SKKN Ứng dụng phương pháp lượng giác hóa vào giải một số bài toán đại số trong trường THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP L[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẠI SỐ TRONG TRƯỜNG THPT Người thực hiện: Trịnh Đình Chiến Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn) : Tốn THANH HỐ NĂM 2019 SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC Nội dung Trang Mục lục 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Các hàm số bản………………… 2.1.2 Một số biểu thức lượng giác miền giá tri 2.1.3 Phép đổi biến số………… 2.2 Cơ sở thực tiễn 2.3 Nội dung nghiên cứu 2.3.1 Dạng 2.3.2 Dạng 2.3.3 Dạng 11 2.3.4 Dạng 13 2.4 Kết nghiên cứu SKKN 15 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ…………………………………… Tài liệu kham khảo 16 18 SangKienKinhNghiem.net MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Là giáo viên dạy nhiều năm mơn tốn THPT, tơi gặp khơng trắc trở việc giảng dạy nhiều tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vơ tỉ, tích phân, số phức Vì tốn có nhiều cách giải khác nhau, cách giải thể khái niệm tốn học Trong cách giải khác đó, có cách giải thể tính hợp lí dạy học, có cách giải thể tính sáng tạo tốn học Phương pháp lượng giác hóa mang lại tính sáng tạo, ngắn gọn, dễ hiểu cho học sinh xử lí số tốn khó Chính tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là:”Ứng dụng phương pháp lượng giác hóa để giải số toán đại số trường THPT” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong đề tài tơi muốn hướng dẫn học sinh giải số toán “ mắt” lượng giác Từ tốn khơng chứa yếu tố lượng giác, phép đổi biến ta chuyển toán lượng giác, cách giải gọi phương pháp lượng giác hoá Qua phương pháp giúp học sinh phát triển tư sáng tạo, tư logic tổng quát hóa toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài áp dụng phần giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ, số phức Phương pháp dành cho học sinh ôn thi học sinh giỏi ôn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Ở nêu phương pháp xây dựng sở lí thuyết thơng qua số tốn cụ thể phương trình, có hệ phương trình, số phức Trong ví dụ tơi cố gắng phân tích để dẫn dắt người đọc hiểu áp dụng phương pháp lượng giác hóa để giải Bên cạnh tơi cịn nêu số tập để người đọc rèn luyện thêm kiến thức SangKienKinhNghiem.net NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Việc giảng dạy ơn luyện giúp học sinh giải toán liên quan đến lượng giác hố, địi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng dạng toán, sử dụng phương pháp logic, biết phân biệt phương pháp ngộ nhận logic Vấn đề chỗ tốn thích hợp cho việc lượng giác hố Những kiến thức liên quan: 2.1.1 Các hàm số bản: *) Hàm số: y sin x , y cos x Miền xác định: R Miền giá trị: 1;1 Chu kì: 2 *) Hàm số: y tan x Miền xác định: x R : x k , k Z Miền giá trị: R Chu kì: *) Hàm số: y cot x Miền xác định: x R : x k , k Z Miền giá trị: R Chu kì: 2.1.2 Một số biểu thức lượng giác miền giái trị: 4 4 *) Nếu A sin x cos x cos( x ) sin( x ) ta có A *) Nếu B cos x sin x cos( x ) sin( x ) ta có B *) Nếu C sin x cos x ta có C SangKienKinhNghiem.net 2.1.3 Phép đổi biến số: *) Nếu x k , (k 0) ta đặt x k cos , 0; x k sin , ; 2 *) Nếu x R ta đặt x tan , ; 2 c a *) Nếu x, y thoả mãn điều kiện a x b y c , (a, b, c 0) ta đặt x sin , y c cos , 0;2 b *) Nếu x, y, z thoả mãn x y z xyz xy yz zx ta đặt x tan , 0; y tan , z tan với , , ; 2 ; 2 *) Một số biểu thức (dấu hiệu) thường gặp: Biểu thức Cách đặt x a tan x2 a2 ; 2 (hoặc x a cos ) x ax ax ax ax (hoặc 0; ) 0; \ a cos a (hoặc 0; ) x a sin x2 a2 ; 2 (hoặc x a cot ) a2 x2 Miền giá trị biến 2 a sin x a cos 2 ; \ 0 2 R R SangKienKinhNghiem.net ( x a )(b x) x y x y xy xy x a (b a ) sin x tan y tan ; 2 , 2.2 Cơ sở thực tiễn Trong trường THPT có nhiều đối tượng học sinh, cơng việc giảng dạy cho đa số học sinh tiếp thu, hiểu vận dụng giải tốn khơng phải cơng việc đơn giản giáo viên Để giảng dạy nâng cao kết học tập học sinh, thực nhiều biện pháp từ giáo dục, động viên giúp đỡ khơng thể thiếu phương pháp giảng dạy khoa học lôgic, tạo động lực để học sinh say mê, tìm tịi, nghiên cứu, sở khoa học mà người thầy gieo Trong biện pháp có vấn đề liên quan đến đề tài mà tơi trình bày đề tài có nhấn mạnh đến số dạng tổng quát dành cho học sinh giỏi, khơng phải để dạy lớp có nhiều đối tượng học sinh Tuỳ thuộc vào yêu cầu rèn luyện, ôn tập cho học sinh mà người thầy linh hoạt giải 2.3 Nội dung nghiên cứu 2.3.1 DẠNG 1: Trong có chứa biểu thức dạng a x Phương pháp: Ta đặt x a sin , với ; (hoặc x a cos , với 0; ) 2 Ví dụ 1: Giải phương trình: x 3x x Nhận xét: Trong phương trình có xuất dấu hiệu a x với a Giải: Điều kiện: x x (*) Với điều kiện (*) ta đặt x cos , 0; (**) Khi phương trình chuyển dạng: SangKienKinhNghiem.net (**) cos cos cos cos 3 sin cos 3 sin cos 3 cos 2 3 k 2 3 k 2 x cos k 8 (**) 5 5 x cos 8 k 3 x cos 3 4 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x cos , x cos 5 3 , x cos Lưu ý: Ta đặt x sin , ; 2 Ví dụ 2: Giải phương trình: x x(1 x ) Nhận xét: Trong phương trình có xuất dấu hiệu a x với a Giải: Điều kiện: x x (*) Với điều kiện (*) ta đặt x sin , ; 2 Khi phương trình chuyển dạng: sin sin (1 sin ) cos sin (1 cos ) cos sin sin 2 cos sin 3 cos 2 cos x 3 cos (1 sin ) 2 3 x sin 2 x Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x SangKienKinhNghiem.net Lưu ý: Ta đặt x cos , 0; Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 3x 1 1 x 1 x2 Giải: ĐK: x 1 x Ta đặt x cos t , t 0; (**) Khi BPT chuyển dạng: cot t cos t cot t cot t cos t cot t 1 cos t cos t sin t 0 t t 2 cos t sin t 4 (**) 2 x 1 x Vậy tập nghiệm BPT T 1; ;1 x y Ví dụ 4: Giải hệ phương trình y x Giải: ĐK: x, y x sin với , ; 2 y sin Ta đặt Khi hệ đưa dạng: sin cos sin cos sin cos sin cos sin( ) x y x y SangKienKinhNghiem.net Vậy hệ có nghiệm (0;0), (1;1) Ví dụ 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm: x y 3mx y 5m (1) Giải: ĐK: x Ta đặt x cos t , t 0; Khi từ (1) có dạng: 3m cos t cos t 5m cos sin t 5m (2) Để hệ (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn sin t (3m) (5m) m sin t 3m cos t Vậy m BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Giải PT, BPT, Hệ PT sau: 1) x (1 x ) x 2(1 x ) ĐS: PT có nghiệm: x 1 2 1 ; x 2 2) x (1 x) (1 x) x ĐS: PT có nghiệm: x 3) 1 2 x 1 x2 4) 3x 1 1 x 1 x2 5) x x SangKienKinhNghiem.net 2 x y 6) 2 y x 2.3.2 DẠNG 2: Trong có chứa biểu thức dạng Phương pháp: Ta đặt x (hoặc a x2 a2 , với 0; \ a cos 2 a , với ; \ 0) sin 2 Ví dụ 6: Giải phương trình x x x 1 2 Nhận xét: Trong phương trình có xuất dấu hiệu x a với a Giải: x Điều kiện: x x Với điều kiện (*) ta đặt x (*) , 0; cos 2 Khi phương trình chuyển dạng: cos 1 cos 2 2 2 sin cos 2 sin cos cos sin 1 cos Đặt u sin cos (điều kiện u ), ta có sin cos u2 1 Kho phương trình có dạng: u u (u 1) 2u u u (l ) 2 sin cos sin( ) k 2 x Vậy phương trình có nghiệm: x SangKienKinhNghiem.net Lưu ý: Ta đặt x , 0; sin 2 Ví dụ 7: Giải bất phương trình x x x2 1 HD: x x 1 Điều kiện: x (*) Với điều kiện (*) ta đặt x , t 0; \ cos t 2 Bất phương trình trở thành cos t 1 cos t cos t sin t (2) Xét hai trường hợp: TH1: t 0; 2 Phương trình (2) có dạng: 1 2(sin t cos t ) sin t cos t cos t sin t (2’) u2 1 Đặt u sin t cos t (u ; ) sin t cos t BPT (2’) trở thành: 2u u2 1 u TH2: t ; 2 Ví dụ 8: Giải bất phương trình x x 1 HD: ĐK: x 10 SangKienKinhNghiem.net Ta đặt x , t 0; \ cos t 2 (**) Khi BPT có dạng: cos t 1 cos t sin t cos t Xét hai trường hợp: TH1: t 0; 2 TH2: t ; 2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1) Giải phương trình: x x x2 1 35 12 5 ĐS: Phương trình có nghiệm: x ; x 2) Giải bất phương trình: x x x 1 35 12 2.2.3 DẠNG 3: Trong có chứa biểu thức dạng x2 a2 Phương pháp: Ta đặt x a tan t , với t ; 2 (hoặc x a cot t , với t 0; ) Ví dụ 9: Giải phương trình x2 1 x x2 1 Nhận xét: Trong phương trình có xuất dấu hiệu x a với a Giải: ĐK: x R Đặt x tan t , với t ; 2 11 SangKienKinhNghiem.net Phương trình cho trở thành: tan t tan t tan t sin t 1(l ) sin t sin t sin t 2 6 Với sin t t x tan( ) Vậy phương trình có nghiệm x 3 x Ví dụ 10: Giải bất phương trình x 3x Giải: ĐK: x R Đặt tan t , với t ; x 2 2 Bất phương trình cho trở thành: tan t tan t tan t x sin t sin t 1 sin t tan t 32 3 Vậy BPT có nghiệm x R Ví dụ 11: Với a , giải bất phương trình x2 a2 x 2a x2 a2 Nhận xét: Có dạng ví dụ 10 Giải: ĐK: x R Đặt x a tan t , với t ; 2 Bất phương trình cho trở thành: a tan t a a tan t 2a a tan t a 12 SangKienKinhNghiem.net sin t sin t a 1 sin t tan t x 3 a Vậy BPT có nghiệm đứng x BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1) Giải phương trình: x x 11 31 ĐS: x 5 2) Giải bất phương trình: 2( x x a ) 2 5a x2 a2 2.2.4 DẠNG 4: Nếu x,y thỏa mãn điều kiện a x b y c , (a, b, c 0) ta đặt x c c sin , y cos , 0;2 a b Ví dụ 12: Cho phương trình x x m (với m tham số) (1) a) Tìm điều kiện m để phương trình (1) có nghiệm b) Giải phương trình m Giải: x x 1 x ĐK: x cos t Ta thấy ( x ) ( x ) , nên ta đặt , với t 0; 2 x sin t m Khi phương trình trở thành: cos t sin t m cos(t ) a) Điện để (1) có nghiệm (1’) có nghiệm 1 m 1 m b) Khi m , phương trình cho trot thành: cos(t ) (1’) t cos(t ) cos (do t 0; ) 4 2 t 13 SangKienKinhNghiem.net *) Với t x x *) Với t x x Vậy m phương trình (1) có nghiệm x , x Lưu ý: Bài tốn ta giải phương pháp khác Ví dụ : Giải bất phương trình x x x 1 x 1 x 1 x ĐK: (*) Với điều kiện (*) ta đặt x cos t , với t 0; Khi bất phương trình chuyển dạng: cos t cos t cos t cos t cos t t cos t cos( ) 2 t 1 x Vậy bất phương trình có nghiệm x Ví dụ 13 : Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm: a x a x a Giải: a a ĐK: a x a x a a x (*) Với điều kiện (*) ta đặt x a cos t , với t 0; (**) Khi bất phương trình chuyển dạng: t t t a a a cos t a a cos t a cos t 2a (cos sin ) a cos( ) 2 Từ (**) ta được: t t cos( ) 4 2 Vậy để bất phương trình có nghiệm điều kiện là: a 1 a 14 SangKienKinhNghiem.net Ví dụ 14: Cho số phức z thỏa mãn z 2i Tìm mơđun lớn số phức z 2i A 26 17 B 26 17 C 26 17 Giải: z x yi ; x ¡ ; y ¡ Gọi D 26 17 z 2i x y i Ta có: z 2i x 1 y 2 Đặt x sin t ; y 2 cos t ; t 0; 2 z 2i 1 sin t 4 cos t 26 sin t cos t 26 17 sin t ; ¡ 2 26 17 z 2i 26 17 z 2i max 26 17 Chọn đáp án A Ví dụ 15: Cho số phức z thoả mãn z 4i Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z 2 z i Tính mơđun số phức w M mi A w 2315 B w 1258 C w 137 D w 309 Giải 2 Đặt z x yi Ta có P x y x y 1 x y Mặt khác z 4i x 32 y 2 Đặt x sin t , y cos t Suy P sin t cos t 23 Ta có 10 sin t cos t 10 Do 13 P 33 M 33 , m 13 w 332 132 1258 Chọn B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1) Giải bất phương trình: x x x ĐS: x 2) Tìm a để BPT sau có nghiệm: a x a x a ĐS: a 15 SangKienKinhNghiem.net 3) Cho số phức z thỏa mãn z 2i Tìm mơđun nhỏ số phức z i ĐS: 2.3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Qua trình giảng dạy thấy học sinh giải toán thuộc dạng cách nhanh hơn, linh hoạt phương pháp lượng giác hóa Thực tế, nhiều năm liền may mắn giảng dạy lớp nâng cao có nhiều đối tượng học sinh khá, giỏi Vào tiết luyện tập có việc lồng ghép phương pháp lượng giác háo để học sinh giải tập nâng cao nhằm em thu thập thên kiến thức kinh nghiệm để áp dụng kì thi đại học, cao đẳng Năm học 2018 – 2019 phân dạy mơn tốn lớp 12C6, 12C7 trường THPT Hàm Rồng (là lớp chọn theo khối A1 nhà trường) Kết kiểm tra nhóm học sinh (có học lực từ TB trở lên) cuối năm lớp 12 chủ đề: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vơ tỉ, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô-đun số phức thu kết sau: Sĩ Giỏi số SL TL% 20 35,0% 10 50,0% 10,0% 5,0% Nhóm 20 10,0% 45,0% 35,0% 10,0% Nhóm Nhóm1 Khá SL TL% Trung bình Yếu SL SL TL% TL% Nhóm 1(Được dạy phương pháp lượng giác hóa): học sinh lớp 12C6 Nhóm 2(khơng dạy phương pháp lượng giác hóa): học sinh lớp 12C7 KẾT LUẬN-KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Với kết nghiên cứu đạt được, thành công việc hướng dẫn, bồi dưỡng đối tượng hoc sinh khá, giỏi Tuy nhiên , để giải tốn phương pháp lượng giác hóa en học sinh cần phải nắm vững công thức LG giải phương trình, BPT lượng giác 16 SangKienKinhNghiem.net 3.2 Kiến nghị: Trong thời gian tới, có điều kiện mở rộng nghiên đề tài Trên phương pháp giải phương trình, BPT, hệ phương trình vơ tỉ, tìm GTLN, GTNN mơ-đun số phức phương pháp lượng giác hóa việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Tuy nhiên, đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót cần bổ sung Tơi mong góp ý quý đồng nghiệp để SKKN tơi hồn thiện Xin trân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Thanh hóa, ngày 25 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Trịnh Đình Chiến 17 SangKienKinhNghiem.net TÀI LỆU THAM KHẢO Phương pháp giải toán – Lê Hồng Đức (chủ biên) Phương trình bất phương trình – Phan Huy Khải Giải tích đại – Vũ Tuấn (3 tập) Một số số báo “ Toán học tuổi trẻ” 18 SangKienKinhNghiem.net DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Trịnh Đình Chiến Chức vụ đơn vị cơng tác: Giáo viên TT Tên đề tài SKKN Kết Năm học Cấp đánh giá đánh giá đánh giá xếp loại xếp loại xếp loại (A, B, C) Phát sửa chữa sai Sở giáo dục đào lầm học sinh giải C 2013-2014 B 2015-2016 tạo hóa tốn tổ hợp Một số phương pháp giải tốn Sở giáo dục đào hình học khơng gian trường tạo hóa THPT 19 SangKienKinhNghiem.net ... toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vơ tỉ, tích phân, số phức Vì tốn có nhiều cách giải khác nhau, cách giải thể khái niệm tốn học Trong cách giải khác đó, có cách giải. .. cách giải gọi phương pháp lượng giác hoá Qua phương pháp giúp học sinh phát triển tư sáng tạo, tư logic tổng qt hóa tốn 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài áp dụng phần giải phương trình, hệ phương. .. TỰ: 1) Giải phương trình: x x x2 1 35 12 5 ĐS: Phương trình có nghiệm: x ; x 2) Giải bất phương trình: x x x 1 35 12 2.2.3 DẠNG 3: Trong có chứa biểu thức dạng x2 a2 Phương