ete mee oe eee mpg Rene pee a ewe re
TRAN TRUNG (Chủ biên), MAI XUÂN THẢO,
Trang 3
Loi noi dau
Giáo trình “Giải tích hiện đại” được biên soạn nhằm phục vụ quá trình đào tạo cử nhân ngành Toán và Toán- Tin
Giáo trình được xây dựng chủ yếu trên cơ sở ghép ba phân môn
theo khung chương trình do Bộ Giáo dục - Đào tạo ban hành: Tô-pô
đại cương, Lý thuyết độ đo và tích phân và Giải tích hàm Các tác giả
vừa muốn thể hiện tính thống nhất và những tư tưởng xuyên suốt
của ba phân môn trên, vừa cô gắng giữ lại tính độc lập của từng
phân môn, để có thể sử dụng giáo trình một cách linh hoạt Với mục
đích đó, chúng tôi có nêu vắn tắt "Hướng dẫn sử dụng" ngay trước
chương đầu giáo trình
Các tác giả nhận thức được rằng giáo trình không tránh khỏi
nhược điểm và sai sót Vì vậy, chúng tôi xin chân thành tiếp thu mọi ý kiến đóng góp, phê phán của các chuyên gia và mọi độc giả
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Trường Đại học Hồng
Đức đã tạo điều kiện để giáo trình có thể được hoàn thành
Xin cảm ơn T8 Hoàng Nam, các Th8 Đỗ Văn Lợi, Nguyễn Văn Cần, Nguyễn Mạnh Hùng đã đọc bản thảo và cho những nhận xét xác đáng Cảm ơn Thế Tạ Công Sơn (hiện là nghiên cứu sinh ở trường ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội) đã có những góp ý rất cụ thể
Các tác giả xin đặc biệt cảm on GS Dinh Ding va PGS Nguyén Đình Quyết đã đọc kỹ bản thảo và cho những chỉ dẫn quý báu
Trang 5đặc điềm của giáo trình
QO»
Một s
1 Về bố cục
Trong giáo trình giải tích hiện đại, để trình bày gọn và đẹp nên theo thứ tự: không gian tôpô—› không gian metric— không gian định
chuẩn không gian Euclide; khi đó, mỗi khái niệm chỉ cần định nghĩa một lần cho trường hợp tổng quát nhất
O day, chúng tôi đã phá võ thứ tự đó và trình bày về không gian Hilbert (và không gian tiền-Hilbert nói chung) ngay từ đầu Ly do la vì không gian Hilbert là mô hình gần nhất với Giải tích cổ điển; nó có những tính chất "đáng quý", nên cần được nghiên cứu một cách độc lập (ở mức độ nào đó) Các mô hình tiếp theo là: không gian metric- không gian định chuẩn- không gian tôpô tuyến tính- không gian độ đo Như vậy, bố cục ở đây cũng không đơn giản là đi từ thập đến cao,
từ đặc biệt đến tổng quát
2 Về nội dung
Nói chung, chúng tôi không có tham vọng trình bày những vấn đề mang tính chuyên sâu Giáo trình chỉ đặt ra yêu cầu là cho sinh viên làm quen bước đầu với những khái niệm và phương pháp cơ bản của Giải tích hiện đại Học viên nào sau này làm công tác nghiên cứu toán học sẽ phải học thêm các giáo trình nâng cao và chuyên khảo Trong 9 chương, chỉ có một chương có tính chất "nâng cao" là chương IV, "5ø lược về đạo hàm và vi phân trong không gian định chuẩn" Việc đưa chương này vào giáo trình (cũng chỉ soi sáng những khái niệm cơ bản nhất) xuất phát từ suy nghĩ là nói đến Giải tích thì
Trang 6Hướng dẫn sử dụng
Hiện nay, trong một vài hệ đào tạo của ngành toán (ví dụ: đại học sư
phạm), nội dung như trình bày trong giáo trình này được chia thành
ba môn học: 1) Tôpô (gồm không gian metric và không gian tôpô);
2) Độ đo và tích phân; 3) Giải tích hàm (lý thuyết không gian định chuẩn, trong đó có không gian Hilbert, và lý thuyết toán tử tuyển tính) Trong trường hợp đó có thể dùng giáo trình như sau:
1) Tôpô ứng với các chương I1, V (không cần điều chỉnh)
9) Độ đo và tích phân ứng với các chương VĂH, IX (khong cần diéu chinh)
3) Giải tích hàm ứng với các chương 1, TIT Chu y rằng trong phần
này, một số kết quả đùng cho không gian tiền-Hilbert có thể coi như
trường hợp riêng của không gian metric nên không cần chứng minh
Trang 7Bang ky hiéu Ñ- tập hợp mọi số tự nhiên (kể cả số 0) Z- tập hợp mọi số nguyên Q- tập hợp mọi số hữu tỉ R- tập hợp mọi số thực
IRT = |0, +oo)- tập hợp mọi số thực không âm
R=RU(_—œ, +œ) = [—oo, +oœo|- tập hợp số thực mổ rộng RỶ = RU {+©} = [0, +oo]- nửa trục số thực mỏ rộng C- tập hợp mọi số phức
X*- 1) tap hop X \ {0} (nấu X là một trong các hệ thống số ở trên); 2) không gian liên hợp của X (nếu X là không gian tơpơ tuyến tính); 3) tốn tử liên hợp của X (nếu X là toán tử)
lạ- không gian các dãy số thực (at, , a„, .) sao cho > q2 < +00
Œ(X)- không gian các ánh xạ liên tục từ không gian ¡ tôpô X vào R Y(L, L’)- khơng gian mọi tốn tử tuyến tính liên tục từ không gian
L vào không gian 1/ (tôpô tuyến tính hoặc định chuẩn)
%{L)- cách viết gọn của #{L, L)
#„(X)- không gian các hàm khả tổng bậc p trên X
L,(X) (hoae Lp)- khong gian các lốp tương đương của Y,(X) theo quan hệ trùng nhau hầu khắp nơi
[4]- hoặc CLA- bao đóng của tập hợp 4
_ IntA- miền trong của tập hợp A
ExtA- miền ngoài của tập hợp A
A°- phần bù của tập hợp 4A (trong không gian đang xét)
Trang 8co
Bla, r)- hình cầu đóng tâm a, bán kính r
z- 1) số phức liên hợp của z; 2) lớp tương đương chứa z (theo một quan hệ tương đương nào dé)
[z]- 1) lớp tương đương chứa z; 2) phần nguyên của số thực z
5(4)- phổ của toán tử A
5p(4)- phổ điểm của toán tử A
u- độ đo Lebesgue trên trục số
a(7)- đại số sinh bởi 7
ơ(Z7)- o-dai số sinh bổi 7
(a; b)- khoảng mổ các số thực giữa a và b
Trang 9
Không gian Hilbert 11 Không gian tuyếntính
1.1.1 Định nghĩa không gian tuyến tính 1.1.2 Sự phụ thuộc tuyến tính 113 Cơsổvàsốchều 114 RKhônggiancon 1.1.5 Không gianthương 12 Ánh xa tuyến tính 12.1 Định nghĩa và vídụ 12.2 Các tínhchấtcøbản 1.2.3 Sự đẳng cấu giữa các không gian tuyến tính 1.24 Định lý Hahn-Banach 1.38 Không gian tiền Hilbert và không gian Hilbert 13.1 Cácđmnhngha 13.2 Mộtsốvídụ
1.8.3 Giới hạn của dãy điểm Không gian Hilbert
Trang 1010
1.4.1 Hé truc giao va cd sé truc giao 1.1 - 34
1.4.2 Trucchuénhod .-.-2200 05: 36
1.4.8 Hệ trực giao trong không gian tién Hilbert kha li 37 1.4.4 Sw dang cấu của các không gian tién Hilbert 40 1.5 Không gian con của không gian tiền Hilbert Tổng trực 0 Ẽ ce 41 1.5.1 Không gian con của không gian tiền Hilbert 41 1.5.2 Phần bù trực giao và tổng trực giao 42 Bài tập chương Ì ee 44 Khéng gian Metric 49
2.1 Không gian melfiC ee ee ee ees 49
2.11 Khai niém khong gian metric 49 212 IHìnhcầu ch he 51
2.1.3 Tương quan giữa điểm và tập hợp 52
9.1.4 Gidihan 00 ee eee Lee 53 21.5 Tínhtrùmật c Tu 54 2.2_ Tập hợp đóng và tập hợp mỏ trong khéng gian metric 54 2.2.1 Tập hợp đóng và tập hợpmổ ‹ 55 2.2.2 Tính chất của hệ các tập hợp đóng và hệ các tập hợp mỗổ ch 56
2.2.3 Cac tap hop đóng và mở trên trụcsố 57 ,
2.3 Anh xa lién tuc, ding phéiva dangew 58
9.3.1 Anhxaliéntuc 0.0 00 0c eee 58
2.3.2 Anh xa lién tuc trong cdc khéng gian dac biét 60 9.3.3 Anh xa ding phôi và đẳng cự 60
2.4 Tính đầy đủ của không gian metric - 62 24.1 Khái niệm về tính đầy đủ 63_
9.4.2 Tính chất của không gian metric đầy đủ 62
Trang 111 get
2.5 Nguyénly anhxaco 68
2.5.1 Nguyénlydnhxaco 68
2.5.2 Vaiting dung cuanguyénly dnhxaco 70
2.6 Khong gian metriccompact 72
2.6.1 Tap hoantoanbichan 72
2.6.2 Khénggiancompact 74
Bai tap chuong2 0 00200 0.0 0 0000 76
Khong gian dinh chuan 83 3.1 Không gian định chuẩn 83
3.11 Chuẩn và không gian định chuẩn 83 3.1.2 Rhông gianBanach 86 3.1.3 5o sánh hai chuẩn trên cùng một không gian tuyến tính 88 8.2 Phiém ham tuyến tính lên tuc ee ee 89 3.3 3.4 3.2.1 Điều kiện để phiếm hàm tuyến tính là liên tục 89 3.2.2 Chuẩn của phiếm hàm tuyến tính liên tục Không gian lên hợp 90 3.4.3 Định lý Hahn- Banach trong không gian định chuẩn 94 Không gian liên hợp của không gian Hilbert 95- 3.3.1 Bổ đề về tính đóng của nhân 95
3.3.2 Không gian liên hợp của không gian Hilbert 96
Trang 1212
45 Toán tử khả nghịch - SỈ S hh nh nh h nh 104
25.1 Tính liên tục của toán tử ngược ‹ - - 105
35.2 Tinh mé cia tập hợp các toán tử khả nghịch 107
3.5.3 Một công thức khai triển quan trọng - 108
36 Phécdatodnt® 2.1 ee es 109
3.6.1 Gidtririéng cuatodntU 2.0.2 ee eee 109
3.6.2 Số chính quy và phổ của toán tử - 110
3.7 Một số tính chất đặc biệt của toán tử tuyến tính liên tục112 3.7.1 Dinhly 4nhxamé 1 ee ee ees 112
3.7.2 Định lý đồ thị đóng .- {So 113
8.7.3 Nguyên lý bị chặn đều .-.- 115
Bài tập chương 3 Q Q HÀ HH ghe he 116
Sơ lược về vi phân và tích phân trong không gian định
chuẩn 121
41 Daohamvaviphén 2 0 eee ees 121
4.11 Đạo hàm và vi phân ‹ - co 121
4.1.2 Các phép toán đối với đạo hàm 125
4.2 Dao hàm và vi phân YEU oe es 127
Trang 13wt We CO Ww WH 4.4.3 Công thức Taylor 140 4.5 Cuctriciaphiémham 142 4.5.1 Phát biểu bài toán Điều kiện cần để có cực trị 142 4.B.2_ Điều kiện đủ để có cựctrị 143 Bai tap chugng4 0 0 - 145 T6ps 147 5.1 Tôpô và không giantôpô 147
5.1.1 Tôpô và không gian tôpô 147
5.1.2 Mộtsố kháinệmbổtrg 149
5.1.3 Không gian con của không gian tôpô 150
ð.14 Ánh xạ liên tục Đồngphôi 150
5.1.5 Tôpô sinh bởi một hệ tùy ý Tôpô tíh 151
5.2 Cơ sở của lÔĐÔ Q Q Q Q Q Q Q Q.2 151 5.2.1 Cơsởcủatôpô , 152
5.2.2 Điều kiện để hệ tập hợp con của một tập hợp là cơ sở của một tôpô 152
5.23 Cơ sở đếm được và tính khảl 153
5.2.4 Cơ sở lân cận của điểểm 155
Trang 141á
5.5.1 Khái niệm về tính liên thông Các tính chất của
không gian và tập hợp liên thông - - - 164
5.5.2 Các thành phần liên thông ees 167 5.5.3 Khéng gian lién théng va 4nh xa liéntuc 168
Bai tap chuong5 0 ch hhhhhhng 169
Khong gian topo tuyén tinh 173
6.1 Không gian tôpô tuyến tính - {co 173
6.1.1 Định nghĩa và các tính chất co bản 173
6123 Mộtsốvídụ ee eee ee 175
6.1.3 Tính tách được của không gian tôpô tuyến tính 177 6.2 Phiém hàm tuyến tính Sự hội tụ yếu và yếêu"” 178
6.2.1 - Tính liên tục của phiém hàm tuyến tính Không
gian liên hợp ‹ - ‹ SỈ h es 178
6.2.2 Topologia yếu và sự hội tụ yếu co 179
6.2.3 Sự hội tụ yếu" trong không gian liên hợp 183
Bài tập chương Ô SỈ h hhhhhhh hhỞ 184
Toán tứ compact 187
71 Todnticompact -. 5 ¬ ee eee 187
71.1 Dinhnghiavavidu -.++ eserves 187
7.1.2 Tính chất của toán tử compact - 189
7.1.3 Giá trị riêng của toán tử compact -‹ - 190
7.2 Toán tử compact trong không gian Hilbert 193 7.2.1 Điều kiện để toán tử trong không gian Hilbert
khalilacompact . - +e eer reece 193
72.2 Định lý Hibert- Schmidt - - - - 194
Bài tập chương 7 nh nh nh th th ng 198
Không gian độ đo và hàm đo được - 201
8.1 Độ đo Lebesgue trên trục sô thực - - 201
Trang 158.1.1 Cáctậphợpsơcấp 201 8.1.2 Độ do ngoài của tập hợp bị chặn 204 8.1.3 Taphopdodude 00.0.00200.0.0 , 205 8.1.4 ĐộdoLebesgue , 207 8.2 Khénggiando eee 211 8.2.1 Đại số và ơ- đại số cdc tap hop Khéng gian do 211
8.2.2 Đại số và ơ- đại số sinh bởi một phân hoạch 214 8.2.3 ơ-đạisố Borel 215 8.2.4 Không gian con và không gian tích 216 8.3 Hamdodusc 0 0.0 0 0 216 8.3.1 Khái niệm ánh xạ đo được 216 8.3.2 Cáchàm đođược 218 8.3.3 Các hàm đơn giản 221 8.4 Khônggianđộđo , 224 8.4.1 Định nghĩa và các ví dụ về độđo 224
8.4.2 Các tính chất của độ đo oa, 227 8.4.3 Nhiing loai dé dothutng gap 228
8.4.4 Quan hệ tương đương giữa hai hàm trên không gian độđo "DA 229 8.4.5 Độ đo trên không giancon -~ 230 -
8.5 Các dạng hội tụ trên không gian độ đo 230
8.5.1 Sự hội tụ hầu khắpnơøi 231
8.5.2 Hội tụtheođộđo ti 233- Baitapchuong8 -0 235
9 Ly thuyét tich phan 239 9.1 Tich phan Lebesgue 239
9.1.1 Tích phân của hàm đơn giản 239
Trang 1616
914 Bất đẳng thức Chebyshov 246
9.2_ Tính liên tục tuyệt đối của tích phân Chuyển qua giới
hạn trong tích phân Q Q Q es 246
9.2.1 Tính liên tục tuyệt đối của tích phân 247
9.2.2 Chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân 249
9.3 Liên hệ giữa tích phân Lebesgue và tich phan Rie-
„mAann te th R Ró 254
9.3.1 Sự khác biệt trong cách xây dựng khái niệm
tích phân ee 254
9.3.2 Trường hợp miền lấy tích phân là đoạn hữu hạn 254
9.8.3 Trường hợp miền lấy tích phân là koảng hữu
hạn (mở hoặc nửa đóng nửa mở) - 256 9.8.4 Trường hợp miền lây tích phân là khoảng vô hạn257
9.4 Thác triển độ đo Tích các độ đo và định lý Fabini 258 94.1 Thactrién dddo 020002 258
94.2 Thactriéndddo 2 02 eee eee 260
94.3 Dinhly Fubini -.2.- 52 ees 264
9.5 Các không gian của những hàm có cùng bậc khả tổng 265
Trang 17
Chuong 1
Để chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm va nghiên cứu không gian Hilbert, trước hết ta nhắc lại các khái niệm cơ bản về không gian tuyến tính (hay không gian vector) Các khái niệm này đã được đề cập trong các giáo trình đại số tuyến tính Tuy nhiên, ở đó ta chủ yêu xét các không gian hữu hạn chiều, còn ở đây thì ngược lại, mối quan tâm của chúng ta dành chủ yếu cho các không gian vô hạn chiều
1.1 Không gian tuyến tính
1.1.1 Định nghĩa không gian tuyến tính
Tập hợp ” (khác 0 ) được gọi là không gian tuyến tính trên trường số lK, nếu trên đó có xác định một phép toán cộng (cộng hai phần tử của L với nhau) và phép nhân phần tử của 7 với một số thuộc K thỏa mãn các điều kiện sau:
1) với mọi a,b € L đều có: a+b=b+a;
2) với mọi a,b,c€ L đều có: (a + b) + c= a+ (b+c);
3) trong L tôn tại (duy nhất) một phần tử 0 (gọi là phần tử không) sao cho: a + 0 = a với mọi a € ;¡
4) với mỗi a € đều có một phần tử —a € 7 (gọi là đối của a) sao
Trang 1818 1 Không gian Hilbert
5) với mọi œ, Ø8 €lK,a € L đều có: œ(2a) = (a8)a;
6) với mọi œ, 8 € K và a € L đều có: (œ + đ)a = aa + Ga;
7) với mọi œ € K,a,b€ L đều có: a(ø + b) = œa + đb; Ö) 1.œ= a với mọi a € Ù
Chú ý:
1 Trường K được hiểu là trường số thực R hoặc trường số phức C Trong trường hợp đầu, ta có không gian tuyến tính thực; trong
trường hợp sau — không gian tuyến tính phức Sau này ta sẽ chỉ nói
đơn giản: 7 là không gian tuyến tính Trong trường hợp cần thiết sẽ nói rõ đó là không gian thực hay phức
2 Ta sẽ không phân biệt cách viết phần tử không của L với số 0€K
3 Bằng quy nạp, ta có thể định nghĩa tổng của n phần tử (n nguyên dương tuy ý)
1.1.2 Sự phụ thuộc tuyến tính
Trước hết, ta nêu ra khái niệm hệ phần tử của một không gian tuyến
tính L Giả sử 7 là một tập hợp tuỳ ý (hữu hạn, đếm được hoặc không đếm được) và với mỗi œ € ï ta có }ương ứng một (và chỉ một) phần tử z„ € L Về nguyên tắc có thể xảy ra đẳng thức z„ = zư khi œ # œ',
Nhưng về hình thức, ta sẽ phân biệt +„ với z/ nếu œ # œ' Khi đó,
tập hợp Á các ký hiệu z„ với œ € ï sẽ được gọi là hệ phần tử của 7
Nói chung, không thể coi 4 là tập hợp con của L ©
Hệ phần tử A của L được gọi là phụ thuộc (tuyến tính), nếu tồn
tại a1, , đu € A và ơi, ,ă, € K(aŸ+ +o2 # 0) sao cho Ð 2a, =0 k=1 Hệ không phụ thuộc tuyến tính còn gợi là hệ độc lập (tuyến tính) + Tì Nêu ai, , a„ € 7 thì với mỗi bộ số ơi, ., œ„, biểu thức )2œyag =0 k=l
được gọi là mét té hdp (tuyén tinh) cha a;, - , an T6 hop 0a; + 0a, + + + Oan goi la té hop tam thuing; cdc té hop khác gọi là không tầm
Trang 19
1.1 Không gian tuyén tinh 19
Dễ thấy các mệnh đề đơn giản sau đây là đúng:
a) Hệ hữu hạn là độc lập khi và chỉ khi không có tổ hợp nào khác của các phần tử là bằng 0, ngoài tổ hợp tầm thường
b) Nếu trong hệ có phần tử bằng 0 hoặc hai phan tử giống nhau thì hệ là phụ thuộc
c) Nếu hệ 4 chứa hệ ö mà phụ thuộc thi A phụ thuộc Bây giờ ta chứng minh mệnh đề sau:
d) Hệ 4A là phụ thuộc khi và chỉ khi có ít nhất một phần tử a của A biểu thị tuyến tính qua một số hữu hạn các phần tử khác a, tức là biểu thị dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử đó
Thật vậy, giả sử 4 là phụ thuộc; khi đó tổn tại œ, a„ € A và Œ1, , œ„ sao cho x œ¿ z 0 nhưng 3ˆ œyay = =0
k=l
Trong các số at phải có ít nhất một số khác 0, chẳng hạn Ok,» Khi
đó: quy = — > Oh ap, tức là a¿„ biểu thị tuyến tính qua các phần tử kek kg ar(k # ko) Ngược lại, giả sử trong A có các phần tử a, đ1, , đ„ Sao cho a = n n+l ` œydy, Khi đó, » = 0, VỚI Akt] = —l va Qk+] = a Ro rang i= k=1 n+1 >> a? # 0 Vay hé A phụ thuộc k=l 1.1.3 Cơ sở và số chiều
Tập con 4 (tức là hệ các phần tử khác nhau từng đôi một) được gọi là cơ sở của không gian tuyến tính 7„ nếu:
1) A là hệ độc lập tuyến tính;
2) mỗi phần tử của 7 đều là tổ hợp tuyến tính của một số (hữu hạn) các phần tử thuộc A
Trang 20
20 1 Khéng gian Hilbert
vô hạn, và trong trường hợp đó ta nói L là khéng gian v6 han chiêu Ví dụ đơn giản nhất về không gian vô hạn chiều là không gian -IR^' gồm mọi dãy số thực vô hạn, với phép cộng và phép nhân với một
sô được xác định như sau:
(ay, q2, " + (bì, ba, we) = (ay + 6), a+ bo, "3 ;
a(ay, a2, .) = (aay, aa, .) 1.1.4 Khéng gian con
Tập hợp A/ (khác rỗng) của L được gọi là không gian con, nêu với
mọi a,b € ă và œ € K đều có ø+b € ă và œa € ÌM Điều này tương
đương với việc mọi tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn các phần tử trong A7 cũng thuộc Ä/ Đương nhiên chính không gian con của - 7 cũng là không gian tuyến tính (với các phép toán là sự thu hẹp tương ứng từ 7 lên 7) Trong số các không gian con, luôn có tập hợp
{0} và tồn bộ (các khơng gian con tầm thường)
Với A là một bộ phận của L, tap hop (4) mọi tổ hợp tuyến tính
của những hệ con hữu hạn của A gọi là bao tuyến tính của A, (nếu
A = 0 thì lấy L(A) = {0}) Đây chính là không gian con hẹp nhất
chứa 4A và là giao của mọi không gian con chứa 4 Nếu 4 là hệ độc lập thì (A4) nhận A làm cơ số
Với A,B C L, ký hiệu A+ Ð = {[x~+/+zec A,y € B} DE thấy,
nêu A và Ø là các không gian con thì A + cũng là không gian con
Trong trường hợp 4 và B đều là không gian con, ngoài ra AnB = {0} và A + B = C, ta nói rằng C là tổng trực tiếp của A và B, và viết
C=A@8 1.1.5 Không gian thương ˆ
Cho 4 là không gian con của 7 Trong L xét quan hệ hai ngôi ø như sau: œø khi và chỉ khi a — b= a + (—Ù) € A Dé thay ø là quan hệ tương đương Lớp tương đương chứa a (ky hiệu |a| hoặc a) chính là
tập hợp a+A= {a+z/z € 4} Như vậy, a+ A=b+ A khi và ch khi
Trang 218
âđ
&
1.2 Anh xạ tuyến tính 21
Gia su B,C € L/p Khi d6 tap hop B+ C = {e+y/reE Bye
Œ} cũng là một lớp tương đương Thật vay, lay ø,ø'c B+C Khi đó, a = #z + và a' = rô +ự, với xe Bva yy € C Do đó,
aa’ = (x—2') + (y—y’) € A hay apa’ Mặt khác, layae B+C
va a’ € L sao cho a - a'-€ 4A; tacda=2+y voix By €C
Lây z tùy ý từ Ø và đặt ' = a! - z, ta cố a' = „ + ự Ngoài ra
Ụ T— =(a—= +) — (a! — 2!) = (a — 4) + (ø! ~ z) là tổng của hai phần tử thuộc 4 nên cũng thuộc A Vậy e C, nghĩa là ae B + Vậy
B+C là lóp tương đương Dễ thấy B + C= (b+c) +A véi b va c lay
tùy ý tương ứng từ B va C
Tương tự, nêu œ là một số thì œB = {ab/ b € B} cũng là lớp tương duong va aB = (ab) + A
Như vậy trén L/p có thể nói đến phép cộng và phép nhân với một số Có thể chứng mỉnh rằng các phép toán thỏa mãn 8 điều kiện của định nghĩa không gian tuyến tính Không gian L/p xác định theo cách đó gọi là không gian thương của L theo không gian con A, thường ký hiệu là ”/A
1.2 Ánh xạ tuyến tính
Liên quan mật thiết với các không gian tuyến tính là các ánh xạ tuyến tính — hay, như phần sau ta sẽ gọi, là các toán tử tuyến tính Cách gọi thứ hai thường được dùng khi nghiên cứu các tính chất giải tích của không gian và các ánh xạ
1.2.1 Định nghĩa và ví dụ
Ánh xạ ƒ từ không gian tuyến tính ⁄ vào không gian tuyến tính AM được gọi là ánh xạ tuyến tính, nêu với mọi a,b € L va hai số œ, 8 đều có:
ƒ(œa + Bb) = af(a) + 8ƒ(0)
Trang 2222 1, Khong gian Hilbert
1) Xét tap hep C[a, b| gom moi ham giá trị thực liên tục trên [a, bị
Ta coi tap hợp này như không gian tuyến tính với các phép toán sau: a) Phép cộng: nếu ƒ, g e C{a, b] thì ƒ + ø là hàm h € Cla, b| sao cho
h(a) = f(x) + g(2);
b) Phép nhân với một số thực: œƒ là hàm y sao cho v(x) = a- f(z)
Khi đó, ánh xạ #' : C[a,b| ¬ R biến mỗi hàm ƒ € C[a,b] thành
= i ƒ(z)dz là phiếm hàm tuyến tính trên Cla, b] a
2) Một ánh xạ khác từ Cla, b| vao R, bién ¿ thành ¿(a) cũng là ánh xạ tuyến tính
3) Cho y(z, y) là hàm hai biến liên tục trên [a,b] x [a,b] Anh xa
biến mỗi ƒ € C{a, b| thành ø € Ca, b| xác định như sau: b ø(z) = | (s,9)f()4u, a cũng là ánh xạ tuyến tính 1.2.2 Các tính chất cơ bản
1) Ảnh (qua ánh xạ tuyến tính) của 0 cũng là 0
2) Ảnh của —z qua ánh xạ tuyến tính ƒ là — ƒ(z)
3) Ánh xạ tuyến tính biến hệ phụ thuộc (tuyến tính) thành hệ
phụ thuộc
4) Đơn ánh tuyến tính biến hệ độc lập thành hệ độc lập
Thật vậy, giả sử ƒ là ánh xạ tuyến tính từ L vào A7 và A là hệ déc lap trong L, B = f(A) = {f(z)/x € A} Gia st 37 6,b, = 0, voi
k=1
by, ., bn € B Do f 1a don ánh nên với mỗi b„ thì chỉ có một phần tử
a, duy nhất từ A sao cho by = ƒ(a,) (Chú ý: hệ độc lập không thể có hai phần tử trùng nhau và hệ đó luôn là tập con của 7) Đẳng thức
Trang 23
1.2 Anh xa tuyén tinh 23
của 4 suy ra đị = đạ = = B, = 0, nên độc lập
5) Anh xạ tuyến tính ƒ là đơn ánh khi và chỉ khi tập hợp ƒ `0) ={£€: f() =0)
chỉ chứa đúng một phần tử 0
6) Đối với ánh xạ tuyến tính từ không gian r¡ chiều vào không gian n chiều thì các tính chất đơn ánh, toàn ánh, song ánh là trùng nhau 7) Hợp hai ánh xạ tuyến tính là ánh xạ tuyến tính (Nếu ƒ#:b— M,g: M — Ñ thì hợp là ánh xạ h : L — N sao cho h(x +) = g(hặ )) Đặc biệt, hợp hai ánh xạ đẳng cấu, tức là hai song ánh tuyến tính cũng là đẳng cấu
1.2.3 Sự đẳng cấu giữa các không gian tuyến tính
Nếu có một ánh xạ đẳng cấu từ không gian tuyến tính L vào không gian tuyến tính M thì ta nói L và AM đẳng cấu uới nhau
Bổ đề 1.2.1 Án? xa tuyến tính là đẳng cấu khi va chi khi nó biến cơ sỏ thành cơ sỏ
Chúng mảnh Giả sử ƒ là đẳng cấu từ L vào AM và A 1A co SỞ của L, B = f(A) Do tinh đơn ánh của ƒ nên Ø là độc lập Lấy một phần tử tùy ý € AM Khi đó tồn tại duy nhất một phan tit x € L sao cho: f(x) = y Vi Ala eo 86 trong L nén x = = J apap VỐI Q1, ,An € A
k=l
Nhung khi dé ta cé y = Dawl (az) Do f(ag) € B nén kết hợp với tinh déc lap suy ra B 1a cũ "Số,
Đảo lại: giả sử ánh xạ tuyến tính ƒ từ 7 vào M biến mỗi cơ sỏ thành cơ sở Khi đó, nếu 4 là cơ sở trong thì B= F(A) la Cơ SỞ trong M Lay phần tử tùy ý € AM Khi đó, = Deeb = = Daws(ar) = =
0S) œ0), VỐI a„, € Á nên có tạo ảnh, tức ƒ là toàn ánh k=]
Trang 2424 1 Khong gian Hilbert
rang ca 24 va ™ cing biéu thi on tính qua Ay U Ag = {a1, , an}, tức là z¡ = » a ap VÀ #2 = x a? ap Vi ƒ(z¡) = ƒ(z›) nên k=l nr ee =3 HỆ Fax) k=l hay Tr (at) ~ at?) Ƒ(ax) = 0 k=1
Do f(A t) A) déc lap tuyén tính nên suy ra al! _ a véi moi k = 1, ,n,
tite lA x1 = xo Do dé, f 1a don anh; suy ra ƒ là đẳng cấu LÌ
Dinh lý 1.2.1 Hai không gian lò dang céu khi va chi khi hai co sé tương úng (tùy ý) của chúng có cùng lực lượng
Chứng mình Giả sử L và M đẳng câu với nhau và ánh xạ đẳng câu
cụ thể từ 7 vào M la f; Ava B lần lượt là cơ sở của L va M Ky hiéu
C = f(A) Khi dé C 1a co sé cia M⁄ và hiển nhiên 4 và Ở cùng lực
lượng Vi B và Ở cùng lực lượng nên suy ra A và B cting luc lugng Đảo lại: giả sử cơ sở A của 7 và cơ sở của M là cùng lực lượng Xét một song ánh tùy ý ƒ từ A vào B Ta mé rộng ƒ lên toàn bộ L
như sau: với z = 3)efĐag (ag € A), Gt f(x) = x al Ƒ(ø,) Khi đó
k=l
f là ánh xạ tuyến tính từ L vào Aí Theo Bổ để 1, 2, 1 thì ƒ là đẳng
cấu Vậy 7, Mí đẳng cầu với nhau O
1.2.4 Dinh ly Hahn - Banach
Trong nhiều trường hợp, ta cần mổ rộng một phiém ham tuyén tinh fa từ một không gian con họ của không gian tuyến tính lên toàn bộ 7 Mö rộng, hay thác triển, có nghĩa là tìm phiém ham tuyén tinh ƒ trên L sao cho khi z € Lọ thì ta có ƒ(2) = fo(z) Ö đây, ta cần thác triển theo một cách đặc biệt, Trước hết, ta nêu ra các định nghĩa sau
+
Dinh nghĩa 1.2.1 Ánh xạ Re từ không gian tuyến tinh L vao Rt
được gợi là phiếm hàm lồi, nếu:
tré
Trang 25
1.2 Anh xa tuyén tinh 25
1) p(z + y) < p(z) + ply), Va, € 1;
2) p(œz) < ap(r), Vr € L,a € Rt
Định nghĩa 1.2.2 Ta nói phiếm hàm tuyển tính ƒ trên 7, quy thuận theo phiếm hàm lỗi p (cũng trên L), nếu với mọi + € 7 đều có [/()l s pữ)
Định lý 1.2.2 /Hahn - Banach] Cho pla phiém ham lôi trên L uà fo là phiếm hàm tuyến tính trên không gian con Lọ của L Giả sử trên Lo thi fo quy thuận theo p Khi đó tôn tai phiém ham tuyến tính ƒ trên L sao cho:
1) ƒ là thác triển của fo (tit Lo lén L);
2) ƒ quy thuận theo p trên toàn bộ L
(Chú ý rằng có thể ký hiệu thác triển của ƒạ uẫn là fo)
Để chứng minh định lý này, ta cần nhắc lại một số khái niệm và kết quả của lý thuyết về quan hệ thứ tự Giả sử 7' là quan hệ thứ tự trên tập hợp X Tập con A của X được gọi là xích, nêu trong A hai
phần tử a và b đều-so sánh được với nhau, nghĩa là có ø7b hoặc bTa
Tiếp theo, phần tử cc X được gọi là cận trên của A, nếu a7c với mọi
a€ 4 Phần tử đc X được gọi là đối đại, nếu không tồn tại phần tử
z nào khác đ sao cho dT zx
Bổ đề 1.2.2 [Zorn] Nếu trong tập hợp X uói quan hệ thú tự T mọi xích đều có cận trên thì X có phân tử lún nhất, túc là phan ti a sao cho xTa vdi moi z c X
Chitng minh Dinh ly Hahn- Banach Cé nhién chi cAn xét trường hợp họ là không gian con thực sự của 7 (tức là họ # L) Trước hết, ta
chứng tỏ rằng có thể thác triển ƒụ từ Lạ lên một không gian con L, thành ƒ\ sao cho ƒ¡ quy thuận theo p trên Lạ Thật vậy, lay x1 € L\ Lo
va xét L, sinh béi Ly U {z¡} Khi đó, mỗi phần tử của L¡ đều có dạng
%=À7Z1 +, (1.2.1)
trong đó À € R và € Lọ Ta xây dựng ƒ¡ như sau
Trang 26
be
26 1 Khong gian Hilbert
trong đó e là sô thực mà ta sẽ xác định sau
Từ điều kiện quy thuận theo p trên L¡, ba phải có cc di he+ foly) < pri +4) (1.2.3)
Với \ > 0, tix (1.2.3) suy ra la pl ¥ 1 d c+ foly) < xp(4: + 9) ql t nén et 2 Ụ ụ c+ fo(=) < p(#1+ 7) d d _ 7 K tức là + hi c<p(m + Ÿ) — f(Ô): (24) | ø Tương tự, với À < 0, ba có i Ụ Ụ c> ~p(—#iT— ~)T— fol>)- (1.2.5) m wa th Ta phải chứng tỏ tồn tại c thỏa mãn cả (1.2.4) và (1.2.5) Với ' và g” H là các phần tử của Lọ, ta có ch fo(y”) — fo(y’) = foly” =9) < ply” —y') 1 = p(y” +21 -y! ~ 21) < ply” +21) + p(-y' ~ #1); | ị ra th suy ra | ti 3 ” / / gì —fo(°) + pặ” + #1) > —lo(W) — p(CV — #1) - (1.2.6)
Ký hiệu 4 là tập hợp các số có dạng —fo(y”) + p(y” +21) va B la tap 1
hợp các số có đạng — fo(y’) — p(—' —z\), với 1,” € bọ Khi đó œ > 8
với mọi œ € Ava 6 € B Suy ra: ton tai c sao cho œ 3> £ 2 8 với mọi D:
œ€ Avà 0c Bhay | | gi; ng
—foly”) + ply” + a1) 2 ¢ > —foly’) ~ p(-o ~ #1) (1.2.7) "
Ap dụng (1.2.7) cho = y” = ¥ ta suy ra (1.2.4) và (1.2.5) Do đó,
Trang 27
bo ¬
1.3 Khéng gian tiền Hilbert va khéng gian Hilbert
Như vậy, ta đã chứng minh rằng tồn tại ít nhất một không gian
con h¡ rộng hơn hẳn Lo sao cho fo thác triển dude lén Ly, đồng thời
điều kiện quy thuận vẫn được bảo đảm
Bây giờ, ta xét họ £ gồm mọi không gian con 7„ của 7 sao cho Lo
lai là khong gian con cia L,, déng thai fo c6 thé thac trién thanh
phiém ham tuyén tinh fo trén Ly sao cho điều kiện quy thuận vẫn được giữ nguyên Ký hiệu họ các thác triển fa nay la Ƒ' Trong Ƒ xét
quan hệ hai ngôi 7 như sau: ƒ.7 #⁄a khi và chỉ khi ƒs là thác triển
của ƒ„ Rõ ràng 7 là quan hệ thứ tự Giả sử G là một xích trong 7, Khi đó 7/ = ; U ba là không gian con chứa họ, và nếu ø là phiếm hàm xác định trên L’ sao cho 9() = ƒ4(z), nếu z € 7„ thì rõ ràng ø là thác triển của moi fa € F lén L’ và vì vậy, ø là cận trên của
G Nhu vậy, quan hệ 7' thỏa mãn điều kiện của bổ đề Zorn Suy ra:
Ƒ có phần tử lớn nhất ƒ Phần tử này hiển nhiên là thác triển của mọi ƒị xác định như trong phần đầu của chứng minh, và vì z¡ có
thể lấy tùy ý trong 7, \ họ nên ƒ là thác triển của ƒạ lên toàn bộ 7
Hiển nhiên, điều kiện quy thuận vẫn được đảm bảo Định lý đã được chứng minh
L]
1.3 Không gian tiền Hilbert và không gian Hilbert
Trong bài này, ta nghiên cứu các tính chất của một loại không gian:
rất gần với không gian EucHẻe hữu hạn chiều: đó là các không gian tiền Hilbert tổng quát, mà trường hợp quan trọng nhất là không
gian Hilbert
1.3.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.3.1 Không gian tuyến tính thực được gọi là không gian tiền Hilbert (thực), nếu trên đó có xác định một tích vô hướng,
nghĩa là với mỗi cặp (a,b) € E x E, ta đều có tương ứng một số thực
ky hiéu 1a (a, b) sao cho: 1) (a, b) = (b, a) (Va, bE E);
Trang 2828 1 Khéng gian Hilbert 3) (a, Bb) = Bla, b) (Va, be E,B ER);
4) (a,a) 2 O(Va € E); ngodi ra (a,a) = 0 khi uà chỉ khí a = 0 Dinh nghia 1.3.1 Không gian tuyến tính phức E được gọi là không gian tiền Hilbert (phức), nếu cũng có phép nhân vô hướng thỏa mãn
các điều kiện 2), 3), 4 và điều kiện sau:
- 1”) (a,b) = (b, a) (Va, b € EB)
Nhận xét Dùng điều kiện 1) hoặc 1) kết hợp với điều kiện 2) dễ
thấy rằng:
(a1 + Gg, 0) = (a1, b) + (ag, b) (Vai, a2,b € E)
Đấi với không gian thực, rõ ràng ta có
(aa, b) = a(a, b)
péi véi khong gian phức, ta có
(aa, b) = (b, aa) = œ(b,a) = Gœ.(b,a) = G.(a, b)
Sau đây chúng ta sẽ xét chủ yêu là không gian thực Các kết quả
tương ứng cho không gian phức có thể nhận được bằng việc thay đổi
ít nhiều mạch lý giải hoặc công thức
Với mỗi a € E thì +/(a, a) được gọi là chuẩn hay độ lón cha a, va
ký hiệu là l|al|:
Bây giờ chúng ta chứng mình một bất đẳng thức quan trọng đổi
với tích vô hướng Cụ thể, với mọi cặp phần tử z và của không gian tian Hilbert EF, ta cé:
(x, y)* < ||zlŸ.lwlŸ - (1.3.1)
Bất đẳng thức này được gọi là bắt đẳng thúc Cauchy- Bunydhoushy
Một số người gọt nó lò bắt dang thitc Cauchy- Schwarz |
Bất đẳng thức (1.3.1) rõ ràng đúng với z = y = 0 Bay gid gia st
Trang 29
1.8 Không gian tiên Hilbert va khéng gian Hilbert 29
Ta có ¿(A) 3 0 với mọi À € R và
p(A) = (Ax, Ax) + (Aa, y) + (ys Ax) + (yy)
= fa |[P AP + 2a, y) AF ly?
Suy ra biệt thức A của ¿(A) không dương, tức là ta có (1.3.1) Dễ thấy rằng (1.3 1) trổ thành đẳng thức khi và chỉ khi ít nhất một trong hai phần tử (z và y) bằng tích của phần tử kia với một số, tức là z = ay hoac y = 3x
Từ (1.3.1) suy ra:
(2,4) S |lz||llvll: (1.3.2)
Tuy nhién, (1.3.2) tré thanh dang thtc khi va chi khi 2 = ay hoac y = Jr vdi a (hoac Ø) không âm Từ (1.3.2) lại suy ra
(œ+,# +0) = lal? + 2œ, ) + llu|
<Š Jzl + 2lIzllll»l| + Il»ll? = (IzIl+ IIwlUẺ, tức là
llz + sl| < llzll + llsll: (1:3.3) Bất đẳng thức (1.3.3) gọi là bất đẳng thức tam giác Ý nghĩa hình
học của cách gọi như vậy là hiển nhiên
Nếu (a,b) = 0 thì ta nói a uờ b trực giao uới nhau Dễ thay a va b
trực giao với nhau khi và chỉ khi
Jla + b|Ý = lla|l + I|bll2, (1.3.4)
(điều kiện Pythagoras) 1.3.2 Một số ví dụ Ví dụ 1.3.1 Xét tập hợp i¿ gồm mọi dãy số thực z = (Z1, ., #my ) ` ~~ CO thôa mãn điêu kiện chuối 3`z2 hội tụ Khi do, vdi moi z,y € ly ta n=1 ~ & oo cung co chudi >> gnyn hoi tu Dat (x,y) = S> any n=l n=]
Dễ dang chứng minh rằng đây là tích vô hướng và i; là không
Trang 3030 1 Không gian Hilbert Ví dụ 1.8.5 Không gian tuyến tính la, ) Tố cày : tré thanh khéng gian tién
Hilbert, nêu xác định tích vô hướng nhự sau
b
(f,9) =] J(*)g(œ)dz
Tương tự, không gian tuyến tính phức Cla, b] cac hàm phức biến thực
+ € Ía, | cũng là không gian tiên Hilbert với tích vô hướng
b
(ƒ,ø) = [Tu
Trong Ga, b| hoặc C[a, b], nếu f(x) ~ 0 trên A, g(z) = 0 trên P và
AUB = la,ò| thì ƒ và ø trực giao với nhau
Chú ý: Trong nhiều tài liệu, khi noi đến không gian Cla, bỊ, người ta
ngắm hiểu là không gian định chuẩn vá; | f\| = max |f(«)| Nhung
NI TA ` 2 “0 aSz<b
trong tài liệu này ; CÍa, b| chỉ được hiểu qøn giản là tập hợp các hàm liên tục trén [a, 6], va trên Cla, ð| có thể xét chuẩn hay tích vô hướng
tuy ý
1.3.3 Giới hạn của dãy điểm Khang gian Hilbert
Định nghĩa 1.3.2 Ta nói dãy điểm fo
không gian tiền Hilbert # có gidi han |
đãy số ||z„ — z|| có giới hạn bằng 0
n} = %1,2, ,%n, trong
à z, và việt limz, = z, nêu
_ Dãy có giới hạn được gọi là đây hội gu Dãy không hội tụ gọi là dãy phân hỳ Dề thây giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất Ví du 1.3.3 Trong C0, 1], dãy {ƒ„}, vai fa(x) ` à Ca , = zx" ¢6 gidi han 1a
ham dong nhat bang 0 That vay,
1
Il fn 7 0|| = ll Fr = xen — 1 _
Trang 31
1,3 Không gian tiền Hilbert và không gian Hilbert 31
Dinh nghĩa 1.3.3 Dãy {z„} được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy)
nếu với mọi e >0 đều tồn tai no sao cho khi m,n >3 nọ thì ||z,„—ra lÌ<e Cũng như trong giải tích cổ điển, mọi đãy hội tụ đều là day co ban
Dinh nghia 1.3.4 Khong gian tién Hilbert FE được gọi là không gian Hilbert nếu nó có tính đầy đủ, nghĩa là trong £ moi day co bản đều hội tụ
Ví dụ 1.3.4 Không gian IR" với tích vô hướng thông thường, tức là
nếu z = (đ1, ,®n), U = (0i, ., a) thì
ÉE, U) = #101 + nưp
là không gian Hilbert
Ví dụ 1 3 5 Khong gian ly la day du That vay, gid st (z9 } với
ok) = 6) : -„ ,-.) là dãy cơ bản Khi đó với e > 0 sẽ tổn tại kụ
sao cho k,1 > ko thi
S- (a — zŸ))3 <£, (1.3.5)
Trang 331.3 Khong gian tién Hilbert va khong gian Hilbert 33 Dễ chứng minh rằng 1 (1.3.8) S lưu) — fạ(+))*da + J0 ~ p(x))*dx -1 =1
Số hạng thứ nhất ở về phải có giới hạn bằng 0 Số hạng thứ hai được
đánh giá như sau 1 Jaœ) ~ p(2))?da = 2 fo — nz)?d+ \¡ —1 4 2 f a \ 3 2 4 = ) Tt (hoặc tính trực tiếp), do đó cũng có giới hạn bằng 0 Như vậy, về trái của (1.3.8) phải bằng 0 Mặt khác, lại có 0= / (f(œ) — ø(z))2dz -1 0 = / (f(a) — ø(ø))®dz + —1 (2) — ø(2)) 4z, =—— SỐ
mà trên |—1,0) và (0,1] thì ƒ(z) và g(z) đều liên tục nên từ đẳng thức trên suy ra ƒ(z) bằng —1 trên [—1,0) và bằng 1 trên (0, 1] Một
hàm số như vậy không thể liên tục tại 0 Mâu thuẫn này chứng tỏ
Trang 3434 1 Không gian Hilbert 1.4 Hệ trực giao và cơ sở trực giao
Một trong những bài toán quan trọng của Giải tích nói chung là bài toán phân tích một phần tử của không gian tiền Hilbert theo một hệ phần tử cho trước Bài toán này sẽ đặc biệt đễ giải nếu hệ phần tử cho trước có tính trực giao Trong bài này, ba sẽ nghiên cứu bài toán
trên ở dạng tổng quát
1.4.1 Hệ trực giao và cơ sở trực giao
Đỉnh nghĩa 1.4.1 Hệ các phần tử khác 0 trong không gian tiền Hilbert F dude goi là trực giao, nếu hai phần tử bất kỳ trong hệ đều trực giao với nhau Nếu trong hệ trực giao, mọi phần tử đều có
chuẩn bằng 1 thì ta nói hệ đó là trực chuẩn
Bằng cách thay môi phần tử a của hệ bởi từ mỗi hệ trực giao
i
ta đều nhận được một hệ trực chuẩn
Bổ để 1.4.1 Hệ trực giao luôn độc lập tuyến tính
Chứng minh Giả sử A là hệ trực giao trong không gian tién Hilbert
E Lay mot hé con hitu han tiy y {a1, ,an} va gid sf aya, + +++ + œ„œ„ = 0 Nhân hai về đẳng thtic nay véi a, ta dude Tl S| ay-(aj, an) = 0 (1.4.1) j=l Vi (a;, a4) = 0 v6i moij # k, nén vé trai cia’ (1.4.1) chi con a (ag, ax) Do dé a, = 0(k =1, ,n) Vi vay Ala hệ độc lập O
Trang 35
1,4 Hệ trực giao và cơ sở trực giao 35
(Nếu tổng (1.4.2) có vô số số hạng khác 0 thì nó được hiểu là lim » Apap)
Tì— S1
Hệ trực giao đây đủ còn được gọi là cơ sở frực giao Nếu nó có
thêm tính chuẩn hóa (tức là mọi phần tử đều có chuẩn bang 1) thi
gọi là cơ sỏ trực chuẩn
Chú ý rằng cơ sở trực giao nói chung không phải là cơ sở theo nghĩa đại số (như khái niệm eø sở nêu trong 1.1.)
Ví dụ 1.4.1 Trong không gian la, hé (61, €2, ‹ Én, }, trong đồ eạ
là đãy số với số 1 ở vị trí thứ n, số 0 ở mọi vị trí còn lại, là hệ trực
chuẩn Tiếp theo, VỚI ø = (%1, 3», , đy, .) tùy ý thuộc i¿, ta có x = n lin 3 `z„e„, nên hệ trên là cơ sổ trực chuẩn
NOS pe 1
Trang 3636 1 Khong gian Hilbert N N = lal? -25 08 +50 a7, n=l n=l N = lal)? -— So an n=] Do (a — an,a—an) > 0 nén ti day suy ra N Son S [lall*s n=l co điều này nghĩa là Š` ø2 là chuỗi hội tụ và (1.4.3) đúng n=1 Khẳng định thứ hai của bổ đề là hiển nhiên 0 1.4.2 Trực chuẩn hoá
Giả sử {a, aa, , a„, } là hệ độc lập tong không gian tiền Hilbert
E Ta sẽ tìm một hệ trực chuẩn {b1, bạ, } sao cho hai hệ cũ và
mới là tương đương, nghĩa là mỗi phần tự của hệ này đều biểu thị tuyến tính qua một số hữu hạn các phần tử của hệ kia Cu thể, ta yêu cầu
bn = Aniay +++ + Anndn (1.4.4)
an = Øatb1 +" + Banbn (1.4.5)
(v6i moi n = 1, 2, .), trong d6 Onn Va Ban khac 0
Trước hết, VỚI n„ = Ì thì (1.4.4) sẽ là by = 44141: Để li || =] phai
chọn ơi = + TT, ví đụ lấy an = 7 Khi d6 (1.4.5) trổ thành lla Isil
= Ø1ib1 và bắt buộc phải lấy Bu =O = llai | llœal
Trang 37rt rà hi ba ai th ore ne ae ee
1.4 Hệ trực giao và cØ sở true giao 37
Ta chọn Bat, - Ổn,„—1 sao cho cạ trực giao với mọi bg(k = 1, ,.n—- 1)
Khi đó
0 = (ens be) = (ans bk) — Bue (bis bk) = (Any bu) — Bake
ttic 14 Bap = (an, bp)
Rõ ràng c„ z 0, vì nếu trái lại thì ta có ø„ = S>Bakde, tite TA ay k=1
biểu thị qua a1) „am_, trái với giả thiết về tính độc lập của hệ da cho Đặt bạ = Te Teall’ ta được hệ n phan tu truc chuan bj, ., bn Khi dé Cn nol ` n — Ss" BnkÙk + Branbn = » nkÙk ) k=1 k=1 V6i Ban = ||cn|| 4 0 Mặt khác, từ (1.4.6) ta có 1 Bri _ Ban-1 oer En TO 1 oe —1
llenll " IIenl| llenll "
mà ñq, ,b„_¡ lại biểu thị tuyên tính qua ai, ., ơ„_¡ nên ta lại có n= bn = Ona, +++++ Annan , nh 1 V6i Onn = ——~ F llcn |
Cứ tiếp tục như vậy, ta sẽ được hệ trực chuẩn {b\, bạ, .} thỏa mãn yêu cầu đặt ra Quá trình này gọi là quá trình trực chuẩn hóa hệ độc lập tuyến tính
1.4.3 Hệ trực giao trong không gian tiền Hilbert kha li
Định nghĩa 1.4.3 Không gian tiền Hilbert được gọi là khả li, nêu
có một cơ sở trực giao đếm được
Trường hợp đặc biệt của không gian tiền Hilbert khả li là không gian Hilbert kha li
Có thể chứng minh rằng trong không gian như vậy, mọi cơ sở
Trang 3838 1 Không gian FHlbert
Trong không gian khả li, nếu ai, dạ, , đạ, lập thành cơ sở trực chuẩn thì, như đã biết, mọi phần tử z đều có dạng tổng của chuỗi hội tụ (tức là dãy tổng riêng hội tụ, như với chuỗi số) oO Œ = S| QnAn - (1.4.7) n=l BO s6 (a1, a2, -.; in, ) dude goi 1A bé toa d6 cha z theo cơ sổ trực chudn G1, đạ, , đm,
Trang 39
1.4 Hệ trực giao và cơ sở trực giao 39
Bổ đề 1.4.3 /Định lý Riesz- Fischer] Cho {a\, dạ, : } là hệ trực chuẩn
trong hông gian Hibert H, {ơi, œ¿, } là dãy số sao cho chuỗi » az k=l hội tụ Khi đó sẽ có một phần tit h € H sao cho ap = (h, ar) (1.4.11) Uồ co Sook = [IAI (1.4.12) k=] Chứng minh Dat hn = >> apap Khi đó k=l ntl n+l n+l 2 Went ~ Pall? =( 52 onan, S> agay) = So a8 , k=n-+1 3=n+1 k=n+1 ~ oO 2 ` Do chuỗi Š”ø2 hội tụ nên đãy {h„} là cơ bản Từ tính chât đây đủ k=l
của H suy ra hạ — h € H Ta có, với n > k thì
(h, Qk) = (An, ap) + (h — hạ, Op) = aE + (th — hạ, re) (1.4.13)
Từ bất đẳng thức Cauchy- Bunyakovsky suy ra rằng, nếu z„ — 0
(trong không gian tiền Hilbert) thì (z„, a) — 0 (trong R)
Như vậy, số hạng thứ hai ở về cuỗi của (1.4.13) có giới hạn bằng ` 0 Do về trái và œ„ không phụ thuộc n, nên phải cé (h, az) = ag (và
Trang 4040 1 Không gian Hilbert
Dinh ly 1.4.1 Hé trực chuẩn trong không gian Hilbert kha ti H la
đây đủ khi uùà chỉ khi trong H không có phân tử khúc 0 nào trực giao Đồi có hệ đó
Chứng mảnh Giả sử hệ {ai, ae, .} đầy đủ và z trực giao với mọi phần
tử của hệ Ta phải chứng tô z = 0 Nhưng điều này suy ra từ (1.4.11)
và (1.4.10):
Op = (2, Ap) = 0 với mọi É
Ngược lại, giả sử {øi, 2, - } là hệ không đầy đủ Khi đó phải tồn tại h € H sao cho (h,h) > dab, v6i a, = (h, ay) Nhung theo bé dé trén sé tén tai g € H sao cho (g, ap) = œy Và (g, g) = dak Ro rang h — g trực giao với cả hệ {ai, aa, } và h — ø # 0 Định lý được chứng
minh L]
1.4.4 Sự đẳng cầu của các không gian tiền Hilbert
Dinh nghia 1.4.4 Ánh xạ ƒ từ không gian tién Hilbert E vào khong gian tién Hilbert F duce goi la đẳng cấu Euclide, nếu:
7) ƒ là ánh xạ đẳng cấu (bức là song ánh tuyến tính); 2) f bao toàn tích vô hướng, tức là với mọi a, b € E đều có
(f(a), f(0)) = (a, 0) Khi đó ta nói E và F đẳng cấu Euelide với nhau
Chú ý rằng thông thường để tránh diễn đạt phức tạp, mỗi lần
nói đến ánh xạ đẳng cầu giữa hai không gian tiền Hilbert, ta hiểu rằng đó là đẳng cầu Euclide, chứ không đơn thuần là song ánh tuyến tính Khi đó, nếu cần tránh nhằm lẫn, ta sẽ gọi song ánh tuyên tính là đẳng cấu đại số
Dinh ly 1.4.2 Hai &hông gian Hilbert hitu han chiéu la đẳng cấu