CHƯƠNG I C¥ Lý THUYÕT 1 HÖ §¹I HäC CHÝNH QUY BµI 1 Sè tiÕt gi¶ng 02 Môc tiªu cña bµi KiÕn thøc Tr×nh bµy ®îc c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n VËt r¾n tuyÖt ®èi, lùc vµ tr¹ng th¸i c©n b»ng; Tr×nh bµy ®îc c¸c tiª.
CƠ Lý THUYếT Hệ ĐạI HọC CHíNH QUY BàI Số tiết giảng: 02 Mục tiêu - Kiến thức: Trình bày đợc khái niệm bản: Vật rắn tuyệt đối, lực trạng thái cân bằng; Trình bày đợc tiên đề tĩnh học: Tiên đề cân bằng, tiên đề hình bình hành lực, tiên đề giải phóng liên kết, - Kỹ năng: Phân tích đợc thành phần phản lực tác dụng lên vật rắn - Thái độ: Tuân thủ phơng, chiều phản lực liên kết giải phóng liên kết NộI DUNG BàI GIảNG CHNG I CC KHI NIM C BẢN - HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Tĩnh học vật rắn phần học chuyên nghiên cứu cân vật rắn tác dụng lực Trong phần tĩnh học giải hai toán bản: Thu gọn hệ thực dạng đơn giản Tìm điều kiện cân hệ lực Để giải toán trên, ta cần nắm vững khái niệm sau đây: 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Vật rắn tuyệt đối Vật rắn tuyệt đối vật mà khoảng cách hai điểm vật ln ln khơng đổi (hay nói cách khác dạng hình học vật giữ nguyên) tác dụng vật khác Trong thực tế vật rắn tương tác với vật thể khác có biến dạng Nhưng biến dạng bé, nên ta bỏ qua nghiên cứu điều kiện cân chúng Ví dụ: Khi tác dụng trọng lực P dầm AB phải võng xuống, CD phải giãn (hình 1.1) b) a) Hình 1.1 Nhưng độ võng dầm độ dãn bé, ta bỏ qua Khi giải toán tĩnh học ta coi dầm không võng không dãn mà kết Trang đảm bảo xác tốn đơn giản Trong trường hợp ta coi vật rắn vật rắn tuyệt đối mà tốn khơng giải được, lúc ta cần phải kể đến biến dạng vật Bài toán nghiên cứu giáo trình sức bền vật liệu Để đơn giản, từ sau giáo trình coi vật rắn vật rắn tuyệt đối Đó đối tượng để nghiên cứu giáo trình 1.1.2 Lực Trong đời sống ngày, ta có khái niệm lực ta xách vật nặng hay đầu máy kéo toa tàu Từ ta đến định nghĩa lực sau: Lực đại lượng đặc trưng cho tác dụng tương hỗ học vật vật khác mà kết làm thay đổi chuyển động biến dạng vật Qua thực nghiệm, tác dụng lực lên vật xác định ba yếu tố: - Điểm đặt lực: điểm mà vật truyền tác dụng tương hỗ học từ vật khác - Phương chiều lực: phương chiều chuyển động từ trạng thái yên nghỉ chất điểm (vật có kích thước bé) chịu tác dụng lực - Cường độ lực số đo tác dụng mạnh, yếu lực so với lực chọn làm chuẩn gọi đơn vị lực Đơn vị lực Niutơn kí hiệu N Đơn vị đo cường độ lực hệ SI Newton (kí hiệu N) Vì vậy, người ta biểu diễn lực véctơ Ví dụ: Lực F biểu diễn véctơ AB (hình 1.2) Phương chiều véctơ AB biểu diễn phương chiều lực F , độ dài véctơ AB theo tỉ lệ chọn biểu diễn trị số lực, gốc véctơ biểu diễn điểm đặt lực, giá véctơ biểu diễn phương tác dụng lực Hình 1.2 1.1.3 Trạng thái cân vật Một vật rắn trạng thái cân vật nằm yên hay chuyển động vật khác “làm mốc” Để thuận tiện cho việc nghiên cứu người ta gắn lên vật chuẩn “làm mốc” hệ trục toạ độ mà với tạo thành hệ quy chiếu Ví dụ: hệ trục toạ độ Đề-các Oxyz chẳng hạn Trong tĩnh học, ta xem vật cân vật nằm yên so với trái đất 1.1.4 Một số định nghĩa Hệ lực Trang Hệ lực tập hợp nhiều lực tác dụng lên vật rắn Hệ lực gồm lực F 1, F 2… F n kí hiệu ( F 1, F 2… F n) Hệ lực tương đương Hai hệ lực tương đương nhau, hệ lực tác dụng lên vật rắn có trạng thái học Dựa vào tác dụng học hệ lực ta có: hệ lực tương đương với hệ lực khác có tác dụng học hệ lực Hai hệ lực tương đương ( F 1, F 2… F n) ( φ , φ φ n ) kí hiệu sau: ( F 1, F 2… F n) ∼ ( φ , φ φ n ) (1.1) Hệ lực cân Hệ lực cân hệ lực mà tác dụng nó, vật rắn tự trạng thái cân Hợp lực Hợp lực hệ lực tương đương với hệ lực Gọi R hợp lực hệ lực ( F 1, F 2… F n) , ta có: R ∼ ( F 1, F 2… F n) 1.2 Hệ tiên đề tĩnh học Trên sở thực nghiệm nhận xét thực tế, người ta đến phát biểu thành mệnh đề có tính chất hiển nhiên không cần chứng minh làm sở cho môn học gọi tiên đề 1.2.1 Tiên đề 1: (Hai lực cân bằng) Điều kiện cần đủ để hai lực tác dụng lên vật rắn cân chúng có phương tác dụng, ngược chiều trị số Trên hình 1.3 vật rắn chịu tác dụng hai lực F Hình 1.3 F cân Ta kí hiệu : ( F , F )~ Đó điều kiện cân đơn giản cho hệ lực có lực 1.2.2 Tiên đề 2: (Thêm bớt hệ lực cân bằng) Tác dụng hệ lực lên vật rắn không thay đổi ta thêm vào hay bớt hai lực cân Theo tiên đề này, hai hệ lực khác hệ lực cân chúng hồn tồn tương đương Từ hai tiên đề trên, ta có hệ quả: Trang Hệ trượt lực: Tác dụng hệ lực lên vật rắn không thay đổi ta dời điểm đặt lực phương tác dụng Chứng minh: Giả sử ta có lực F tác dụng lên vật rắn đặt điểm A (hình1.4) Trên phương tác dụng lực F ta lấy điểm B đặt vào hai lực F , F2 cân nhau, có véctơ hình vẽ trị số F Hình 1.4 Theo tiên đề thì: F ∼ ( F 1, F 2, F ) Nhưng theo tiên đề thì: ( F , F ) ~ 0, ta bỏ Như vậy, ta có F ∼ ( F 1, F 2, F ) ∼ F Điều chứng tỏ lực F trượt từ A đến B mà tác dụng lực khôngđổi Hệ chứng minh Chú ý: Hai tiên đề hệ cho vật rắn tuyệt đối Còn vật rắn biến dạng tiên đề 1, hệ trượt lực khơng cịn Ví dụ: Trên hình 5, mềm AB chịu hai lực F , F2 tác dụng không cân biến dạng, cịn trượt lực từ trạng thái bị kéo sang bị nén 1.2.3 Tiên đề 3: (Hợp hai lực) Hình 1.5 Hai lực tác dụng lên vật rắn đặt điểm có hợp lực đặt điểm xác định đường chéo hình bình hành mà cạnh lực (hình1.6) Tiên đề khẳng định hai lực có điểm đặt có hợp lực R Về phương diện véctơ: R = F + F2 (1.2) Nghĩa véctơ R tổng hình học véctơ F F Tứ giác OACB gọi hình bình hành lực Về trị số : R = F + F + F1.F2 cos α 2 Hình 1.6 (1.3) (trong α góc hợp hai véctơ F F Tiên đề trên, áp dụng cho hệ lực động quy O, ta có định lý sau: Định lý I: Một hệ lực đồng quy tác dụng lên vật rắn có hợp lực đặt điểm đồng quy véctơ hợp lực tổng hình học véctơ lực thành phần Chứng minh: Giả sử ta có hệ lực ( F 1, F 2… F n) tác dụng lên vật rắn đặt điểm O (hình 1.7) Áp dụng tiên đề 3, ta hợp F F lực: Trang R1 = F + F2 cách vẽ véctơ AB = F2 nối OB lực R1 Bây ta hợp R1 F3 ta được: R2 = R1 + F3 = F1 + F2 + F3 Bằng cách vẽ véctơ BC = F3 , nối OC R2 Tiến hành tương tự đến lực Fn ta hợp lực hệ lực gồm n lực Hình 1.7 Định lý II: Nếu ba lực tác dụng lên vật rắn cân nằm mặt phẳng không song song ba lực phải đồng quy Chứng minh: Giả sử, vật rắn chịu tác dụng ba lực F1 , F2 , F3 cân Theo giả thuyết hai lực F1 , F2 nằm mặt phẳng không song song nên phương tác dụng chúng giao điểm O chẳng hạn Ta chứng minh F3 qua O (hình 1.8) Hình 1.8 Thật vây, theo tiên đề hai lực F1 , F2 có hợp lực R đặt O: R = F + F2 Vì ( F 1, F F 3) ∼ nên ( R , F2 ) ∼ Theo tiên đề 1, hai lực cân chúng có phương tác dụng Vậy đường tác dụng lực F3 phải qua O (hình 1.8) 1.2.4 Tiên đề 4: (Tiên đề tác dụng phản tác dụng) Ứng với lực tác dụng vật lên vật khác, có phản lực tác dụng trị số, phương tác dụng, ngược chiều Giả sử vật B tác dụng lên vật A lực F ngược lại vật A tác dụng lên vật B lực F = − F Hai lực có trị số nhau, ngược chiều nhau, khơng Hình 1.9 cân chúng đặt lên hai vật khác ( hình 1.9 ) 1.2.5 Tiên đề 5: (Nguyên lý hoá rắn) Nếu tác dụng hệ lực vật biến dạng Nhờ tiên đề vật biến dạng cân tác dụng hệ lực cho, ta xem Trang vật vật rắn để khảo sát điều kiện cân 1.2.6 Tiên đề 6: (Tiên đề giải phóng liên kết) Một vật rắn từ vị trí đến vị trí xét thực di chuyển phía gọi vật tự Ví dụ bóng bay Nhưng thực tế, phần lớn vật khảo sát trạng thái không tự nghĩa số di chuyển vật bị vật khác cản lại Những vật gọi vật không tự hay vật chịu liên kết Tất đối tượng ngăn cản di chuyển vật khảo sát gọi liên kết Ví dụ: Hộp phấn để mặt bàn, mặt bàn ngăn cản hộp phấn di chuyển xuống phía dưới, (hình 1.10) Hộp phấn vật chịu liên kết mặt bàn vật gây liên kết.Theo tiên đề vật chịu liên kết tác dụng lên vật gây liên kết lực, ngược lại vật gây liên kết tác dụng lên vật chịu liên kết lực Chính lực ngăn cản chuyển động vật, ta gọi phản lực liên kết Ví dụ hình 1.10, lực N phản lực liên kết mặt bàn tác dụng lên hộp phấn nhằm ngăn cản hộp phấn di chuyển xuống phía Hình 1.10 Ta nhận thấy, phản lực liên kết lực thụ động, có chiều ngược với chiều mà vật khảo sát muốn di chuyển bị liên kết ngăn cản lại Theo phương đó, khơng bị liên kết ngăn cản theo phương thành phần phản lực liên kết không 1.3 Một số liên kết thường gặp 1.3.1 Liên kết tựa Vật tựa mặt nhẵn (hình 1.11a) hay giá tựa lăn (hình 1.11b) theo phương pháp tuyến mặt trụ, vật khảo sát bị cản trở phản lực N theo hướng Cịn tựa lên điểm nhọn C (hình 1.11c) phản lực N vng góc với a) b) Hình 1.11 1.3.2 Liên kết lề - Bản lề trụ:(hình 1.12) Trang c) Vật di chuyển theo phương vuông góc với trục lề bị ngăn cản, nên phản lực R A có phương vng góc với trục lề - Bản lề cầu (hình 1.13) phản lực R có phương qua tâm O lề chuyển động vật theo hướng bị ngăn cản Hình 1.12 Hình 1.13 Trang 1.3.3 Liên kết dây mềm Theo hướng dây kéo căng vật bị cản trở, nên phản lực dây T1 ,T2 hướng dọc dây phía ngồi vật (Hình 1.14) 1.3.4 Liên kết Dầm AB chịu liên kết CD với lề C D Trên CD khơng có lực tác dụng bỏ qua trọng Hình 1.14 lượng phản lực R hướng dọc (hình 1.15) Để chứng minh điều này, ta tách CD khảo sát áp dụng tiên đề phản lực R C phải qua lề D Đối với cong ta chứng minh Trong tĩnh học, Hình 1.15 toán xác định phản lực toán quan trọng Phương chiều, trị số phản lực xác định cụ thể tuỳ theo tốn nhờ có tiên đề giải phóng liên kết sau Trang BµI Sè tiết giảng: 02 Mục tiêu - Kiến thức: Trình bày đợc khái niệm, phơng pháp xác định mô men cđa mét lùc ®èi víi mét ®iĨm, ngÉu lùc mô men lực trục - Kỹ năng: Xác định đợc mô men ngẫu lực Xác định đợc mô men lực điểm trục - Thái độ: Tuân thủ quy ớc dấu mô men NộI DUNG BàI GIảNG 1.4 Lý thuyt v mụmen lc 1.4.1 Mômen lực điểm Thực tế cho ta thấy có điểm cố định O, chịu tác dụng lực F vật quay quanh điểm Tác dụng lực F làm vật quay xác định ba yếu tố: - Phương mặt phẳng chứa lực F điểm O - Chiều quay vật quanh trục qua O vng góc với mặt phẳng - Tích số, trị số lực F chiều dài cánh tay đòn d lực F điểm O (d đoạn thẳng vng góc kẻ từ điểm O đến đường tác dụng lực F ) Từ ta suy định nghĩa sau: Định nghĩa: Mômen lực F điểm O véctơ đặt điểm O có phương vng góc với mặt phẳng chứa lực F điểm O, có chiều ta nhìn từ mút đến thấy lực F hướng quanh O ngược chiều kim đồng hồ, có độ dài tích trị số lực F với cánh tay địn lực F điểm O (hình 1.16) Trang Biểu thức véctơ mômen lực Từ định nghĩa trên, ta có trị số mơmen lực điểm O là: M o ( F ) = F d = 2dt∆OAB (Trong F.d hai lần diện tích tam giác OAB, tính trị số mà không kể đơn vị) Nếu ta gọi véctơ r = AB véc Hình 1.16 tơ bán kính điểm đặt A lực F xác định véctơ r ∧ F so sánh với véctơ mômen lực F điểm O M o (F ) = r ∧ F (1.4) Véctơ mômen lực điểm tích véctơ bán kính điểm đặt lực với lực Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, ta gọi hình chiếu chiếu lực F X, Y, Z hình chiếu véctơ r x, y, z (x, y, z toạ độ điểm A) Do ta có: i M o (F ) = r ∧ F = x X j y Y k z Z Trong i, j, k véctơ đơn vị trục toạ độ x, y, z Từ đó, ta suy hình chiếu véctơ mơmen lực F là: M ox ( F ) = y.Z − z.Y M oy ( F ) = x.Z − z X (1.5) M oz ( F ) = xY − y X Nếu biết hình chiếu này, véctơ mơmen M o (F ) hoàn toàn xác định Trong trường hợp lực tác dụng lên vật mặt phẳng, ta coi mặt phẳng chứa lực F điểm O xác định Vì mơmen lực F điểm O mặt phẳng lượng đại số cộng trừ tích số trị số lực F với chiều dài cánh tay đòn lực F điểm O Ta kí hiệu : Trang 10 BµI 13 Sè tiết giảng: 02 Mục tiêu - Kiến thức: Trình bày đợc định lý hợp gia tốc, biểu thức gia tốc Côriôlít, phơng uur pháp thực hành xác định phơng, chiều trị số Wk - Kỹ năng: Xác định đợc gia tốc điểm chuyển động tổng hợp - Thái độ: Tuân thủ trình tự giải toán chuyển động tổng hợp NộI DUNG BàI GIảNG 7.3 Định lý hợp gia tốc 7.3.1 Định lý Ở thời điểm, gia tốc tuyệt đối điểm tổng hình học gia tốc theo, gia tốc tương đối gia tốc Côriôlit Wa = W e + W r + W k Trong đó: (7.3) dx d i dy d j dz d k W k = 2 + + dt dt dt dt dt dt (7.4) Chứng minh: Lấy đạo hàm bậc theo thời gian vận tốc tuyệt đối điểm ta có gia tốc tuyệt đối: Wa = d Va dt di dj dk d d r0 dx dy dz Wa = + x + y + z + i + j + k dt dt dt dt dt dt dt dt d 2i d2 j d2k d r0 W a = + x + y + z dt dt dt dt dx d i dy d j dz d k 2 + + dt dt dt dt dt dt 2 +d xi + d y j + d z k dt dt dt + Bốn hạng thức gia tốc trùng điểm đạo hàm cấp hai theo thời gian véctơ định vị trùng điểm hệ trục cố định Theo định nghĩa gia tốc theo động điểm Ba hạng thức gia tốc tương đối động điểm đạo hàm cấp hai theo thời gian toạ độ điểm hệ trục động, biểu thức cuối gọi gia tốc Côriôlit, ký hiệu W k Trang 77 7.3.2 Biểu thức gia tốc Côriôlit a Nếu hệ toạ độ động Oxyz chuyển động tịnh tiến véctơ i , j , k đại lượng khơng đổi theo thời gian, vậy: di dt = dj dt = dk =0 dt Khi W k = gia tốc tuyệt đối động điểm là: Wa = W e + W r b Nếu hệ toạ độ động Oxyz chuyển động quay quanh trục cố định ∆ với vận tốc góc ω e véctơ đơn vị đại lượng thay đổi hướng theo thời gian, ta cần phải tính: di dt , dj dt , dk dx d i + dy d j + dz d k Mà W k = 2 dt dt dt dt dt dt dt Muốn vậy, xem véctơ đơn vị i = OM = rM điểm M nằm trục Ox cách O đoạn đơn vị chiềudài, ta có: di dt = d rM = VM dt Vì VM = ωe ∧ OM = ωe ∧ rM = ωe ∧ i Vậy: di dt = ωe ∧ i Tương tự véctơ j , k ta nhận được: dj dt = ωe ∧ j , Hình 7.3 dk dt = ωe ∧ k Từ kết nhận trên, ta có: dx d i dy d j dz d k W k = 2 + + dt dt dt dt dt dt 2ω ∧ dx i + dy j + dz k = 2ω ∧ V e e r = dt dt dt Vậy: W k = 2ωe ∧ Vr (7.5) Chú ý: Trong trường hợp ωe=0 hệ toạ độ động tịnh tiến, Trang 78 ω e song song với Vr dẫn đến W k =0 7.3.3 Phương pháp thực hành xác định phương, chiều trị số W k Vì W k = 2ωe ∧ Vr véctơ vng góc với mặt phẳng xác định ωe Vr nên: - Nếu Vr ⊥ ωe , quay Vr mặt phẳng chứa vng góc với ωe góc 900 theo chiều quay ωe ta Hình 7.4 phương chiều W k với độ lớn : Wk= 2.ωe Vr - Nếu Vr khơng vng góc với ωe , ta chiếu Vr lên mặt phẳng vng góc với ωe quay hình chiếu mặt phẳng vng góc với ωe góc 900 theo chiều quay ωe ta phương chiều W k độ lớn: Hình 7.5 Wk= 2.ωeVr.sinα ( góc α góc tạo ωe Vr ) Ví dụ 1: (Bài tốn tổng hợp) Tam giác vng ABC có cạnh huyền AB = 2a =20cm góc CBA =α =60 quay quanh trục Cz1 theo quy luật φ = 10t –2t2 Trên AB có điểm M dao động xung quanh trung điểm O theo quy luật sau: ξ = a.cos(πt/3) (Trục Oξ hướng dọc theo OA) Hãy xác định gia tốc tuyệt đối điểm M thời điểm t = 2s Bài giải : Ta xác định vị trí điểm M quỹ đạo tương đối AB thời điểm t=2s: ξt=2 = a.cos ( 2π a )=− Vậy M trung điểm OB Xác định Vr Vì chuyển động tương đối chuyển động thẳng nên: Hình 7.6 Trang 79 Vr ( t = 2) = − π 5π a 3=− (cm/s) 6 Dấu (-) thể t = 2s, chuyển động quay hướng ngược chiều kim đồng hồ (nếu nhìn từ phía đầu trục Cz1) quay chậm dần Xác định W r Vì chuyển động tương đối chuyển động thẳng nên: Wr = dVr π2 π =− a cos( t ) dt Wr ( t = ) = π2 5π a= 18 Xác định W r Vì chuyển động tam giác chuyển động kéo theo điểm M Gia tốc We M gia tốc điểm tam giác mà điểm M trùng với Điểm chuyển động theo vịng trịn bán kính MD =h mà thời điểm t = 2s có: h= a (cm) sin α = 2 We =W τ e + W n e (t=2 s) Weτ = gh = −10 (cm/s2), Wen = ω h = 10 (cm/s2 τ Véc tơ W e có hướng vng góc với mặt phẳng ABC có chiều hình vẽ n W e hướng dọc theo MD phía trục Cz1 Xác định W k : Về trị số Wk = 2.ωeVrsinα = 10π cm/s2 Phương chiều véc tơ W k hình vẽ Xác định W a W a = W e +W r +W k Tại thời điểm t = 2s ta dựng hệ trục Oxyz (hình vẽ) tìm hình chiếu véctơ trêncác trục đó: Wax = Wk + Weτ = 10π + 10 (cm/s2) 5π Way = Wr sin α = − 10 = 12.6 (cm/s2) 18 5π Waz = −Wr cos α = = −2.7 (cm/s2) 18 Trang 80 Wa = Wax2 + Way2 + Waz2 = 50.4 (cm/s2) Vậy: ta dựng véctơ W a theo véctơ thành phần h trc Oxyz BàI 14 Số tiết giảng: 02 Mục tiêu - Kiến thức: Trình bày đợc định nghĩa, mô hình phẳng vật rắn chuyển động song phẳng; phơng pháp khảo sát chuyển động vật chuyển động song phẳng - Kỹ năng: Giải đợc toán chuyển động song phẳng - Thái độ: Tuân thủ trình tự giải toán chuyển động song phẳng vật rắn NộI DUNG BàI GIảNG CHNG VIII CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN 8.1 Định nghĩa mơ hình 8.1.1 Định nghĩa Vật rắn chuyển động song phẳng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng quy chiếu cố định luôn khơng đổi b) a) Hình 8.1 Từ định nghĩa ta thấy vật rắn chuyển động song phẳng, tiết diện vật song song với mặt phẳng quy chiếu cố định có chuyển động mặt phẳng chứa Mỗi điểm vật chuyển động mặt phẳng song song với mặt phẳng quy chiếu cố định 8.1.2 Mô hình phẳng vật rắn chuyển động song phẳng Xét đoạn thẳng AB vật rắn vng góc với mặt phẳng quy chiếu Khi vật rắn chuyển động song phẳng AB chuyển động tịnh tiến có phương ln ln khơng đổi Trang 81 b) Hình 8.2 Chuyển động AB đặc trưng chuyển động điểm Ví dụ giao điểm M AB thiết diện song song (S) với mặt phẳng quy chiếu Xem vật rắn tập hợp vơ số đoạn thẳng AB thế, chuyển động vật đặc trưng chuyển động tập hợp điểm M nói trên, nghĩa chuyển động thiết diện (S) mặt phẳng song song với mặt phẳng quy chiếu cố định Như để khảo sát chuyển động vật, ta cần khảo sát chuyển động thiết diện (S) song song với mặt phẳng quy chiếu cố định mặt phẳng chứa Thiết diện (S) gọi mơ hình phẳng vật rắn chuyển động song phẳng 8.2 Khảo sát chuyển động vật rắn 8.2.1 Phương trình chuyển động vật Muốn lập phương trình chuyển động vật, ta cần tìm phương trình chuyển động thiết diện (S) Trong mặt phẳng chứa thiết diện (S), lập hệ trục toạ độ cố định O1x1y1 Qua điểm O gọi điểm cực thiết diện (S) Lập hệ trục tọa độ Oxy ln song song với hệ trục Hình 8.3 O1x1y1 hệ quy chiếu động Rõ ràng thiết diện (S) chuyển động quay tương đối quanh cực O hệ quy chiếu Oxy Hệ quy chiếu Oxy chuyển động tịnh tiến so với hệ quy chiếu cố định Các thông số định vị thiết diện (S) tọa độ điểm O(x 0, y0) góc φ, thay đổi theo thời gian Vậy ta có phương trình chuyển động vật rắn chuyển động song phẳng là: Trang 82 x0 = x0(t) y0 = y0(t) (8.1) ϕ = ϕ (t ) Hai phương trình đầu cho ta phương trình chuyển động tịnh tiến hệ động so với cực O, phương trình thứ ba phương trình chuyển động quay tương đối quanh cực O thiết diện (S) Vậy chuyển động song phẳng phân tích thành hai chuyển động đồng thời: chuyển động tịnh tiến với cực O (chuyển động theo) chuyển động quay tương đối quanh cực O (chuyển động quay tương đối) 8.2.2 Vận tốc gia tốc vật Từ cách phân tích chuyển động trên, muốn xác định vận tốc gia tốc vật ta phải tìm vận tốc gia tốc chuyển động hợp thành 8.2.2.1 Vận tốc vật Ở thời điểm, trạng thái chuyển động vật mô tả chuyển động quay tương đối quanh cực chuyển động tịnh tiến kéo theo cực Vận tốc vật xác định vận tốc V0 vận tốc thành phần chuyển động tịnh tiến cùngđiểm cực O vận tốc góc ω thành phần vận tốc vật quay tương đối quanh cực O: V0x = (x0(t))’ V0y = (y0(t))’ ωSP = (ϕ (t ))' 8.2.2.2 Gia tốc vật Cũng tương tự ta có: W0x = (x0(t))’’ W0y = (y0(t))’’ ωSP = (ϕ (t ))' ' 8.2.2.3 Ảnh hưởng việc chọn cực đến yếu tố vận tốc gia tốc vật Khi ta xét vật rắn chuyển động song phẳng bất kỳ, tức khơng chuyển động tịnh tiến, nên thời điểm vận tốc gia tốc điểm thuộc vật khác nhau: Trang 83 V1 ≠ V0 ≠ V A W1 ≠ W0 ≠ WA Do đó, vận tốc gia tốc thành phần chuyển động tịnh tiến phụ thuộc vào việc chọn điểm cực Trái lại, vận tốc góc ω gia tốc góc ε thành phần chuyển động quay tương đối vật quanh cực hoàn toàn khơng phụ thuộc vào cách chọn cực Điều chứng minh sau: Theo định nghĩa vận tốc góc gia tốc góc (S) chuyển động quay tương đối quanh hai cực O I xác định hệ thức: ω0 = (ϕ )' , ε = (ϕ )' ' ω1 = (ψ )' , ε1 = (ψ )' ' Trong :ϕ = xƠA, ψ = xỴB Hình 8.4 Ta tìm mối quan hệ ϕ ψ Từ O1 vẽ hai nửa đường thẳng ∆ D song tương xứng với OA IB Gọi α góc D ∆ tức góc OA IB Hai đường thẳng gắn chặt với vật rắn (S) nên góc chúng khơng đổi: α = const Theo hình vẽ bên ta viết: (ψ ) = ϕ + α , với α = const Khi ta được: (ψ )' = (ϕ )' Hoặc ω0 = ω1 dω dω1 = tức ε = ε dt dt Như vậy, ta chứng minh: vận tốc góc ω gia tốc góc ε chuyển động tịnh tiến không phụ thuộc vào việc chọn cực Trang 84 vật rắn BµI 15 Số tiết giảng: 02 Mục tiêu - Kiến thức: Trình bày đợc liên hệ vận tốc hai điểm thuộc vật; phân bố vận tốc điểm hình phẳng Tâm vận tốc tức thời; liên hệ gia tốc hai điểm thuộc vật - Kỹ năng: Giải đợc toán chuyển động điểm thuộc vật chuyển động song phẳng - Thái độ: Tuân thủ trình tự giải toán chuyển động song phẳng NộI DUNG BàI GIảNG 8.3 Khảo sát chuyển động điểm thuộc vật Ta khảo sát vận tốc gia tốc điểm thuộc vật rắn 8.3.1 Sự liên hệ vận tốc hai điểm thuộc vật Cho vận tốc V vận tốc góc ω hình phẳng quay tương đối quanh cực O, vận tốc điểm M thuộc hình phẳng xác định nhờ định lý sau: a Định lý: Vận tốc điểm M thuộc vật tổng hình học vận tốc điểm cực O vận tốc điểm M chuyển động quay tương đối quanh điểm cực O: V M = V O + V MO (8.2) Trong đó: V MO vận tốc điểm M chuyển động quay tương đối (S) quanh cực O V MO = ω ∧ OM Chứng minh: Thật vậy, chuyển động song phẳng, theo cách phân tích tổng hợp hai chuyển động: tịnh tiến cực O quay tương đối quanh cực O Như điểm M vật tham gia hai chuyểnđộng thành phần trên, theo định lý hợp vận tốc: VM =V Hình 8.5 e M +V r M Trong đó: V MO = ω ∧ OM ⊥ OM theo chiều ω VOM = OM ω Chú ý: Vì chọn điểm cực cách tuỳ ý nên công thức (8.2) công thức liên hệ vận tốc hai điểm Giả sử xét hai điểm A,B bất Trang 85 kỳ ta có: (8.3) V B = V A + V BA Với V BA = ω ∧ AB b Định lý hình chiếu vận tốc hai điểm thuộc vật: Chiếu hệ thức (8.3) lên trục AB định hướng tuỳ ý với ý véctơ V BA vng góc với AB, ta nhận được: hc AB V A = hc AB V B (8.4) Hoặc VA cos α = VB cos β Định lý: Hình chiếu véctơ vận tốc hai điểm thuộc vật rắn chuyển động song phẳng lên trục qua hai điểm 8.3.2 Sự phân bố vận tốc điểm Hình 8.6 hình phẳng Tâm vận tốc tức thời 8.3.2.1 Tâm vận tốc tức thời Ta xem thời điểm, vận tốc điểm hình phẳng phân bố nào? Từ công thức liên hệ vận tốc hai điểm (8.3) ta thấy hình phẳng tìm điểm có vận tốc khơng, hai vận tốc thành phần điểm trực đối Điểm có vận tốc khơng kí hiệu P gọi P tâm vận tốc tức thời hìnhphẳng Ta chứng minh có Hình 8.7 điểm P thời điểm khảo sát hình phẳng chuyển động Giả sử ta biết vận tốc cực O V vận tốc góc phẳng ω Quay véctơ V O quanh O góc 900 theo chiều quay ω ta nửa đường thẳng O∆ Trên O∆ lấy đoạn thẳng OP = VO Điểm P nhận tâm ω vận tốc tức thời Thật vậy, theo (8.2) ta có: V P = V O + V PO Trong đó, V PO hướng vng góc với O theo chiều quay ω Trang 86 hướng phương ngược chiều với V O VPO = ω.OP = ω Vậy: VO = VO ω V P = V O + V PO = Trong trường hợp đặc biệt ω → OP = VO → ∞ nói chung V0≠ ω nên P → ∞ Tính P chứng minh sau : Giả sử thời điểm vật rắn chuyển động song phẳng có hai điểm P1 P2 khác mà VP1 = VP2 = Dễ dàng suy VP P = ω.P1 P2 = Vậy: ω = P1 P2 ≠ Từ suy vận tốc điểm vật khơng vì: V M = V P1 + V MP1 = + = Điều xảy trường hợp đặc biệt hình phẳng dừng chuyển động tức thời Vậy nói chung thời điểm khảo sát hình phẳng tồn điểm có vận tốc không 8.3.2.2 Sự phân bố vận tốc Chúng ta chuyển sang xét phân bố vận tốc điểm thuộc vật rắn (S) Xét trường hợp ω ≠ chọn điểm P làm cực vận tốc điểm hình phẳng là: V A = V P + V AP = VAP = ω ∧ PA (8.5) V B = V P + V BP = VBP = ω ∧ PB (8.6) Trong đó: VAP = ω.PA , VBP = ω.PB Nhìn vào (8.5) (8.6) ta thấy V A V B có phương vng góc với PA PB tỉ lệ với khoảng cách từ A B đến P Vậy: Vận tốc điểm thuộc hình phẳng phân bố vật quay quanh trục qua tâm tức thời P với vận tốc góc ω Ta nói hình phẳng quay tức thời quanh tâm Xét trường hợp ω = vận tốc điểm hình phẳng 8.3.3 Sự liên hệ gia tốc hai điểm thuộc vật a Định lý: Gia tốc điểm M thuộc vật tổng hình học gia tốc điểm cực O gia tốc điểm M chuyển động quay tương đối quanh cực O Trang 87 (8.7) W M = W O + W MO Chứng minh: Vì hệ chuyển động tịnh tiến nên gia tốc điểm M xác định theo hệ thức: WM =W Ở W cực O), Còn W e r M M = WO e M +W r M (hệ chuyển động tịnh tiến gia tốc điểm M chuyển động quay tương đối hình phẳng quanh cực O với vận tốc ω gia tốc góc ε Kí hiệu gia tốc tương đối WOM vậy: W M = W O + W MO Cụ thể là: W M = W O + W τ MO Hình 8.8 +W n MO Trong đó: W τ MO , W n MO gia tốc tiếp gia tốc pháp M chuyển động quay tương đối hình phẳng quanh cực O W τ MO = ε ∧ OM có giá trị ε OM (Vì OM vng góc với chiều ε) W n MO = ω ∧ VM có hướng từ M O nên có giá trị ω2.OM ε Do vậy: W = OM ε + ω tgα = ; ε ,α góc WOM đoạn thẳng ω2 OM Với hai điểm A B thuộc hình phẳng, ta có: W A = W B + W τ AB + W n AB b Sự phân bố gia tốc điểm thuộc hình phẳng Tâm gia tốc tức thời Từ công thức liên hệ gia tốc hai điểm (8.7) ta thấy tìm hình phẳng điểm mà gia tốc khơng Điểm kí hiệu Q gọi tâm gia tốc tức thời Trước tiên ta chứng minh rằng, thời điểm có điểm thuộc hình phẳng có gia tốc khơng Giả sử cho gia tốc W O cực O vận tốc góc ω , gia tốc góc ε Quay ε véctơ W O quanh O góc α theo chiều gia tốc góc ε với tgα = ta ω2 nửa đường thẳng O∆1, nửa đường thẳng O∆1 lấy đoạn OQ = Trang 88 We ω4 + ε Điểm Q nhận tâm gia tốc tức thời Thật theo công thức (8.7) ta có: W Q = W O + W QO Trong W QO véc tơ gia tốc điểm Q chuyển động hình phẳng quay quan O với vận tốc góc ω gia tốc ε Như hình vẽ véctơ W QO song song, Hình 8.9 ngược chiều với W O có giá trị: WQO = QO ω + ε = WO WQO = −WO WQ = WO + WQO Bây ta cần chứng minh tính tâm gia tốc Q Giả sử thời điểm có hai điểm Q Q2 phân biệt mà W Q1 = W Q = suy W Q1Q = Q1Q2 ε + ω Q1Q2 ≠ nên suy ε + ω = tức là: ω = ε = Điều xảy hình phẳng chuyển động tịnh tiến mà không thực chuyển động song phẳng tổng quát Vậy thời điểm tồn điểm thuộc hình phẳng có gia tốc không - Sự phân bố gia tốc: Ta khảo sát phân bố gia tốc điểm thuộc hình phẳng Gọi M điểm thuộc (S) lấy tâm gia tốc tức thời Q làm cực theo (8.7) ta có: W M = W O + W MO = W MO W O = Vậy kết luận sau : Ở thời điểm gia tốc điểm thuộc hình phẳng xác định giống hình phẳng quay quanh tâm gia tốc tức thời với vận tốc góc ω gia tốc góc ε c Chú ý: Nói chung thời điểm tâm vận tốc tức thời P tâm gia tốc tức thời Q không trùng - Ở thời điểm hình phẳng chuyển động tịnh tiến tức thời ω = ε ≠ vận tốc điểm gia tốc chúng khác Ví dụ : Tâm O bánh xe đường ray có vận tốcV = m/s gia tốc W0= 2m/s2 Bán kính bánh xe 0,2m Hãy xác định gia tốc điểm B Trang 89 điểm đầu nút đường kính AB b) a) Hình 8.10 Bài giải: Lấy O làm cực biết V0, W0 Tiếp điểm P tâm vận tốc tức thời nên vận tốc góc bánh xe: V O = ω0 PO ⇒ ω0 = V0 V0 = PO R - Chiều ω0 xác định theo chiều véctơ V O biểu diễn hình vẽ Gia tốc góc ε xác định cách đạo hàm theo thời gian ω: ε0 = dω0 d V0 dV0 = ( )= = W0 dt dt R R dt R - Dấu ε ω trùng bánh xe quay nhanh dần Trong trường hợp khảo sát dV0 = W0 O chuyển động thẳng cịn trường hợp chung ta có: dt dV0 = W0τ dt Vì O điểm cực nên theo (4-7) ta có: W B = W O + W τ BO + W n BO Trong đó: τ WBO = OB.ε = R W0 = W0 = (m/s2) R n WBO = OB.ω = R V02 = V02 = (m/s2) R Để tính W B ta chọn hai trục Bx, By vng góc với chiếu biểu thức (a) lên hai trục ta được: n WBx = WBO − W0 = 3(m / s ) τ WBy = WBO = 2(m / s ) Từ ta xác định độ lớn W B Trang 90 Trang 91 ... theo phương thành phần phản lực liên kết không 1. 3 Một số liên kết thường gặp 1. 3 .1 Liên kết tựa Vật tựa mặt nhẵn (hình 1. 11a) hay giá tựa lăn (hình 1. 11b) theo phương pháp tuyến mặt trụ, vật khảo... trở phản lực N theo hướng Cịn tựa lên điểm nhọn C (hình 1. 11c) phản lực N vng góc với a) b) Hình 1. 11 1.3.2 Liên kết lề - Bản lề trụ:(hình 1. 12) Trang c) Vật di chuyển theo phương vng góc với trục... , S1 , S , S3 , S , S5 , S6 ) ~ Ta chọn hệ trục Axyz hình 2 .11 , phương trình cân hệ lực là: ∑ X = −S cos 45 − S5 cos 450 = (1) ∑ Y = P − S cos 45 (2) ∑ Z = −S (3) − S cos 450 − S3 − S cos