Thông tin tài liệu
S— GD& T NINH B NH TR×˝NG THPT CHUY N L×ÌNG V N TƯY S NGKI N ÀNH L MIQUEL V MáT Să B IT P PDệNG F A E M B D C C¡c t¡c gi£: Nguy„n Tr÷íng Sìn TŒ ìn cỉng t¡c - Bịi Thà Mÿ N÷ìng : ToĂn - Tin : THPT Chuyản Lữỡng Vôn Tửy Ninh B…nh, th¡ng n«m 2019 skkn MƯC LƯC A Tản sĂng kin, lắnh vỹc Ăp dửng Ni dung s¡ng ki‚n Hi»u qu£ kinh t‚ v x¢ hi dỹ kin t ữổc iãu kiằn v khÊ n«ng ¡p dưng ành l‰ Miquel v mºt sŁ t‰nh chĐt liản quan Tnh chĐt Tnh chĐt T‰nh ch§t T‰nh ch§t T‰nh ch§t ( ành l‰ Emelyanov) T‰nh ch§t ( ành l‰ Mannheim) T‰nh ch§t T‰nh ch§t T‰nh ch§t B Mºt sŁ b i to¡n liản quan tợi im Miquel C B i tỹ luyằn D Hữợng dÔn giÊi E Lới c£m ìn v t i li»u tham kh£o skkn skkn MˆU M2 C¸NG H`A X H¸I CHÕ NGH A VI T NAM ¸CL P-TÜDO-H NHPHĨC ÌNY UC UC˘NGNH NS NGKI N K‰nh gßi: Sð gi¡o dưc v o to Ninh Bnh Chúng tổi gỗm: TT Hồ v tản Ng y thĂng nôm sinh Nguyn Trữớng Sỡn Bũi Th M Nữỡng 1983 1978 Chức vử GiĂo viản Gi¡o vi¶n Tr…nh º chuy¶n T¿ l» (%) âng mỉn gâp v o vi»c t⁄o s¡ng ki‚n ⁄i håc 60% Thc sắ 40% Tờn sỏng kián, lnh vỹc áp dưng L nhâm t¡c gi£ • nghà x†t cỉng nhn sĂng kin: NH L MIQUEL V MáT Să B I T P P DƯNG L¾nh vüc ¡p dưng: Gi£ng d⁄y h…nh håc THCS, THPT Chuy¶n Nëi dung sáng kián Hnh hồc sỡ cĐp l mt phƠn mổn rĐt quan trång ch÷ìng tr…nh trung håc phŒ thỉng V· µp cıa nâ 'n chøa nhœng i”m, ÷íng thflng, ÷íng trỈn, gâc m muŁn c£m nh“n ta cƒn ph£i câ c¡i nh…n tinh t‚, mºt tr‰ t÷ðng t÷ỉng phong phó H…nh håc gióp ng÷íi ta câ c¡i nh…n tŒng qu¡t, s¥u rºng hìn, suy lu“n ch°t ch‡ v t÷ s¡ng t⁄o Trong c¡c k… thi chån håc sinh giäi c¡c c§p THCS, THPT c§p t¿nh, c§p QuŁc gia,c§p khu vüc, c§p quŁc t‚, c¡c b i toĂn vã Hnh hồc thữớng õng vai trặ quan trồng Chóng ta câ th” l m quen nhi•u d⁄ng b i toĂn Hnh hồc, bit nhiãu phữỡng phĂp giÊi, công câ b i ch¿ câ mºt c¡ch gi£i nhĐt Mỉi gp mt b i toĂn mợi li phÊi suy nghắ tm cĂch giÊi mợi Sỹ phong phó a d⁄ng cıa c¡c b i to¡n H…nh hồc luổn l sỹ hĐp dÔn i vợi mỉi giĂo viản, hồc sinh giọi yảu toĂn GiÊi phĂp cụ thữớng l m: C¡c b i to¡n v• ành l‰ n y th÷íng khỉng câ ho°c câ th… ríi r⁄c, khỉng hằ thng Nhữổc im: Kin thức vã nh l Miquel xuĐt hiằn nhiãu ã thi hồc sinh giọi c§p t¿nh, c§p khu vüc, c§p QuŁc gia ” ⁄t ÷æc i”m kh¡ giäi, håc sinh cƒn ÷æc r–n luy»n l m b i t“p ƒy ı v s¥u hìn Nh÷ng s¡ch b i t“p gi¡o khoa hi»n h nh, sĂch t i liằu chuyản chữa Ăp ứng ữổc yảu cƒu n y skkn Khi so⁄n gi£ng, gi¡o vi¶n bt buc phÊi tham khÊo rĐt nhiãu t i liằu t nhiãu phữỡng tiằn, nhĐt l i vợi nhng i t÷ỉng håc sinh luy»n thi ⁄i håc v thi håc sinh giọi cĂc cĐp, õ mĐt rĐt nhiãu thới gian v cỉng søc, tŁn k†m nhi•u ti•n b⁄c Do b i t“p thi‚u t‰nh h» thŁng cỈn håc sinh chữa kắ nông v kinh nghiằm hằ thng v phƠn loi kin thức nản cĂc em khõ cõ th” hi”u ÷ỉc mºt c¡ch bao qu¡t, ƒy ı c¡c d⁄ng b i t“p v• ành l‰ Miquel ” kh›c phưc nhœng h⁄n ch‚ tr¶n, vi»c bi¶n so⁄n mºt h» thŁng b i t“p v• ành l‰ Miquel mºt c¡ch khoa hồc, bao chũm ữổc tĐt cÊ cĂc kin thức GiÊi phĂp mợi cÊi tin: -Mổ tÊ bÊn chĐt giÊi phĂp mợi: Nhõm tĂc giÊ xƠy dỹng l rĐt logic, a d⁄ng, phong phó, th” hi»n ki‚n thøc bao chịm tł cì b£n ‚n phøc t⁄p, tł d„ ‚n khâ, phị hỉp vỵi tr…nh º nh“n thøc cıa måi i tữổng hồc sinh, cõ th d nh cho nhiãu i tữổng hồc sinh t ngữới mợi hồc n nhng håc sinh dü thi håc sinh giäi QuŁc gia H» thŁng b i t“p lüa chån ÷a v o • t i l b i t“p t‰nh to¡n, ÷ỉc ph¥n lo⁄i theo møc º nh“n thøc: B i t“p cỡ bÊn cho mồi i tữổng; b i nƠng cao d nh cho håc sinh kh¡, giäi; b i t“p hay v khâ d nh cho håc sinh giäi æn luy»n thi håc sinh giäi QuŁc gia Trong mØi d⁄ng b i theo møc º nh“n thøc, b i ữổc sp xp theo tng ch ã vợi møc º ki‚n thøc -T‰nh mỵi, t‰nh s¡ng t⁄o cıa giÊi phĂp: Tnh sĂng to trữợc ht ữổc th hiằn tnh mợi ca giÊi phĂp  nảu trản, ỗng thới nõ cặn ữổc th hiằn sƠu hỡn hữợng dÔn phữỡng phĂp giÊi mỉi b i cử th” i•u n y s¡ch b i t“p gi¡o khoa v t i li»u tham kh£o ch÷a l m ÷æc C¡c b i t“p ÷æc nhâm t¡c gi£ tr…nh b y b‹ng tü lu“n tł d„ tỵi khâ ” tông khÊ nông trnh b y cho hồc sinh nhĐt l HSG QuŁc gia Hi»u qu£ kinh t¸ xó hởi dỹ kián Ôt ủc Hiằu quÊ kinh t: Qua ỵ kin nhn xt ca hồc sinh, ca ỗng nghiằp  sò dửng sĂng kin n y l m t i li»u tham kh£o håc t“p v nghi¶n cøu, hi»u qu£ kinh t‚ m s¡ng ki‚n mang l⁄i l rĐt lợn cử th l : - Tit kiằm ữổc nhiãu thới gian v cổng sức tm tặi t i li»u cıa gi¡o vi¶n v håc sinh gi£ng d⁄y v håc t“p mỉn To¡n - Ti‚t ki»m ÷ỉc nhiãu chi ph mua t i liằu, sữu tm t i liằu Tit kiằm ữổc tiãn thy huĐn cho ºi tuy”n håc sinh giäi QuŁc gia Hi»u qu£ x hi: SĂng kin n y  ữổc tĂc giÊ tri”n khai thüc nghi»m cho håc sinh chuy¶n To¡n, håc sinh ổn thi i hồc nhng nôm gn Ơy ca trữớng THPT chuyản Lữỡng Vôn Tửy Hiằu quÊ m sĂng kin n y vợi cĂc chuyản ã kin thức khĂc na mang li vã mt giĂo dửc, x hi trữợc ht l kt quÊ thi i hồc, thi hồc sinh giọi cĂc cĐp ca hồc sinh Trữợc thỹc hi»n s¡ng ki‚n, c¡c k‚t qu£ thi cơng t÷ìng Łi cao, nh÷ng tł thüc hi»n s¡ng ki‚n c¡c k‚t quÊ thi l vữổt tri hỡn rĐt nhiãu Đi·u ki»n kh£ áp dưng - i•u ki»n Ăp dửng: Hồc sinh cn say mả vợi mổn hnh håc, câ t i li»u H…nh håc c¡c c§p v nhĐt l t i liằu chuyản toĂn lợp 10, 11 - Kh£ n«ng ¡p dưng: skkn S¡ng ki‚n l mºt t i li»u tham kh£o r§t hœu ‰ch cho måi i tữổng hồc sinh v giĂo viản hồc tp, nghiản cøu v gi£ng d⁄y mæn To¡n Hi»n nay, s¡ng ki‚n ang l mt tữ liằu tham khÊo rĐt cn thit v khỉng th” thi‚u cıa håc sinh v gi¡o vi¶n Chuyản ToĂn trữớng THPT chuyản Lữỡng Vôn Tửy SĂng kin ti‚p töc mð rºng v ph¡t tri”n ti‚p nhœng nôm hồc sau Danh sĂch nhng ngữới  tham gia ¡p dưng thß ho°c ¡p dưng s¡ng ki‚n lƒn ƒu TT Hồ v tản Nôm sinh Nỡi cổng tĂc Chức vư Tr…nh Nºi dung º cỉng vi»c hØ chuy¶n trỉ mỉn Nguy„n B‰ch Ngåc 1976 THPT Chuy¶n Gi¡o vi¶n i hồc Dy ni dung Lữỡng Vôn Tửy nh l Miquel Ngỉ Thà Hoa 1979 THPT Chuy¶n Gi¡o vi¶n Thc sắ Dy ni dung Lữỡng Vôn Tửy nh l Miquel Ph⁄m øc Tịng 1983 THPT Chuy¶n Gi¡o vi¶n Thc sắ Dy ni dung Lữỡng Vôn Tửy nh l Miquel Chóng tỉi xin cam oan måi thỉng tin n¶u ìn l trung thüc, óng sü th“t v ho n to n chu trĂch nhiằm trữợc phĂp lut Ninh B…nh, ng y 15 th¡ng n«m 2019 X CNH NCÕAL NH O ÌN VÀ CÌ S— Ng÷íi nºp ìn (Kỵ v ghi rê hồ tản) Nguyn Trữớng Sỡn skkn skkn PHƯ LƯC A ĐÀNH LÍ MIQUEL VÀ MËT SÈ TÍNH CH‡T LIÊN QUAN B i to¡n Cho tam gi¡c ABC C¡c i”m D; E; F kh¡c A; B; C v theo thø tü thuºc c¡c ÷íng thflng BC; CA; AB Khi õ: a CĂc ữớng trặn (AEF ); (CDE); (BDF ) cịng i qua mºt i”m b C¡c ÷íng trỈn (AEF ); (CDE); (BDF ); (ABC) cịng i qua mºt i”m v ch¿ E; F; D thflng h ng F A E M B Chùng minh a D C Gåi M l giao i”m thø hai cıa (BDF ); (CDE) Ta th§y: (ME; MF) (ME; MD) + (MD; MF) (CE; BC) + (BC; BF ) (CE; CD) + (BD; BF) (AE; AF ) (mod ) V“y M thuc ữớng trặn (AEF ) iãu õ cõ nghắa l cĂc ữớng trặn (AEF ); (CDE); (BDF ) b i qua mºt i”m Theo phƒn a, ta câ: (AEF ); (CDE); (BDF ) còng i qua i”m M M°t kh¡c: (DE; DF) (DE; CE) + (CA; AB) + (BF; DF) (MB; M C) (AB; AC) (mod ) V“y cĂc iãu kiằn sau tữỡng (MD; MC) + (CA; AB) + (BM; DM) ữỡng: CĂc ữớng trặn (AEF ); (CDE); (BDF ); (ABC) còng i qua mºt i”m M (ABC) (MB; MC) (AB; AC) (mod (MB; MC) (AB; AC) ) (mod ) skkn (DE; DF ) (mod ) DE DF D; E; F thflng h ng Chú ỵ Khi D; E; F khỉng thflng h ng, M ÷ỉc gåi l i”m Miquel cıa tam gi¡c ABC v c¡c i”m D; E; F Khi Khi D; E; F thflng h ng, M ÷ỉc gåi l i”m Miquel cıa tam gi¡c ABC v ÷íng thflng DEF Mºt ph¡t bi”u kh¡c nh÷ sau: Cho bŁn ÷íng thflng t 1; t2; t3; t4 ỉi mºt c›t nhau, khỉng câ ba ÷íng n o ỗng quy Gồi cijk ln lữổt l ữớng trặn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c t⁄o bði c¡c ÷íng thflng t i; tj; tk(1 i < j < k 4) Khi õ cĂc ữớng trặn cijk ỗng quy Tớnh chĐt Cho tø gi¡c to n phƒn ABCDEF Khi õ ữớng trặn ngoi tip cĂc tam giĂc ABF; DCF; BCE; ADE ỗng quy Gồi M l giao im thứ hai ca hai ữớng trặn ngoi tip cĂc tam giĂc ABF Chùng minh (BA; BC) (mod ) v (ME; MA) (F E; F A)(mod ) v ADE Khi â ta câ: (MA; M C) E A M D B C F Suy ra: (ME; MB) (ME; MA) + (MA; MB) (CE; DA) + (DA; CB) (DE; DA) + (FA; FB) (CE; CB) (mod ) Do õ, ữớng trặn ngoi ti‚p tam gi¡c CBE i qua i”m M Chøng minh tữỡng tỹ ta cụng suy ữổc ữớng trặn ngoi ti‚p c¡c tam gi¡c CDF i qua i”m M Nhªn xét Trong tr÷íng hỉp °c bi»t, tø gi¡c ABCD nºi ti‚p th… ba i”m M; E; F thflng h ng v M ch‰nh l h…nh chi‚u cıa G ( giao i”m cıa BD v AC) l¶n EF °c bi»t l MG l ph¥n gi¡c cıa BMƯD; AMCƯ v O; G; M thflng h ng skkn E M C G B F A D O Chùng minh Do c¡c tø gi¡c EMAD v CMF D nºi ti‚p n¶n (ME; MF) (ME; MD) + (MD; MF) 0; (mod ) (AE; AD) + (CD; CF) Suy E; M; F thflng h ng L⁄i câ: (MD; MB) 2: (AD; AE) (MD; ME) + (ME; MF) + (MF; MB) (MB; MD) ; (mod ) V“y tø gi¡c OBMD nºi ti‚p Suy OMÖB = ODBÕ = OBDÕ = OMÖD ) OM?EF Theo ành l‰ Brocard ta l⁄i câ: OG?EF Tł â suy MG l ph¥n gi¡c cıa BMƯD; AMCƯ v O; G; M thflng h ng Tính chĐt TƠm ca cĂc ữớng trặn ngoi tip cĂc tam gi¡c CBE; CDF; ADE; ABF v i”m Miquel M thuc mt ữớng trặn ữớng trặn n y ữổc gồi l ữớng trặn Miquel ca tứ giĂc to n phn Trữợc chứng minh tnh chĐt n y, tổi xin nhc li nh l Êo vã ữớng thflng Simson: N‚u h… nh chi‚u cıa mºt i”m M tr¶n c¡c c⁄nh cıa mºt tam gi¡c thflng h ng th… i”m M nm trản ữớng trặn ngoi tip ca tam giĂc õ Gồi O1; O2; O3; O4 ln lữổt l tƠm ca cĂc ữớng trặn ngoi tip cĂc tam Chựng minh gi¡c EAD; EBC; CDF; ABF D„ th§y O1O3; O4O3; O4O1 lƒn l÷ỉt l c¡c ÷íng trung trüc cıa MD; M F; MA Gåi H; K; L lƒn l÷ỉt l hnh chiu ca M lản cĂc ữớng thflng O O ; O O ; O O D„ th§y ba i”m H; L; K thflng h ng Do â theo nh l Êo vã ữớng thflng Simson ta suy M thuc ữớng trặn ngoi tip tam giĂc O1O4O3 Chøng minh t÷ìng tü, ta cơng câ M thuºc ÷íng trỈn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c O2O3O4 134341 skkn A G F EJ I R O C B Q X N PK M D Gåi G l giao i”m thø hai ca DP vợi (O) D thĐy G nm trản ữớng trặn ữớng knh AP cụng l ữớng trặn ngoi tip tam gi¡c AEF: Gåi I; J lƒn l÷ỉtPKl h…nhFI chi‚u cıa K l¶n CE; BF th… I; J l trung i”m cıa EM; F N: EJ Ta th§y: EC = P D = F B M°t kh¡c, d„ th§y tam giĂc GEC v GF B ỗng dng nản suy hai tam giĂc GEJ v GF I ỗng dng G§p ỉi c¡c c⁄nh EJ; F I cho ta hai tam giĂc GEM; GF N ỗng dng Gồi MN ct BC t⁄i X; EF c›t BC; MN theo thø tü t⁄i Q; R: D„ th§y G l i”m Miquel cıa tam giĂc ABC v cĂc ữớng thflng EF; MN nản c¡c tø gi¡c XGMC; QGF B nºi ti‚p Suy GXR = GCM = GBN = GQR: V“y G n‹m trản ữớng trặn (XQR) Cụng cõ tứ giĂc QGF B nºi ti‚p n¶n QGB = GF B = F RG + GAF = QXG + GCB XQR ti‚p xóc vợi (O) ti G )ếệếế T õ ta thĐy ữớng trỈn ( ( Trƒn Quang Hịng) Cho tam gi¡c ABC ni tip ữớng trặn (O) v P l im BI 17 BC A:P B; P C theo thø tü c›t CA; AB ti E; F ữớng trặn ngoi tip ÕÕÕÕÕÕ thuºc cung khæng chøa tam gi¡c ABE; ACF c›t t⁄i G kh¡c A:D l giao i”m thø hai cıa AG vỵi (O):Q thuºc (O) cho QABÕ = PÕAC:QD c›t BC t⁄i R Chøng minh r‹ng OR?AQ L Lới giÊi B ã dữợi Ơy khĂ d d ng, xin ữổc d nh cho bn ồc B ã Cho tam gi¡c ABC c¥n t⁄i A, n‚u câ i”m P cho APÕB = APÕC th… B; C Łi xøng qua AP skkn A O R B Q I C D P E G F Trữợc h‚t ta th§y E; G; F thflng h ng Gåi AP c›t BC t⁄i I, theo thflng h ng L⁄i câ IO:IG = IB:IC = IA:IP , suy tø gi¡c AOP G nºi ti‚p M°t kh¡c OA = OP nản GO l phƠn giĂc ca gõc P GA L⁄i câ, OD = OP , theo bŒ • suy P; D Łi xøng vỵi qua OG Do â: DOG = P OG = DAI , suy tø gi¡c AOIDnºi ti‚p L⁄i câ QBR = QBC ÕÕÕÕÕÕ BQR = QAC BAD = P AD , suy tø gi¡c RAID nºi ti‚p R;A;O;I;D V“y n«m i”m L⁄i câ OA = OD n¶n RO l OR Õ ành l‰ Miquel th… O; I; G cịng thuºc mºt ÷íng OR AQ ế ế ế ễ trặn phƠn giĂc ca gâc ARD, k‚t hæp OA = OD ta suy A; Q i xứng vợi nản ? BI 18 Cho tam gi¡c ABC câ c¡c i”m E; F lƒn lữổt nm trản cnh CA; AB:O; K ln lữổt l t¥m ngo⁄i ti‚p c¡c tam gi¡c ABC; AEF: AK c›t BC ti L v ct ữớng trặn (KEF ) ti J khĂc K:EF ct BC ti D:OD ct ữớng trặn (DLJ) t⁄i G kh¡c D Chøng minh r‹ng ADOÕ = OAGÕ skkn L Líi gi£i skkn A J E D F O Q C H R B L P ” chøng minh ADOÕ = OAGÕ ta cƒn ch¿ OA = OD:OG hay nâi c¡ch kh¡c cƒn chøng minh hai ữớng trặn (ADG) v (O) trỹc giao vợi Sß dưng ph†p nghàch £o cüc A ta chuy”n v• b i to¡n sau: B i to¡n Cho tam giĂc ABC ni tip ữớng trặn (O) CĂc im E; F ln lữổt nm trản cnh CA; AB ữớng trặn (AEF ) c›t (O) t⁄i D kh¡c A: J l trüc t¥m tam gi¡c AEF:AJ c›t (O) t⁄i L kh¡c A Chøng minh r‹ng t¥m ngo⁄i ti‚p tam gi¡c DJL n‹m tr¶n BC Gi£i b i to¡n Gåi P; Q l Łi xøng cıa D qua BC; EF Gåi R l giao i”m cıa BC v EF Tł t‰nh ch§t i”m Miquel d„ th§y tø gi¡c DF BR nºi ti‚p Ta câ gâc câ c⁄nh t÷ìng øng vng gâc v gâc nºi ti‚p b‹ng nh÷ sau: DPJ = DPQ = ERQ = DRE = DBF = DBA = DCA = DLJ M Łi ÕÕÕÕÕÕÕÕ Tł â tø gi¡c DJLP nºi ti‚p D; P xøng qua BC n¶n tƠm ngoi tip nm trản BC Cho tam giĂc ABC câ t¥m ngo⁄i ti‚p O:P; Q l hai i”m thuºc c⁄nh BC cho BÀI 19 BP = QC:AQ c›t trung trüc BC t⁄i R:H l h…nh chi‚u cıa O lản RP:Kl tƠm ngoi tip tam giĂc P QR:L i xứng vợi A qua OH:D nm trản cnh BC cho DL P K ÷íng thflng qua P song song OA c›t CA; AB t⁄i E; F Chøng minh rng ữớng trặn (D; DP ) tip xúc vợi ÷íng trỈn (AEF ) L Líi gi£i Gåi Y Łi xøng A qua KR th… Y thuºc RP Gåi RP c›t (O) ngo⁄i ti‚p tam gi¡c ABC t⁄i Z kh¡c Y ? Theo t‰nh ch§t Łi xøng d„ th§y AY QP v AY LZ l c¡c h…nh thang c¥n skkn Do â LZY = AY P = AQP = 90 Miquel KP R , suy LZ?P K Õ Õ Õ Õ V“y Z; L; D thflng h ng D„ th§y: DZP = AY P = Y P Q = DP Z Do â DZ = DP = 90 Õ Õ Õ= Õ = Gåi X l giao i”m thø hai kh¡c A cıa (AEF ) v (O), E; F; P thflng h ng, n¶n theo ành l‰ th… X n‹m tr¶n c¡c ÷íng trỈn (BP F ) v (CPE) Ta bi‚n Œi gâc: = PXZ PXB BXZ PFB Õ BY Z OAB Õ n‹m tr¶n ( ÕÕÕÕÕ ) = 90 AQB = PRQ = Õ Õ P DZ tƠm ữớng trặn ngoi tip tam giĂc P XZ T â X Õ Õ Õ = 900 Do â (D; DP ) ti‚p xóc vỵi ACB CAQ L⁄i câ: Õ Õ Õ Ta k‚t hỉp vỵi DP = DZ , suy D l D; DP XEF + 2XDP = XEF + 90 CAQ F EA XPD = XEF + 90 =Õ Õ 900 XEA Õ OAC = ABC = PXF Õ Õ Õ Õ ữớng trặn (AEF ), iãu phÊi chứng minh E Y A F X R H D P B L skkn O K Q Z skkn BÀI 20 (T⁄p ch‰ THTT th¡ng 11, n«m 2016) Cho tam gi¡c ABC nºi ti‚p (O), trỹc tƠm H:P l im bĐt k trản cung BC:P i xứng vợi P qua BC ữớng trặn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c 0 OP P c›t AP t⁄i G Chøng minh r‹ng trüc t¥m tam gi¡c AGO n‹m tr¶n HP L Líi gi£i 0 C¡ch Gåi J l giao i”m cıa OP vỵi AH Ta câ: JAG = GP P = GOJ n¶n tø gi¡c AJGO nºi ti‚p Gåi K l giao i”m thø hai cıa HP vỵi (AGH) Suy G l i”m Miquel cıa tam gi¡c JHP øng vỵi bº i”m (A; O; K) Ta thu ÷ỉc tø gi¡c KGOP nºi ti‚p Gåi Oa l t¥m ngo⁄i ti‚p cıa tam gi¡c BHC; GH giao vỵi (Oa) t⁄i i”m thø hai M Gåi A l giao i”m cıa AH vợi (O) ế ế ế 0 Do hai ữớng trặn (Oa) v (O) i xứng qua BC nản A P = HP 0 Ta câ: GMP = HM P Do hai = HAP = HKG nản M thuc ữớng trặn (OP P ) ệệếệ 0 giao i”m cıa OaH vỵi (OP P ) Do OaH = OaM = OaP , ta thu ÷ỉc H l t¥m nºi Gåi L l 0 ti‚p cıa tam gi¡c LMP Suy GL = GH = GP L⁄i câ:HLP = OaOP V“y 0 = HJP Ư Ư n¶n tø gi¡c HLJP ni tip ữớng trặn tƠm G ế G, ỗng thới AOG = GJH = GHJ nản ữớng trặn (AGO) v (AGH) c›t t⁄i A v R(AGO) = R(AGH) M°t kh¡c GAO = GP O n¶n R(AGO) = R(P GO) Gồi lế ế ỗng quy ti G nản K l ữớng trặn (AGO); (AGK); (KGO) cõ bĂn k‰nh b‹ng v trüc t¥m tam gi¡c AGO Õ Õ Õ C¡ch ( Nguy„n Kh÷ìng Duy) J giao i”m thø hai cıa AH vỵi (AGO) 0 Ta câ: JOG = HAG = GP P = 180 GOP n¶n O; P ; J thflng h ng L⁄i câ GJO = P AO = Th‚ th… Õ = Õ = Õ = Õ 0 Õ Õ l Łi HPP0 ) JGP GP O = GP O nản tam giĂc GJP cƠn ti G Suy = AOP = 2ACP m AHP = ÕÕÕƯ , suy G l t¥m cıa (JHP 0) Gåi K l = ACP Õ Õ giao im thứ hai ca hai ữớng trặn ệ ế (JHP ) v (AGO) GKO OAG GP O Do â K xøng vỵi P qua GO M°t kh¡c,GJ = GK n¶n AG l GP O n¶n OP K = OKP OK = OP iãu õ cõ nghắa ế0l ế Õ Õ Ư Ư ph¥n gi¡c cıa gâc HAK M GKA = GJH = AHG , ta thu ÷ỉc K Łi xøng vỵi H qua AG Õ Õ Õ HP ÷íng thflng Steiner cıa K tam gi¡c AGO hay trỹc tƠm tam giĂc AGO nm trản HP ế (HSG Trung Quc 1992) Cho tứ giĂc lỗi ABCD ni tip ữớng trặn tƠm O ữớng BI 21 cho AC ct BD ti P ữớng trặn ngoi ti‚p c¡c tam gi¡c ABP v ph¥n bi»t kh¡c O Chøng minh OQP = 90 L Líi gi£i CDP c›t t⁄i P v Q Õ Ph¥n t‰ch lới giÊi ỵ thĐy Q chnh l tƠm ca ph†p tü quay bi‚n A th nh C v B th nh D v â cơng l t¥m cıa ph†p tü quay f bi‚n A th nh B v C th nh D Y¶u cƒu cƒn chøng minh tữỡng ữỡng vợi viằc chứng minh im Q; P; M; N nm trản mt ữớng trặn (M; N lƒn l÷ỉt l trung i”m AC; BD) X†t ph†p tü quay f bi‚n AC th nh BD â bi‚n trung i”m cıa AC l M th nh trung i”m cıa BD l N skkn Theo ành ngh¾a ph†p tü quay suy (QM; QN) = (QA; QB) M (QA; QB) = (P A; P B) (do A; P; Q; B nm trản ữớng trặn) Suy (QM; QN) = (P A; QB) Do â bn im P; M; Q; N nm trản ữớng trỈn M ta l⁄i câ O; P; M; N cịng nm trản ữớng trặn ữớng knh OP nản OQPế = 90 ( pcm) skkn BÀI 22 (TST Mÿ 2007) Hai ữớng trặn (O1) v (O2) ct ti P v Q:AC; BD tữỡng ứng l nhng dƠy cung cıa (O1) v (O2) cho o⁄n thflng AB v tia CD c›t t⁄i P Tia BD c›t o⁄n AC t⁄i X i”m Y n‹m tr¶n (O 1) cho P Y song song vỵi BD i”m Z n‹m tr¶n (O 2) cho P Z k AC Chøng minh r‹ng c¡c i”m Q; X; Y; Z còng nm trản mt ữớng thflng L Lới giÊi 0 XQ c›t (O1) t⁄i Y ; c›t (O2) t⁄i Z D thĐy Q l tƠm ca php v tỹ quay bi‚n D th nh C; B th nh A Do â Qcơng l t¥m cıa ph†p tü quay bi‚n D th nh B; C th nh A Theo c¡ch x¡c ành t¥m cıa ph†p tü quay n y th Q nm trản ữớng trặn ngoi0 tip tam gi¡c XDC Do X; D; Q; Ccịng n‹m tr¶n ữớng trặn nản DXQ = DCQ = P Y Q Suy DX k P Y V“y Õ Õ Ö Y Y Ta câ DPÖZ = DQXÕ = DCXÕ 0 Suy P Z k AC V“y Z Z V“y c¡c i”m Q; X; Y; Z nm trản mt ữớng thflng BI 23 Cho tam giĂc ABC:D l mt im bĐt k trản BC Gồi (O1) l ữớng trặn tip xúc vợi AB; BC v tip xúc ngo i vợi ữớng trặn ngoi tip tam giĂc ADC, (O 2) l ữớng trặn tip xúc vợi AC; BC v tip xúc ngo i vợi ữớng trặn ngoi tip tam giĂcADB Gồi E; F ln lữổt l ti‚p i”m cıa (O 1) v (O2) vỵi BC; G l ti‚p i”m cıa (O 1) vỵi (ADC); H l ti‚p i”m cıa (O 2) vỵi (ADB) Chøng minh rng ữớng trặn ngoi tip cĂc tam giĂc BHF; CGE v ữớng trặn ữớng knh BC ỗng quy L Lới gi£i BŒ • Cho bŁn i”m A; B; C; D theo thứ tỹ nm trản mt ữớng thflng Gåi $ 1; $2; $3; $4 lƒn l÷ỉt l ÷íng trặn bĐt k qua cĂc cp im (A; B); (B; C); (C; D); (A; D):X; Y; Z; T lƒn l÷ỉt l giao im thứ hai ca cĂc cp ữớng trặn $ v $2; $2 v $3; $3 v $3; $4 v $1 Khi â X; Y; Z; T thuc mt ữớng trặn Chứng minh (XT; XY ) (XT; XB) + (XB; XY ) (mod ) (AT; AB) + (CB; CY ) (mod ) (AT; AD) + (CD; CY ) (mod ) (AT; AD) + (ZD; ZY ) (mod ) (AT; AD) + (ZD; ZT ) + (ZT; ZY ) (mod ) (ZT; ZY ) (mod ) V“y bŁn i”m X; Y; Z; T cịng thuºc mºt ÷íng trỈn Trð l⁄i b i to¡n Gåi K l ti‚p i”m cıa (O1) vỵi AB:(AKG) c›t (CEG) lƒn thø hai t⁄i I:EK c›t AI; CI theo thø tü t⁄i N; M p döng ành l‰ Miquel cho tam gi¡c AKN vỵi bº ba i”m K; E; I ta câ (AKI) c›t (KKE) t⁄i G n¶n G l i”m Miquel cıa tam gi¡c AKN øng vỵi ba i”m K; E; I hay N thuc ữớng trặn (CEG) Tữỡng tỹ ta cụng chứng minh ữổc, M thuc ữớng trặn (AKG) Gồi C l giao i”m cıa (AMN) vỵi (IEN) p dưng bŒ • tr¶n cho i”m M; K; E; N v ữớng trặn (MKI); (O1); (NEI) v (MAN) ta thu ÷ỉc (AGC ) ti‚p xóc vỵi (O1) Tł â suy C trịng vỵi C hay tø gi¡c AMN C nºi ti‚p Suy IABÔ = IMKÕ = IAC;ÔICBÔ = IENế = ICAễ hay I l tƠm ữớng trặn nºi ti‚p cıa tam gi¡c ABC Ta câ: AGIÔ = AMIÕ = CNIÕ = IGCƠ hay GI l ph¥n gi¡c cıa AGCÕ T÷ìng tü, (BHF ) cơng i qua I v HI l ph¥n gi¡c cıa gâc BHà Gåi L l giao i”m thø hai cıa (BHF ) v (CGE) skkn Ta câ: 1 BLCÕ = BLIÔ + CLIƠ = BHIÕ + CGIƠ = BHÃ+ CGà = ADBÕ + ADCÕ 90 ( pcm) skkn = C BÀI TŠP TÜ LUY›N B i (Arab Saudi IMO Training Test 2017) Cho tam gi¡c ABC nºi tip ữớng trặn (O), trỹc tƠm H Trung tuyn AM c›t (O) lƒn thø hai t⁄i N:AH c›t (O) t⁄i K C¡c ÷íng thflng KN; BC v ÷íng thflng qua H vng gâc vỵi AN c›t t⁄o th nh tam gi¡c XY Z Chøng minh r‹ng (XY Z) ti‚p xóc vỵi (O) B i Cho tam gi¡c ABC Mt ữớng trặn O a qua B; C ct AC; AB lƒn l÷ỉt t⁄i E; F:BE giao CF t⁄i P Gåi M l trung i”m cıa BC; L Łi xứng vợi K qua M CĂc ữớng thflng P K; QL; BC c›t t⁄o th nh tam gi¡c XY Z Chøng minh r‹ng (XY Z) ti‚p xóc vỵi (ABC) B i Cho tam gi¡c ABC nºi ti‚p ÷íng trỈn (O) Gåi A l i”m Łi xøng cıa A qua O Trung tuy‚n 0 AM cıa tam gi¡c ABC c›t BA ; CA lƒn l÷ỉt t⁄i L v K C¡c ÷íng thflng qua L vng gâc vỵi BA , qua K v vng gâc vỵi CA v ÷íng thflng OM c›t t⁄o th nh tam gi¡c XY Z Gåi P l giao cıa hai ti‚p tuy‚n t⁄i B v C cıa (O) Chøng minh r‹ng (AMP ) ti‚p xóc vỵi (XY Z) B i Cho tam giĂc ABC Mt ữớng trặn bĐt k qua B; C c›t AC; AB lƒn l÷ỉt t⁄i E; F: BE c›t CF t⁄i P Mºt ÷íng thflng d b§t k… qua A c›t BE; CF lƒn lữổt ti L; K ữớng thflng d flng giĂc vợi d gâc BACÕ c›t BE; CF lƒn l÷ỉt t⁄i M; N: M K c›t LN t⁄i X: MK; LN c›t BC lƒn l÷ỉt t⁄i Z; Y Chøng minh rng ữớng trặn ngoi tip tam giĂc BP C v XY Z tip xúc vợi skkn D HẻNG DN GIƒI B i Gi£ sß tr‰ c¡c i”m X; Y; Z nh÷ h…nh v‡ Gåi T l giao i”m thø hai cıa (AH) vỵi (O); P l h…nh chi‚u cıa H tr¶n AM; Q l i”m Łi xøng cıa A qua O: D„ th§y, T; H; M; Q thflng h ng Ta câ: HXK = 90 K· ti‚p PNX = 90 Ö Õ ANK = 90 Õ AQK = KAQ = KT H Suy tø gi¡c Õ Õ Õ XKHT nºi ti‚p Do HP ?AM; Y M?AH nản Y l trỹc tƠm tam giĂc AHM; suy Y; T; A thflng h ng Tł âÕTÕ ÕXK = T HA = T Y B hay tø gi¡c ZXY T nºi ti‚p V“y hai tuy‚n T x cıa (O): Ta câ: XT x = XT K xT K = XHK ÕÕÕỮÕÕ TAK = TY H = TZX: Suy T x ỗng thới l tip tuyn ca (XY Z): ữớng trặn (XY Z) v (O) tip xóc t⁄i T: B i Gi£ sß tr‰ cıa ba i”m X; Y; Z nh÷ h…nh v‡ Gåi T l giao im ca ữớng trặn ữớng knh AP vợi ữớng trặn (O) ngoi tip tam giĂc ABC Do P K?AOa n¶n theo ành l‰ Brocard, Z l giao i”m cıa EF v AT Gåi H; H ln lữổt l trỹc tƠm cĂc tam giĂc ABC; AEF: Hb; Hc lƒn l÷ỉt l h…nh chi‚u cıa F; E tr¶n AC; AB: 0 0 Ta câ: H F :H Hb = H E:H Hc suy H thuºc trưc flng ph÷ìng cıa (BE) v (CF ): Chøng minh t÷ìng tü ta suy HH l trưc flng ph÷ìng cıa (BE) v (CF ): M P E:P B = P F :P C n¶n P; H; H thflng h ng Do 0aT ?AZ n¶n T l i”m Miquel cıa tø gi¡c to n phƒn BF ECAZ: Suy T cõ chung ữớng thflng Simson vợi hai tam gi¡c AEF; ABC: Do ÷íng thflng Steiner l £nh cıa ÷íng thflng Simson qua ph†p tü tƠm T t s nản HH l ữớng thflng Steiner cıa T øng vỵi hai tam gi¡c AEF; ABC hay P H l ÷íng thflng Seiner cıa P øng vỵi tam gi¡c ABC: K†o d i AH c›t (O) t⁄i R, suy T R i qua O Ta câ: ZP :ZK = PZ=(Oa) = ZB:ZC Suy tø gi¡c BP KC nºi ti‚p Gåi U l Łi xøng cıa P qua M: Ph†p Łi xøng t¥m M bi‚n ÷íng trỈn (BP KC) th nh (BLU C) L⁄i câ Q i xứng vợi P qua BC nản QU k BC v QB = QP = UC hay tø gi¡c BQU C l hnh thang cƠn Vy nôm im B; Q; L; U; C ỗng viản Ta cõ: P K k UL n¶n P XL = 180 QLU:(1) Goi V l giao i”m thø hai cıa P Q vỵi (BQC): W l i”m Łi xøng cıa A qua O: Do hai ữớng trặn (BP C) v (BQC) i xứng vợi qua BC nản P l trỹc tƠm ca tam giĂc BV C: ỗng thới, UV i qua tƠm ngo⁄i ti‚p tam gi¡c V BC n¶n QV U = jV BC V CBj: ABP L⁄i câ ACP n¶n V BA = V CA: Õ Ta câ: = = Õ Suy jV BC (O): V“y QV U = QTP (2) M°t Õ Õ Tł (1) v Õ V CBj = jABC ACBj = RAW = RT W = QT P : ÕÕÕÕÕÕÕ QT P (2) suy ST P 900 QXP = TQP = 90 B i Õ Gåi Õ Õ Õ Õ kh¡c, ST X = 900 XT P Q ni tip ữớng trặn (S): hay tø gi¡c TRA = 90 Õ Õ Õ T W A = T AW : Suy ST l ti‚p tuy‚n cıa Õ Õ Õ T P X = T ZP = T Y X: Suy ST l ti‚p tuy‚n cıa (XY Z): lƒÕ Õ Õ Õ O v (XY Z) ti‚p xóc vỵi t⁄i T: ế Vy hai ữớng trặn ( ) ế GiÊ sò tr‰ c¡c i”m X; Y; Z nh÷ h…nh v‡ U; V n l÷ỉt l giao i”m thø hai cıa AM; AP vỵi (O): BA giao OM t⁄i E: Ta câ MEC = MEB = ABC = MU C n¶n tø gi¡c MEU C nºi ti‚p skkn 90 = Ö Ö Õ Ö Suy EUM = ECM = EBM = EXL hay tø gi¡c ELUX nºi ti‚p Tł â EUX = ELX = ƯƯỮ Õ Õ EUC Suy X; U; C thflng h ng Õ skkn Do U; V Łi xøng qua OM n¶n B; V; X thflng h ng Chøng minh t÷ìng tü, ta công câ B; Y; U v C; 0Y; V lƒn l÷ỉt thflng h ng Ta câ Y V X = BA K = Y ZL n¶n tø gi¡c XZY V ni tip ữớng trặn (J) ế ệ ế Do õ JV ÕC = 900 Gåi V XY = V BC hay JV l ti‚p tuy‚n cıa (O) Tł â (XY Z) trüc giao vỵi Õ Õ l (O):(1) M°t kh¡c, k†o d i P M c›t (O) t⁄i hai i”m W; S th… (T MSW ) = 1: Suy PO=(AMP ) = OM :OP = OB n¶n (AMP ) trüc giao vỵi (O):(2) T giao i”m thø hai cıa (XY Z) v (O) th… T l i”m Miquel cıa tø gi¡c to n phƒn AMY V CX Suy T MP = T BX = T AP hay T (AMP ):(3) cıa ( ) hay ( )ÕÕÕ T (1), (2), (3) suy ữớng ni tƠm cĂc ữớng trặn (AMP ); (XY Z) nm trản tip tuyn t⁄i T O AMP ti‚p xóc vỵi (XY Z) t⁄i T: B i Gåi T l giao i”m kh¡c P cıa (MXL) v (NXK) Khi â T l t¥m tü quay cıa hai o⁄n thflng LM v NK Do B; C; E; F ỗng viản nản AEB BAC nản LM = NK AF C: Li cõ hai ữớng thflng d v d : Õ MB KC Suy T l t¥m tü quay cıa hai o⁄n thflng LB v NC Khi â, T l giao i”m ca hai ữớng trặn (BP C) v (LP N): Suy T l i”m Miquel cıa tø gi¡c to n phƒn BP N Y LC; suy L (NY C) T õ T ỗng thới l im Miquel ca tø gi¡c to n phƒn Y NKZXC; suy T V“y ta ch¿ cƒn chøng minh T Y; T Z flng gi¡c BT C: Suy Do d v = d0 = = = , flng gi¡c BAC n¶n ALE = ANF ; suy tø gi¡c MN KL nºi ti‚p CTZ CKZ XKN MLN Õ Õ Õ Õ BT Y ÕÕƯỮ skkn i•u ph£i chøng minh flng gi¡c (XY Z) E LÍI CƒM ƠN VÀ TÀI LI›U THAM KHƒO S¡ng ki‚n ÷ỉc ho n th nh, khỉng th” khỉng k” tỵi c¡c t i liằu hay, vợi chnh cĂc tĂc giÊ m cặn vợi nhiãu giĂo viản hồc sinh Xin ữổc cÊm ỡn cĂc thy cổ giĂo rĐt nhiãu SĂng kin dũ  ữổc chnh sòa kắ c ng song khổng th trĂnh khọi sai sõt, rĐt mong cĂc thy v cĂc em sòa cha, gòi li cĂc gõp ỵ cho chúng tổi Sau Ơy l cĂc u sĂch sò dửng chuyản ã: Nguyn Minh H , Hnh hồc phflng nh hữợng, NXB D¥n tr‰, 2015 Trƒn Quang Hịng, MØi tuƒn mºt b i to¡n h…nh håc, NXB HQG H Nºi, 2017 To¡n håc tuŒi tr· Nguy„n V«n Linh,108 b i to¡n h…nh håc c§p,NXB HQG H Nºi, 2018 Yufei Zhao, Cyclic Quadrilaterals The Big Picture BALKAN MATHEMATICAL OLYMPIAD, 2009 Yufei Zhao,Three Lemmas in Geometry C¡c b i to¡n tr¶n c¡c di„n n to¡n nh÷ https://artofproblemsolving.com, di„n n to¡n håc, skkn ... B…nh, ng y 15 th¡ng n«m 2019 X CNH NCÕAL NH O ÌN VÀ CÌ S— Ngữới np ỡn (Kỵ v ghi rê hồ tản) Nguyn Tr÷íng Sìn skkn skkn PHƯ LƯC A ĐÀNH LÍ MIQUEL VÀ MËT SÈ TÍNH CH‡T LIÊN QUAN B i to¡n Cho tam gi¡c... Tr…nh Nºi dung º cỉng vi»c hØ chuy¶n trỉ mỉn Nguy„n B‰ch Ngåc 1976 THPT Chuyản GiĂo viản i hồc Dy ni dung Lữỡng Vôn Tưy ành l‰ Miquel Ngỉ Thà Hoa 1979 THPT Chuyản GiĂo viản Thc sắ Dy ni dung Lữỡng... ch§t T‰nh ch§t T‰nh ch§t B Mºt sŁ b i toĂn liản quan tợi im Miquel C B i tỹ luyằn D Hữợng dÔn giÊi E Líi c£m ìn v t i li»u tham kh£o skkn skkn MˆU M2 C¸NG H`A X H¸I CHÕ NGH A VI T NAM ¸CL P-TÜDO-H
Ngày đăng: 09/02/2023, 14:01
Xem thêm:
