Giải (1) : cos x − sin x = ⇔ cos x + π π x= π = ⇔ x = + kπ; k ∈ Z Do x ∈ (0; 2π) ⇒ 5π x= Giải (2) : f (sin x + cos x) − (sin x + cos x) = ỵ √ √ ó √ π Đặt t = sin x + cos x = sin x + ⇒ t ∈ − 2; Phương trình (2) trở thành: f (t) = 2t (3) Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) y = 2x hệ trục Dựa vào hình vẽ ta thấy (3) có nghiệm t = t = ỵt =√2 √ ó So sánh điều kiện t ∈ − 2; suy (3) có nghiệm t = t = y y = 2x b O π • Với t = ⇒ sin x + cos x = ⇔ sin x + 3π x= Do x ∈ (0; 2π) ⇒ 7π x= • Với t = ⇒ √ π sin x + Do x ∈ (0; 2π) ⇒ x = = ⇔ sin x + π =0⇔x=− π a y = f (x) x π + kπ, k ∈ Z √ x = k2π = ⇔ , k ∈ Z π x = + k2π Suy h (x) = có nghiệm đơn trên (0; 2π) ⇒ (0; 2π) hàm số h(x) = f (sin x + cos x) − sin 2x − 2021 có điểm cực trị (II) Xét phương trình h(x) = ỵ0 ⇔ f (sinóx + cos x) = sin 2x + 2021 √ √ Đặt t = sin x + cos x; t ∈ − 2; t2 = + sin 2x ⇒ sin 2x = t2 − 1, phương trình trở thành: f (t) = t2 + 2020 Dựa vào đồ thị hàm số f (x) ta thấy diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x); trục Ox hai đường x = 0; x = a nhỏ diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x); trục Ox hai đường x = a; x = b Suy a − b f (x) dx ⇔ −f (a) + f (0) < f (b) − f (a) ⇔ f (0) < f (b) (∗) f (x) dx < a Cũng dựa vào đồ thị hàm số f (x) ta có bảng biến thiên x −∞ + y a 0 − f (0) +∞ b + − f (b) y −∞ f (a) −∞ Dựa vào bảng biến thiên, giả thiết f (b) < 2020 (∗) ⇒ f (t) < 2020, ∀t ∈ R Lại có t2 + 2020 ≥ 2020, ∀t ∈ R Do ta suy phương trình f (t) = t2 + 2020 vô nghiệm ĐỀ SỐ 76 - Trang 16