ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MINH THÚY TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG TRÌNH FREDHOLM VỚI NHÂN DẠNG CHẬP TRÊN KHOẢNG HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 NGUYỄN THỊ MINH THÚY TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG TRÌNH FREDHOLM VỚI NHÂN DẠNG CHẬP TRÊN KHOẢNG HỮU HẠN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn: TS Lê Huy Chuẩn LÍI CƒM ÌN º ho n th nh à t i luên vôn v kát thúc khõa hồc, vợi tẳnh cÊm chƠn th nh em xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu sc tợi trữớng Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản  tÔo iÃu kiằn cho em cõ mổi trữớng hồc têp tốt suốt thới gian em hồc têp tÔi trữớng Em xin gỷi lới cÊm ỡn tợi thƯy Lả Huy Chuân  tên tẳnh giúp ù em suốt quĂ trẳnh nghiản cựu v trỹc tiáp hữợng dăn em ho n th nh à t i luên vôn tốt nghiằp n y çng thíi, em xin b y tä láng c£m ìn tợi thƯy cổ khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, bÔn b  giúp ù v tÔo iÃu kiằn cho em suốt quĂ trẳnh hồc têp v ho n th nh luên vôn Em xin chƠn th nh cÊm ìn! H Nëi, ng y 28 th¡ng 11 n«m 2018 Hồc viản Nguyạn Th Minh Thúy Mửc lửc LI CƒM ÌN LÍI MÐ †U To¡n tû tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp L2(0, w) 1.1 X¥y düng to¡n tû nghàch £o 1.2 Sỹ tỗn tÔi v cĐu trúc cõa to¡n tû nghàch £o 14 1.3 Ph÷ìng trẳnh tẵch phƠn vợi vá phÊi c biằt .18 Phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp Lp(0, w) 21 2.1 Tẵnh chĐt toĂn tỷ tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp Lp(0, w) 2.2 Phữỡng trẳnh tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp 25 2.2.1Phữỡng trẳnh tẵch phƠn vợi vá phÊi c biằt 25 2.2.2Phữỡng trẳnh tẵch phƠn vợi vá phÊi khæng gian Wp2(0, w) 28 2.3 V½ dư ¡p dưng 32 K˜T LUŠN 38 21 LÍI MÐ †U Nhi·u v§n · toĂn hồc, cỡ hồc, vêt lẵ v cĂc ng nh kắ thuêt khĂc dăn án phữỡng trẳnh tẵch phƠn Mửc tiảu cừa luên vôn l tẳm hiu và phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp cõ dÔng µf (x) + w k(x − t)f (t)dt = φ(x), â µ l sè phùc v ∈k(x) L(0, w) nghiản cựu phữỡng trẳnh n y, ta s xt toĂn tỷ tẵch phƠn cõ dÔng d Sf = dx ∫w s(x − t)f (t)dt v x²t ph÷ìng trẳnh tẵch phƠn loÔi tữỡng ựng Sf = (x) Bơng cĂch chồn s(x) = x k(u)du + à+ (x > 0), ∫x k(u)du + µ−(x < 0), s(x) = = à+ + à, phữỡng trẳnh loÔi trản tr th nh phữỡng trẳnh Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp ban Ưu Nởi dung cừa luên vôn l trẳnh b y lÔi mởt số kát quÊ nghiản cựu phữỡng trẳnh Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp Bố cửc cừa luên vôn bao gỗm chữỡng: ã Chữỡng cừa luên vôn trẳnh b y tẵnh khÊ nghch cừa toĂn tû S khỉng gian L2 (0, w); c§u tróc cừa toĂn tỷ nghch Êo v xt phữỡng trẳnh tẵch phƠn khổng gian L2(0, w) vợi vá phÊi c biằt ã Chữỡng cừa luên vôn trẳnh b y và tẵnh chĐt cừa toĂn tỷ S khổng gian Lp(0, w), phữỡng trẳnh tẵch phƠn khổng gian W p (0, w) v ci cịng l mët v½ dử minh hồa Nởi dung cừa luên vôn ữủc trẳnh b y düa theo t i li»u tham kh£o [1] Chữỡng ToĂn tỷ tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp L2(0, w) 1.1 XƠy dỹng toĂn tỷ nghch Êo Trong chữỡng n y, ta nghiản cựu và tẵnh kh£ nghàch cõa to¡n tû S L2(0, w) vỵi toĂn tỷ S cõ dÔng Sf = d dx s(x − t)f (t)dt, f (x) ∈ L2(0, w), (1.1) â s(x ) thuëc L2(−w, w) g(x) ∫ w s(x− t)f = (t)dt v hm sè l mët h m sè li¶n tưc tuy»t èi To¡n tû S ữủc nh nghắa nhữ trản l toĂn tỷ tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng hiằu tẳm ữủc toĂn tỷ nghàch £o cõa to¡n tû S ta ph£i t¼m h m sè N1(x), N2(x) thäa m¢n SN1(x) = M (x), SN2(x) = 1, vợi l h m hơng bơng v M (x) =≤ s(x), nghàch £o T = S ữủc biu diạn qua h m số N1 (x) v N2 (x) x w Khi â, to¡n tỷ nh lỵ 1.1 Cho S l toĂn tỷ b ch°n L2(0, w) Khi â, to¡n tû S ÷đc biu diạn dữợi dÔng Sf = d w dx s(x, t)f (t)dt, â s(x, t) thuëc L2(0, w) vợi mội x cố nh Chựng minh Ta nh nghắa h m sè 1, ≤ t ≤ x, x = e (t) 0, x < t ≤ w Chữỡng ToĂn tỷ tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp L2(0, w) Náu f L2(0, w) thẳ Sf L2(0, w) Theo nh nghắa tẵch vổ hữợng L2(0, w) ta câ ∫x (Sf, ex) = (Sf )dt LÔi cõ (Sf, ex) = (f, Sex) (1.2) vợi S l toĂn tỷ liản hủp cừa toĂn tỷ S °t (1.3) S∗ex = s(x, t), ta ÷đc (f, S∗ex) w ∫ = s(x, t)f (t)dt (1.4) Tø (1.2) - (1.4) ta câ ∫w ∫ x (Sf )dt = (Sf, ex) = (f, S∗e x) = s(x, t)f (t)dt d Vªy Sf = □ ∫w dx t)f s(x, cõa Tø ành ngh¾a h m ex v ¯ng thùc (1.3) ta suy h» qu£ sau ¥y H» qu£ 1.1 H m sè s(x, t) cỉng thùc (1.1) câ thº ÷đc chån cho s(x, t) thc L2(0, w) vỵi méi x v s(0, t) = 0; ∫ w |s(x + ∆x, t) − s(x, t)| dt ≤ ||S|| |∆x| Ta k½ hi»u A l toĂn tỷ tẵch phƠn trản L2(0, w) xĂc ành bði ∫x Af = f (t)dt 0∫ i Khi õ, toĂn tỷ liản hủp A cõ dÔng (1.5) w A∗ f = −i x Ch÷ìng To¡n tû tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp L2(0, w) f (t)dt (1.6) Chữỡng ToĂn tỷ tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp L2(0, w) nh lỵ 1.2 Cho S l toĂn tỷ b chn vợi nhƠn vi phƠn dÔng (1.1) Khi õ, ta cõ biu diạn w (AS − SA )f =i ∗ (M (x) + N (t))f (t)dt, (1.7) â M (x) = s(x), N (x) = −s(−x), ≤ x ≤ w Chùng minh Tø (1.1), (1.5) v (1.6) ta câ s(x − t)f w x ∫ (t)dt = i d d ASf = A w ∫ dx ∫ x w = ∫ s(τ − (t)dt i t)f s(τ − t)f (t) dτ dτ w = ∫ s(x − t)f (t)dt − i i 0 ∫ws(−t)f (t)dt Γ ( °t − ρ + µ) +( u)ρ Γ(1 + ρ − µ) F (ρ, + ρ µ, ρ, u)(1 + β)) (2.45) Γ(1 + ρ) Bu(p, q) = ∫u (2.46) sp−1(1 − s)q−1ds Tø (2.45) suy F (p, − q, p + 1, u) = pu−pBu(p, q) Tø cæng thùc (2.47) v Γ(x + 1) = xΓ(x) Σ SαL1 = DΓ(µ) ta câ ∫u Γ(1 − ρ) ρ−µ tµ−ρ−1(1 − t)ρ−1dt(1 − β) uµ−ρ(µ − ρ)Γ(µ − (µ − ρ)u ρ) ∫1−u − (2.47) Σ + (1 u)ρ Γ(1 + ρ − µ) ρu−ρ ρΓ(ρ) tρ−1(1 − t)µ−ρ−1dt Σ =D ∫u − Γ(1 − ρ)Γ(µ) tµ−ρ−1(1 − t)ρ−1dt (1 β) Γ(µ − ρ) Σ ∫1−u Γ(1 + ρ − µ)Γ(µ) = (1 + β) Γ(ρ) t ρ−1 (1 − (2.48) t)µ−ρ−1dt Theo tẵnh chĐt cừa h m gamma (z)(1 − z) = v (2.41), ta câ (2.49) sin πz Γ(1 − ρ)(1 − β ) Γ(1 + ρ − µ) = (1 + β) Γ(µ − ρ) Γ(ρ) M ∫1−u (2.50) ∫1 t (1 − t) ρ−1 dt = µ−ρ−1 tµ−ρ−1(1 − t)ρ−1dt (2.51) u Tø (2.48), (2.50) v (2.51) ta câ SαL1 − ρ)Γ(µ) Γ(1 = D Γ(µ − ρ) (1 − β) u ∫ ∫1 tµ−ρ−1(1 − t)ρ−1dt + tµ−ρ−1 (1 − t)ρ−1 dt u Γ(1 − ρ)Γ(µ) − =D (1 β) ∫1 Γ(µ − ρ) tµ−ρ−1(1 − t)ρ−1dt (2.52) Tø (2.48), (2.51) (2.52) v ¯ng thùc ∫1 − µ−ρ−1 ρ−1 tρ)Γ(ρ)(1 t) Γ(1 − ρ)Γ(µ) =D ta câ ¯ng thùc sau dt = (2.53) Γ(µ − Γ(µ) (1 − β) Γ(µ − ρ)Γ(ρ) SαL1 Γ(µ − ρ) = D(Γ(1 − ρ)(1 − β)Γ(ρ)) π =D Γ(µ) (1 − β) sin = Vêy (2.43) úng vợi k = Ta chùng minh (2.43) vỵi ∫x 1−ρ Sα(xL1) = D( t + ρ−µ k = µ−1 (w−t) (x−t) Ta xt u dt(1) t1(wt)à(tx)à1dt(1+)) x ời bián x = wu, t = wuz tẵch phƠn thự nhĐt v tẵch phƠn thự hai ta ữủc x = wu, t = w[1 − (1 u)z] ∫ Sα(xL1) = Dw(uµ−ρ+1 z1−ρ(1 − zu)ρ−µ(1 − z)µ−1dt(1 − β) ∫1 +(1 − u)ρ (1 − z)µ−1zρ−µ(1 − (1 − u)z)1−ρdt(1 + β)) Tø (2.45) v (2.54) ta câ SαL1 = DwΓ(w)(uµ−ρ+1 Γ(2 − ρ) F (µ − ρ, 2− ρ, 2− ρ + µ, u)(1 β) Γ(2 − ρ + µ) − (2.54) Γ(1 + ρ − µ) +(1 u)ρ F (ρ − (2.55) − − Γ(1 + ρ) 1, + ρ µ, + ρ, u)(1 + β)) − Ta ành ngh¾a h» thùc Gauss nh÷ sau −a F (a, b, c, z) = F (a, b, c − 1, z) c−a−1 F (a + 1, b, c, z) + (2.56) c−a−1 Tø (2.55) v (2.56) ta kát luên SL1 = Dw(à)(uà+1 (2 ) (ρ µ)F (µ− ρ + 1, − ρ, ρ + µ, u) Γ(2 − ρ + − µ) − c−1 +(1 − ρ)F (ρ, + ρ − µ, + ρ, − u) + ρF (ρ − 1, + ρ − µ, ρ, − µ)(1 + β)) (2.57) Tø (2.50) ta câ Ta vi¸t lÔi (2.57) sau S L = Dw(à) à, u) Γ(1 + ρ − µ)(1 + β) Γ(2 − ρ)(1 − β) = − ρ)ρ(1 − ρ) Γ(1 + (à ) nhữ (2 )(1 ) (uà+1( −1 (2.58) F (µ − ρ + 1, − ρ, − ρ + Γ(µ − ρ) µ−ρ+1 F (µ − ρ, − ρ, − ρ + µ, µ)) + (1 − u)ρ( F (ρ, + ρ − µ, + ρ, + − u) µ−ρ ρ + F (ρ − 1, + ρ − µ, ρ, − u)) 1−ρ φ(ρ, µ, u) l biºu thùc ngo°c vuæng Ta sû dửng kẵ hiằu p dửng (2.46) v (2.47) ta viát lÔi (, à, u) nhữ sau (2.59) (2.59) (, µ, u) ∫ tµ−ρ−1(1 − t)ρ−2(u − t)dt = =− Γ(µ − ρ − 1)Γ(ρ − 1) Γ(µ − ρ)Γ(ρ − 1) +u Γ(µ) Γ(µ − 1) Theo (2.38) v (2.49) ta câ sin πρ sin πρ DΓ(2 − ρ).Γ(ρ − 1)(1 − β) = − π(1 = −1 1)(1 − β) = sin π(1 ρ) Theo (2.59) v (2.60) ta câL Sα(x − 1) = − Vêy úng vợi k = Tứ (2.36) v (2.53) ta thu ữủc w R= w ) x(à 1) + w(µ p) Γ(2 − ρ)Γ(ρ − (2.60) L1 (x)dx = 1−µ Γ(1 − ρ)Γ(1 + ρ − x−ρ(w x)ρ−µdx = wµ) − D Γ(2 − µ) D Theo (2.36), (2.37) ta câ (w − D x) ρ Q1(x, t) = − R(1 − µ) x ρ− µ (w − t) −ρ ρ− t µ (x + t − w) (2.61) °t s=u+w vo φ1(x, t) v tø (2.61) ta thu ÷đc 2w−|x−t| φ1 (x, t) = 2 ∫ Q x+ D = 2R(1 − µ)2 s+x−t s−x+t ,2 w−|x−t| ∫ (w + x − t)2 − u2 Σ ds Σ−ρ t Σρ−µ (w − x + t)2 − u2 udu x+t−w Tø â, ta x¥y düng dữợi dÔng toĂn tỷ ST = , W p T (lữu ỵ N2(x) = L1(x)) Vêy Chú ỵ: Ta ch tẳm ữủc cĂc h m số L vỵi i·u ki»n < α < v cừa phữỡng trẳnh (2.34) KT LUN Luên vôn  trẳnh b y nhỳng vĐn à sau và phữỡng trẳnh Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp: ã XƠy dỹng toĂn tỷ nghch Êo cừa toĂn tỷ tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp L2(0, w) ã Tẵnh chĐt cừa toĂn tỷ tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp Lp(0, w) ã GiÊi phữỡng trẳnh tẵch phƠn vợi nhƠn dÔng chêp p W (0, w) 38 T i li»u tham kh£o [1] Lev A Sakhnovich, Integral Equations with Difference Kernels on Finite Intervals, Birkhauser (2015) [2] Quèc Gia H Nởi (2001) TrƯn ực Long - PhÔm Ký Anh, GiĂo trẳnh GiÊi tẵch h m, NXB Ôi hồc [3] TrƯn ực Long - Nguyạn ẳnh Sang - Ho ng Quốc To n, GiĂo trẳnh GiÊi tẵch, Têp 1, v 3, NXB Ôi hồc Quốc Gia H Nởi (2005) 39 ...NGUYỄN THỊ MINH THÚY TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG TRÌNH FREDHOLM VỚI NHÂN DẠNG CHẬP TRÊN KHOẢNG HỮU HẠN Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn: TS... phữỡng trẳnh loÔi trản tr th nh phữỡng trẳnh Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp ban Ưu Nởi dung cừa luên vôn l trẳnh b y lÔi mởt số kát quÊ nghiản cựu phữỡng trẳnh Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp Bố cửc cừa luên... thuêt khĂc dăn án phữỡng trẳnh tẵch phƠn Mửc tiảu cừa luên vôn l tẳm hiu và phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm vợi nhƠn dÔng chêp cõ dÔng àf (x) + w k(x − t)f (t)dt = φ(x), â µ l sè phùc v ∈k(x) L(0,