Thông tin tài liệu
S— GD& T NINH B NH TR×˝NG THPT CHUY N L×ÌNG V N TƯY S NGKI N ÀNH L MIQUEL V MáT Să B IT P PDệNG F A E M B D C C¡c t¡c gi£: Nguy„n Tr÷íng Sìn TŒ ìn cỉng t¡c - Bịi Thà Mÿ N÷ìng : ToĂn - Tin : THPT Chuyản Lữỡng Vôn Tửy Ninh B…nh, th¡ng n«m 2019 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MƯC LƯC A T¶n s¡ng ki‚n, l¾nh vüc ¡p dưng Nºi dung s¡ng ki‚n Hi»u qu£ kinh t‚ v x¢ hºi dü ki‚n t ữổc iãu kiằn v khÊ nông Ăp dửng nh l Miquel v mt s tnh chĐt liản quan T‰nh ch§t T‰nh ch§t T‰nh ch§t T‰nh ch§t T‰nh ch§t ( ành l‰ Emelyanov) T‰nh ch§t ( ành l‰ Mannheim) T‰nh ch§t T‰nh ch§t T‰nh ch§t B Mt s b i toĂn liản quan tợi i”m Miquel C B i t“p tü luy»n D Hữợng dÔn giÊi E Lới cÊm ỡn v t i li»u tham kh£o LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MˆU M2 C¸NG H`A X H¸I CHÕ NGH A VI T NAM ¸CL P-TÜDO-H NHPHĨC ÌNY UC UC˘NGNH NS NGKI N K‰nh gßi: Sð gi¡o dưc v o to Ninh Bnh Chúng tổi gỗm: TT Hồ v tản Ng y thĂng nôm sinh Nguyn Trữớng Sìn Bịi Thà Mÿ N÷ìng 1983 1978 Chøc vư Gi¡o vi¶n Gi¡o vi¶n Tr…nh º chuy¶n T¿ l» (%) âng mæn gâp v o vi»c t⁄o s¡ng ki‚n ⁄i hồc 60% Thc sắ 40% Tờn sỏng kián, lnh vüc áp dưng L nhâm t¡c gi£ • nghà x†t cổng nhn sĂng kin: NH L MIQUEL V MáT Să B I T P P DƯNG L¾nh vüc ¡p dưng: Gi£ng d⁄y h…nh håc THCS, THPT Chuy¶n Nëi dung sỏng kián Hnh hồc sỡ cĐp l mt phƠn mổn rĐt quan trồng chữỡng trnh trung hồc ph thổng Và àp ca nõ 'n chứa nhng im, ữớng thflng, ữớng trặn, gõc m mun cÊm nhn ta cƒn ph£i câ c¡i nh…n tinh t‚, mºt tr‰ t÷ðng t÷ỉng phong phó H…nh håc gióp ng÷íi ta câ c¡i nh…n tŒng qu¡t, s¥u rºng hìn, suy lu“n ch°t ch‡ v t÷ s¡ng t⁄o Trong c¡c k… thi chån håc sinh giäi c¡c c§p THCS, THPT c§p t¿nh, c§p QuŁc gia,c§p khu vüc, c§p quŁc t‚, c¡c b i toĂn vã Hnh hồc thữớng õng vai trặ quan trång Chóng ta câ th” l m quen nhi•u d⁄ng b i toĂn Hnh hồc, bit nhiãu phữỡng phĂp giÊi, nh÷ng cơng câ b i ch¿ câ mºt c¡ch gi£i nhĐt Mỉi gp mt b i toĂn mợi li phÊi suy nghắ tm cĂch giÊi mợi Sü phong phó a d⁄ng cıa c¡c b i to¡n Hnh hồc luổn l sỹ hĐp dÔn i vợi mỉi gi¡o vi¶n, håc sinh giäi y¶u to¡n Gi£i ph¡p thữớng l m: CĂc b i toĂn vã nh l n y th÷íng khỉng câ ho°c câ th… ríi r⁄c, khổng hằ thng Nhữổc im: Kin thức vã nh l Miquel xuĐt hiằn nhiãu ã thi hồc sinh giäi c§p t¿nh, c§p khu vüc, c§p QuŁc gia ” ⁄t ÷ỉc i”m kh¡ giäi, håc sinh cƒn ÷ỉc r–n luy»n l m b i t“p ƒy ı v s¥u hìn Nh÷ng s¡ch b i t“p gi¡o khoa hi»n h nh, sĂch t i liằu chuyản chữa Ăp ứng ữổc y¶u cƒu n y LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi so⁄n gi£ng, gi¡o vi¶n b›t buºc phÊi tham khÊo rĐt nhiãu t i liằu t nhiãu phữỡng tiằn, nhĐt l i vợi nhng i tữổng hồc sinh luy»n thi ⁄i håc v thi håc sinh giäi cĂc cĐp, õ mĐt rĐt nhiãu thới gian v cỉng søc, tŁn k†m nhi•u ti•n b⁄c Do b i thiu tnh hằ thng cặn hồc sinh chữa kắ nông v kinh nghiằm hằ thng v phƠn lo⁄i ki‚n thøc n¶n c¡c em khâ câ th” hi”u ÷æc mºt c¡ch bao qu¡t, ƒy ı c¡c d⁄ng b i t“p v• ành l‰ Miquel ” kh›c phưc nhœng h⁄n ch‚ tr¶n, vi»c bi¶n so⁄n mºt h» thŁng b i t“p v• ành l‰ Miquel mºt c¡ch khoa håc, bao chũm ữổc tĐt cÊ cĂc kin thức GiÊi phĂp mợi cÊi tin: -Mổ tÊ bÊn chĐt giÊi phĂp mợi: Nhõm tĂc giÊ xƠy dỹng l rĐt logic, a d⁄ng, phong phó, th” hi»n ki‚n thøc bao chịm tł cì b£n ‚n phøc t⁄p, tł d„ ‚n khâ, phị hổp vợi trnh nhn thức ca mồi i tữổng hồc sinh, cõ th d nh cho nhiãu i tữổng hồc sinh t ngữới mợi hồc n nhng hồc sinh dü thi håc sinh giäi QuŁc gia H» thŁng b i lỹa chồn ữa v o ã t i l b i tnh toĂn, ữổc phƠn loi theo møc º nh“n thøc: B i t“p cì b£n cho mồi i tữổng; b i nƠng cao d nh cho håc sinh kh¡, giäi; b i t“p hay v khâ d nh cho håc sinh giäi æn luy»n thi håc sinh giäi QuŁc gia Trong mØi d⁄ng b i theo møc º nh“n thøc, b i t“p ÷ỉc sp xp theo tng ch ã vợi mức ki‚n thøc -T‰nh mỵi, t‰nh s¡ng t⁄o cıa gi£i ph¡p: Tnh sĂng to trữợc ht ữổc th hiằn tnh mợi ca giÊi phĂp  nảu trản, ỗng thới nõ cặn ữổc th hiằn sƠu hỡn hữợng dÔn phữỡng phĂp giÊi mỉi b i cử th iãu n y s¡ch b i t“p gi¡o khoa v t i li»u tham kh£o ch÷a l m ÷ỉc C¡c b i t“p ÷ỉc nhâm t¡c gi£ tr…nh b y bng tỹ lun t d tợi khõ tông khÊ nông trnh b y cho hồc sinh nhĐt l HSG QuŁc gia Hi»u qu£ kinh t¸ xã hëi dỹ kián Ôt ủc Hiằu quÊ kinh t: Qua ỵ kin nhn xt ca hồc sinh, ca ỗng nghiằp ¢ sß dưng s¡ng ki‚n n y l m t i li»u tham kh£o håc t“p v nghi¶n cøu, hi»u qu£ kinh t‚ m s¡ng ki‚n mang l⁄i l r§t lợn cử th l : - Tit kiằm ữổc nhiãu thíi gian v cỉng søc t…m tỈi t i li»u cıa gi¡o vi¶n v håc sinh gi£ng d⁄y v hồc mổn ToĂn - Tit kiằm ữổc nhiãu chi ph‰ mua t i li»u, s÷u tƒm t i li»u Tit kiằm ữổc tiãn thy huĐn cho i tuy”n håc sinh giäi QuŁc gia Hi»u qu£ x¢ hºi: SĂng kin n y  ữổc tĂc giÊ trin khai thüc nghi»m cho håc sinh chuy¶n To¡n, håc sinh ỉn thi i hồc nhng nôm gn Ơy ca trữớng THPT chuyản Lữỡng Vôn Tửy Hiằu quÊ m sĂng kin n y vợi cĂc chuyản ã kin thức khĂc na mang li vã mt giĂo dửc, x hi trữợc ht l k‚t qu£ thi ⁄i håc, thi håc sinh giäi cĂc cĐp ca hồc sinh Trữợc thỹc hiằn sĂng ki‚n, c¡c k‚t qu£ thi cơng t÷ìng Łi cao, nh÷ng tł thüc hi»n s¡ng ki‚n c¡c k‚t qu£ thi l vữổt tri hỡn rĐt nhiãu iÃu kiằn kh£ áp dưng - i•u ki»n ¡p dưng: Hồc sinh cn say mả vợi mổn hnh hồc, cõ t i li»u H…nh håc c¡c c§p v nh§t l t i liằu chuyản toĂn lợp 10, 11 - KhÊ n«ng ¡p dưng: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com S¡ng ki‚n l mºt t i li»u tham kh£o rĐt hu ch cho mồi i tữổng hồc sinh v gi¡o vi¶n håc t“p, nghi¶n cøu v gi£ng d⁄y mỉn To¡n Hi»n nay, s¡ng ki‚n ang l mºt t÷ li»u tham kh£o r§t cƒn thi‚t v khỉng th” thi‚u cıa hồc sinh v giĂo viản Chuyản ToĂn trữớng THPT chuyản Lữỡng Vôn Tửy SĂng kin tip tửc m rng v ph¡t tri”n ti‚p nhœng n«m håc sau Danh s¡ch nhng ngữới  tham gia Ăp dửng thò hoc Ăp dửng sĂng kin ln u TT Hồ v tản Nôm sinh Nìi cỉng t¡c Chøc vư Tr…nh Nºi dung º cỉng vi»c hØ chuy¶n trỉ mỉn Nguy„n B‰ch Ngåc 1976 THPT Chuy¶n Gi¡o vi¶n ⁄i håc D⁄y nºi dung Lữỡng Vôn Tửy nh l Miquel Ngổ Th Hoa 1979 THPT Chuyản GiĂo viản Thc sắ Dy ni dung Lữỡng Vôn Tửy nh l Miquel Phm ức Tũng 1983 THPT Chuyản GiĂo viản Thc sắ Dy ni dung Lữỡng Vôn Tửy nh l Miquel Chúng tổi xin cam oan måi thỉng tin n¶u ìn l trung thüc, óng sü th“t v ho n to n chàu tr¡ch nhiằm trữợc phĂp lut Ninh Bnh, ng y 15 thĂng n«m 2019 X CNH NCÕAL NH O ÌN VÀ Cè S Ngữới np ỡn (Kỵ v ghi rê hồ tản) Nguyn Trữớng Sỡn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHƯ LƯC A ĐÀNH LÍ MIQUEL VÀ MËT SÈ TÍNH CH‡T LIÊN QUAN B i to¡n Cho tam gi¡c ABC C¡c i”m D; E; F kh¡c A; B; C v theo thø tü thuºc c¡c ÷íng thflng BC; CA; AB Khi õ: a CĂc ữớng trặn (AEF ); (CDE); (BDF ) i qua mt im b CĂc ữớng trặn (AEF ); (CDE); (BDF ); (ABC) còng i qua mºt i”m v ch¿ E; F; D thflng h ng F A E M B Chùng minh a D C Gåi M l giao i”m thø hai cıa (BDF ); (CDE) Ta th§y: (ME; MF) (ME; MD) + (MD; MF) (CE; BC) + (BC; BF ) (CE; CD) + (BD; BF) (AE; AF ) (mod ) V“y M thuc ữớng trặn (AEF ) iãu õ cõ nghắa l cĂc ữớng trặn (AEF ); (CDE); (BDF ) b i qua mºt i”m Theo phƒn a, ta câ: (AEF ); (CDE); (BDF ) còng i qua i”m M M°t kh¡c: (DE; DF) (DE; CE) + (CA; AB) + (BF; DF) (MB; M C) (AB; AC) (mod ) V“y c¡c iãu kiằn sau tữỡng (MD; MC) + (CA; AB) + (BM; DM) ữỡng: CĂc ữớng trặn (AEF ); (CDE); (BDF ); (ABC) còng i qua mºt i”m M (ABC) (MB; MC) (AB; AC) (mod (MB; MC) (AB; AC) ) (mod ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (DE; DF ) (mod ) DE DF D; E; F thflng h ng Chú ỵ Khi D; E; F khổng thflng h ng, M ÷ỉc gåi l i”m Miquel cıa tam gi¡c ABC v c¡c i”m D; E; F Khi Khi D; E; F thflng h ng, M ÷ỉc gåi l i”m Miquel cıa tam gi¡c ABC v ÷íng thflng DEF Mºt ph¡t bi”u kh¡c nh÷ sau: Cho bŁn ÷íng thflng t 1; t2; t3; t4 ỉi mºt c›t nhau, khổng cõ ba ữớng n o ỗng quy Gồi cijk ln lữổt l ữớng trặn ngoi tip tam giĂc t⁄o bði c¡c ÷íng thflng t i; tj; tk(1 i < j < k 4) Khi õ cĂc ữớng trặn cijk ỗng quy Tớnh chĐt Cho tứ giĂc to n phn ABCDEF Khi õ ữớng trặn ngoi tip cĂc tam giĂc ABF; DCF; BCE; ADE ỗng quy Gåi M l giao i”m thø hai cıa hai ÷íng trỈn ngo⁄i ti‚p c¡c tam gi¡c ABF Chùng minh (BA; BC) (mod ) v (ME; MA) (F E; F A)(mod ) v ADE Khi â ta câ: (MA; M C) E A M D B C F Suy ra: (ME; MB) (ME; MA) + (MA; MB) (CE; DA) + (DA; CB) (DE; DA) + (FA; FB) (CE; CB) (mod ) Do õ, ữớng trặn ngoi tip tam giĂc CBE i qua i”m M Chøng minh t÷ìng tü ta cơng suy ữổc ữớng trặn ngoi tip cĂc tam giĂc CDF i qua im M Nhên xột Trong trữớng hæp °c bi»t, tø gi¡c ABCD nºi ti‚p th… ba i”m M; E; F thflng h ng v M ch‰nh l h…nh chi‚u cıa G ( giao i”m cıa BD v AC) l¶n EF °c bi»t l MG l ph¥n gi¡c cıa LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com BMÖD; AMCÖ v O; G; M thflng h ng E M C G B F A D O Chùng minh Do c¡c tø gi¡c EMAD v CMF D nºi ti‚p n¶n (ME; MF) (ME; MD) + (MD; MF) 0; (mod ) (AE; AD) + (CD; CF) Suy E; M; F thflng h ng L⁄i câ: (MD; MB) 2: (AD; AE) (MD; ME) + (ME; MF) + (MF; MB) (MB; MD) ; (mod ) V“y tø gi¡c OBMD nºi ti‚p Suy OMÖB = ODBÕ = OBDÕ = OMÖD ) OM?EF Theo ành l‰ Brocard ta l⁄i câ: OG?EF Tł â suy MG l ph¥n gi¡c cıa BMƯD; AMCƯ v O; G; M thflng h ng Tớnh chĐt TƠm ca cĂc ữớng trỈn ngo⁄i ti‚p c¡c tam gi¡c CBE; CDF; ADE; ABF v im Miquel M thuc mt ữớng trặn ữớng trặn n y ữổc gồi l ữớng trặn Miquel ca tứ giĂc to n phn Trữợc chứng minh tnh ch§t n y, tỉi xin nh›c l⁄i ành l‰ £o vã ữớng thflng Simson: Nu h nh chiu ca mt i”m M tr¶n c¡c c⁄nh cıa mºt tam gi¡c thflng h ng th im M nm trản ữớng trặn ngoi ti‚p cıa tam gi¡c â Gåi O1; O2; O3; O4 ln lữổt l tƠm ca cĂc ữớng trặn ngoi tip c¡c tam Chùng minh gi¡c EAD; EBC; CDF; ABF D thĐy O1O3; O4O3; O4O1 ln lữổt l cĂc ÷íng trung trüc cıa MD; M F; MA Gåi H; K; L ln lữổt l hnh chiu ca M lản c¡c ÷íng thflng O O ; O O ; O O D„ th§y ba i”m H; L; K thflng h ng Do õ theo nh l Êo vã ữớng thflng Simson ta suy M thuc ữớng trặn ngoi ti‚p tam gi¡c O1O4O3 Chøng minh t÷ìng tü, ta cơng cõ M thuc ữớng trặn ngoi tip tam giĂc O2O3O4 134341 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A G F EJ I R O C B Q X N PK M D Gåi G l giao i”m thø hai ca DP vợi (O) D thĐy G nm trản ÷íng trỈn ÷íng k‰nh AP cơng l ÷íng trỈn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c AEF: Gåi I; J lƒn l÷ỉtPKl h…nhFI chi‚u cıa K l¶n CE; BF th… I; J l trung i”m cıa EM; F N: EJ Ta th§y: EC = P D = F B M°t kh¡c, d„ thĐy tam giĂc GEC v GF B ỗng dng nản suy hai tam giĂc GEJ v GF I ỗng d⁄ng G§p ỉi c¡c c⁄nh EJ; F I cho ta hai tam giĂc GEM; GF N ỗng dng Gồi MN c›t BC t⁄i X; EF c›t BC; MN theo thø tü t⁄i Q; R: D„ th§y G l i”m Miquel cıa tam gi¡c ABC v c¡c ÷íng thflng EF; MN n¶n c¡c tø gi¡c XGMC; QGF B nºi ti‚p Suy GXR = GCM = GBN = GQR: V“y G nm trản ữớng trặn (XQR) Cụng cõ tứ giĂc QGF B nºi ti‚p n¶n QGB = GF B = F RG + GAF = QXG + GCB XQR ti‚p xúc vợi (O) ti G )ếệếế T õ ta thĐy ÷íng trỈn ( ( Trƒn Quang Hịng) Cho tam gi¡c ABC ni tip ữớng trặn (O) v P l im BÀI 17 BC A:P B; P C theo thø tü ct CA; AB ti E; F ữớng trặn ngoi ti‚p ÕÕÕÕÕÕ thuºc cung khæng chøa tam gi¡c ABE; ACF c›t t⁄i G kh¡c A:D l giao i”m thø hai cıa AG vỵi (O):Q thuºc (O) cho QABÕ = PÕAC:QD c›t BC t⁄i R Chøng minh r‹ng OR?AQ L Lới giÊi B ã dữợi Ơy khĂ d d ng, xin ÷ỉc d nh cho b⁄n åc BŒ • Cho tam gi¡c ABC c¥n t⁄i A, n‚u câ i”m P cho APÕB = APÕC th… B; C Łi xøng qua CHAT AP LUANnhau VAN LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A O R B Q I C D P E G F Trữợc ht ta thĐy E; G; F thflng h ng Gåi AP c›t BC t⁄i I, theo thflng h ng L⁄i câ IO:IG = IB:IC = IA:IP , suy tø gi¡c AOP G nºi ti‚p M°t kh¡c OA = OP n¶n GO l ph¥n gi¡c cıa gâc P GA L⁄i câ, OD = OP , theo bŒ • suy P; D Łi xøng vỵi qua OG Do â: DOG = P OG = DAI , suy tø gi¡c AOIDnºi ti‚p L⁄i câ QBR = QBC ÕÕÕÕÕÕ BQR = QAC BAD = P AD , suy tø gi¡c RAID nºi ti‚p R;A;O;I;D V“y n«m i”m L⁄i câ OA = OD n¶n RO l OR Õ ành l‰ Miquel th… O; I; G cịng thuºc mºt ÷íng OR AQ Õ ế ế trặn phƠn giĂc ca gõc ARD, kt hổp OA = OD ta suy A; Q Łi Ô xứng vợi nản ? BI 18 Cho tam giĂc ABC cõ cĂc im E; F ln lữổt nm trản cnh CA; AB:O; K ln lữổt l tƠm ngoi tip c¡c tam gi¡c ABC; AEF: AK c›t BC t⁄i L v ct ữớng trặn (KEF ) ti J khĂc K:EF ct BC ti D:OD ct ữớng trặn (DLJ) ti G kh¡c D Chøng minh r‹ng ADOÕ = OAGÕ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com L Líi gi£i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A J E D F O Q C H R B L P ” chøng minh ADOÕ = OAGÕ ta cƒn ch¿ OA = OD:OG hay nâi c¡ch kh¡c cƒn chứng minh hai ữớng trặn (ADG) v (O) trỹc giao vợi Sò dửng php nghch Êo cỹc A ta chuy”n v• b i to¡n sau: B i to¡n Cho tam giĂc ABC ni tip ữớng trặn (O) CĂc im E; F ln lữổt nm trản cnh CA; AB ữớng trỈn (AEF ) c›t (O) t⁄i D kh¡c A: J l trüc t¥m tam gi¡c AEF:AJ c›t (O) t⁄i L kh¡c A Chøng minh r‹ng t¥m ngo⁄i ti‚p tam gi¡c DJL n‹m tr¶n BC Gi£i b i to¡n Gåi P; Q l Łi xøng cıa D qua BC; EF Gåi R l giao i”m cıa BC v EF Tł t‰nh ch§t i”m Miquel d„ th§y tø gi¡c DF BR nºi ti‚p Ta câ gâc câ c⁄nh t÷ìng øng vng gâc v gâc nºi ti‚p b‹ng nh÷ sau: DPJ = DPQ = ERQ = DRE = DBF = DBA = DCA = DLJ M Łi ÕÕÕÕÕÕÕÕ Tł â tø gi¡c DJLP nºi ti‚p D; P xøng qua BC nản tƠm ngoi tip nm trản BC Cho tam giĂc ABC câ t¥m ngo⁄i ti‚p O:P; Q l hai i”m thuºc c⁄nh BC cho BÀI 19 BP = QC:AQ c›t trung trüc BC t⁄i R:H l h…nh chi‚u cıa O lản RP:Kl tƠm ngoi tip tam giĂc P QR:L i xứng vợi A qua OH:D nm trản cnh BC cho DL P K ÷íng thflng qua P song song OA c›t CA; AB t⁄i E; F Chứng minh rng ữớng trặn (D; DP ) tip xúc vợi ữớng trặn (AEF ) L Lới giÊi Gồi Y Łi xøng A qua KR th… Y thuºc RP Gåi RP c›t (O) ngo⁄i ti‚p tam gi¡c ABC t⁄i Z kh¡c Y ? Theo t‰nh ch§t Łi xøng d„ th§y AY QP v AY LZ l c¡c h…nh thang c¥n LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do â LZY = AY P = AQP = 90 Miquel KP R , suy LZ?P K Õ Õ Õ Õ V“y Z; L; D thflng h ng D„ th§y: DZP = AY P = Y P Q = DP Z Do â DZ = DP = 90 Õ Õ Õ= Õ = Gåi X l giao i”m thø hai kh¡c A cıa (AEF ) v (O), E; F; P thflng h ng, n¶n theo nh l th X nm trản cĂc ữớng trặn (BP F ) v (CPE) Ta bi‚n Œi gâc: = PXZ PXB BXZ PFB Õ BY Z OAB Õ n‹m tr¶n ( ÕÕÕÕÕ ) = 90 AQB = PRQ = ế ế P DZ tƠm ữớng trỈn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c P XZ Tł â X Õ Õ Õ = 900 Do â (D; DP ) ti‚p xóc vỵi ACB CAQ L⁄i câ: Õ Õ Õ Ta k‚t hỉp vỵi DP = DZ , suy D l D; DP XEF + 2XDP = XEF + 90 CAQ F EA XPD = XEF + 90 =Õ Õ 900 XEA Õ OAC = ABC = PXF ế ế ế ế ữớng trặn (AEF ), i•u ph£i chøng minh E Y A F X R H D P B O K Q L LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Z LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com BÀI 20 (T⁄p ch‰ THTT th¡ng 11, n«m 2016) Cho tam gi¡c ABC ni tip (O), trỹc tƠm H:P l im bĐt k trản cung BC:P i xứng vợi P qua BC ÷íng trỈn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c 0 OP P c›t AP t⁄i G Chøng minh r‹ng trüc t¥m tam gi¡c AGO n‹m tr¶n HP L Líi gi£i 0 C¡ch Gåi J l giao i”m cıa OP vỵi AH Ta câ: JAG = GP P = GOJ n¶n tø gi¡c AJGO nºi ti‚p Gåi K l giao i”m thø hai cıa HP vỵi (AGH) Suy G l i”m Miquel cıa tam gi¡c JHP øng vợi b im (A; O; K) Ta thu ữổc tø gi¡c KGOP nºi ti‚p Gåi Oa l t¥m ngo⁄i ti‚p cıa tam gi¡c BHC; GH giao vỵi (Oa) t⁄i i”m thø hai M Gåi A l giao i”m cıa AH vỵi (O) Õ Õ Õ 0 Do hai ữớng trặn (Oa) v (O) i xứng qua BC n¶n A P = HP 0 Ta câ: GMP = HM P Do hai = HAP = HKG nản M thuc ữớng trặn (OP P ) ƯỮƯ 0 giao i”m cıa OaH vỵi (OP P ) Do OaH = OaM = OaP , ta thu ÷ỉc H l t¥m nºi Gåi L l 0 ti‚p cıa tam gi¡c LMP Suy GL = GH = GP L⁄i câ:HLP = OaOP V“y 0 = HJP Ư Ư n¶n tø giĂc HLJP ni tip ữớng trặn tƠm G ế G, ỗng thới AOG = GJH = GHJ nản ữớng trặn (AGO) v (AGH) c›t t⁄i A v R(AGO) = R(AGH) M°t kh¡c GAO = GP O n¶n R(AGO) = R(P GO) Gồi lế ế ỗng quy ti G nản K l ữớng trặn (AGO); (AGK); (KGO) câ b¡n k‰nh b‹ng v trüc t¥m tam gi¡c AGO Õ Õ Õ C¡ch ( Nguy„n Kh÷ìng Duy) J giao i”m thø hai cıa AH vỵi (AGO) 0 Ta câ: JOG = HAG = GP P = 180 GOP n¶n O; P ; J thflng h ng L⁄i câ GJO = P AO = Th‚ th… Õ = Õ = Õ = Õ 0 JGP GP O = GP O n¶n tam gi¡c GJP c¥n t⁄i G Suy Õ Õ l Łi HPP0 Õ Õ 0 = AOP = 2ACP m AHP = ÕÕÕÖ , suy G l t¥m cıa (JHP 0) Gåi K l = ACP ) giao im thứ hai ca hai ữớng trặn ệ Õ (JHP ) v (AGO) GKO OAG GP O Do â K xøng vỵi P qua GO M°t kh¡c,GJ = GK n¶n AG l GP O n¶n OP K = OKP OK = OP iãu õ cõ nghắa Õ0l Õ Õ Õ Ư Ư ph¥n gi¡c cıa gâc HAK M GKA = GJH = AHG , ta thu ữổc K i xứng vợi H qua AG ế Õ Õ HP ÷íng thflng Steiner cıa K tam gi¡c AGO hay trüc t¥m tam gi¡c AGO n‹m tr¶n HP Õ (HSG Trung QuŁc 1992) Cho tø giĂc lỗi ABCD ni tip ữớng trặn tƠm O ữớng BÀI 21 ch†o AC c›t BD t⁄i P ÷íng trặn ngoi tip cĂc tam giĂc ABP v phƠn bi»t kh¡c O Chøng minh OQP = 90 L Líi gi£i CDP c›t t⁄i P v Q Õ PhƠn tch lới giÊi ỵ thĐy Q chnh l t¥m cıa ph†p tü quay bi‚n A th nh C v B th nh D v â công l t¥m cıa ph†p tü quay f bi‚n A th nh B v C th nh D Y¶u cƒu cn chứng minh tữỡng ữỡng vợi viằc chứng minh im Q; P; M; N nm trản mt ữớng trặn (M; N lƒn l÷ỉt l trung i”m AC; BD) X†t ph†p tü quay f bi‚n AC th nh BD â bi‚n trung i”m cıa AC l M th nh trung i”m cıa BD l N ànhCHAT ngh¾a ph†p tü quay suy (QM; QN) = (QA; QB) luanvanchat@agmail.com LUANTheo VAN LUONG download : add M (QA; QB) = (P A; P B) (do A; P; Q; B nm trản ữớng trặn) Suy (QM; QN) = (P A; QB) Do â bŁn i”m P; M; Q; N nm trản ữớng trặn M ta li cõ O; P; M; N nm trản ữớng trặn ữớng knh OP nản OQPế = 90 ( pcm) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com BÀI 22 (TST M 2007) Hai ữớng trặn (O1) v (O2) c›t t⁄i P v Q:AC; BD t÷ìng øng l nhœng d¥y cung cıa (O1) v (O2) cho o⁄n thflng AB v tia CD c›t t⁄i P Tia BD c›t o⁄n AC t⁄i X i”m Y n‹m trản (O 1) cho P Y song song vợi BD i”m Z n‹m tr¶n (O 2) cho P Z k AC Chøng minh r‹ng c¡c i”m Q; X; Y; Z nm trản mt ữớng thflng L Lới gi£i 0 XQ c›t (O1) t⁄i Y ; c›t (O2) ti Z D thĐy Q l tƠm ca ph†p tü quay bi‚n D th nh C; B th nh A Do â Qcơng l t¥m cıa ph†p tü quay bi‚n D th nh B; C th nh A Theo c¡ch x¡c ành t¥m cıa ph†p tỹ quay n y th Q nm trản ữớng trặn ngo⁄i0 ti‚p tam gi¡c XDC Do X; D; Q; Ccũng nm trản ữớng trặn nản DXQ = DCQ = P Y Q Suy DX k P Y V“y Õ Õ Ö Y Y Ta câ DPÖZ = DQXÕ = DCXÕ 0 Suy P Z k AC V“y Z Z V“y c¡c i”m Q; X; Y; Z nm trản mt ữớng thflng BÀI 23 Cho tam gi¡c ABC:D l mºt i”m b§t k trản BC Gồi (O1) l ữớng trặn tip xúc vợi AB; BC v tip xúc ngo i vợi ữớng trặn ngoi tip tam giĂc ADC, (O 2) l ữớng trặn tip xúc vợi AC; BC v tip xúc ngo i vợi ữớng trặn ngoi tip tam giĂcADB Gồi E; F lƒn l÷ỉt l ti‚p i”m cıa (O 1) v (O2) vỵi BC; G l ti‚p i”m cıa (O 1) vỵi (ADC); H l ti‚p i”m cıa (O 2) vỵi (ADB) Chứng minh rng ữớng trặn ngoi tip cĂc tam giĂc BHF; CGE v ữớng trặn ữớng knh BC ỗng quy L Líi gi£i BŒ • Cho bŁn i”m A; B; C; D theo thø tü cịng n‹m tr¶n mºt ÷íng thflng Gåi $ 1; $2; $3; $4 lƒn lữổt l ữớng trặn bĐt k qua cĂc cp im (A; B); (B; C); (C; D); (A; D):X; Y; Z; T lƒn l÷ỉt l giao i”m thø hai cıa c¡c cp ữớng trặn $ v $2; $2 v $3; $3 v $3; $4 v $1 Khi â X; Y; Z; T thuc mt ữớng trặn Chứng minh (XT; XY ) (XT; XB) + (XB; XY ) (mod ) (AT; AB) + (CB; CY ) (mod ) (AT; AD) + (CD; CY ) (mod ) (AT; AD) + (ZD; ZY ) (mod ) (AT; AD) + (ZD; ZT ) + (ZT; ZY ) (mod ) (ZT; ZY ) (mod ) V“y bŁn i”m X; Y; Z; T còng thuc mt ữớng trặn Tr li b i toĂn Gồi K l ti‚p i”m cıa (O1) vỵi AB:(AKG) c›t (CEG) lƒn thø hai t⁄i I:EK c›t AI; CI theo thø tü t⁄i N; M p döng ành l‰ Miquel cho tam gi¡c AKN vỵi bº ba i”m K; E; I ta câ (AKI) c›t (KKE) t⁄i G n¶n G l i”m Miquel cıa tam gi¡c AKN øng vỵi ba i”m K; E; I hay N thuc ữớng trặn (CEG) Tữỡng tỹ ta cụng chứng minh ữổc, M thuc ữớng trặn (AKG) Gåi C l giao i”m cıa (AMN) vỵi (IEN) p dửng b ã trản cho im M; K; E; N v ữớng trặn (MKI); (O1); (NEI) v (MAN) ta thu ữổc (AGC ) tip xúc vợi (O1) Tł â suy C trịng vỵi C hay tø gi¡c AMN C nºi ti‚p Suy IABÔ = IMKÕ = IAC;ÔICBÔ = IENÕ = ICAÔ hay I l tƠm ữớng trặn ni tip ca tam giĂc ABC Ta câ: AGIÔ = AMIÕ = CNIÕ = IGCÔ hay GI l phƠn giĂc ca AGCế Tữỡng tỹ, (BHF ) cơng i qua I v HI l ph¥n gi¡c cıa gâc BHAÕ Gåi L l giao i”m thø hai cıa (BHF ) v (CGE) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta câ: 1 BLCÕ = BLIÔ + CLIƠ = BHIÕ + CGIƠ = BHÃ+ CGà = ADBÕ + ADCÕ 90 = ( pcm) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com C BÀI TŠP TÜ LUY›N B i (Arab Saudi IMO Training Test 2017) Cho tam giĂc ABC ni tip ữớng trặn (O), trüc t¥m H Trung tuy‚n AM c›t (O) lƒn thø hai t⁄i N:AH c›t (O) t⁄i K C¡c ÷íng thflng KN; BC v ÷íng thflng qua H vng gâc vỵi AN c›t t⁄o th nh tam gi¡c XY Z Chøng minh r‹ng (XY Z) ti‚p xóc vỵi (O) B i Cho tam giĂc ABC Mt ữớng trặn O a qua B; C c›t AC; AB lƒn l÷ỉt t⁄i E; F:BE giao CF t⁄i P Gåi M l trung i”m cıa BC; L Łi xøng vỵi K qua M C¡c ÷íng thflng P K; QL; BC c›t t⁄o th nh tam gi¡c XY Z Chøng minh r‹ng (XY Z) ti‚p xóc vỵi (ABC) B i Cho tam giĂc ABC ni tip ữớng trặn (O) Gåi A l i”m Łi xøng cıa A qua O Trung tuy‚n 0 AM cıa tam gi¡c ABC c›t BA ; CA lƒn l÷ỉt t⁄i L v K CĂc ữớng thflng qua L vuổng gõc vợi BA , qua K v vuổng gõc vợi CA v ữớng thflng OM c›t t⁄o th nh tam gi¡c XY Z Gåi P l giao cıa hai ti‚p tuy‚n t⁄i B v C cıa (O) Chøng minh r‹ng (AMP ) ti‚p xóc vỵi (XY Z) B i Cho tam giĂc ABC Mt ữớng trặn bĐt k qua B; C c›t AC; AB lƒn l÷ỉt t⁄i E; F: BE c›t CF ti P Mt ữớng thflng d bĐt k… qua A c›t BE; CF lƒn l÷ỉt t⁄i L; K ữớng thflng d flng giĂc vợi d gõc BACÕ c›t BE; CF lƒn l÷ỉt t⁄i M; N: M K c›t LN t⁄i X: MK; LN c›t BC lƒn lữổt ti Z; Y Chứng minh rng ữớng trặn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c BP C v XY Z ti‚p xóc vỵi LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com D HẻNG DN GII B i GiÊ sò tr‰ c¡c i”m X; Y; Z nh÷ h…nh v‡ Gåi T l giao i”m thø hai cıa (AH) vỵi (O); P l h…nh chi‚u cıa H tr¶n AM; Q l i”m Łi xøng cıa A qua O: D„ th§y, T; H; M; Q thflng h ng Ta câ: HXK = 90 K· ti‚p PNX = 90 Ö Õ ANK = 90 Õ AQK = KAQ = KT H Suy tø gi¡c Õ Õ Õ XKHT nºi ti‚p Do HP ?AM; Y M?AH n¶n Y l trüc t¥m tam gi¡c AHM; suy Y; T; A thflng h ng Tł âÕTÕ ÕXK = T HA = T Y B hay tø gi¡c ZXY T nºi ti‚p V“y hai tuy‚n T x cıa (O): Ta câ: XT x = XT K xT K = XHK ÕÕÕỮÕÕ TAK = TY H = TZX: Suy T x ỗng thới l tip tuyn ca (XY Z): ữớng trặn (XY Z) v (O) ti‚p xóc t⁄i T: B i Gi£ sß tr‰ cıa ba i”m X; Y; Z nh÷ h…nh v‡ Gåi T l giao i”m cıa ÷íng trặn ữớng knh AP vợi ữớng trặn (O) ngoi tip tam gi¡c ABC Do P K?AOa n¶n theo ành l‰ Brocard, Z l giao i”m cıa EF v AT Gồi H; H ln lữổt l trỹc tƠm cĂc tam gi¡c ABC; AEF: Hb; Hc lƒn l÷ỉt l h…nh chi‚u cıa F; E tr¶n AC; AB: 0 0 Ta câ: H F :H Hb = H E:H Hc suy H thuºc trưc flng ph÷ìng cıa (BE) v (CF ): Chøng minh t÷ìng tü ta suy HH l trưc flng ph÷ìng cıa (BE) v (CF ): M P E:P B = P F :P C n¶n P; H; H thflng h ng Do 0aT ?AZ n¶n T l i”m Miquel cıa tø gi¡c to n phƒn BF ECAZ: Suy T câ chung ÷íng thflng Simson vỵi hai tam gi¡c AEF; ABC: Do ÷íng thflng Steiner l £nh cıa ÷íng thflng Simson qua php v tỹ tƠm T t s nản HH l ữớng thflng Steiner ca T ứng vợi hai tam gi¡c AEF; ABC hay P H l ÷íng thflng Seiner cıa P øng vỵi tam gi¡c ABC: K†o d i AH c›t (O) t⁄i R, suy T R i qua O Ta câ: ZP :ZK = PZ=(Oa) = ZB:ZC Suy tø gi¡c BP KC nºi ti‚p Gåi U l Łi xøng cıa P qua M: Ph†p Łi xứng tƠm M bin ữớng trặn (BP KC) th nh (BLU C) L⁄i câ Q Łi xøng vỵi P qua BC n¶n QU k BC v QB = QP = UC hay tø gi¡c BQU C l h…nh thang c¥n Vy nôm im B; Q; L; U; C ỗng viản Ta câ: P K k UL n¶n P XL = 180 QLU:(1) Goi V l giao i”m thø hai cıa P Q vỵi (BQC): W l i”m Łi xøng ca A qua O: Do hai ữớng trặn (BP C) v (BQC) i xứng vợi qua BC nản P l trỹc tƠm ca tam giĂc BV C: ỗng thới, UV i qua t¥m ngo⁄i ti‚p tam gi¡c V BC n¶n QV U = jV BC V CBj: ABP L⁄i câ ACP n¶n V BA = V CA: Õ Ta câ: = = Õ Suy jV BC (O): V“y QV U = QTP (2) M°t Õ Õ Tł (1) v Õ V CBj = jABC ACBj = RAW = RT W = QT P : ÕÕÕÕÕÕÕ QT P (2) suy ST P 900 QXP = TQP = 90 B i Õ Gåi Õ Õ Õ Õ kh¡c, ST X = 900 XT P Q nºi ti‚p ÷íng trỈn (S): hay tø gi¡c TRA = 90 Õ Õ Õ T W A = T AW : Suy ST l ti‚p tuy‚n cıa Õ Õ Õ T P X = T ZP = T Y X: Suy ST l ti‚p tuy‚n cıa (XY Z): lƒÕ Õ Õ Õ O v (XY Z) ti‚p xóc vợi ti T: ế Vy hai ữớng trặn ( ) Õ Gi£ sß tr‰ c¡c i”m X; Y; Z nh÷ h…nh v‡ U; V n l÷ỉt l giao i”m thø hai cıa AM; AP vỵi (O): BA giao OM t⁄i E: Ta câ MEC = MEB = ABC = MU C n¶n tø gi¡c MEU C nºi ti‚p LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 90 = Ö Ö Õ Ö Suy EUM = ECM = EBM = EXL hay tø gi¡c ELUX nºi ti‚p Tł â EUX = ELX = ƯƯỮ Õ Õ EUC Suy X; U; C thflng h ng Õ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do U; V Łi xøng qua OM n¶n B; V; X thflng h ng Chøng minh t÷ìng tü, ta cơng câ B; Y; U v C; 0Y; V lƒn l÷ỉt thflng h ng Ta câ Y V X = BA K = Y ZL n¶n tø gi¡c XZY V nºi ti‚p ÷íng trỈn (J) Õ Ư Õ Do â JV ÕC = 900 Gåi V XY = V BC hay JV l ti‚p tuy‚n cıa (O) Tł â (XY Z) trüc giao vỵi Õ Õ l (O):(1) M°t kh¡c, k†o d i P M c›t (O) t⁄i hai i”m W; S th… (T MSW ) = 1: Suy PO=(AMP ) = OM :OP = OB n¶n (AMP ) trüc giao vỵi (O):(2) T giao i”m thø hai cıa (XY Z) v (O) th… T l i”m Miquel cıa tø gi¡c to n phƒn AMY V CX Suy T MP = T BX = T AP hay T (AMP ):(3) cıa ( ) hay ( )ÕÕÕ Tł (1), (2), (3) suy ữớng ni tƠm cĂc ữớng trặn (AMP ); (XY Z) n‹m tr¶n ti‚p tuy‚n t⁄i T O AMP ti‚p xóc vỵi (XY Z) t⁄i T: B i Gåi T l giao i”m kh¡c P cıa (MXL) v (NXK) Khi â T l t¥m tü quay cıa hai o⁄n thflng LM v NK Do B; C; E; F ỗng viản nản AEB BAC nản LM = NK AF C: L⁄i câ hai ÷íng thflng d v d : Õ MB KC Suy T l t¥m tü quay cıa hai o⁄n thflng LB v NC Khi â, T l giao i”m cıa hai ÷íng trỈn (BP C) v (LP N): Suy T l i”m Miquel cıa tø gi¡c to n phƒn BP N Y LC; suy L (NY C) Tł õ T ỗng thới l im Miquel ca tứ giĂc to n phƒn Y NKZXC; suy T V“y ta ch¿ cƒn chøng minh T Y; T Z flng gi¡c BT C: Suy Do d v = d0 = = = flng gi¡c BAC n¶n ALE = ANF ; suy tø gi¡c MN KL nºi ti‚p CTZ CKZ XKN MLN , flng gi¡c (XY Z) Õ Õ Õ Õ BT Y i•u ph£i chøng minh ÕÕƯỮ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com E LÍI CƒM ƠN VÀ TÀI LI›U THAM KHƒO S¡ng ki‚n ÷ỉc ho n th nh, khỉng th” khỉng k” tỵi c¡c t i li»u hay, vỵi ch‰nh c¡c t¡c giÊ m cặn vợi nhiãu giĂo viản hồc sinh Xin ữổc cÊm ỡn cĂc thy cổ giĂo rĐt nhiãu SĂng kin dũ  ữổc chnh sòa kắ c ng song khỉng th” tr¡nh khäi sai sât, r§t mong c¡c thƒy v cĂc em sòa cha, gòi li cĂc gõp ỵ cho chúng tổi Sau Ơy l cĂc u sĂch sò dửng chuyản ã: Nguyn Minh H , Hnh hồc phflng nh hữợng, NXB DƠn tr, 2015 Trn Quang Hũng, MØi tuƒn mºt b i to¡n h…nh håc, NXB HQG H Nºi, 2017 To¡n håc tuŒi tr· Nguy„n V«n Linh,108 b i to¡n h…nh håc c§p,NXB HQG H Nºi, 2018 Yufei Zhao, Cyclic Quadrilaterals The Big Picture BALKAN MATHEMATICAL OLYMPIAD, 2009 Yufei Zhao,Three Lemmas in Geometry C¡c b i toĂn trản cĂc din n toĂn nhữ https://artofproblemsolving.com, din n to¡n håc, LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... Tr…nh Nºi dung º cỉng vi»c hØ chuy¶n trỉ mỉn Nguy„n B‰ch Ngåc 1976 THPT Chuy¶n Gi¡o viản i hồc Dy ni dung Lữỡng Vôn Tửy nh l‰ Miquel Ngỉ Thà Hoa 1979 THPT Chuy¶n Gi¡o viản Thc sắ Dy ni dung Lữỡng... sáng ki¸n, lĩnh vüc áp dưng L nhâm t¡c gi£ • nghà x†t cỉng nh“n s¡ng ki‚n: NH L MIQUEL V MáT Să B I T P P DƯNG L¾nh vüc ¡p dưng: Gi£ng d⁄y h…nh håc THCS, THPT Chuyản Nởi dung sỏng kián Hnh hồc... Chuy¶n Gi¡o viản Thc sắ Dy ni dung Lữỡng Vôn Tửy nh l‰ Miquel Ph⁄m øc Tịng 1983 THPT Chuy¶n Gi¡o viản Thc sắ Dy ni dung Lữỡng Vôn Tửy nh l‰ Miquel Chóng tỉi xin cam oan måi thỉng tin n¶u ìn l trung
Ngày đăng: 01/11/2022, 10:35
Xem thêm:
