỗn tÔi, v phƠn ký náu mởt cĂc giợi hÔn khổng tỗn tÔi Náu hm dữợi dĐu tẵch phƠn f (t) liản tửc trản khoÊng [a, c) v cõ im giĂn oÔn vổ tÔi Ưu mút phÊi cừa khoÊng, thẳ ta nh nghắa tẵch phƠn cừa f (t) trản khoÊng [a, c) l c Z c−ε Z f (t)dt = lim a f (t)dt, a náu giợi hÔn tỗn tÔi Tữỡng tỹ, náu hm dữợi dĐu tẵch phƠn cõ im giĂn oÔn vổ tÔi Ưu mút trĂi cừa khoÊng, thẳ ta nh nghắa tẵch phƠn cừa f (t) tr¶n kho£ng (c, b] l Z b Z b f (t)dt = lim ε↓0 c f (t)dt, c+ε Luªn vôn ThÔc sắ toĂn hồc Tống Th Hỗng Ngồc náu giợi hÔn tỗn tÔi Náu hm dữợi dĐu tẵch phƠn cõ im giĂn oÔn vổ tÔi im c cừa khoÊng [a, b], thẳ ta nh nghắa Z b c Z f (t)dt = b Z f (t)dt + a f (t)dt, a c náu cÊ hai giợi hÔn mởt phẵa tỗn tÔi ởc lêp vợi Náu hm dữợi dĐu tẵch phƠn f (t) liản tửc trản khoÊng [c, +), thẳ ta nh nghắa tẵch phƠn cừa f (t) tr¶n kho£ng n y l +∞ Z b Z f (t)dt = lim f (t)dt, b→+∞ c c n¸u giợi hÔn tỗn tÔi Náu hm dữợi dĐu tẵch phƠn liản tửc trản khoÊng (, c], thẳ ta nh nghắa tẵch phƠn cừa f (t) trản khoÊng ny l Z c Z c f (t)dt = lim a→−∞ −∞ f (t)dt, a náu giợi hÔn tỗn tÔi Náu hm dữợi dĐu tẵch phƠn liản tửc trản khoÊng (, +), thẳ ta nh nghắa tẵch phƠn cừa f (t) trản khoÊng n y l Z +∞ Z c f (t)dt = −∞ Z f (t)dt + −∞ +∞ f (t)dt, c n¸u cÊ hai giợi hÔn mởt phẵa tỗn tÔi ởc lêp vợi Mởt tẵch phƠn cho trữợc cõ th l cÊ hai loÔi tẵch phƠn suy rởng ã GiĂ tr chẵnh Cauchy cừa tẵch phƠn Ta thĐy rơng náu hm dữợi dĐu tẵch phƠn cõ im giĂn oÔn vổ phƯn cừa cên tẵch phƠn hoc náu cên tẵch phƠn m rởng tợi vổ theo cÊ hai hữợng, thẳ sỹ tỗn tÔi cừa tẵch phƠn phử thuởc sỹ tỗn tÔi cừa hai giợi hÔn mởt cĂch ởc lêp Thêm chẵ Luên vôn ThÔc sắ toĂn hồc Tống Th Hỗng Ngồc náu khổng cõ giợi hÔn no hai giợi hÔn tỗn tÔi, mởt giợi hÔn ối xựng ỡn cõ th văn tỗn tÔi Cho tẵch phƠn cõ hm dữợi dĐu tẵch phƠn f (t) cõ im giĂn oÔn vổ c phƯn cừa cên tẵch phƠn, ta nh nghắa giĂ tr chẵnh Cauchy cừa tẵch phƠn cừa f (t) trản khoÊng [a, b] l b Z PV Z c−ε f (t)dt = lim b f (t)dt + ε↓0 a Z a f (t)dt , c+ náu giợi hÔn tỗn tÔi Cho tẵch phƠn cõ cên tẵch phƠn m rởng vổ theo cÊ hai hữợng, ta nh nghắa giĂ tr chẵnh Cauchy cừa tẵch phƠn vợi f (t) trản khoÊng (, +) l Z +∞ PV Z +a f (t)dt = lim a f (t)dt , a náu giợi hÔn tỗn tÔi Ta s viát P V phẵa trữợc cĂc tẵch phƠn nhữ trản CƯn ỵ rơng cÊ hai giợi hÔn ny ữủc xĂc nh bơng giợi hÔn ối xựng Giợi hÔn khổng ối xựng cõ th cụng tỗn tÔi, giĂ tr cừa nõ cõ th khĂc i X²t v½ dư minh håa sau Mët m°t, ta câ Z PV dt = lim ε↓0 t−1 Z 1−ε dt + t−1 dt = 1+ε t − Z M°t kh¡c, ta câ Z 1−2ε dt + t−1 Z dt = t − 1+ε Z 1+2ε 1+ε dt = ln t−1 Vi»c chån 2ε l bĐt ký Náu ta  chồn k, thẳ giĂ tr cừa tẵch phƠn l ln k im quan trồng Ơy l giĂ tr chẵnh cừa tẵch phƠn l mët gi¡ trà cư thº m ÷đc chån tø vỉ số cĂc giĂ tr cõ th Luên vôn ThÔc sắ toĂn hồc Tống Th Hỗng Ngồc Mởt vẵ dử khĂc minh hồa sỹ quan trồng cừa giợi hÔn ối xùng nh÷ sau Mët m°t, ta câ Z +∞ PV −∞ 2t dt = lim a→∞ + t2 Z +a −a 2t dt = 0, + t2 vẳ hm dữợi tẵch phƠn l l Mt khĂc, ta câ Z +2a −a 2t dt = + t2 Z +2a +a 2t + 4a2 dt = ln → ln 4, + t2 + a2 a → +∞ Khỉng câ g¼ °c bi»t và cĂch chồn 2a Ơy Náu ta  chồn ka, thẳ giĂ tr cừa tẵch phƠn l ln(k2) ã Tẵch phƠn Gamma Tẵch phƠn Gamma (hm Gamma) vợi bián phùc z = x + iy, (i2 = −1) ÷đc x¡c ành theo cæng thùc Z ∞ e−t tz−1 dt, Rez > Γ(z) = Mët sè cæng thùc cỡ bÊn cừa tẵch phƠn Gamma (z + 1) = zΓ(z), Γ(n + 1) = n!, n ∈ N, π Γ(z)Γ(z + 1) = , < Rez < 1, sin(πz) 1 √ 1.3.5 (2n + 1) √ Γ = π, Γ n + = π 2 2n ã Tẵch phƠn Beta Cõ mởt số nh nghắa tữỡng ữỡng cừa hm Beta B(p, q)(hm Beta) ữủc ành ngh¾a theo cỉng thùc Z B(p, q) = up−1 (1 − u)q−1 du, â p v q dữỡng tẵch phƠn tỗn tÔi Bơng php ời bián thổng thữớng ch B(p, q) = B(q, p) Luên vôn ThÔc sắ toĂn hồc Tống Th Hỗng Ngồc Náu ta t u = sin2(), thẳ tẵch phƠn trð th nh Z π/2 sin2p−1 (θ) cos2q−1 (θ)dθ B(p, q) = N¸u ta °t u = x/(1 + x), thẳ tẵch phƠn tr thnh Z B(p, q) = xp−1 dx (1 + x)p+q Ta câ thº chùng minh B(p, q) = Γ(p)Γ(q) , Γ(p + q) vỵi måi c¡ch chån p > v q > Vẵ dử, náu p + q = 1, thẳ ta câ h» thùc π B(p, − p) = Γ(p)Γ(1 − p) = sin(πp) Gi¡ trà Γ(1/2) = ữủc rút bơng cĂch t p = 1/2 1.2 Bián ời Mellin ã nh nghắa bián ời Mellin Gi£ sû f (t) li¶n tưc tr¶n kho£ng (0, ∞) v nõ thọa mÂn iÃu kiằn khÊ tẵch tuyằt ối Z ∞ tσ−1 |f (t)|dt < +∞, vỵi gi¡ trà phùc s = σ + iτ Ph²p bi¸n ời Mellin cừa f (t) ữủc nh nghắa bi Z F (s) = M{f (t)} = ∞ t s−1 Z f (t)dt = lim A→∞ A ts−1 f (t)dt