ÐÊ GIỚI THIỆU OLYMPIC TOÁN TOÀN QUÔC LÂN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN: Ð
ẠI SÔ pot

1 BỘ GIÁO DỤC CỘNG HOÀ XÃ H ỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường ĐH An Giang Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ GIỚI THIỆU OLYMPIC TOÁN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN: ĐẠI SỐ Thời gian: 180 phút NỘI DUNG: Câu 1: Cho , A B là các ma trận vuông thực cấp 2 khác 0, thỏa AB BA = và 2006 2006 0 A B = = . Chứng minh 2005 ( ) 0 A B + = . Câu 2: Cho 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n x y x y x y x y x y x y x y x y x y + + + + + + ∆ = + + + , , , 1, , . i i x y i n ∈ = ¡ Tính 2 3 , ∆ ∆ . Từ đó tính , 4 n n ∆ ≥ . Câu 3 : Tìm một ma trận vuông cấp hai ( ), 0, , 1,2 ij ij B b b i j = ≠ = sao cho B có 2 giá trị riêng 1 2 2, 5. λ λ = = Câu 4: Cho A là một ma trận vuông thực cấp n không khả nghịch và A t là ma trận chuyển vị của A. Chứng minh rằng, tồn tại các số thực 1 2 , , , n x x x không đồng thời bằng 0 thỏa [ ] 1 2 1 2 0 t n n x x x x x A A x       =       Người giới thiệu Thạc sỹ Hoàng Huy Sơn Trưởng bộ môn Toán Trường Đại học An Giang. 2 Bộ Giáo Dục CỘNG HOÀ XÃ H ỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường ĐH An Giang Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỚI THIỆU OLYMPIC TOÁN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN: ĐẠI SỐ Thời gian: 180 phút NỘI DUNG: Câu 1: Cho , A B là các ma trận vuông thực cấp 2 khác 0, thỏa AB BA = và 2006 2006 0 A B = = . Chứng minh 2005 ( ) 0 A B + = . GIẢI: Từ giả thiết 2006 0 A = suy ra detA = 0. Ký hiệu ( ), , 1,2 ij A a i j = = thì ta có 11 12 11 12 , a a A a a λ λ λ   = ∈     ¡ . Dễ thấy 11 12 11 12 11 11 12 12 11 12 2 11 12 11 12 11 11 12 12 11 12 11 12 11 12 11 12 11 12 11 12 11 12 2006 2005 11 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . a a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A a a A λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ + +      = =      + +          = + = +         ⇒ = + Do 2006 A = 0 và A 0 ≠ nên 2005 11 12 11 12 ( ) 0 ( ) 0 a a a a λ λ + = ⇒ + = . Vậy 2 A = 0. Từ đó 0, 2 n A n = ∀ ≥ . Tương tự thì 0, 2 n B n = ∀ ≥ . Ta có 2005 2005 2005 2005 0 ( ) 0 n n n n A B C A B − = + = = ∑ . (Đpcm) Câu 2: Cho 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n x y x y x y x y x y x y x y x y x y + + + + + + ∆ = + + + Tính 2 3 , ∆ ∆ . Từ đó tính , 4 n n ∆ ≥ . GIẢI: 3 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 ( ) ( ) 0 ( )( ). x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y x x y x x x x y y + + ∆ = + + = + + + = + − + − + = − − 1 1 1 2 1 3 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y x y x y x y x y x y x y x y x y + + + ∆ = + + + + + + Dùng các tính chất của định thức giống như đối với 2 ∆ , ta có các định thức thành phần đều bằng 0 (đều có hai cột giống nhau hoặc tỷ lệ nhau). Vậy 3 0 ∆ = . Nhận xét đó cũng đúng cho các , 4. k k ∆ ∀ ≥ Câu 3: Tìm một ma trận vuông cấp hai ( ), 0, , 1,2 ij ij B b b i j = ≠ = sao cho B có 2 trị riêng 1 2 2, 5. λ λ = = GIẢI: Ma trận B cần tìm phải đồng dạng với một ma trận D = 2 0 0 5       tức là B = PDP -1 với P là một ma trận cấp hai nào đó khả nghịch, chẳng hạn P = 2 1 1 1       , P -1 = 1 1 1 2 −     −   Vậy B = 2 1 1 1       2 0 0 5       1 1 1 2 −     −   = 1 6 . 3 8 −     −   Câu 4: Cho A là một ma trận vuông thực cấp n không khả nghịch và A t là ma trận chuyển vị của A. Chứng minh rằng, tồn tại các số thực 1 2 , , , n x x x không đồng thời bằng 0 thỏa [ ] 1 2 1 2 0 t n n x x x x x A A x       =       GIẢI: Đặt ( ) ij n A a = . Khi đó [ ] 1 2 1 2 1 1 1 n n n t n j j j j nj j j j j x x x A a x a x a x = = =   =     ∑ ∑ ∑ 4 1 1 1 2 2 1 1 n j j j n j j j n n nj j j a x x a x x A x a x = = =                 =                   ∑ ∑ ∑ M M . Vậy [ ] 1 2 2 2 1 2 1 1 1 n n t n j j nj j j j n x x x x x A A a x a x x = =           = + +               ∑ ∑ . Do đó [ ] 1 2 1 2 0 t n n x x x x x A A x       =       tương đương với 2 2 1 1 1 0 n n j j nj j j j a x a x = =     + + =         ∑ ∑ , ta có hệ 2 1 1 2 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 n j j j n n n n n j j j n n nn n n nj j j a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x = = =     =      + + + =       + + + = =     ⇔         + + + =      =       ∑ ∑ ∑ M vì detA = 0 nên hệ này có nghiệm không tầm thường. (Mỗi câu 2,5 điểm) Người giới thiệu: Thạc sỹ Hoàng Huy Sơn Trưởng bộ môn Toán Trường Đại học An Giang. 5 Bộ Giáo Dục CỘNG HOÀ XÃ H ỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường ĐH An Giang Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Giới thiệu đề thi: OLYMPÍC TOÁN HỌC Môn thi : Giải Tích Câu 1: Tìm giới hạn 1 sin lim 0 n x e dx n − → ∞ ∫ Giải : Đặt 1 sin 0 n x n I e dx − = ∫ ta có 0 n I ≥ , hàmy sin x y x = trên đoạn [b,1] với 0<b 1 ≤ liên tục nên bị chặn trên đoạn đó và 0 sin lim 1 x x x → = , do đó tồn tại số dương c sao cho [ ] sinx cx x 0,1 ≥ ∀ ∈ Do đó: 1 1 0 0 1 1 1 0 ncx ncx n nc I e dx e nc nce nc − − ≤ = = + → − − ∫ khi n → ∞ . Vậy lim 0 n I n = → ∞ . Câu 2 : Tìm giới hạn hàm số 4 2 3 2 3 2 2cos2 2 4 1 2 lim 2 0 x x x x x x x x + + − − + + − + → Giải: Đặt f(x) = 4 3 2 2 4 1 2 x x x + + − + 4 2 3 2 3 2 2cos2 2 4 1 2 lim 2 0 x x x x x x x x + + − − + + − + → = ( ) 2 2 0 3 2 2cos2 1 lim x x x x x x → + + − − + + 2 0 1 ( ) lim x x f x x → + − = ( ) 2 0 2 2 4sin lim 3 2 2cos2 1 x x x x x x x → + + − + + + ( ) ( ) ( ) 2 3 4 2 3 2 2 2 3 0 6 3 1 2 1 lim 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) x x x x x x x x f x x f x f x → + + + + −   + + + + + +   = 2+ ( ) 2 2 0 0 1 2 15 lim 6 3 lim 4 4 1 2 1 x x x x x → →   + + + =   + +   . Câu3: Tìm hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thoả mãn điều kiện 6 2006f(x-1) + 2005f(1-x) = x, x R ∀ ∈ . Giải : Thay x bởi x +1 ta có 2006f(x) +2005f(-x) = x + 1 suy ra 2006f(-x) + 2005f(x) = -x +1 Do đó (2006 + 2005)(f(x) + f(-x)) = 2 2 ( ) ( ) 4011 f x f x⇒ + − = Vậy 2006 ( ) 2005 ( ) 1 2 ( ) 2 4011 ( ) ( ) 4011 f x f x x f x x f x f x + − = +   ⇒ = +  + − =   thỏa đề bài. Giáo viên ra đề: Thạc sĩ: VÕ TIẾN THÀNH Đại Học An Giang . An Giang Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ GIỚI THIỆU OLYMPIC TOÁN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN: ĐẠI SỐ Thời gian: 180 phút NỘI DUNG: Câu. Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỚI THIỆU OLYMPIC TOÁN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN: ĐẠI SỐ Thời gian: 180 phút NỘI DUNG: Câu