Đang tải... (xem toàn văn)
SKKN Hướng dẫn học sinh bài toán thiết diện trong ôn thi học sinh giỏi và thi thpt quốc gia (phần phụ lục) 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU THỊ TRINH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪ[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU THỊ TRINH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH BÀI TỐN THIẾT DIỆN TRONG ƠN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI THPT QUỐC GIA (PHẦN PHỤ LỤC) Người thực hiện: Trần Thị Chinh Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2018 SangKienKinhNghiem.net Phụ lục 1 Một số phương pháp dựng thiết diện 1.1 Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đường thẳng cắt điểm nằm đường thẳng… Phương pháp giải Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến (P) với mặt T (thường gọi giao tuyến gốc) Trên mặt phẳng T ta tìm thêm giao điểm giao tuyến gốc cạnh T nhằm tạo thêm số điểm chung Lặp lại trình với mặt khác T tìm thiết diện Ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang (AB // CD, AB > CD) Gọi I, J trung điểm SB, SC Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AIJ) Giải: Ta có mặt phẳng cắt qua ba điểm S khơng thẳng hàng A, I, J Có giao tuyến gốc AI, IJ I Kéo dài AD cắt BC K, kéo dài IJ J cắt SK E ta có E điểm chung E F A (AIJ) (SAD) B Nối AE cắt SD F ta có AF, FJ đoạn giao tuyến Thiết D diện tứ giác AIJF C K Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ điểm M, N nằm đoạn thẳng AD, AB Dựng thiết diện hình hộp mặt phẳng (MNC’) Giải: Ta có MN đoạn giao tuyến gốc Ta tìm thêm giao điểm MN cạnh hình bình hành ABCD SangKienKinhNghiem.net Kéo dài MN cắt CB CD E, F ta có thêm giao điểm Nối C’E cắt BB’ I, nối C’F cắt DD’ J Ta thiết diện ngũ giác MNIC’J E N A B M F C I D J A' B' D' C' Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay, để dựng thường phải giải tốn phụ: Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P điểm nằm tam giác DAB, DBC, ABC Dựng thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (MNP) Giải: D Chưa có giao tuyến gốc mặt phẳng cắt tứ diện Mặt K phẳng(MNP) có điểm chung P với M mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm chung ta tìm giao điểm O MN với (ABC) Kéo dài DM cắt AB M1, kéo dài DN cắt BC N1 I N A C M1 P E N1 F B O Hình a mặt phẳng (DM1N1) chứa MN cắt (ABC) theo giao tuyến M1N1 nên O giao điểm MN M1N1 OP giao tuyến gốc Nối OP cắt AB BC E, F SangKienKinhNghiem.net Tùy theo vị trí OP tam D giác ABC ta có thiết diện tứ giác EFIK (hình a) tam giác I EFI (hình b) M N Khi MN // M1N1 giao tuyến gốc đường thẳng qua P song A C song với M1N1 F E M1 P O N1 B Hình b Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Đường thẳng d nằm mặt phẳng (ABCD) cho d song song với BD, M trung điểm cạnh SA Hãy xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (M, d) trường hợp: a Đường thẳng d không cắt cạnh đáy ABCD b Đường thẳng d qua điểm C Giải: a) d giao tuyến gốc ta tìm S thêm giao điểm d với cạnh tứ giác ABCD Gọi H, E, F giao điểm AB AC, AD M với d A Xét (M, d) (SAB) có M, H Q N chung nối MH cắt SB N ta có đoạn giao tuyến MN Tương P B H tự nối ME cắt SC P, nối MF D C E F cắt SD Q Thiết diện tứ giác MNPQ SangKienKinhNghiem.net b) Tương tự phần a lúc S E C thiết diện tứ giác MNCQ M A Q N B D H F E≡C Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác lồi Gọi M, N trọng tâm tam giác SAB SAD; E trung điểm CB Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNE) Giải: Gọi I trung điểm SA S Ta có M thuộc BI, N thuộc DI Từ IM IN MN / / BD IB ID Q Xét mặt phẳng (MNE) mặt N P G M phẳng (ABCD) có E chung MN // BD nên (MNE) cắt (ABCD) theo I D A K F giao tuyến EF // BD (F CD) B E C Ta có EF giao tuyến gốc Gọi G giao điểm EF AD ta có G điểm chung (MNE) (SAD) Nối GN cắt SD, SA P, Q, nối QM cắt SB K, nối KE, PF Ta có thiết diện ngũ giác EFPQK Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng tính chất: Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng SangKienKinhNghiem.net 1.2 Mặt phẳng (P) cho tính chất song song 1.2.1 Mặt phẳng (P) qua d song song với đường thẳng d, chéo với đường thẳng l Phương pháp Trên (P) có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’ cắt d d’ // l Cách dựng: Ta chọn mặt phẳng (Q) chứa d cho giao điểm A d (Q) dựng Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A d’ // d (P) xác định hai đường thẳng cắt d d’ Ví dụ Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình bình hành, H điểm thuộc cạnh SC Dựng thiết diện hình chóp mặt phẳng (P) chứa AH song song với BD Giải: S Chọn mp (SBD) chứa BD Gọi O giao điểm AC BD Đường thẳng AH H cắt mặt (SBD) I giao điểm AH N SO Trong mp (SBD) kẻ qua I đường I thẳng song song với BD, gọi M, N giao M D C điểm đường thẳng SB SD Mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa AH MN Thiết diện tứ giác AMHN O A B Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm AB N điểm thuộc cạnh CD không trùng với C D Mặt phẳng (P) chứa MN song song với BC a Hãy xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (P) b Xác định vị trí N CD cho thiết diện hình bình hành Giải: a Chọn mặt phẳng (ABC) BC ta có M giao điểm MN (ABC) Qua M kẻ ME // BC (E thuộc AC) (P) xác định MN, ME SangKienKinhNghiem.net (P) (BCD) có N chung chứa A hai đường thẳng song song nên (P) (BCD) theo giao tuyến NF // BC (F BD), nối MF, EN M Thiết diện tứ giác MENF b Theo cách dựng thiết diện phần F E D B a) thiết diện hình thang MENF N (ME // NF) ta có ME BC nên để C MENF hình bình hành NF BC hay N trung điểm CD Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD, G trọng tâm tứ diện, E điểm thuộc cạnh BC Hãy dựng thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (P) qua EG song song với AD Giải: A A F M M G B E J J F N I D K G B K D N I E C C H.1 H.2 Gọi I, J trung điểm BC, AD G trung điểm IJ Ta có mặt phẳng (IAD) chứa G AD // (P) (IAD) cắt (P) theo giao tuyến qua G song song với AD cắt AI, ID M N SangKienKinhNghiem.net Nối EM cắt AC F, nối EN cắt CD K E trùng với I thiết diện khơng tồn E khơng trùng với I thiết diện tam giác EFK Tuỳ theo E thuộc IB hay I thuộc IC ta có cách vẽ theo H.1 H.2 1.2.2 Mặt phẳng (P) qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d l Phương pháp Ta xét mặt phẳng (M, d) (M, l) mặt phẳng chứa đường thẳng qua M song song với d l Mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa hai đường thẳng vừa dựng Ví dụ Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình bình hành, M trọng tâm tam giác SBD Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) qua M song song với SB AC Giải: S Gọi O giao điểm AC BD Ta có trọng tâm M thuộc N SO Mặt phẳng (M,SB) (SBD) mp kẻ qua M đường thẳng song song với SB cắt SD, P D DB N, K Mặt phẳng (M, AC) mặt I M A phẳng (SAC) nên qua M kẻ C O F K E B đường thẳng song song với AC cắt SA SC P, I (P) chứa NK, PI Xét mp (P) mp (ABCD) có điểm K chung (P) // AC nên (P) cắt đáy (ABCD) theo giao tuyến qua K song song với AC cắt AB BC E, F Ngũ giác EFINP thiết diện cần dựng SangKienKinhNghiem.net Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M điểm thuộc AD Dựng thiết diện hình hộp cắt (P) qua M song song với BD AC’ Giải: Nhận xét: Mặt phẳng (M, BD) F (ABCD) mặt phẳng (M, AC’) N A I khó xác định H M Vậy ta cần mặt phẳng (M, B E BD) (P) cắt (ABCD) theo giao C D G tuyến qua M song song với BD A' cắt AB CB CD N, F, E (P) mặt phẳng qua E, F B' J D' song song với AC’ (trở thành C' toán 1) EF cắt AC I nên (P) (ACC’A’) theo giao tuyến qua I song song với AC’ cắt CC’ J Nối JE cắt DD’ G, JF cắt BB’ H Thiết diện ngũ giác MNHJG Chú ý: Nếu mặt phẳng (M, l) khó xác định ta cần xét mặt phẳng (M, d) (gọi mặt phẳng (P) Trong mặt phẳng (P) dựng d’ qua M song song với l (P) mặt phẳng chứa d’ song song với l Ví dụ 11: Cho lăng trụ OAB.O’A’B’ Gọi M, E, F trung điểm OA OB OE, H điểm thuộc AA’ cho AH = HA’ Dựng thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (P) trường hợp: a Qua F song song với B’E A’O b Qua M song song với A’E OH Giải: a Ta có mặt phẳng (OBB’O’) mặt phẳng qua F song song B’E, mặt phẳng qua F song song với A’O khó xác định Trong mp (OBB’O’) qua F kẻ đường thẳng song song với B’E cắt O’B’ K (P) mặt phẳng chứa FK song song A’O SangKienKinhNghiem.net Kéo dài FK cắt OO’ I, ta OO ' 2OI A ' J nên A ' JIO hình bình hành Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua I đường thẳng d song song OA’ d cắt OA AA’ M, J trung điểm OA AA ' Mặt phẳng (P) cắt (OAB) theo giao tuyến FM nên cắt (O’A’B’) theo giao tuyến KQ // FN (Q thuộc B’A’) Thiết diện ngũ giác FKQJM (H1) O' O' A' A' Q K B' B' H H J L M O O M F E A F T E G A B B I H1 H2 b Mặt phẳng qua M song song với OH mp (OAA’O’) mặt phẳng qua M song song với A’E khó xác định Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua M đường thẳng song song với OH cắt AA’ L (P) mặt phẳng chứa ML song song với A’E Trong mặt phẳng (A’AE) kẻ LT // A’E (T thuộc AE) Khi T điểm chung (P) (OAB) Nối MT cắt AB G Thiết diện tam giác MLG (H2) SangKienKinhNghiem.net 10 1.2.3 Mặt phẳng (P) qua điểm M song song với mặt phẳng (Q) Phương pháp Dựa vào tính chất: Nếu mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song phải cắt mặt phẳng lại giao tuyến chúng song song Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) a Khi (P) (R) = a’,a’ // a a’ qua M Ta tìm thêm giao điểm a’ với cạnh đa giác (R) Tiếp tục trình với giao điểm dựng thiết diện Ví dụ Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang (AB // CD) Điểm M thuộc cạnh BC không trùng với B C Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (SAB) Thiết diện hình gì? Giải: Ta có (ABCD) chứa M, (ABCD) (SAB) = AB nên (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến MN // AB (NAD) Mặt phẳng (SAD) chứa N, (SAD) (SAB) = SA nên (P) cắt (SAD) theo giao tuyến NE // SA (ESD) Mặt phẳng (SCB) chứa M (SCB) S (SAB) = SB Nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến E MF // SB (F SC) Nối EF, ta thiết F diện tứ giác MNEF Ta có (P) (SCD) có MN // CD (CD // AB) mà (P) (SCD) = EF B A N M Suy EF // MN Thiết diện MNEF hình thang SangKienKinhNghiem.net D C 11 Ví dụ 13: Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ Điểm M thuộc cạnh AD, N thuộc cạnh D’C’ cho AM : MD D’N : NC’ Dựng thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (P) qua MN song song với mp(C’BD) Giải: M A Theo giả thiết: D E AM D ' N AM MD AD MD NC ' D ' N NC ' D ' C ' C B Theo định lý Talet đảo MN, AD’, J DC’ song song với mặt phẳng (P) nên MN // (C’BD) F Ta có (ABCD) chứa M (ABCD) (C’BD) = BD B' Nên (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến D' A' N I C' ME // BD (E AB) Mặt phẳng (CDD’C’) chứa N, (CDD’C’) (C’BD) = C’D nên (P) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến NJ // C’D (J DD’) Mặt phẳng (P) // BD, B’D’ // BD nên (P) // B’D’ Mặt phẳng (P) cắt (A’B’C’D’) = NI // B’D’ với I thuộc B’C’ Mặt phẳng (P) cắt (BB’C’C) = IF // BC’ với F thuộc BB’ Nối EF, MJ thiết diện lục giác MEFINJ SangKienKinhNghiem.net 12 1.3 Mặt phẳng (P) cho yếu tố vng góc I.3.1 Mặt phẳng (P) qua điểm M vuông góc với đường thẳng d Phương pháp Tìm hai đường thẳng a a’ vng góc với d (P) mặt phẳng qua M song song với a a’ (Dựa vào tính chất: Nếu (P) đường thẳng a vng góc với đường thẳng d a // (P) a (P)) Ví dụ Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, M trọng tâm tam giác BCD Dựng thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (P) qua M vng góc với AB Giải: Gọi I trung điểm AB ta có S SI AB (do tam giác SAB đều), BC AB suy (P) qua M song song với BC, SI Xét mặt phẳng (P) mặt phẳng (ABCD) có M chung song song với BC nên P ABCD EF với G H I B D A E F M C EF qua M song song với BC cắt AB CD E, F Tương tự (SAB) kẻ qua E đường thẳng song song với SI cắt SB H, (SBC) kẻ đường thẳng qua H song song với BC cắt SC G Thiết diện tứ giác EFGH Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA vng góc với đáy Dựng thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (P) qua A vng góc với SC Giải: SangKienKinhNghiem.net 13 Kẻ AH SC ta có AH (P) S Ta có: BD AC , BD SA H nên BD SC N Vậy (P) chứa AH song song BD M E Gọi O giao điểm AC BD, E B C giao điểm SO AH O A D Xét mặt phẳng (P) (SBC) có E chung, (P) // BD nên qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt SD, SB M, N Ta thiết diện tứ giác AMHN Ví dụ 16: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy tam giác vng, CA = CB = a AA’ = a , M trung điểm CA Dựng thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua M vng góc với A’B A' B' Giải: P Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân C' C nên AB = a Tứ giác ABB’A’ hình vng AB’ A’B Gọi H trung điểm AB CH AB N A CH (ABB’A’) CH A’B Q H B M Vậy (P) qua M song song với CH, AB’ C E Xét mặt phẳng (P) (ABC) có M chung, (P) // CH nên mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với CH cắt AB N P ABC MN Tương tự mặt phẳng (ABB’A’) kẻ qua N đường thẳng song song với AB’ cắt BB’ P Kéo dài MN cắt BC E, nối EP cắt CC’ Q, nối MQ thiết diện tứ giác MNPQ SangKienKinhNghiem.net 14 1.3.2 Mặt phẳng (P) qua đường thẳng d vng góc với đường thẳng l Phương pháp Dựng mặt phẳng phụ (Q) chứa l vng góc với d điểm M Trong (Q) dựng qua M đường thẳng vng góc với l H mặt phẳng (P) mặt phẳng (H, d) Ví dụ Ví dụ 17: (ĐH giao thơng vận tải năm 2001 khối A) Cho hình chóp S.ABC đỉnh S chiều cao h, đáy tam giác cạnh a Qua AB dựng mặt phẳng (P) vng góc với SC Tính diện tích thiết diện theo a h Giải: Gọi O trọng tâm tam giác ABC ta có S SO ( ABC ) SO AB , gọi M trung điểm AB tam giác ABC nên H CM AB AB ( SMC ) Trong mp(SMC) kẻ MH SC ta có mặt A C phẳng (AHB) SC O M Thiết diện tam giác AHB Ta có : S AHB MH AB B Theo giả thiết AB = a ta có MC a a , OC , a2 a h 3ah Ta có: MH.SC = SO.MC MH a 2 3h a 2 h 3a h S AHB MH AB 3h a Nhận xét: Mặt phẳng (Q) lý thuyết mặt phẳng (SMC) SO = h, SC SO OC h SangKienKinhNghiem.net 15 1.3.3 Mặt phẳng (P) qua đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (Q) cho (d xiên góc với (Q)) Phương pháp Tìm đường thẳng a vng góc (Q) (P) qua d song song với a (Sử dụng tính chất: mặt phẳng (P) đường thẳng d vng góc với (Q) (Q) // d (Q) d) Ví dụ Ví dụ 18: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên Gọi M, N trung điểm AB AC Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) chứa MN vng góc với mặt phẳng (SBC) Giải: Gọi I trung điểm BC, H trung điểm S SI Do hình chóp nên BC (SAI) BC AH Mặt khác: AI AB = SA nên H N A Q M (P) qua MN song song AH C F E tam giác SAI cân ta có AH SI AH (SBC) nên (P) // AH P D B Cách dựng: Gọi E giao điểm MN AI Trong mặt phẳng (SAI) kẻ qua E đường thẳng song song với AH cắt SI F, F điểm chung (P) (SBC) Xét mặt phẳng (P) (SBC) có F chung MN // BC nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến qua F song song với BC cắt SB SC Q, P Thiết diện tứ giác MNPQ Ví dụ 19: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy tam giác vuông, CA = CB = a AA’ = a , M, N, I, K trung điểm CA CC’, AB BB’ Dựng thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua MN vuông góc với mặt phẳng (IKC) Giải: SangKienKinhNghiem.net 16 Ta tìm đường thẳng vng góc (IKC) Theo giả thiết: A' CI AB CI ABB ' A ' CI A ' B CI AA ' B' K C' N A Lại có: AA’ = AB = a nên ABB’A’ hình vuông nên A ' B AB ', IK / / AB ' A ' B IK suy I B M E G C A’B (IKC) Vậy (P) chứa MN song song với A’B H Cách dựng: Kéo dài MN cắt AA’ G, xét mặt phẳng (P) (ABB’A’) có G chung, (P) // A’B nên kẻ qua G đường thẳng song song với A’B cắt BB’ H, nối NH cắt CB E, nối ME ta có thiết diện tam giác MNE Ví dụ 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với đáy Gọi F trung điểm SA M điểm AD (P) mặt phẳng chứa FM vng góc với mặt phẳng (SAD) Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) Giải: Từ giả thiết, hai mặt phẳng (SAB), (SAD) vng góc với đáy nên SA (ABCD) Ta có: AB AD AB SAD AB SA Vậy (P) mặt phẳng qua MF song song với AB Cách dựng: Xét (P) (ABCD) có M chung, (P) // AB nên kẻ qua M đường thẳng song song với AB cắt BC N (P) (ABCD) = MN S E F M B A N D C Tương tự mặt phẳng (SAB) kẻ qua F đường thẳng song song với AB cắt SB E Nối EN thiết diện tứ giác MNEF Nhận xét: Qua số phương pháp giải ví dụ minh hoạ học sinh nắm cách dựng thiết diện Tuy nhiên đề dựng thành thạo học sinh cần phải thực hành nhiều SangKienKinhNghiem.net 17 Phụ lục : Một số tốn tương tự Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD a Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành b Gọi M điểm BC Tìm thiết diện (A’B’M) với hình S chóp S.ABCD Giải a Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành : D' C' Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ // AB A' B' Trong tam giác SCD, ta có : C’D’ // CD D A’B’ // C’D’ N M A Vậy : A’B’C’D’ hình bình hành B b Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD: Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ M điểm chung (A’B’M) (ABCD) Do giao tuyến (A’B’M) (ABCD) Mx song song AB A’B’ Gọi N = Mx AD Vậy : thiết diện hình thang A’B’MN Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD (AB CD) Gọi M , N trung điểm cạnh SA , SB a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD b Tìm P = SC (ADN) S c Kéo dài AN DP cắt I I Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD Tứ giác SABI hình ? N M Giải a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD : Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB B A Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD hình thang ) Vậy : MN ∕ ∕ CD P b Tìm P = SC (ADN): Chọn mp phụ (SBC) SC C D Tìm giao tuyến (SBC ) (ADN) E Ta có : N điểm chung (SBC ) (ADN) Trong (ABCD), gọi E = AD AC ( SBC) (ADN ) = NE Trong (SBC), gọi P = SC NE Vậy : P = SC ( ADN ) c Chứng minh : SI // AB // CD Tứ giác SABI hình ? SangKienKinhNghiem.net 18 C SI (SAB) ( SCD ) AB ( SAB) Ta có : CD ( SCD ) AB / / CD SI // AB // CD ( theo định lí 2) Xét ASI , ta có : SI // MN ( song song AB) M trung điểm AB SI // 2MN Mà AB // 2.MN Do : SI // AB Vậy : tứ giác SABI hình bình hành Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (đáy lớn AB) Gọi I, J trung điểm AD BC , K điểm cạnh SB cho SN = SB a Tìm giao tuyến (SAB) (IJK) b Tìm thiết diện (IJK) với hình chóp S.ABCD Tìm điều kiện để thiết diện hình bình hành Giải a Tìm giao tuyến (SAB) (IJK): L Ta có : AB ∕ ∕ IJ K điểm chung A (SAB) (IJK) Vậy : giao tuyến đường thẳng Kx song song AB b Tìm thiết diện (IJK) với hình chóp S.ABCD : I D Gọi L = Kx SA Thiết diện hình thang IJKL Do : IJ đường trung bình hình thang ABCD (AB + CD) LK SK Xét SAB có : AB SB S K B J C IJ = IJKL hình bình hành LK = IJ = KL Vậy : AB (AB + CD) = AB AB = 3.CD thiết diện IJKL hình bình hành AB = 3.CD Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M ,N ,P , Q điểm nằm cạnh BC , SC , SD ,AD cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD a Chứng minh : PQ // SA b Gọi K = MN PQ SangKienKinhNghiem.net 19 Chứng minh điểm K nằm đường thẳng cố định M di động cạnh BC Giải a Chứng minh : PQ // SA Xét tam giác SCD : Ta có : NP // CD S t K NP CN (1) DS Tương tự : Tương tự : CS P MN // SB CN CM (2) CS CB N A D Q MQ // CD CM DQ (3) CB DA DP DQ DS DA Từ (1) , (2) (3), suy B C M Vậy : PQ // SA b Chứng minh điểm K nằm đường thẳng cố định M di động cạnh BC BC // AD BC ( SBC ) Ta có : AD ( SAD) S ( SBC ) ( SAD) giao tuyến đường thẳng St qua S cố định song song BC AD Mà K (SBC) (SAD) K St (cố định ) Vậy : K St cố định M di động cạnh BC Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M ,N trung điểm cạnh AB CD a Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD) b Gọi P trung điểm cạnh SA Chứng minh SB SC song song với (MNP) c Gọi G ,G trọng tâm ABC SBC Chứng minh G1G2 // (SAB) a Chứng minh MN // (SBC): S MN ( SBC ) Ta có : MN // BC BC ( SBC ) MN ( SAD) Tương tự : MN // AD AD ( SAD) MN //( SBC ) Q P MN //( SAD) A b Chứng minh SB // (MNP): N M B SangKienKinhNghiem.net D C 20 ... thẳng song song nên (P) (BCD) theo giao tuyến NF // BC (F BD), nối MF, EN M Thi? ??t diện tứ giác MENF b Theo cách dựng thi? ??t diện phần F E D B a) thi? ??t diện hình thang MENF N (ME // NF) ta... song với AB cắt SB E Nối EN thi? ??t diện tứ giác MNEF Nhận xét: Qua số phương pháp giải ví dụ minh hoạ học sinh nắm cách dựng thi? ??t diện Tuy nhiên đề dựng thành thạo học sinh cần phải thực hành nhiều... cắt (P) theo giao tuyến qua G song song với AD cắt AI, ID M N SangKienKinhNghiem.net Nối EM cắt AC F, nối EN cắt CD K E trùng với I thi? ??t diện không tồn E không trùng với I thi? ??t diện tam giác