Bộ đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán lớp 9

 Sưu tầm tổng hợp BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUN MƠN TỐN LỚP Thanh Hóa, ngày tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com 50 ĐỀ ÔN THI LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP CẤP QUẬN, HUYỆN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh luyện thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 9, website thuvientoan.net giới thiệu đến thầy cô em đề thi học sinh giỏi toán lớp huyện nước có hướng dẫn giải cụ thể Đây đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp thầy cô em học sinh luyện thi học sinh giỏi lớp có tài liệu bám sát đề thi để đạt thành tích cao, mang lại vinh dự cho thân, gia đình nhà trường Bộ đề gồm nhiều Câu tốn hay thầy cô nước sưu tầm sáng tác, ôn luyện qua giúp em phát triển tư mơn tốn từ thêm u thích học giỏi mơn học này, tạo tảng để có kiến thức tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức lớp, cấp học nhẹ nhàng hiệu Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng tuyển tập đề tốn để giúp em học tập Hy vọng Tuyển tập 50 đề thi học sinh giỏi lớp giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Bộ đề viết theo hình thức Bộ đề ôn thi, gồm: đề thi hướng dẫn giải đề đề thi dựa đề thi thức sử dụng kì thi học sinh giỏi tốn lớp quận, huyện nước Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ đề này! Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com MỤC LỤC Phần Đề thi Phần Đáp án • Đề 1: Trang ….56 • Đề 2: Trang ….59 • Đề 3: Trang ….63 • Đề 4: Trang ….65 • Đề 5: Trang ….70 • Đề 6: Trang ….73 • Đề 7: Trang ….78 • Đề 8: Trang ….82 • Đề 9: Trang ….85 • Đề 10: _Trang ….88 • Đề 11: _Trang ….91 • Đề 12: _Trang ….95 • Đề 13: _Trang ….99 • Đề 14: _Trang ….102 • Đề 15: _Trang ….106 • Đề 16: _Trang ….109 • Đề 17: _Trang ….113 • Đề 18: _Trang ….115 • Đề 19: _Trang ….119 • Đề 20: _Trang ….123 • Đề 21: _Trang ….128 • Đề 22: _Trang ….131 • Đề 23: _Trang ….135 • Đề 24: _Trang ….138 • Đề 25: _Trang ….142 • Đề 26: _Trang ….145 • Đề 27: _Trang ….149 • Đề 28: _Trang ….153 • Đề 29: _Trang ….157 • Đề 30: _Trang ….162 • Đề 31: _Trang ….166 • Đề 32: _Trang ….170 • Đề 33: _Trang ….173 • Đề 34: _Trang ….179 • Đề 35: _Trang ….181 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com • Đề 36: _Trang ….184 • Đề 37: _Trang ….186 • Đề 38: _Trang ….190 • Đề 39: _Trang ….193 • Đề 40: _Trang ….197 • Đề 41: _Trang ….201 • Đề 42: _Trang ….205 • Đề 43: _Trang ….209 • Đề 44: _Trang ….212 • Đề 45: _Trang ….215 • Đề 46: _Trang ….219 • Đề 47: _Trang ….222 • Đề 48: _Trang ….225 • Đề 49: _Trang ….229 • Đề 50: _Trang ….233 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2014-2015 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 21/10/2014 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu Cho biểu thức: P= x2 − x x+ x +1 − 2x + x x + ( x − 1) x −1 a Rút gọn P b Tìm giá trị nhỏ P c Xét biểu thức: Q = Câu (4,5 điểm) x , chứng tỏ < Q < P 2014 2015 2014 + 2015 2014 b Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 ≤ a Khơng dùng máy tính so sánh : c Giải phương trình: Câu (4,0 điểm) a ( Với x = 5+2 ) + 2015 + = x+3 x+4 17 − 38 ( Tính giá trị biểu thức: B = 3x + 8x − ) 2015 + 14 − b Tìm tất cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > cho (3x + 1)  y đồng thời (3y + 1)  x Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt H a Chứng minh rằng: S Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ; AEF = cos A S ABC b Chứng minh : S DEF = (1 − cos2 A − cos2 B − cos2 C ) S ABC c Cho biết AH = k.HD Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + HA HB HC d Chứng minh rằng: + + ≥ BC AC AB Câu (1,5 điểm) Cho x, y số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: = A 36 x − y _Hết _ Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THẠCH HÀ ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2016-2017 MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) Đề số (Đề thi có trang) Câu 1 a) Tính giá trị đa thức f(x) = (x − 3x + 1)2016 x = + 9− − 2.2016 b) So sánh 2017 − − 2016 − 2017 − + 2016 − 1 + sin x cos x + với 00 < x < 900 + cot x + tan x d) Biết số vơ tỉ, tìm số ngun a, b thỏa mãn: − =−9 − 20 a+b a−b Câu Giải phương trình sau: c) Tính giá trị biểu thức: sin x.cos x + a) x −1 x − − = − x − x −1 b) x − 5x + 8= x − Câu a) Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d hệ số nguyên Chứng minh P(x) chia hết cho với giá trị nguyên x hệ số a, b, c, d chia hết cho b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – xy + y2 – = c) Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n4 + 4n hợp số a + b4 Câu a) Chứng minh ≥ ab + a b − a b 2 1 b) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện + + =2 a+b+1 b+c+1 c+a+1 Tìm giá trị lớn tích (a + b)(b + c)(c + a) Câu Cho ∆ABC nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt H Gọi chân đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC E F a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC b) Giả sử HD = AD Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 c) Gọi M, N chân đường vng góc kẻ từ D đến BI CK Chứng minh rằng: điểm E, M, N, F thẳng hàng _Hết _ Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2010-2011 MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KINH MƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu ( 2,5 điểm ) So sánh : 2008 2009 + Cho biểu thức B = 2009 2008 1 + + 2008 + 2009 + + 2010 Chứng minh B > 86 Câu (1,0 điểm ) Chứng minh biểu thức : P = ( x − x − 1) 2010 có giá trị số tự nhiên với x= 10 + ( − 1) 6+2 − Câu ( 2,5 điểm ) Giải phương trình sau: x − + = x Tìm số nguyên x, y thỏa mãn y = x + x + Câu (3,0 điểm ) Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh CD lấy điểm N Tia AM cắt đường thẳng CD K Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD I 1 + = 2 AM AK AB Chứng minh : Biết góc MAN có số đo 450, CM + CN = cm, CM - CN = cm Tính diện tích tam giác AMN Từ điểm O tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR vng góc với IK, AK, AI ( P ∈ IK, Q ∈ AK, R ∈ AI) Xác định vị trí O để OP + OQ + OR nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thỏa mãn ≤ a, b, c ≤ a + b + c = Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 ≤ _Hết _ Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức : B = x −1 − x + x −1 + x + x x −x x −1 a Rút gọn biểu thức B b Tìm x để B > c Tính giá trị B : x = 53 9−2 Câu (4,0 điểm) a Giải phương trình : b Chứng minh rằng: x − + x − + −1 + x − x − =4 10 số vô tỉ Câu (3,0điểm) a Vẽ đồ thị hàm số: = y 2x + b Xác định tọa độ giao điểm đồ thị hàm số câu a với đồ thị hàm số y = 3x – Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Trên bán kính OA, OB lấy điểm M N cho OM = ON Qua M N vẽ dây CD EF song song với (C, E thuộc nửa đường trịn đường kính AB) a Chứng minh tứ giác CDFE hình chữ nhật R , góc nhọn CD OA 600 Tính diện tích hình chữ nhật CDFE b Cho OM = Câu (2,0 điểm) Một ngũ giác có tính chất: Tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh liên tiếp ngũ giác có diện tích Tính diện tích ngũ giác Câu (3,0 điểm) 4 a Cho a, b, c số thực, chứng minh rằng: a + b + c ≥ abc(a + b+ c) abc = n2 − b Tìm tất số tự nhiên có ba chữ số abc cho  = (n − 2)2 cba Với n số nguyên lớn _Hết _ Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH OAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TỐN Thời gian: 150 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) Đề số (Đề thi có trang) Câu (6 điểm)  x−3 x   9−x x −3 x −2 Cho P = − −  −  :   x−9   x+ x −6 2− x x +   Rút gọn P Tìm x để P > Với x > 4, x ≠ Tìm giá trị lớn P.(x + 1) Câu (4 điểm) Tìm tất số tự nhiên n cho n2 – 14n – 256 số phương Cho: a > 0, b > ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ( a + b + 1) a + b + a+b Câu (2 điểm)  x + 2012 − y =2012 Cho hệ phương trình:   2012 − x + y =2012 Chứng minh rằng: x = y Tìm nghiệm hệ phương trình Câu (5 điểm) Cho hai đường trịn (O; R) (O’; R’) tiếp xúc ngồi A(R > R’) Vẽ dây AM đường tròn (O) dây AN đường tròn (O’) cho AM ⊥ AN Gọi BC tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) với B ∈ (O) C ∈ (O’) Chứng minh OM // O’N Chứng minh: Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui Xác định vị trí M N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn Tính giá trị lớn Câu (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Gọi ha, hb, hc đường cao ma, mb, mc trung tuyến cạnh BC, CA, AB; R r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: ma mb mc R + r + + ≤ hb hc r Tìm tất cặp số nguyên dương a,b cho: a + b2 chia hết cho a2b – ( ) _Hết _ Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ THANH HÓA LỚP THCS NĂM HỌC 2015-2016 MƠN THI: TỐN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) Đề số (Đề thi có trang) Câu (4,0 điểm) Cho P = x x − 2x − x + x x −3 x −2 + x x + 2x − x − x x −3 x +2 Rút gọn P Với giá trị x P > Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn Câu (4,0 điểm) Giải phương trình − 3x − x − x − + + 2x =4 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2 Câu (4,0 điểm) Cho a = x + x b=y+ y c = xy + xy Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc Chứng minh với x > ta ln có 3(x2 - 1 ) < 2(x3 - ) x x Câu (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD Gọi I, Q, H, P trung điểm AB, AC, CD, BD Chứng minh IPHQ hình thoi PQ tạo với AD, BC hai góc Về phía tứ giác ABCD, dựng hai tam giác ADE BCF Chứng minh trung điểm đoạn thẳng AB, CD, EF thuộc đường thẳng Câu (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đường cao AH dài 36cm Tính độ dài BD, DC Câu (2,0 điểm) Với a, b số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = Hãy tìm GTNN P = + a + + b _Hết _ Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 223 Website:tailieumontoan.com Hãy tính giá trị biểu thức A= x (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) y z + + (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) Ta có: xy + yz + zx =1 ⇔ + x =xy + yz + zx + x =y ( x + z ) + x ( x + z ) =( x + z )( x + y ) Tương tự: + y = ( y + z )( y + x ) , + z = ( z + x )( z + y ) Thay kết vào biểu thức A để tính Câu a) ( ) Cho hàm số: f ( x ) = x3 + 12 x − 31 2012 Tính f ( a ) a = 16 − + 16 + Từ a = 16 − + 16 + ( )( ) ⇒ a = 32 + 3 16 − 16 +  16 + + 16 −  = 32 − 12a nên   a + 12a = 32 Vậy f ( a ) = b) Tìm số tự nhiên n cho n + 17 số phương? k − n = Giả sử: n + 17 = k ( k ∈ N ) k > n ⇒ ( k − n )( k + n ) = 17 ⇔  ⇒n= 17 k + n = Vậy với n = thỏa mãn yêu cầu toán Câu a) ĐK: −4 ≤ x ≤ Bình phương vế: − x + + x + (1 − x)(4 + x) = ⇔ (1 − x)(4 + x) = x = ⇔ − x − x = ⇔ x( x + 3) = ⇔  (thỏa mãn)  x = −3 Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = −3 2x + b) x + x += ĐKXĐ: x ≥ −3 ( ) x + x += 2 x + ⇔ ( x + x + 1) + x + − 2 x + + = ⇔ ( x + 1) + (  x + = x + − =0 ⇔  ⇒ x =−1 (thỏa mãn ĐK)  x + = ) Vậy phương trình có nghiệm x = −1 Câu a) ( ) xy Tìm x; y thỏa mãn: x y − + y x − = Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 224 Website:tailieumontoan.com ĐK: x ≥ 4; y ≥ Ta có: ( ) x y − + y x − = xy ⇔ x.2 y − + y.2 x − = xy Xét VP = x.2 y − + y.2 x − Theo BĐT Côsi: y − ≤ 4+ y−4 y 4+ x−4 x = ;2 x − ≤ = 2 2 VT Vậy VP ≤ xy =  x − = ⇒ x = y = (thỏa mãn ĐK) Dấu “=” xảy   y − = b) Cho a; b; c số thuộc đoạn [ −1; 2] thỏa mãn: a + b + c = Hãy chứng minh rằng: a + b + c ≥ Do a; b; c số thuộc đoạn [ −1; 2] nên a + ≥ 0; a − ≤ nên ( a + 1)( a − ) ≤ Hay a − a − ≤ ⇒ a ≤ a + Tương tự b ≤ b + 2; c ≤ c + Do a + b + c ≤ a + b + c + Mà theo đề a + b2 + c2 = nên a + b + c ≥ Câu A a) Sử dụng định lý Pytago: AC + CB − BA2 AK + KC + ( BK + CK ) − AB = CB + BA2 − AC ( BK + CK ) + BA2 − ( AK + KC ) = D 2CK + BK CK 2CK (CK + BK ) CK = = BK + BK CK BK ( BK + CK ) BK b) Ta= có tan B E AK AK = ; tan C BK CK nên tan B tan C = B H K C AK (1) BK CK  = HKC  mà tan HKC = KC Mặt khác ta có B KH Nên tan B = KC KH Tương tự tan C = KB.KC KB Do tanB.tan C = KH KH ( 2) 2  AK  Từ (1) ( ) ⇒ ( tan B.tan C ) =    KH  Theo giả thiết HK = Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp AK nên tan B.tan C = 3 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 225 Website:tailieumontoan.com c) Ta chứng minh được: ∆ABC ∆ADE đồng dạng vậy: = 60° nên  Mà BAC ABD= 30° ⇒ AB= AD Từ (3) (4) ta có: S ABC  AB  =  (3) S ADE  AD  ( 4) S ABC ⇒ S ADE = 30 (cm2) = S ADE Đề số 48 Câu ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ (*) 1) Rút gọn M : Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠  x +1− x   x +  x +2 x +2 = M  − +  :   x +1   x − x − ( x − 2)( x − 3)   =  ( x + 3)( x − 3) − ( x − 2)( x + 2) + ( x + 2)  :  x +1  ( x − 2)( x − 3)  = x − − ( x − 4) + x + : x +1 ( x − 2)( x − 3) = x −2 x +1 Vậy M = 2) M = x −2 x +1 x −2 x +1 = (với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ ) (*) x +1− x +1 = x +1 x +1 − x +1 = 1− x +1 Biểu thức M có giá trị nguyên khi: 3 x + ⇔ x + ∈ U(3) Ư(3) ∈ {± 1;±3 Nên } Vì x ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x + ≥ x + ∈ {1;3} Xảy trường hợp sau: x + = ⇔ x = ⇔ x = (TMĐK (*) ) x + = ⇔ x = ⇔ x = (không TMĐK (*) loại ) Vậy x = M nhận giá trị nguyên b) x = + 2 − + + 18 − − Có 18 − = (4 − ) = − = − Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 226 Website:tailieumontoan.com + + − = + = ( + 1) = +1 x = + 2 − − − = + 2 − − = + − − x = + ( − 1) − = + − − = + − x = ( + 1) − = +1 − = +1− = Với x = Ta có P = 3.12013 + 5.12011 + 2006 = + + 2006 = 2014 Vậy với x = P = 2014 Câu a) 24 ( x + 3)( x + )( x + )( x + 5) = ( )( ) ⇔ x + x + 18 x + x + 20 = 24 (1) Đặt x + x + 19 = y phương trình (1) trở thành : ( y + 1)( y − 1) − 24 = ⇔ y − 25 = ⇔ ( y − 5)( y + 5) = ( )( ⇔ ( x + )( x + ) ( x ⇔ ( x + )( x + ) ( x ) + x + 24 ) = + x + 24 ) = ⇔ x + x + 24 x + x + 14 = 2 Chứng tỏ x + x + 24 > Vậy nghiệm phương trình : x = −2; x = −7 b) Ta có x − x − = −( x − x + 1) = −( x − 1) < Phương trình trở thành : x − x − = x − x + ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình : x = Câu a) (1,0 điểm)    x4 y + x2 y + 2 + M =+ x y = x y + + + =    y2   x2  x2 y x2 y  = (x ) 2 y2 +1  x2 y +    =  =   xy +  x2 y xy   xy   Ta có: xy +   15 =  xy + + xy  16 xy  16 xy * Ta có: xy + 1 1 ≥ xy =2 = (1) 16 xy 16 xy * xy ≤ 1 15 15 x+ y (2) ⇒ xy ≤ ⇒ ≥4 ⇒ ≥ =⇒ ≥ = xy 16 xy 16 16 xy 2     15 15 17 Từ (1) (2) ⇒  xy + =  xy + ≥ + = + xy   16 xy  16 xy 4     17  289 Vậy M = xy +  ≥   = xy    16  Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 227 Website:tailieumontoan.com 1    xy =  xy = 16 xy ⇔  Dấu “=” xảy ⇔  (Vì x, y > ) 4⇔x= y=  x = y  x= y  Vậy MinM = 289 x= y= 16 b) (1,0 điểm) Áp dụng BĐT 11 1 1 (với a, b > ) ⇒ ≤  +  + ≥ a b a+b a+b 4 a b Ta có: = 3x + y + z  1 1 ≤  + ( x + y + z ) + ( x + y + z )  x + y + z x + y + z  ≤  1  1 1 1  + + + +  ≤     ( x + y ) + ( x + z ) ( x + y ) + ( y + z )    x + y x + z x + y y + z   ≤ 1 1  + +   16  x + y x + z y + z  Tương tự: 1 1  ≤  + +  x + y + z 16  x + z x + y y + z  1 1  ≤  + +  x + y + z 16  y + z x + y x + z  Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4  + + ≤  + +  x + y + z x + y + z x + y + z 16  x + y x + z y + z  ≤ 4 1  + +   = = 16  x + y x + z y + z  Câu B D I O C H E P A Q F 1) BA đường cao tam giác BPQ suy H thuộc BA Nối OE , ∆BEF vuông B ; BA ⊥ EF nên AB = AE AF AE AB AE AB AE AB ⇒ = ⇒ = ⇒ = 1 AB AF OA AQ AB AF 2 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 228 Website:tailieumontoan.com  (góc có cạnh Vậy ∆AEO  ∆ABQ (c.g.c) Suy  ABQ = P ABQ =  AEO mà   , mà hai góc đồng vị tương ứng vng góc) nên  AEO = P Trong ∆AEO có PE = PA (giả thiết); PH //OE suy H trung điểm OA 2) Ta có: P = sin α + cos α = ( sin α ) + ( co s α ) 3 P= ( sin α + cos2 α ) sin α − sin α cos2 α + cos4 α  P= − 3sin α cos α ( sin α + cos2 α ) − 3sin α cos2 α = Ta có: ( sin α + cos α ) ≥ 4sin α cos α ⇔ ≥ 4sin α cos α ⇔ sin α cos α ≤ Suy ra: P = − 3sin α cos α ≥ − Do đó: Pmin = ⇔ = 4 khi: sin α = cos α ⇔ sin α = cos α (vì α góc nhọn) sin α =1 ⇔ tgα =1 ⇒ α =45° cos α Khi CD vng góc với AB 3) Ta có ∆ACB ∆ADB nội tiếp đường trịn ( O ) có AB đường kính nên  ACB=  ADB= 90° ⇒ ADBC hình chữ nhật 2 Ta có: CD = = AB AE AF ⇒ CD = AB = AE AF = ( EC.EB ) ( DF BF ) = ( EC.DF ) ( EB.BF ) = EC.DF AB.EF ⇒ AB = CE.DF EF Vậy CD = CE.DF EF BE EA.EF AE BE AE CE.BE BE CE Ta có:= = ⇒ = = ⇒ = BF DF BF FA.EF AF BF AF DF BF Câu ( ) Giả sử n + n3 + số phương n + n3 + > n =n (n ⇒ n + n3 + = +k ) 2 = n + 2kn + k (k ∈ * ) ⇒ n3 − 2kn = k − ⇒ n ( n − 2k ) = k − ≥ Mà k − 1 n ⇒ k = n ≤ k − Nếu k =1 ⇒ k =1 ⇒ n ( n − ) =0 ⇒ n =2 Thử lại + + = ( thỏa mãn) Khi k ≠ ⇒ k > k − ≥ n ⇒ k > n 2 ⇒ n − 2k < mâu thuẫn với điều kiện n ( n − 2k ) = k − ≥ Vậy n = Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 229 Website:tailieumontoan.com Đề số 49 Câu Khơng tính tổng qt, giả sử p ≤ q Trường hợp 1: p = ⇒ p ( p + 3) = ( + 3) = 2.5 = 10 ⇒ 10 + q ( q + 3) = n ( n + 3) ⇔ 10 = n + 3n − q − 3q = ( n − q ) + ( 3n − 3q ) ⇔ 10 = ( n − q )( n + q ) + ( n − q ) ⇔ 10 = ( n − q )( n + q + 3) Vì p ( p + 3) + q ( q + 3)= n ( n + 3) mà p ; q ; n số nguyên dương ⇒ n > q ≥ ⇒ n+q+3> 2+2+3= Mà= 10 1.10 = 2.5 q + 10 +q = n + = n= n ⇒ ⇔ ⇔ −q −q =  n=  n= q So với điều kiện thỏa mãn Vậy ba số nguyên dương ( p; q; n ) cần tìm ( 2;3; ) Trường hợp 2: p = ⇒ p ( p + 3) = ( + 3) = 3.6 = 18 ⇒ 18 + q ( q + 3) = n ( n + 3) ⇔ 18 = n + 3n − q − 3q = ( n − q ) + ( 3n − 3q ) ⇔ 18 = ( n − q )( n + q ) + ( n − q ) ⇔ 18 = ( n − q )( n + q + 3) Vì p ( p + 3) + q ( q + 3)= n ( n + 3) mà p ; q ; n số nguyên dương ⇒ n > q ≥ ⇒ n + q +3 > 3+3+3 = = 1.18 = 2.9 = 3.6 Mà 18 q + 18 = n + q 15 = n += n ⇒ ⇔ ⇔ n−q n−q =  = = q So với điều kiện thỏa mãn Vậy ba số nguyên dương ( p; q; n ) cần tìm ( 3;7;8 ) Trường hợp 3: p > Ta chứng minh với số nguyên a khơng chia hết cho tích a ( a + 3) chia dư Thật vậy: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 230 Website:tailieumontoan.com Nếu a : dư ⇒ a = 3k + ⇒ a + = 3k + ⇒ a ( a + 3) = ( 3k + 1)( 3k + ) = 9k + 15k + : dư Nếu a : dư ⇒ a = 3k + ⇒ a + = 3k + ⇒ a ( a + 3) = ( 3k + )( 3k + 5) = 9k + 21k + 10 : dư Trở lại tốn chính: Vì q ≥ p > ⇒ p  3; q  ⇒ p ( p + 3) + q ( q + 3) : dư Mà n ( n + 3) : dư (nếu n  3) n ( n + 3) n ⇒ p ( p + 3) + q ( q + 3) ≠ n ( n + 3) Suy khơng có ba số nguyên dương ( p; q; n ) thỏa mãn yêu cầu tốn Câu Vì a , b , c ba nghiệm phương trình x − x + x − =0 Khi phân tích đa thức x3 − x + x − thừa số ta được: x3 − x + x − = ( x − a )( x − b )( x − c ) ⇔ ( x − a )( x − b )( x − c ) = x − x + 3x − 2 ⇔ x − ( a + b + c ) x + ( ab + bc + ca ) x − abc = x − x + 3x − 2   a+b+c =  ⇔ ab + bc + ca =   abc =  57 9 ⇒ a + b + c = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) =   − 2.3 = 2 2 2 Tính a 2b + b c + c a : a 2b + b c + c a = ( ab + bc + ca ) ⇔ a 2b + b c + c a 2= − ( ab ⋅ bc + bc ⋅ ca + ca ⋅ ab ) ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) 9 ⇒ a 2b + b c + c a = 32 − ⋅ ⋅ = 2 Tính a + b3 + c3 : a + b3 + c = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) + 3abc ⇒ a + b3 += c3 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp  57 417  ⋅  −  + 3= 2  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 231 Website:tailieumontoan.com Vậy:  a+b+c =    ab + bc + ca =  abc =   57  2  a +b +c =   a 2b + b c + c a =   417  a + b3 + c =  Khi ta có: S= a − b5 b5 − c c − a + + a −b b−c c−a ⇔ S = ( a + a 3b + a 2b + ab3 + b ) + ( b + b3c + b c + bc + c ) + ( c + c a + c a + ca + a ) ⇔ S = 2a + 2b + 2c + a 3b + b3 a + b3c + c 3b + a 3c + c a + a 2b + b c + c a ⇔ S = ( a + b + c + 2a 2b + 2b c + 2c a ) + ( a + a 3b + a 3c ) + ( b + b3 a + b3c ) + ( c + c a + c 3b ) − ( a b + b c + c a ) ⇔ S= (a + b + c ) + a ( a + b + c ) + b3 ( a + b + c ) + c ( a + b + c ) − ( a 2b + b c + c a ) ⇔ S= (a + b + c ) + ( a + b3 + c ) ( a + b + c ) − ( a 2b + b c + c a ) 2  57  417 3465 S   + ⋅ ⇔= −=   Câu A I E O F G B H D C M A' Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 232 Website:tailieumontoan.com Chứng minh tứ giác BCAI nội tiếp Dễ dàng chứng minh tứ giác AIFH nội tiếp tứ giác AFHE nội tiếp ⇒ điểm A , F , H , E , I thuộc đường tròn ⇒ tứ giác AIFE nội tiếp ⇒ GI GA = GF GE    (1) Dễ dàng chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp ⇒ GF GE = GB.GC    ( ) GI GA GB.GC    ⇒ tứ giác BCAI nội tiếp (điều phải chứng Từ (1) ( ) suy ra: = minh) Chứng minh GH ⊥ AM Gọi ( O ) đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Kẻ đường kính AA ' ( O ) Vì tứ giác BCAI tứ giác nội tiếp ⇒ I ∈ ( O ) ⇒  AIA′ =90° ⇒ A′I ⊥ AI hay A′I ⊥ AG Mà HI ⊥ AG (giả thiết) ⇒ A′I ≡ HI ⇒ A′ , I , H thẳng hàng Mà dễ dàng chứng minh A ' H qua trung điểm M BC (tứ giác BHCA ' hình bình hành) ⇒ M , I , H thẳng hàng Xét ∆AGM có: AD ⊥ AM , MI ⊥ AG AD cắt MI H ⇒ H trực tâm tam giác AGM ⇒ GH ⊥ AM Suy điều phải chứng minh  1 Câu Trường hợp 1: Nếu tồn ba số a , b , c thuộc nửa khoảng  0;  ta  3 1 có + + ≥ = ( a + b + c ) > a + b + c Khi bất đẳng thức cần chứng minh a b c 1 1 Trường hợp 2: a > ; b > ; c > ta có a + b + c = > a + + ⇒ a < tương tự 3 3 3 b< 7 1 7 ; c < Vậy a; b; c ∈  ;  3 3 3 Ta chứng minh 1 7 − x ≥ −4 x + ∀x ∈  ;  (*) x 3 3 Thật (*) ⇔ − x ≥ −4 x + x ⇔ x − x3 + x − ≤ ⇔ ( x − 1) ( x − x − 1) ≤ ⇔ ( x − 1) (( x − 1) − 2) ≤ với ∀x ∈  13 ; 73  Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 233 Website:tailieumontoan.com Vậy 1 − a ≥ −4a + ; − b ≥ −4b + ; − c ≥ −4c + a b c Từ suy ⇒ 1 + + − a − b − c ≥ −4 ( a + b + c ) + 12 =0 a b c 1 + + ≥ a + b + c (đpcm) a b c Dấu “ = ” xảy a= b= c= Câu Giả sử khơng có điểm mặt phẳng tô màu mà khoảng cách chúng đơn vị độ dài Xét điểm O có màu vàng mặt phẳng ( ) Vẽ đường tròn O, Lấy điểm P ( O ) Dựng hình thoi OAPB có cạnh có đường chéo OP = OB = AB = AC = BC = Dễ thấy OA Theo giả thiết, A, B phải tô khác màu vàng khác màu Do P phải tô vàng Từ suy tất điểm ( O ) phải tô vàng Điều trái với giả thiết dễ thấy tồn hai điểm ( O ) có khoảng cách đơn vị độ dài P/s: Số thay số thực dương Đề số 50 Phần trắc nghiệm Mỗi câu cho 0,5 điểm Câu Đáp án D A C D Phần tự luận Câu a) Tính A = − 11 − + 11 Nhận xét A < A2 = ( − 11 − + 11 ) = 6− 11 + + 11 − (6 − )( 11 + 11 ) = 12 − 36 − 11 = 12 − 2.5 = Suy A = − (vì A < 0)  2x +  x x−4  b) Rút gọn P = −    x −  ( với x ≥ 0; x ≠ ) x −2  x x +1 x − x +1  Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 234 Website:tailieumontoan.com = ( ) ) ( )( ) x +1  x +2 x −2    x− =   x − x +1 x − x +1   2x + − x ( )( x +1 ( )( ) x +1 x −2 =  x < - P 4−x < ⇔   x − ( ( x − x +1 )( ) x +1 x − x +1 ( x− x −2 ) x −2 )  x < ⇔ ⇔x 0, y > 0, z > Chứng minh  x  y  z       x y z  Ta có: 1 1 x y x z z y          x  y  z          x y z  y x   z x   y z   3 x  y2 x  z2 z2  y2   xy xz zy  x  y  2xy z  x   2xz z  y  2yz  3  xy  x  y  x  y xy (Vì với x > 0, y > 0, z > xy z  x  Cách 2: Sử dụng x + y + z ≥ 3 xyz ta có 1  zx z  x   0;  zx  3    zx yz z  y  yz z  y 9  0; yz 0) 1 1 suy    33 x y z xyz 1  x  y  z     …… x y z + Áp dụng kết tốn ta có  HD HE HF   AD BE CF  HD HE HF   Mà         (cmt)    AD BE CF   HD HE HF  AD BE CF Do AD BE CF   9 HD HF HF Câu Điều kiện: x ≥ ; y≥0 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 237 Website:tailieumontoan.com (1) ⇔ ( 2x −1 + y ) = 9⇔ 2x −1 + y =3 ⇔ x − = − y (*) Thay vào (2) y + − y + − 2( y − 2) − =0 ⇔ ( y + − 4) − ( y + − 3) − 2( y − 2) = ⇔ y−4 y + − 16 y +1− − − = 3y +1 + y +1 + y +2  2  ⇔ (y-4)  − −  =  3y +1 + y + + y +   y − 4=  ⇔ =  y + + + y +1 + (3) y +2 Với y = ta có x = Với y ≥ ta có ≤ 3y +1 + Từ (*) suy y ≤ suy 2 + > Vậy phương trình (3) vô nghiệm y +1 + y +2 Kết luận nghiệm hệ (x;y) = (1 ; ) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC