Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 54 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
54
Dung lượng
1,07 MB
Nội dung
Bài HÀM SỐ-LỜI GIẢI CHI TIẾT • Chương HÀM SỐ BẬC NHẤT - HÀM SỐ BẬC HAI I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Cho D è , D ặ Hm s f xác định D qui tắc đặt tương ứng số x Ỵ D với số y Ỵ x gọi biến số (đối số), y gọi giá trị hàm số f x Kí hiệu: y = f ( x) D gọi tập xác định hàm số f Cách cho hàm số Cho bảng Cho biểu đồ Cho công thức y = f ( x) Tập xác định hàm số y = f ( x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f ( x) có nghĩa Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y = f ( x) xác định tập D tập hợp tất điểm M ( x; f ( x)) mặt phẳng toạ độ với x Ỵ D Chú ý: Ta thường gặp đồ thị hàm số y = f ( x) đường Khi ta nói y = f ( x) phương trình đường Sự biến thiên hàm số Cho hàm số f xác định K Hàm số y = f ( x) đồng biến (tăng) K "x1 , x2 Ỵ K : x1 < x2 Þ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f ( x) nghịch biến (giảm) K "x1 , x2 Ỵ K : x1 < x2 Þ f ( x1 ) > f ( x2 ) Tính chẵn lẻ hàm số Cho hàm số y = f ( x) có tập xác định D Hàm số f gọi hàm số chẵn với "x Ỵ D -x Ỵ D f ( – x) = f ( x) Hàm số f gọi hàm số lẻ với "x Ỵ D -x Î D f ( – x) = - f ( x) Chú ý: + Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng 6: Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Định lý: Cho (G) đồ thị y = f ( x) p > 0, q > ; ta có Tịnh tiến (G) lên q đơn vị đồ thị y = f ( x) + q Tịnh tiến (G) xuống q đơn vị đồ thị y = f ( x) – q Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị đồ thị y = f ( x + p) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị đồ thị y = f ( x – p) Trang II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ Để tìm tập xác định D hàm số ta tìm điều kiện để f ( x) có nghĩa, tức D = { x Ỵ f ( x) Î } Chú ý Thông thường y = f ( x) cho biểu thức đại số, ta xét số trường hợp sau: ìïu ( x) , v ( x) có nghĩa ïí ïïv ( x) v ( x) ùợ ỡùu ( x) ï k Hàm số y = f ( x) = u ( x)( k Ỵ ) có nghĩa í ïïu ( x) ³ ïỵ ïìïu ( x) , v ( x) u ( x) k Ỵ Hàm số y = f ( x) = có nghĩa ( ) í ïïv ( x) > 2k v x ( ) ïỵ Hàm số y = f ( x) = u ( v) A Bài tập tự luận Câu Tìm tập xác định hàm số 3x - a) y = -2 x + 2x - b) y = (2 x + 1) ( x - 3) x + 4x + 2x + d) y = x - 3x + c) y = Lời giải a) Hàm số xác định -2 x + ¹ Û x ¹ Vậy tập xác định hàm số D = \{1} ì -1 ï ì 2x + ¹ ï ï x¹ ï ï b) Hàm số xác định í Ûí ï ï ïx - ¹ ï ỵ ïx ¹ ỵ ìï üï Vậy tập xác định hàm số D = \ùớ- ; 3ùý ùợù ùỵù c) Ta có x + x + = ( x + 2) + > với x Ỵ Vậy tập xác định hàm số D = d) Hàm số xác định x - x + ¹ Û ( x - 1)( x + x - 2) ¹ ïìïx ¹ ìï( x - 1) ¹ ìïx ¹ ï ïï Ûí Û ïíïìïx ¹ Û ïí ïï( x + x - 2) ùùớ ùx ạ= ùợ ùợùùùợx ạ= ùợ Vy xỏc nh ca hm số D = \{-2;1} Câu Tìm tập xác định hàm số a) y = x - Trang b) y = x + c) y = -2 x + - x - d) y = x - x + + x - e) y = x + + x + + - x + - x f) y = x + x - x + Lời giải a) Hàm số xác định x - 20 Û x é2 ö Vậy tập xác định hm s l D = ; +Ơữữữ ờở ø b) Ta có x + > với x Ỵ Vậy tập xác định hàm số D = ì ì ï ï ï x ï-2 x + 30 ï Ûï c) Hàm số xác định í í Û 1x ï ï x - 10 ï ï ï ï ỵx1 ï ỵ é 3ù Vậy tập xác định hàm số D = ê1; ú êë úû ïìïx - x + 10 ïì( x - 1)2 0 ìïx Ỵ d) Hàm số xác định í Û ïí Û ïí Û x3 ïïx - 30 ïïx - 30 ïïỵx3 ỵ î Vậy tập xác định hàm số D = éë 3; +¥) e) Ta có y = x + + x + + - x + - x = ( x + + 1)2 + ( - x + 1)2 =| x + + 1|+| - x + 1|= x + + - x + ìïx + 20 ìïx - ïí Hàm số xác định ïí Û ïï1 - x 20 ïïỵ(1 - x)(1 + x)0 ỵ ïìïx - ïìïx - ïï ïï ïïéêïìï1 - x ³ ïïéêïìïx1 ïí ïí Û ïíêêỵïï1 + x ³ 00 Û ïíêêỵïïx - Û -1 £ x £ ïïê ïïê ïïêìïï1 - x £ ïïêìïïx ³ ïïêí ïêí ïỵïêëïỵï1 + x £ 00 ïïỵïêëïỵïx £ -1 Vậy tập xác định hàm số D = éë-1;1ùû ì ìỉ ï ù ửữ ù ù ỗ ùx - x + 10 ù ỗỗ x - ữữ + ï ï f) Hàm số xác định í Û íè 2ø Û x - x + 1 - x ï x + x - x + 10 ï ï ï ï ï ï ï î x - x + 1 - x ï î éì ï-x < é-x < êï éx > ê êí ê ï x x + ï êì êì Û êỵ Û Û x x0 é x > ï êï êì êï ï x ï í í êï êï êïx1 Û êê x0 Û x Ỵ x + êëï êí êëï ỵ ë î êëï ï îx - x + 1x Vậy tập xác định hàm số D = Trang Câu Tìm tập xác định hàm số sau : a) y = ( x + 2) x + b) y = c) y = x - -x 1- x2 x-3 2-x x+2 x -1 + - x ( x - 2)( x - 3) e) y = - x + x 1+ x 2015 f) y = x - 3x + - x2 - d) y = g) y = x + + x + + h) y = 1- x x + x + - ( x + 1) Lời giải ìx + ¹ ì ï ï x ¹ -2 a) Hàm số xác định ïí Ûï Û x > -1 í ï ï ïx + > ï ỵ x > -1 ỵ Vậy tập xác định hàm số D = (1; +Ơ) ỡ ù1 - x ỡ ï x ¹ ±1 b) Hàm số xác định ïí Ûï Û -1 ¹ x0 í ï ï x x ï ï ỵ ỵ Vậy tập xác định hàm số D = (-¥; 0ùû \{-1} ì2 - x0 ìx2 ï ï c) Hàm số xác định ïí Ûï Û -2 < x2 í ï ï ïx + > ỵ ï x > -2 ỵ Vậy tập xác định hàm số D = (-2 ; 2ùû ì ì ï x - 10 x1 ï ï ï ì 1x4 ï ï ï ï ï ï x x ï ï ï ï ï d) Hàm số xác định í Ûí Û íx ¹ ï ï ï x ¹ x ¹ ù ù ù ù ù ù ù ợx ï ï x ¹ x ¹ ï ï ï ỵ ï ỵ Vậy tập xác định hàm số D = [1; 4]\{2 ; 3} ìï1 - x0 ïìïx1 ïï ïì-1 < x1 ï ï Û ïíx ¹ Û ïí e) Hàm số xác định íx ¹ ïï ï ïx ¹ ïïỵ1 + x > ïïïỵx > -1 ïỵ Vậy tập xác định hàm số D = (-1;1]\{0} f) Hàm số xác định x2 - 3x + - x2 - ¹ Û x2 - 3x + ¹ x2 - Û x2 - 3x + ¹ x2 - Û ¹ 3x Û x ¹ Vậy tập xác định hàm số D = \{3} g) Ta có y = x + + x + + Trang 1 = ( x + + 1)2 + = x + +1+ 1- x 1- x 1- x ìx + 70 ì ï ïx - Hàm số xác định ï Ûï í í ï ù1 - x ù ù ợx î Vậy tập xác định hàm số D = [-7; +¥)\{1} h) Ta có y = x + x + - ( x + 1) = ( x + 1)2 + - ( x + 1) ( x + 1)2 + - ( x + 1)0 Û ( x + 1)2 + 1x + Hàm số xác định éìïx + < êï êíï éx + < êïïỵ( x + 1) + ³ Ûê Ûê Û xỴ êx + ³ êìïx + ³ ë êï êí 2 ï êï( x + 1) + ³ ( x + 1) ëïỵ Vậy tập xác định hàm số D = Câu Tìm tập xác định hàm số sau : a) y = b) y = c) y = x2 + x + 2x - x | x - 4| +| x + 1| x - x + x + 3x + 2x + d) y = x(| x |-1) | x| e) y = | x - 2|+ x + x f) y = | x |-1 x -| x | x - x - 2| x |+1 Lời giải ỉ 15 > với x Ỵ a) Ta cú x + x + = ỗỗ x + ữữữ + ỗố 2ứ Vy xác định hàm số D = (1; +¥) ì ìx > ïx > ï b) Hàm số xác định x | x - 4|> Û ïí Ûï í ï ï| x - 4|¹ ù ù ợx ợ Vy xỏc định hàm số D = (0; +¥)\{4} c) Ta có y = x2 + 3x + +| x + 1| x - x + = ổ 1ử 23 +| x + 1| ỗỗ x - ữữữ + ỗố 2ứ 11 ổ ỗỗ x + ữữ + ữứ ốỗ ổ ổ 11 1ử 23 Vỡ ỗỗ x + ữữữ + > vi mi x ẻ v ỗỗ x - ữữữ + vi mi x ẻ ỗố 2ứ 2ứ ốỗ 2 Vy xỏc nh ca hàm số D = ì ì ïx ¹ ïx ¹ d) Hàm số xác định x(| x |-1) ¹ Û ï Ûï í ù ù ù ợ x ợ| x |-1 ¹ ï Vậy tập xác định hàm số D = \{-1; 0;1} Trang e) Hàm số xác định | x - 2|+ x + x x ẻ Thật vậy: Nếu x - = Û x = x + x = éx = é| x - 2|= Neáu x + x = Û êê ê ê| x - 2|= ë ëê x = -2 Vậy tập xác định hàm số D = | x |-1 x -| x | | x |-1 x -| x | f) Ta có y = = x - x - 2| x |+1 x - (| x |-1)2 ìx - ¹ ì ï ï x ¹ ±1 Hàm số xác định ïí Ûï Û x ¹ ±1 í ï ï ï î x ¹ ±1 î| x |-1 ¹ ï Vậy tập xác định hàm số D = \{-1;1} Câu Tìm m để hàm số sau xác định với x thuộc khoảng (0; + ¥) a) y = x - m + x - m - b) y = x - 3m + + x-m x + m -1 Lời giải ì ìxm ï ï ï ï ïx - m0 Ûï a) Hàm số xác định í í m + (* ) ï x - m - 10 ï x ï ï ï ï ỵ ï ỵ m +1 Û m1 (*) Û xm +) Nếu m Khi tập xác định hàm số D = éë m; + ¥) u cầu tốn Û (0; +¥) Ì [m; +¥) Û m0 : khơng thỏa mãn m ³ m +1 m +1 Û m £ (*) Û x 2 Khi tập xác định hàm số D = éë m; + ¥) m +1 m +1 ; +¥) Û 0 Û m £ -1 : thỏa mãn điều kiện m £ Yêu cầu tốn Û (0; +¥) Ì [ 2 Vậy m £ thỏa mãn u cầu tốn ìï ì ïï2 x - 3m + 40 ïïx 3m - Û ïí b) Hàm số xác định í ùùx + m - ùù ùùợ ùợx ¹ - m +) Nếu m £ Do để hàm số xác định với x thuộc khoảng (0; + ¥) , ta phải có ì ì ï ï 3m - ï m 0 ï ï ï Ûí í Û 1m ï ï ï ï ï ï ỵm1 ï ỵ1 - m0 Vậy £ m £ Câu Trang thỏa mãn u cầu tốn Tìm m để hàm số sau: + -x + m + xác định (-1; 0) a) y = x-m b) y = - x + mx + m + 15 xác định éë1; 3ùû Lời giải ì ì ïx - m > ïx > m a) Hàm số xác định ïí Ûï Û m < x £ 2m + í ï ï x + m + ³ x £ m + ï ï ỵ î ìm - ìm - ï ï Do để hàm số xác định (-1; 0) , ta phải có ï Ûï Û -3 £ m - í í ï ï2 m + ³ ï ï ỵ m ³ -3 ỵ Vậy -3 £ m £ -1 thỏa mãn yêu cầu toán b) Hàm số xác định - x + mx + m + 15 0 Û x + mx + m + 15 1.(*) Bài toán chuyển việc tìm m để (* ) nghiệm với x thuộc đoạn éë1; 3ùû Điều kiện cần: Bất phương trình nghiệm với x thuộc đoạn éë1; 3ùû nên nghiệm với x = 1, x = tức ta có: ìï ìï-9m - ïìï ïï|2 m + 17|1 ïï-12 m + 171 ïï Ûí Ûí Û m = -8 í ïï|3m + 23|1 ïï-13m + 231 ïï-8m - 22 ïïỵ ïïỵ ïỵ Điều kiện đủ: Với m = -8 , ta có : (*) Û x - x + £ Û -1 £ x - x + £ ì ï2 x - x + 80 ì ï ( x - 2)2 0 ï Ûï Û í í ï ïx - x + 30 ï ỵ î2 x - x + 60 ï Û x - x + 30 Û ( x - 1)( x - 3)0 éìïx - £ êïí êïx - ³ êỵï ìïx - ³ ìïx ³ Û êêïìx - ³ Û ïí Û ïí Û £ x £ : thỏa mãn ï ï ïïỵx £ x £ êïï ï êíx - ³ ỵ êïï êïïỵx - £ ë Vậy m = -8 thỏa mãn u cầu tốn Câu Tìm m để hàm số: 2x + a) y = xác định x2 - 6x + m - b) y = m +1 xác định toàn trục số 3x - x + m Lời giải a) Hàm số xác định x - x + m - > Û ( x - 3)2 + m - 11 > Để hàm số xác định với x Î Û ( x - 3)2 + m - 11 > với x Ỵ Û m - 11 > Û m > 11 Vậy m > 11 thỏa mãn yêu cầu toán ì ì m ³ -1 ï ï ï ï ï m + ³ ï ï b) Hàm s xỏc nh ù ớ ổỗ ư÷ ï ï x - x + m ù3 ỗ x - ữữ + m - ù ỗ ù ù 3ứ ï ï ỵ è ỵ Trang ì m ³ -1 ï ï ï ï Để hàm số xác định với x Ỵ Û í ỉ vi mi x ẻ ửữ ỗ ù x + m ữ ỗ ù ỗ ù ữứ ù ợ ố ỡ m - ï ï ï Ûí Û m> ï m- > ï ï ỵ Vậy m > thỏa mãn yêu cầu toán B Bài tập trắc nghiệm Câu Tập xác định hàm số y x4 2018x2 2019 A 1; B ;0 C 0; D ; Lời giải Chọn D Hàm số hàm đa thức nên xác định với số thực x Câu Tập xác định hàm số y A x 1 là: x 1 B D 1; C \ 2 D 1; C Lời giải Chọn C Điều kiện xác định: x x x 1 Vậy tập xác định hàm số y D \ 1 x 1 x 3 2x B \ 3 Câu 10 Tập xác định hàm số y A \ 1 Lời giải Chọn A Điều kiện xác định : x x Nên tập xác định hàm số : D \ 1 Câu 11 Tập xác định hàm số y A ;3 x2 x 3 B 3; C \ 3 D Lời giải Chọn C Điều kiện: x x TXĐ: \ 3 3x 2x B D 1; Câu 12 Tập xác định D hàm số y A D C D 1; Lời giải Trang D D R \ 1 Chọn D Hàm số y 3x xác định x Vậy D R \ 1 2x x 1 B \ 1;1 Câu 13 Tập xác định hàm số y A \ 1 C \ 1 D Lời giải Chọn B x Hàm số cho xác định x x 1 Vậy tập xác định hàm số D \ 1;1 x x 1 x 1 x B D \{1} C D \ {5} Lời giải Câu 14 Tập xác định hàm số f ( x) A D D D \ {5; 1} Chọn D x 1 x Điều kiện: x x 5 Vậy tập xác định hàm số là: D \ 1; 5 Câu 15 Tập xác định hàm số y A D \ 1;6 3 x x2 5x B D \ 1; 6 C D 1;6 D D 1; 6 Lời giải Chọn A x 1 Điều kiện x x x Vậy D \ 1;6 Câu 16 Tìm tập xác định D hàm số y x 1 x 1 x A D \ 2 B D \ 2 C D \ 1; 2 D D \ 1; 2 Lời giải x 1 x 1 Điều kiện xác định: Vậy D \ 1; 2 x 2 x Đáp án D Lưu ý: Nếu rút gọn y khẳng định D \ 2 sai Vì với x 1 biểu thức ban x 4 x 1 đầu không xác định x 1 x Câu 17 Tập xác định D hàm số y x Trang A D 0; 1 C D ; 3 B D 0; 1 D D ; 3 Lời giải Chọn C Hàm số y x xác định x x 1 Vậy: D ; 3 Câu 18 Tập xác định hàm số y x x A ; 4 B 4; C 0; 4 D 0; Lời giải Chọn A Điều kiện xác định hàm số x x , nên tập xác định ; 4 Câu 19 Tập xác định hàm số y x x A D 2; B D 2; 4 C D 2; 4 D D ; 4; Lời giải Chọn B 4 x x Điều kiện: suy TXĐ: D 2; 4 x x Câu 20 Tập xác định hàm số y x x là: 1 A 6; 2 B ; C ; Lời giải D 6; Chọn C 1 x x Hàm số cho xác định x 6 x x 6 Vậy tập xác định hàm số D ; Câu 21 Tìm tập xác định hàm số y x x x A 1; B 2; C 3; D 0; Lời giải Chọn A x 1 x 1 x x 2 x 1 x x 3 Câu 22 Tập xác định D hàm số y x x A D 2;3 Trang 10 B D 3; C D ;3 D D 2;3 Câu 38 Biết m m0 hàm số f ( x) x3 (m 1) x x m hàm số lẻ Mệnh đề sau đúng? 1 A m ;0 2 1 B m 0; 2 1 D m ;3 2 C m 3; Lời giải Chọn D Tập xác định: D Hàm số y f x hàm số lẻ x x f x f x Ta có: x x x , ta xét: f ( x) x (m 1) x x m ; f ( x) x (m 1) x x m Do x , f x f x x (m 1) x x m = x3 (m 1) x x (m 1) m 1 m Ta có: ;3 Khi đó: 2 m Câu 39 Tìm m để đồ thị hàm số y 2 x m 3m x m x m nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng A m B m 1 C m Lời giải D m Chọn C Để đồ thị hàm số cho nhận gộc tọa độ O làm tâm đối xứng hàm số phải hàm số lẻ m m2 3m m m m m Thử lại m hàm số có dạng y 2 x3 x Tập xác định D : x x y x 2 x 3 x x3 x 2 x3 x y x Do hàm số cho hàm số lẻ hay đồ thị hàm số cho nhận gộc tọa độ O làm tâm đối xứng Câu 40 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y 2x3 m2 x2 m x 3m hàm số lẻ A m 2 B m Chọn B C m 4 Lời giải D m 2 y f x 2x3 m2 x2 m x 3m TXĐ: D Có x x Hàm số y f x hàm số lẻ f x f x , x m 4 x 3m 6 0, x 2x3 m2 x2 m x 3m 2x3 m2 x2 m x 3m 6 , x 2 Câu 41 Cho hàm số f x m 3m x 2017 m Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số f hàm số lẻ Tính tổng phần tử S Trang 40 A B C D Lời giải Chọn A Tập xác định: D Suy ra: x D x D Ta có: f x m 3m x 2017 m Để f hàm số lẻ x D , f x f x m 3m x 2017 m m 3m x 2017 m m m Vậy tổng phần tử S Câu 42 Tìm điều kiện m để hàm số y x m m 1 x x mx m hàm số chẵn A m B m m C không tồn m D m Lời giải Chọn A Hàm y x m m 1 x x mx m có tập xác định R nên hàm số chẵn khi: m m 1 m m Vậy m Câu 43 Biết m m0 hàm số f x x3 m 1 x x m hàm số lẻ Mệnh đề sau đúng? A m0 3: B m0 ;0 1 C m0 ;3 2 Lời giải 1 D m0 0; 2 Chọn C Hàm số có tập xác định D x D x D Theo đề bài, ta có f x f x , x D nghĩa x m 1 x x m x m 1 x x m , x D Điều xảy m2 m2 m m m Vậy m0 x4 2x2 5 ; y x x ; y x x; y x x x tồn a hàm số chẵn, b hàm số lẻ Tính 5a 6b A 27 B 28 C 23 D 20 Lời giải Chọn C Câu 44 Trong hàm số y x x 10; y Xét y f x x x 10 TXĐ: D tập đối xứng Ta có: x D x D f x x x 10 x x 10 f x Suy f hàm số chẵn Trang 41 x4 2x2 x TXĐ: D \ 0 tập đối xứng Xét y g x Ta có: x D x D g x x 2x 1 x4 2x2 g x x x Suy g hàm số lẻ Xét y h x x x TXĐ: D Ta có: x D x D h x x x x x3 h x 5 Suy h hàm số lẻ Xét y u x x x 1 TXĐ: D ; khơng tập đối xứng 2 Ta có: x D x D Suy u hàm số không chẵn, không lẻ Xét y v x x x TXĐ: D \ 0 tập đối xứng Ta có: x D x D v x x 5 x v x x x Suy v hàm số lẻ Do a 1; b Vậy 5a 6b 23 m 2018 x (m 2) 2018 x có đồ thị (Cm ) ( m tham số) Số (m 1) x giá trị m để đồ thị (Cm ) nhận trục Oy làm trục đối xứng Câu 45 Cho hàm số y f x A B C Lời giải D Chọn B m ĐK : m m 1 Vì đồ thị (Cm ) nhận trục Oy làm trục đối xứng nên hàm số f x hàm số chẵn, suy f x f x m 2018 x (m 2) 2018 x m Ta có : f x (m 1) x 2018 x m 2018 x m 1 x m 2 m m Đồng nhất, ta : m2 m m 2 m m Kết hợp điều kiện, suy m 2 thỏa mãn DẠNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Để xét biến thiên hàm số y = f ( x) khoảng xác định (a; b) ta làm sau: Trang 42 Giả sử "x1 , x2 Ỵ K : x1 < x2 Tính f ( x1 ) - f ( x2 ) Lập tỉ số T = f ( x2 ) - f ( x1 ) x2 - x1 Nếu T > thù hàm số y = f ( x) đồng biến (a; b) Nếu T < thù hàm số y = f ( x) nghịch biến (a; b) A Bài tập tự luận Câu Khảo sát biến thiên lập bảng biến thiên hàm số sau: a) y = -2 x + b) y = x - x + khoảng (-¥; 2) khoảng (2; +¥) c) y = -2 x + x + khoảng (3; +¥) x-3 khoảng (-¥; -5) khoảng (-5; +¥) x-5 Lời giải a) Với x1 , x2 Ỵ x1 < x2 d) y = Ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) = (-2 x1 + 3) - (-2 x2 + 3) = -2 ( x1 - x2 ) Suy f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2 = -2 ( x1 - x2 ) x1 - x2 = -2 < Vậy hàm số nghịch biến Bảng biến thiên b) Ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) = ( x12 - x1 + 5) - ( x22 - x2 + 5) = ( x12 - x22 ) - ( x1 - x2 ) = ( x1 - x2 )( x1 + x2 - 4) ìïx1 < Þ x1 + x2 < Với x1 , x2 Ỵ (-¥; 2) x1 < x2 Ta có ï í ïïỵx2 < f ( x1 ) - f ( x2 ) ( x1 - x2 )( x1 + x2 - 4) Do = = x1 + x2 - < x1 - x2 x1 - x2 Vậy hàm số nghịch biến (2; +¥) ìïx1 > Þ x1 + x2 > Vi mi x1 , x2 ẻ (-Ơ; 2) v x1 < x2 Ta có ï í ïïỵx2 > f ( x1 ) - f ( x2 ) ( x1 - x2 )( x1 + x2 - 4) Do = = x1 + x2 - > x1 - x2 x1 - x2 Vậy hàm số đồng biến (2; +¥) Trang 43 Bảng biến thiên c) Ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) = (-2 x12 + x1 + 1) - (2 x22 + x2 + 1) = -2 ( x12 - x22 ) + ( x1 - x2 ) = -2 ( x1 - x2 )( x1 + x2 - 2) ïìx1 > Þ x1 + x2 > Với x1 , x2 ẻ (3; +Ơ) v x1 < x2 Ta có ï í ïïỵx2 > f ( x1 ) - f ( x2 ) -2 ( x1 - x2 )( x1 + x2 - 2) Do = = -2( x1 + x2 - 2) < x1 - x2 x1 - x2 Vậy hàm số nghịch biến (3; +¥) Bảng biến thiên ỉ x - ư÷ ỉ x - ư÷ ÷÷ - çç ÷÷ d) Ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) = ỗỗỗ ốỗ x1 + ữứ ỗốỗ x2 + ữứ = ( x1 - x2 ) ( x1 - 3)( x2 + 5) -( x2 - 3)( x1 + 5) = ( x1 + 5)( x2 + 5) ( x1 + 5)( x2 + 5) ìïx1 < -5 ìïx1 + < Þ ïí Với x1 , x2 Ỵ (-¥; -5) x1 < x2 Ta có ï í ïỵïx2 < -5 ïïỵx2 + < Do f ( x1 ) - f ( x2 ) = ( x1 + 5)( x2 + 5) Vậy hàm số đồng biến (-¥; -5) x1 - x2 >0 ïìx1 > -5 ïìïx1 + > ịớ Vi mi x1 , x2 ẻ (-5; +¥) x1 < x2 Ta có ï í ïỵïx2 > -5 ïïỵx2 + > Do f ( x1 ) - f ( x2 ) = ( x1 + 5)( x2 + 5) Vậy hàm số đồng biến (-5; +¥) x1 - x2 Bảng biến thiên Trang 44 >0 Câu Khảo sát biến thiên hàm số sau: æ7 ö a) y = x - khong ỗỗ ; +Ơữữữ ốỗ ứ b) y = x + c) y = x - x + khoảng (5; +¥) d) y = x -1 Lời giải æ7 a) Vi mi x1 , x2 ẻ ỗỗ ; +Ơữữữ v x1 < x2 ốỗ ứ ( x1 - x2 ) Ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) = x1 - - x2 - = Suy f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2 = 2 x1 - + x2 - x1 - + x2 - >0 ỉ7 Vậy hàm số nghịch biến trờn ỗỗ ; +Ơữữữ ỗố ứ b) Tp xác định D = Với x1 , x2 Ỵ D x1 < x2 Ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) = x12 + - x22 + = Suy f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2 = x1 + x2 x12 + + x22 + f ( x1 ) - f ( x2 ) Nếu x1 < x2 < = x1 - x2 Vậy hàm số nghịch biến (-¥; 0) Nếu < x1 < x2 f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2 = Vậy hàm số đồng biến (0; +¥) x12 + + x22 + x1 + x2 x12 + + x22 + x1 + x2 x12 + + x22 + c) Vi mi x1 , x2 ẻ (5; +Ơ) v x1 < x2 Ta có ( x12 - x22 ) ( 0 ) f ( x1 ) - f ( x2 ) = x1 - x1 + - x2 - x2 + = ( x1 - x2 ) - ( x1 + - x2 + 5) Suy f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2 = x1 + + x2 + - 3 x1 + + x2 + ì ï ï x1 > ì ï ï x1 + > ï Vì x1 , x2 ẻ (5; +Ơ) nờn ịớ ị x1 + + x2 + - > ï x2 > ï x + > ï ï ï î ï î Do f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2 = x1 + + x2 + - 3 x1 + + x2 + >0 Vậy hàm số đồng biến (5; +¥) Trang 45 d) Tập xác định D = (1; +¥) Với x1 , x2 Ỵ D x1 < x2 Ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) = =Suy x1 - - ( x1 - x2 ) x2 - = x2 - - x1 - x1 - × x2 - x1 - × x2 - 1( x2 - + x1 - 1) f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2 =- x1 - × x2 - 1( x2 - + x1 - 1) Với x1 , x2 Ỵ (-¥; 0) x1 < x2 ta có ïí ïïỵx2 < f ( x1 ) - f ( x2 ) x + x1 Suy =- >0 x1 - x2 ( x1x2 ) Vậy hàm số đồng biến (0; +¥) ìïx > Þ -( x2 + x1 ) < Với mi x1 , x2 ẻ (0; + Ơ) v x1 < x2 ta có ïí ïïỵx2 > f ( x1 ) - f ( x2 ) x + x1 Suy =- c) Với x Ỵ (-2; 2) ta có ï í ïïỵx - < Do y = x + - x - = ( x + 2) + ( x - 2) = x Trang 46 Ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) = x1 - x2 = ( x1 - x2 ) Suy Vậy hàm số đồng biến (-2; 2) Câu f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2 = 2>0 Với giá trị m hàm số sau đồng biến khoảng xác định nó: a) y = (m + 1) x + m - m x-2 Lời giải a) Tập xác định D = Với x1 , x2 Ỵ D x1 < x2 ta có : b) y = f ( x1 ) - f ( x2 ) = éë( m + 1)x1 + m - 2ùû - éë( m + 1)x2 + m - 2ùû = ( m + 1) ( x1 - x2 ) Suy f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2 = m +1 Để hàm số đồng biến D = m + > Û m > -1 b) Tập xác định D = (-¥; 2) ẩ (2; + Ơ) ổ m ửữ ổ m ửữ -m ( x1 - x2 ) ữữ - ỗỗ ÷÷ = Ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) = ỗỗỗ ỗố x1 - ứữ ỗỗố x2 - ứữ ( x1 - 2)( x2 - 2) Vi mi x1 , x2 ẻ (-Ơ; 2) x1 < x2 ta có : ïìx < ìïx - < f ( x1 ) - f ( x2 ) -m ïí Û ïí Þ ( x1 - 2)( x2 - 2) > vaø = ïïx2 < ïïx2 - < x1 - x2 x1 - 2)( x2 - 2) ( ỵ ïỵ Để hàm số đồng biến (-¥; 2) -m > Û m < Với x1 , x2 Ỵ (2; + ¥) x1 < x2 ta có : ìïx > ïìx - > f ( x1 ) - f ( x2 ) -m ï Û ïí Þ ( x1 - 2)( x2 - 2) > = í ïïx2 > ïïx2 - > x1 - x2 x1 - 2)( x2 - 2) ( ỵ ïỵ Để hàm số đồng biến (2; +¥) -m > Û m < Câu Với giá trị m hàm số y = -x + (m - 1) x + nghịch biến (1; 2) Tập xác định D = Lời giải ỉ ỉ m - 1ư÷ m - 1ư÷ Ta có y = -x + (m - 1) x + = -ỗỗ x ữữ + + çç ÷ ø èç èç ø÷ 2 ỉ ỉ m -1 m - 1ư÷ Ta phõn chia xỏc nh thnh hai khong ỗỗ-Ơ; ; +Ơữữ ữ v ỗỗ ỗố ỗố ữứ ữứ ổ m - 1ữử Trờn khong ỗỗ-Ơ; ữ thỡ hm s ng bin, trờn khong ữứ ốỗ ổ m -1 ỗỗ ; +Ơữữữ nghch bin ốỗ ø ỉ m -1 Do điều kiện để hàm số nghịch biến (1; 2) (1; 2) è ỗỗ ; +Ơữữ hay ỗố ữứ m -1 £1Û m£ Trang 47 Cách Với x1 ¹ x2 , ta có f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2 é-x + (m - 1) x + 2ù - é-x + (m - 1) x + 2ù ê ûú ëê ûú = -( x + x ) + m - =ë x1 - x2 Để hàm số nghịch biến (1; 2) -( x1 + x2 ) + m - < , "x1 , x2 Î (1; 2) Û m£3 B Bài tập trắc nghiệm Câu Chọn khẳng định đúng? A Hàm số y f ( x) gọi nghịch biến K x1 ; x2 K , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) B Hàm số y f ( x) gọi đồng biến K x1 ; x2 K , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) C Hàm số y f ( x) gọi đồng biến K x1 ; x2 K , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) D Hàm số y f ( x) gọi đồng biến K x1 ; x2 K , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) Lời giải Chọn D Lí thuyết định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến Câu Trong hàm số sau, hàm số hàm đồng biến ? A y x B y x C y x x D y 2 x 3 Lời giải Chọn B y x đồng biến có hệ số góc a Câu Trong hàm số sau, hàm số nghịch biến ? B y 2 x A y x C y x D y x Lời giải Chọn B Hàm số y ax b với a nghịch biến a Câu khoảng 0; Khẳng định sau đúng? x A Hàm số nghịch biến khoảng 0; Xét biến thiên hàm số f x B Hàm số vừa đồng biến, vừa nghịch biến khoảng 0; C Hàm số đồng biến khoảng 0; D Hàm số không đồng biến, không nghịch biến khoảng 0; Lời giải Chọn A x1 , x2 0; : x1 x2 f x2 f x1 f x2 f x1 3 3 x2 x1 0 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 Vậy hàm số nghịch biến khoảng 0; Trang 48 2x 1 nghịch biến khoảng x 1 A ; B ; Câu 10 Hàm số y 3 C 1; 2 Lời giải D 1; Chọn D Tập xác định: D \ 1 Lấy x1 ; x2 ;1 cho x1 x2 Xét y1 y2 x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x1 x2 x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 Với x1 ; x2 ;1 x1 x2 , ta có x2 x1 ; x1 ; x2 y1 y2 y1 y2 Do hàm số nghịch biến ;1 Lấy x1 ; x2 1; cho x1 x2 Xét y1 y2 x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x1 x2 x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 Với x1 ; x2 1; x1 x2 , ta có x2 x1 ; x1 ; x2 y1 y2 y1 y2 Do hàm số nghịch biến 1; Câu 11 Hàm số y f x x x nghịch biến khoảng sau đây? A 1;0 B 1;1 Tập xác định: D Cách 1: x1 , x2 , x1 x2 ta có C 0;1 D 1; Lời giải 4 2 2 2 2 f x2 f x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x22 x12 Ta thấy với x1 , x2 0;1 x1 x2 x12 , x22 x12 x22 x12 x22 , x2 x1 x22 x12 Vậy hàm số nghịch biến khoảng 0;1 Câu 12 Hàm số sau đồng biến khoảng 1;1 ? A y x C y x 1 x B y x D y x3 x Lời giải Đáp án D * Xét hàm số y x : Tập xác định D 1;1 ; x1 , x2 1;1 , x1 x2 : Trang 49 y x2 y x1 x22 x12 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x12 x22 x22 x12 x1 x2 x22 x12 Do với x1 , x2 ta có y x2 y x1 0; x2 x1 với x1 , x2 ta có y x2 y x1 0 x2 x1 Vậy hàm số đồng biến khoảng 1;0 nghịch biến khoảng 0;1 , tức hàm số không đồng biến khoảng 1;1 * Xét hàm số y x : Tập xác định D ; x1 , x2 , x1 x2 : y x2 y x1 x22 x12 x2 x1 x2 x1 x2 x1 Do với x1 , x2 ta có y x2 y x1 0; x2 x1 với x1 , x2 ta có y x2 y x1 x2 x1 Vậy hàm số nghịch biến khoảng ;0 đồng biến khoảng 0; , tức hàm số không đồng biến khoảng 1;1 x 1 : x Tập xác định D \ 0 * Xét hàm số y x1 , x2 \ 0 , x1 x2 : y x2 y x1 x2 x1 x1 x2 x2 x1 x1 x2 y x2 y x1 1 x2 x1 x1 x2 Do với x1 , x2 với x1 , x2 ta có y x2 y x1 0 x2 x1 Vậy hàm số nghịch biến khoảng ;0 0; , tức hàm số không đồng biến khoảng 1;1 * Do đáp án D Thật xét hàm số y x3 x ta có Trang 50 Tập xác định D ; x1 , x2 , x1 x2 : y x2 y x1 x13 x23 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x12 x1 x2 x22 Với x1 1, x2 ta có x12 1, x22 1, x1 x2 x1 x2 , x12 x1 x2 x22 Vậy hàm số đồng biến khoảng 1;1 Cách 2: Sử dụng chức TABLE máy tính cầm tay giới thiệu Bài tập 17 phần B - Các dạng tập điển hình Độc giả tự thực để kiểm chứng kết cách nêu Câu 13 Cho hàm số f x có bảng biến thiên sau Hàm số nghịch biến khoảng đây? A ;0 B 1; C 2; D 0;1 Lời giải Ta thấy khoảng 0;1 , mũi tên có chiều xuống Do hàm số nghịch biến khoảng 0;1 Đáp án D Câu 14 Cho hàm số có đồ thị hình vẽ Chọn đáp án sai A Hàm số nghịch biến khoảng ; 1 B Hàm số đồng biến khoảng 1; C Hàm số nghịch biến khoảng 1;1 D Hàm số đồng biến khoảng 1;0 Lời giải Chọn C Trang 51 Từ đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số nghịch biến khoảng: ; 1 0;1 Hàm số đồng biến khoảng: 1;0 1; Câu 15 Cho hàm số y f x có tập xác định 3;3 có đồ thị biểu diễn hình bên Khẳng định sau đúng? A Hàm số y f x 2018 đồng biến khoảng 3; 1 1;3 B Hàm số y f x 2018 đồng biến khoảng 2;1 1;3 C Hàm số y f x 2018 nghịch biến khoảng 2; 1 0;1 D Hàm số y f x 2018 nghịch biến khoảng 3; 2 Lời giải Chọn A Gọi C : y f x , C y f x 2018 Khi tịnh tiến đồ thị C theo phương song song trục tung lên phía 2018 đơn vị đồ thị C Nên tính đồng biến, nghịch biến hàm số y f x , y f x 2018 khoảng tương ứng không thay đổi Dựa vào đồ thị ta thấy: Hàm số y f x 2018 đồng biến khoảng 3; 1 1;3 (đúng) Hàm số y f x 2018 đồng biến khoảng 2;1 1;3 (sai) Hàm số y f x 2018 nghịch biến khoảng 2; 1 0;1 (sai) Hàm số y f x 2018 nghịch biến khoảng 3; 2 (sai) Câu 16 Cho hàm số có đồ thị hình bên Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng 0;3 B Hàm số đồng biến khoảng ;1 C Hàm số nghịch biến khoảng 0; D Hàm số đồng biến khoảng ;3 Lời giải Chọn C Trên khoảng 0; , đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến Trang 52 Câu 17 Cho hàm số y f x xác định khoảng ; có đồ thị hình vẽ Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng 0; B Hàm số nghịch biến khoảng 3;0 C Hàm số đồng biến khoảng 1;0 D Hàm số nghịch biến khoảng 0;3 Lời giải Đáp án C Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số lên khoảng 1;0 Vậy hàm số đồng biến khoảng 1;0 Câu 18 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau: Đặt h x x f x Khẳng định đúng? A h 3 h 1 h B h 1 h h 3 C h h 1 h 3 D h 3 h h 1 Lời giải Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x nghịch biến khoảng 0; , suy hàm số y f x đồng biến khoảng 0; Mặt khác hàm số y x đồng biến ; Do hàm số h x x f x đồng biến khoảng 0; Suy h 1 h h 3 Đáp án B Câu 19 Hàm số f x có tập xác định có đồ thị hình vẽ Trang 53 Mệnh đề sau đúng? A Đồ thị hàm số cắt trục hồnh theo dây cung có độ dài B Hàm số đồng biến khoảng 0;5 C Hàm số nghịch biến khoảng 0;3 D f 2019 f 2017 Lời giải Chọn A Nhìn vào đồ thị hàm số ta có: Đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm M 1;0 , N 3;0 MN A Trên khoảng 0; đồ thị hàm số xuống nên hàm số nghịch biến khoảng 0; khoảng 2;5 đồ thị hàm số lên nên hàm số đồng biến khoảng 2;5 B sai Trên khoảng 0; đồ thị hàm số xuống nên hàm số nghịch biến khoảng 0; khoảng 2;3 đồ thị hàm số lên nên hàm số đồng biến khoảng 2;3 C sai Ta có: 2019, 2017 2; khoảng 2; hàm số đồng biến nên 2019 2017 D sai f 2019 f 2017 Trang 54 ... hàm số nghịch biến ;1? ?? Lấy x1 ; x2 ? ?1; cho x1 x2 Xét y1 y2 x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x1 x2 x1 1? ?? x2 1? ?? x1 1? ?? x2 1? ??... 0 ;1? ?? Đáp án D Câu 14 Cho hàm số có đồ thị hình vẽ Chọn đáp án sai A Hàm số nghịch biến khoảng ; ? ?1? ?? B Hàm số đồng biến khoảng ? ?1; C Hàm số nghịch biến khoảng ? ?1; 1 D Hàm số đồng... x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x1 x2 x1 1? ?? x2 1? ?? x1 1? ?? x2 1? ?? Với x1 ; x2 ;1? ?? x1 x2 , ta có x2 x1 ; x1 ; x2 y1 y2 y1 y2