Đề thi HSG Cấp Tỉnh THPT Toán năm 2021 2022 Thanh Hóa
SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn thi: TỐN - THPT Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 06 trang - 50 câu trắc nghiệm MÃ ĐỀ: 106 Câu 1: Cho F x nguyên hàm hàm số f x x x2 thỏa mãn F Tính số nghiệm phương trình F x x A Câu 2: B D tập xác định hàm số y log x x 10 A ; 2 5; Câu 3: C B 2;5 C ; 5; D 2;5 Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng 2021; 2021 để hàm số ln x mx nghịch biến khoảng ; ? A 2022 B 2019 C 2021 y Câu 4: D 2020 Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 1 x 3 x 1 , x Số điểm cực trị hàm số y f x A Câu 5: B C D Cho khối lăng trụ đứng ABC AB C có đáy ABC tam giác cân với AB AC a , 1200 Mặt phẳng AB C tạo với đáy góc 600 Tính thể tích V khối lăng trụ BAC cho A V Câu 6: a3 B V 3a Cho hàm số y f x , biết f C V 9a D V 3a f x x.e x , x Tính tích phân I xf x dx A I Câu 7: e3 e 1 C I e 1 D I e2 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A , AB 2a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp S ABC a3 A Câu 8: B I 4a 3 B 2a 3 C a3 D 12 Cho mặt cầu S1 có bán kính a , mặt cầu S2 có bán kính 2a Tỷ số diện tích mặt cầu S1 mặt cầu S2 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM A Câu 9: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HOÁ 2021-2022 B C D Cho hình đa diện loại 4;3 có cạnh a Gọi S tổng diện tích tất mặt hình đa diện Mệnh đề sau đúng? A S a B S 6a C S 3a D S 3a2 C 2; 5 D 1;2 Câu 10: Tập giá trị hàm số y sin x A ; B 1; Câu 11: Số cách xếp người ngồi vào hàng ghế dài A 130 B 100 C 125 D 120 Câu 12: Cho cấp số cộng un thỏa mãn u1 u6 18 Số hạng u10 A 27 C 24 B 30 D 21 Câu 13: Cho hàm số y ax bx cx d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A a 0, b 0, c 0, d B a 0, b 0, c 0, d C a 0, b 0, c 0, d D a 0, b 0, c 0, d Câu 14: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đều, SA ABC Gọi P mặt phawgrn qua B vng góc với đường thẳng SC Thiết diện mp P cắt hình chóp S ABC là: A Tam giác C Tam giác vng B Tam giác cân D Hình thang vng Câu 15: Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung mặt? A Ba mặt B Hai mặt C Năm mặt D Bốn mặt Câu 16: Bán kính đáy khối trụ trịn xoay tích V chiều cao h A r 3V 2 h B r V h C r 2V h D r 3V h Câu 17: Đường cong hình vẽ sau đồ thị hàm số hàm số sau? A y x x B y x x C y x x D y x x Câu 18: Giả sử khai triển 1 x a0 a1 x a2 x an x n , biết a0 a1 a2 71 Tính hệ số a5 n A 672 B 627 C 672 D 627 Câu 19: Cho ba số thực dương a, b, c khác Đồ thị hàm số y log a x, y b x , y c x cho hình vẽ bên Mệnh đề đúng? STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM A B C D ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 bca cba a bc acb Câu 20: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục đoạn 1; , f 1 12 f x dx 17 Khi f C B A 29 Câu 21: Cho đa thức P x thõa mãn lim x 3 A L B L D 19 P x P x Tính giới hạn L lim x 3 x3 x 9 P x C L 12 D L Câu 22: Với số thực m, n, p thõa mãn p log m log n log Mệnh đề sau đúng? A p 8m 4n B p log 8m 4n C p 3n 2m D p 3m 2n Câu 23: Một nghuyên hàm hàm số f ( x) 3x sin x A x cos x 2021 Câu 24: Cho hàm số f ( x ) ln A S ln 2021 B x cos x 2021 C x sin x 2021 D x cos x 2021 2021x Tính tổng S f ' 1 f ' f ' 2022 x 1 2021 2022 B S C S D S 2022 2022 2023 Câu 25: Cho hàm số y f x liên tục có bảng biến thiên sau Số nghiệm phương trình f x 2021 A B C D Câu 26: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có AB , AD AA Gọi M , N , P, L tâm hình chữ nhật ABBA , ABCD , ADDA , CDDC gọi Q trung điểm đoạn BL Thể tích khối tứ diện MNPQ A B C STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT D Trang SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN THANH HOÁ 2021-2022 Câu 27: Để chuẩn bị cổ vũ cho đội tuyển Việt Nam tham dự giải AFF Suzuki Cup 2020, hội cổ động viên dự định sơn trang trí cho 1000 nón sau: Độ dài đường sinh nón 40cm , theo độ dài đường sinh kể từ đỉnh nón 8cm sơn màu đỏ, màu vàng xen kẽ nhau, sau dán 20 ngơi màu vàng cho nón (như hình minh họa bên) Biết đường kính đường trịn đáy nón 40cm , màu vàng công dán giá 400 đồng, tiền sơn công sơn màu vàng giá 30.000 đồng/m2 tiền sơn công sơn màu đỏ giá 40.000 đồng/m2 Hỏi giá thành để sơn trang trí cho 1000 nón bao nhiêu? A 17.047.787 đồng B 16.545.123 đồng C 16.545.132 đồng D 17.047.778 đồng Câu 28: Có giá trị nguyên tham số m khoảng 2021; 2021 để phương trình 6.22 x 1 m 48 x 2m 16m có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 15? A 1997 B 1996 C 2021 D 2020 60 , AC 120, AB 40 khoảng cách hai đáy Câu 29: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có BAC 45 Biết hình chiếu A ' lên mặt đáy ABC điểm H thuộc cạnh BC Hai mặt phẳng ABB ' A ' , ACC ' A ' tạo với mặt đáy góc Khoảng cách hai đường thẳng AB ' A ' C gần với số sau đây? A 10 B C 32 D 21 e x ;x 0 Câu 30: Cho hàm số f x Biết hàm số f x liên tục tích 2 x x ; x e phân f ln x e x A 69 dx ae b c với a, b, c Giá trị a b 9c B 33 C 13 D 25 Câu 31: Cho hàm số y x mx 3x C điểm M 1; 2 Biết có hai giá trị m m1 m2 để đường thẳng : y x cắt đồ thị C ba điểm phân biệt A 0;1 , B C cho tam giác MBC có diện tích Hỏi tổng m12 m22 thuộc khoảng khoảng sau đây? A 3;5 B 15;17 C 16;18 D 31;33 Câu 32: Cho hình lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình chữ nhật với AB 6, AD 3, A ' C mặt phẳng ACC ' A ' vng góc với đáy Biết hai mặt phẳng ACC ' A ' ABB ' A ' tạo với góc với tan Thể tích V khối tứ diện BDA ' C ' A V 16 B V C V STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT D V 16 Trang SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 Câu 33: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x ax3 bx cx d ( a , b, c, d số thực) Hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên f 1 Số điểm cực tiểu hàm số g x f 1 x f x A B C D 2 2 Câu 34: Xét số thực dương x , y thỏa mãn 4( x y 4) log ( xy 4)2 Khi x y đạt x y giá trị nhỏ nhất, giá trị x y A Câu 35: Cho hai hàm số bậc ba C 9 B D y f x , y g x có đồ thị hình vẽ Biết x 1, x điểm cực trị hai hàm số y f x , y g x đồng thời f 1 g 1, f g 1 f 2 x g x Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm 2 S x f x g x g x 27 f x g x số đoạn 1;3 Tính M m A 225 C 154 B 184 D 170 Câu 36: Cho hàm số y x3 x m 11 x 2m2 ( m tham số) Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị hai phía trục Ox ? A B C D Câu 37: Có giá trị nguyên tham số m nhỏ 10 để hàm số y 3x x3 12 x m nghịch biến khoảng ; 1 ? A B C D Câu 38: Cho ba mặt cầu S1 , S2 , S3 có bán kính R1 , R2 , R3 đôi tiếp xúc với tiếp xúc với mặt phẳng P Các tiếp điểm ba mặt cầu với mặt phẳng P lập thành tam giác có độ dài ba cạnh 2, 3, Tính tổng R1 R2 R3 ? A 61 12 B 59 12 C 67 12 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT D 53 12 Trang SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 Câu 39: Cho hai hàm số bậc ba y f x y g x f mx n , (trong m , n ) có đồ thị hình vẽ bên Biết điểm cực tiểu hàm số y g x lớn điểm cực đại hàm số y g x đơn vị g 0 1 Khi giá trị biểu thức P 3m 2n A 16 B Câu 40: Cho hàm số y 19 C 11 D 2x C điểm M C Tiếp tuyến C M cắt đường tiệm cận x 1 ngang đồ thị điểm A Hỏi có điểm M thuộc đồ thị C có tọa độ số nguyên để điểm A cách gốc tọa độ khoảng nhỏ 10 ? A B C D Câu 41: Cho K tập hợp số tự nhiên có bốn chữ số, chọn ngẫu nhiên số từ K Tính xác suất để số chọn có tổng chữ số bội 2243 2226 2250 2249 A B C D 9000 9000 9000 9000 Câu 42: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a, AD a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Cosin góc đường thẳng SD mặt phẳng SBC A B Câu 43: Cho hàm số y C 13 D x 1 ( m tham số) Tập hợp giá trị tham số m để 2x 2x m x 1 đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận A m 5; \ 4 B m 5; 4 \ 4 C m 5; 4 D m 5; \ 4 Câu 44: Có giá trị nguyên m thuộc đoạn 0; 2021 để phương trình ln x m m3 3e x ln x m e x có nghiệm lớn 6? m A 2021 B 1010 C 1624 D 2020 Câu 45: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn điều kiện f x f 1 x x x , x Biết tích phân I x f x dx số nguyên dương A T 48 a phân số tối giản) Tính T 3a b b B T 16 C T a (với a , b b D T Câu 46: Cho phương trình sin 2020 x cos 2020 x sin 2022 x cos 2022 x Tổng nghiệm phương trình khoảng 0; 2021 1287 A B 643 1287 C D 644 Câu 47: Một tỉnh A đưa nghị giảm biên chế cán công chức, viên chức hưởng lương từ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 ngân sách nhà nước giai đoạn 2015 2021 ( năm) 9,9% so với số lượng có năm 2015 theo phương thức “ra vào ”(tức giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách nhà nước người tuyển người) Giả sử tỷ lệ giảm tuyển dụng năm so với năm trước Tính tỷ lệ tuyển dụng hàng năm(làm trịn đến 0,01% ) A 1, 72% B 2, 06% C 1,13% D 1, 85% Câu 48: Có x; y với x, y số nguyên x, y 2021 đồng thởi thỏa mãn điều 2y 2x 1 kiện xy x y log x y xy log ? x3 y2 A 2018.2021 B C 4036 D 2018 Câu 49: Cho khối trụ T có hai đáy hai hình trịn O O Xét hình chữ nhật ABCD có hai điểm A, B thuộc đường tròn O hai điểm C , D thuộc đường tròn O cho AB a 3, BC a đồng thời mặt phẳng ABCD tạo với mặt đáy hình trụ góc 60 Thể tích khối trụ T A a3 3 B a3 C a3 D 2 a 3 Câu 50: Cho hình chóp S ABC , có đáy ta giác ABC vng A, AB a , AC a Hình chiếu điểm S mặt phẳng ABC trùng với trung điểm đoạn thẳng BC Biết góc mặt phẳng SAB mặt phẳng SAC 60 Thể tích khối chóp S ABC A a 30 12 B 5a 10 12 C 5a 12 D a 210 24 _ HẾT _ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 11.D 21.A 31.D 41.D 2.C 12.B 22.D 32.C 42.C 3.D 13.C 23.A 33.A 43.A 4.A 14.C 24.C 34.A 44.C 5.D 15.A 25.B 35.D 45.D 6.B 16.B 26.B 36.B 46.A 7.C 17.C 27.A 37.D 47.A 8.C 18.C 28.B 38.A 48.C 9.B 19.B 29.D 39.A 49.B 10.B 20.A 30.B 40.D 50.A Xem thêm: ĐỀ THI HSG TOÁN 12 https://toanmath.com/de-thi-hsg-toan-12 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: [Mức độ 2] Cho F x nguyên hàm hàm số f x x x2 thỏa mãn F Tính số nghiệm phương trình F x x A B C D Lời giải FB tác giả: Nguyễn Loan F x 1 d 8 x 8 x d x2 x2 C dx 2 x2 x2 x Vậy F x x C F c c Phương trình: x x x x 2 x 2 x 2 x x 1 2 x x x x x x Vậy phương trình F x x có nghiệm Câu 2: [Mức độ 1] tập xác định hàm số y log x x 10 A ; 2 5; B 2;5 C ; 5; D 2;5 Lời giải FB tác giả: Nguyễn Loan x Đk: x x 10 x Vậy TXĐ hàm số D ; 5; Câu 3: [Mức độ 3] Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng 2021; 2021 để hàm ln x mx nghịch biến khoảng ; ? A 2022 B 2019 C 2021 số y D 2020 Lời giải FB tác giả: Minh Nguyễn Quang Hàm số y x ln x mx có đạo hàm y m x 4 Để hàm số cho nghịch biến khoảng ; y Suy m x m , x ; x 4 x x , x ; m Max ; x 4 x 4 STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê tốn THPT Trang SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 Mà x x , x ; Suy m x x x , x ; Max ; x 4 x 4 x 4 1 Thử lại ta có m thỏa mãn 4 Vậy có 2020 giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng 2021; 2021 thỏa mãn Câu 4: [Mức độ 2] Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 1 x 3 x 1 , x Số điểm cực trị hàm số y f x A B C D Lời giải FB tác giả: Minh Nguyễn Quang Ta có f x x 1 x 1 x x x 1 x 1 Suy f x nên ta có bảng xét dấu sau x Vậy hàm số y f x có điểm cực trị Câu 5: [Mức độ 2] Cho khối lăng trụ đứng ABC AB C có đáy ABC tam giác cân với 1200 Mặt phẳng AB C tạo với đáy góc 600 Tính thể tích V AB AC a , BAC khối lăng trụ cho A V a3 B V 3a C V 9a D V 3a Lời giải FB tác giả: Hanh Nguyen Gọi H trung điểm B C , ta có B C AH STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HOÁ 2021-2022 x x1 x x3 x x5 g x 11 73 x x 11 73 x2 x Lập bảng xét dấu ta có x g'(x) -∞ x4 x5 +∞ - + - + - 0+ x1 x2 x3 2 2 Câu 34: [ Mức độ 4] Xét số thực dương x , y thỏa mãn 4( x y 4) log ( xy 4)2 x y Khi x y đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị x y A C 9 B D Lời giải Tác giả FB: Việt Thịnh Ta có 2 2 4( x y 4) log ( xy 4) x y 2( x y ) 4( x y ) xy 16 log ( xy 4)2 xy [2( x y )]2 log 2( x y ) ( xy ) log ( xy ) Xét hàm số f (t ) t t , t f (t ) 2t 0, t f (t ) đồng biến (0; ) Do f [2( x y )] f ( xy ) 2( x y ) xy (*) xy (tm ) Nhận xét xy 2( x y ) xy xy xy xy (l ) Đặt P x y x P y thay vào (*) ta có 2( P y y ) y( P y) y (6 P) y 2P (**) Xét tốn phương trình (**) phải có nghiệm P 18 Ta có (6 P ) 32 P P 20 P 36 P2 Mặt khác lại có P x y xy P 16 2( x y ) xy x Vậy x y đạt giá trị nhỏ 18 x y x y 18 y STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 23 SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM Câu 35: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 [Mức độ 4] Cho hai hàm số bậc ba y f x , y g x có đồ thị hình vẽ Biết x 1, x điểm cực trị hai hàm số y f x , y g x đồng thời f 1 g 1, f g 1 f 2 x g x Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số S x f x g x g x 27 f x g x đoạn 1;3 Tính M m A 225 B 184 C 154 D 170 Lời giải FB tác giả: Toàn Hoàng Từ f 2 x g x 3 : f 3 + Thay x vào ta f 3 g 1 kết hợp với f 3 g 1 g 1 f 1 + Thay x vào ta f 1 g 3 , kết hợp với f 1 g 3 g 3 Ta có f x 3a x 1 x 3 f x a x3 x x b qua 1;1 , 3;5 a 1, b f x x3 x x Tương tự có g x x x x Đặt t f x 1;5 , x 1;3 g x t Xét S x h t t 6t 9t 75, t 1;5 t Ta có h t 3t 12t t max S x max h t 75 M 75 1;5 1;3 M m 170 m 95 S x h t 95 1;5 1;3 STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê tốn THPT Trang 24 SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 Vậy M m 170 Câu 36: [ Mức độ 3] Cho hàm số y x x m 11 x 2m2 ( m tham số) Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị hai phía trục Ox ? A B C D Lời giải FB tác giả: Loan Minh Hai điểm cục trị đồ thị hàm số y x x m 11 x 2m2 hai phía trục Ox đồ thị cắt trục hồnh điểm phân biệt hay phương trình x3 x m2 11 x 2m2 1 có nghiêm phân biệt Có 1 x3 x 11x m2 x x x2 x m2 x 2 x x m * Phương trình 1 có nghiệm phân biệt phương trình * có hai nghiệm phân 10 m 10 10 m biệt khác 9 m x m 3 Do m nguyên nên m 2; 1;0;1; 2 Vậy có giá trị nguên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 37: [ Mức độ 3] Có giá trị nguyên tham số m nhỏ 10 để hàm số y x x3 12 x m nghịch biến khoảng ; 1 ? A B D C Lời giải FB tác giả: Quang Trần x Xét f x 3x x 12 x m có f x 12 x 12 x 24 x ; f x x 1 x 3 Bảng biến thiên Ta thấy hàm số y f x nghịch biến ; 1 5 m m Do m m 10 nên ta có m 5;6;7;8;9 STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 25 SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM Câu 38: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 [Mức độ 3] Cho ba mặt cầu S1 , S2 , S3 có bán kính R1 , R2 , R3 đôi tiếp xúc với tiếp xúc với mặt phẳng P Các tiếp điểm ba mặt cầu với mặt phẳng P A lập thành tam giác có độ dài ba cạnh 2, 3, Tính tổng R1 R2 R3 ? 61 12 B 59 12 C 67 12 D 53 12 Lời giải FB tác giả: Quang Trần Gọi A, B, C tiếp điểm mặt cầu S1 , S2 , S3 với mặt phẳng P Khơng tính tổng quát, giả sử AB 2, BC 3, AC Gọi H hình chiếu vng góc O1 O2 B Khi ta có R1 R2 O1O2 O1 H O2 H AB R2 R1 Suy 4R1 R2 AB hay R1R2 Tương tự ta chứng minh R2 R3 , R1R3 Ta có R1R2 R1 R1 R2 R2 R3 R2 R3 R R1 R3 R1 R3 R1 R2 R3 R3 Suy R1 R2 R3 Câu 39: 61 12 [Mức độ 3] Cho hai hàm số bậc ba y f x y g x f mx n , (trong m , n ) có đồ thị hình vẽ bên Biết điểm cực tiểu hàm số y g x lớn điểm cực đại hàm số y g x đơn vị g 0 1 Khi giá trị biểu thức P 3m 2n STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê tốn THPT Trang 26 SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM A 16 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HOÁ 2021-2022 B 19 C 11 D Lời giải FB tác giả: Cao Bá Duyệt Do y f x hàm số bậc ba nên f x ax3 bx2 cx d ; f x 3ax2 2bx c f 0 1 a 1 b f 2 Theo đồ thị ta có: f 0 c d 1 f 2 Do f x x3 3x2 Ta có g x f mx n g x mx n 3 mx n n TM Do g 0 1 n3 3n2 1 n L n L g x mx 1 mx 1 m x 3mx Dựa vào đồ thị hàm số g x m m x m g x 3m3 x3 3m m2 x2 x m xCD m Do m x CT m Theo ta có: xCT xCD Vậy P 3m 2n Câu 40: 2 5m m 16 2 5 2x C điểm M C Tiếp tuyến C M cắt x 1 đường tiệm cận ngang đồ thị điểm A Hỏi có điểm M thuộc đồ thị C có [Mức độ 3] Cho hàm số y tọa độ số nguyên để điểm A cách gốc tọa độ khoảng nhỏ 10 ? A B C D STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 27 SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Khoa; Fb: Khoa Nguyen TXĐ: D \ 1 y 3 x 1 2x Giả sử M x0 ; C , x0 , x0 x0 Tiếp tuyến C M : y 3 x0 1 x x0 x0 x0 Đường tiệm cận ngang đồ thị C : y Xét phương trình: 3 x0 1 x x0 x0 x0 1 3 x x0 x0 1 x0 1 x0 x x0 Tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang điểm A x0 1; Ta có OA 102 OA2 40 x0 1 40 x0 2 Do x0 , x0 x0 2; 1;0; 2;3 Do tọa độ điểm M số nguyên nên M 2;1 , M 0; 1 , M 2;5 Câu 41: [ Mức độ 4] Cho K tập hợp số tự nhiên có bốn chữ số, chọn ngẫu nhiên số từ K Tính xác suất để số chọn có tổng chữ số bội 2243 2226 2250 2249 A B C D 9000 9000 9000 9000 Lời giải Fb tác giả: Lê Minh Huệ Khơng gian mẫu có 9000 phần tử Gọi số có chữ số mà tổng chữ số chia hết cho abcd Xét nhóm chữ số chia cho có nhóm khác số dư 0, 4,8 , 1,5,9 , 2, 6 , 3,7 TH1: a Lập số bcd có 103 cách Tiếp theo chọn a cho a b c d có cách Có 2000 số STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 28 SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 b TH2: a b Lập số cd có 102 cách Chọn b để b c d chia cho dư có cách Có 200 số TH3: a 9, b c Nếu chọn d có 10 cách, chọn c có cách c Nếu c d chia dư nên có cách chọn Nếu c d chia dư nên có cách chọn Có 2.10+2+3=25 số TH4: a 9, b c Nếu chọn d có 10 cách, chọn c có cách c Nếu c d chia dư nên có cách chọn Nếu c d chia dư nên có cách chọn Có 2.10+2+2=24 số Vậy có 2000+200+25+24=2249 số Xác suất cần tìm Câu 42: 2249 9000 [Mức độ 3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a, AD a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Cosin góc đường thẳng SD mặt phẳng SBC A B C 13 D Lời giải FB tác giả: Ngo Yen STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 29 SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 Gọi H trung điểm AB Do mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy SH ABCD d D, SBC Gọi SD , SBC sin SD Do AD // SBC d D, SBC d A, SBC 2d H , SBC HK Với K hình chiếu vng góc H lên SB Ta có AH a a a a 1 , BH mà HK d D, SBC 2 2 HK SH BH Tam giác SHD vuông H SD SH HD SH AH AD 2a Vậy sin Câu 43: d D, SBC SD 13 cos 4 [ Mức độ 3] Cho hàm số y x 1 ( m tham số) Tập hợp giá trị 2x 2x m x 1 tham số m để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận A m 5; \ 4 B m 5; 4 \ 4 C m 5; 4 D m 5; \ 4 Lời giải FB tác giả: Cao Bá Duyệt Ta có lim y x 1 1 y lim y nên đường thẳng y x 1 1 1 1 đường tiệm cận ngang ĐTHS Nhận xét: Phương trình x x m x có nhiều nghiệm Do để ĐTHS có tiệm cận phương trình x x m x 1 phải có nghiệm phân biệt khác Ta có x 1 x x m x 2x 2x m x 2 2 x x m x 1 x 1 x 4x 1 m Bảng biến thiên hàm y x x STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê tốn THPT Trang 30 SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 Từ bảng biến thiên suy phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác m 5; \ 4 Câu 44: [ Mức độ 4] Có giá trị nguyên m thuộc đoạn 0; 2021 để phương trình ln x m m3 3e x ln x m e x có nghiệm lớn 6? m A 2021 B 1010 C 1624 D 2020 Lời giải FB tác giả: Cao Bá Duyệt Phương trình ln x m m3 e3 x 3m.e x ln x m ln x m a Đặt m b e x c 2 Từ a b3 c3 3abc a b c a b b c c a ln x m m e x 1 a b c x 2 a b c ln x m m e Xét : ln x m m e x ln x e x e x Xét f x x e x Có f x e x x Ta có Bảng biến thiên: Do x e x 1 x Phương trình ln x e x e x vô nghiệm Xét 1 : ln x m m e x t m e x Đặt ln x m t t t x e x et e x x et t e x m STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 31 SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 Hàm g u eu u Có g u eu u g u đồng biến Mà g x g t x t x ln x m m e x x Xét h x e x x Xét h x e x x Ta có Bảng biến thiên: Để PT cho có nghiệm x phương trình h x m có nghiệm x Từ Bảng biến thiên m e Mà m 0; 2021 ; m nguyên m {398;399; ; 2021} Có 1624 giá trị m Câu 45: [ Mức độ 3] Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn điều kiện f x f 1 x x x , x Biết tích phân I x f x dx số nguyên dương A T 48 a phân số tối giản) Tính T 3a b b B T 16 C T a (với a, b b D T Lời giải FB tác giả: Thành Đức Trung Ta có I xd f x xf x f x dx f 1 f x dx 1 1 0 Từ điều kiện f x f 1 x x x , x Cho x , ta có f f 1 Cho x , ta có 7 f f 1 3 Từ suy f 1 1 0 f x dx f 1 x dx Cũng từ điều kiện f x f 1 x x x , x , ta suy 5 f x f 1 x dx 3x 1 0 x dx f x dx STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 32 SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 3 Ta có I nên a 3, b 8 Vậy T 3a b Câu 46: [Mức độ 3] Cho phương trình sin 2020 x cos 2020 x sin 2022 x cos 2022 x Tổng nghiệm phương trình khoảng 0; 2021 1287 A 1287 C B 643 D 644 Lời giải FB tác giả: Trương Thị Tuyến Ta có: sin 2020 x cos 2020 x sin 2022 x cos 2022 x sin 2020 x 1 sin x cos 2020 x 1 cos x x k cos x , k sin 2020 x.cos x cos 2020 x.cos x 2020 tan x x k Tổng nghiệm phương trình là: k Để tổng nghiệm khoảng 0; 2021 k 0,1, ,1286 1287 .1287 1 1286 2 Khi tổng nghiệm Câu 47: [ Mức độ 3] Một tỉnh A đưa nghị giảm biên chế cán công chức, viên chức hưởng lương từ ngân sách nhà nước giai đoạn 2015 2021 ( năm) 9,9% so với số lượng có năm 2015 theo phương thức “ra vào 1”(tức giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách nhà nước người tuyển người) Giả sử tỷ lệ giảm tuyển dụng năm so với năm trước Tính tỷ lệ tuyển dụng hàng năm(làm trịn đến 0, 01% ) A 1, 72% B 2, 06% C 1,13% D 1,85% Lời giải FB tác giả: Trương Thị Tuyến Gọi x số cán công chức, viên chức tỉnh A năm 2015 ( x * ) r tỷ lệ giảm hàng năm Ta có số người việc năm thứ xr Số người việc lại sau năm thứ x xr x(1 r ) Tương tự số người việc sau năm thứ sáu x(1 r )5 r Suy tổng số người việc là: xr x(1 r )r x(1 r )5 r 9,9% x STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 33 SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 r (1 r ) r (1 r )5 r 0, 099 r 1 (1 r )6 0,099 (1 r )6 0,901 r 0, 0172 1, 72% (1 r ) Tỷ lệ tuyển dụng hàng năm tỷ lệ giảm hàng năm Vậy tỷ lệ tuyển dụng hàng năm 1,72% Câu 48: [ Mức độ 4] Có x; y với x, y số nguyên x, y 2021 đồng thởi 2y 2x thỏa mãn điều kiện xy x y log x y xy log ? x 3 y2 A 2018.2021 B C 4036 D 2018 Lời giải FB Tác giả Tồn Hồng, Kiều Thanh Bình Cách 1: Thầy Hồng Thanh Toàn x, y * : x, y 2021 x, y * : x, y 2021 Điều kiện x 2y x 3, y 0, 0 x y2 2y 2x 1 BPT x y log x 3 y log y2 x 3 2y 2x x y log log 1 y x 3 log log 1 y2 x 3 2y y 2x 1 x x y m y x 3 n 0, m, n 0 y2 x3 x y m n y2 y 1 x {4, 5, 2021} có 4036 số x; y y Cách 2: Thầy Kiều Thanh Bình x, y * : x, y 2021 x, y * : x, y 2021 + Điều kiện x 2y x 3, y 0, 0 x y2 y2 x4 BPT cho có dạng x y log 1 x y log3 1 (*) x 3 y2 x4 1 x log , rõ ràng BPT + Xét y (*) thành x 3 log x3 nghiệm với x x4 x 3 0, log 1 log 1 0, x 0, log3 x 3 Trường hợp cho ta 2018 x; y x;1 với x 2021, x STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 34 SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 + Xét y (*) thành x log , BPT với x mà x 2021, x Trường hợp cho ta 2018 cặp x; y + Với y 2, x VT * nên (*) khơng xảy Vậy có 4036 số x; y thỏa mãn yêu cầu toán Câu 49: [ Mức độ 3] Cho khối trụ T có hai đáy hai hình trịn O O Xét hình chữ nhật ABCD có hai điểm A, B thuộc đường tròn O hai điểm C , D thuộc đường tròn O cho AB a 3, BC a đồng thời mặt phẳng ABCD tạo với mặt đáy hình trụ góc 60 Thể tích khối trụ T A a3 3 B a3 C a3 D 2 a 3 Lời giải FB tác giả: Việt Thịnh, word Quốc Thép Gọi A, B hình chiếu vng góc A, B lên đường trịn O Dễ thấy ABBA hình chữ nhật Do AB //AB, AB AB 1 Ta có ABCD hình chữ nhật nên AB //CD , AB CD Từ hai điều suy DCBA hình bình hành, tứ giác nội tiếp đường tròn O nên hình chữ nhật Ta có BC hình chiếu vng góc BC ABCD nên ta có: CD BC 60 ABCD , ABCD BC ; BC BCB CD BC BB 2a.sin 60 a h; BC 2a cos 60 a DB DC CB2 2a r a V r h a3 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 35 SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM Câu 50: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 [Mức độ 4] Cho hình chóp S ABC , có đáy ta giác ABC vuông A, AB a , AC a Hình chiếu điểm S mặt phẳng ABC trùng với trung điểm đoạn thẳng BC Biết góc mặt phẳng SAB mặt phẳng SAC 60 Thể tích khối chóp S ABC A a 30 12 B 5a 10 12 C 5a 12 D a 210 24 Lời giải FB tác giả: Minh Phạm Ta có SA ABCD suy SA CD , với CD AD ta CD SAD góc tạo hay ta có CSD 30 SC với mặt phẳng SAD CSD Gọi I , J trung điểm AB, AC O trung điểm BC lúc ta có OI , OJ , OS đơi vng góc với nhau, ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với Ox, Oy, Oz tia trùng a a a a với OI , OJ , OS Đặt SO , tọa độ điểm A ; ;0 , B ; ; , a a C ; ;0 S 0;0; 2 Tọa độ vectơ AB 0; a 2;0 a.u với u 0; 2; , AC a 5; 0; a.v với v 5; 0;0 , 5 AS a; a; a.k với k ; ; h 2 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 36 SIÊU PHẨM TỔ 16-STRONG TEAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN THANH HỐ 2021-2022 10 Ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng SAB n1 u , k h; 0; pháp tuyến 10 mặt phẳng SAC n2 v, k 0; 5h; Theo giả thiết góc hai mặt phẳng SAB mặt phẳng SAC 60 nên ta có n1 n2 h n1 n2 a a3 30 Từ ta tích khối chóp S ABC V a 2.a 2 12 _ HẾT _ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 37