Giáo trình Trắc địa cơ sở (Chuyên sâu) Trường ĐH Công nghiệp Quảng Ninh

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH - Chủ biên: ThS Nguyễn Thị Mai Anh Th.S Ngô Thị Hài GIÁO TRÌNH TRẮC ĐỊA CƠ SỞ (CHUYÊN SÂU) (LƯU HÀNH NỘI BỘ) Quảng Ninh – 2019 BÀI 1: GIỚI THIỆU NỘI DUNG MÔN HỌC Đây học phần chuyên sâu học thay làm đồ án môn học Học phần bao gồm nội dung bản: + Bình sai điều kiện lưới đo cạnh lưới đo góc cạnh + Bình sai gián tiếp + Bình sai lưới tự Khi xây dựng lưới trắc địa, trị đo cần thiết người ta đo thừa số trị đo nhằm kiểm tra, đánh giá chất lượng kết đo nâng cao độ xác yếu tố mạng lưới sau bình sai Lưới tam giác mạng lưới có kết cấu hình học chặt chẽ, có nhiều trị đo thừa Giữa trị đo cần thiết trị đo thừa, số liệu gốc tồn quan hệ toán học ràng buộc lẫn Biểu diễn quan hệ ràng buộc dạng cơng thức tốn học ta phương trình điều kiện Trong kết đo tồn sai số đo chúng khơng thỏa mãn điều kiện hình học mạng lưới xuất sai số khép Viêc bình sai mạng lưới nhằm mục đích loại trừ sai số khép, tìm trị số đáng tin cậy trị đo yếu tố cần xác định mạng lưới tam giác Bài 2: Bình sai lưới đo cạnh lưới đo góc cạnh 2.1 Thành lập phương trình điều kiện số hiệu chỉnh phương trình chuẩn số liên hệ 2.1.1 Cơ sở lý thuyết Giả sử có n dãy trị đo: L1, L2, …, giá trị sau bình sai L1’, L2’, …, Ln’, số tương ứng P1, P2, …, Pn Giữa đại lượng đo ta lập r phương trình tốn học gọi phương trình điều kiện r < n, dạng ban đầu chúng là: Fj (L1’,L2’, …, Ln’) = (j=1, 2,…, n) (2.1) Trong phương trình (2.1) Li’ chưa biết Bài tốn bình sai cần tìm n số hiệu chỉnh vi giá trị đo Li cho: L’i = Li + vi (2.2) Thay (2.2) vào (2.1) t có phương trình: Fj(L1 + V1, L2 + V2,, …, Ln + Vn) = Ứng dụng phương pháp khai triển chuỗi Taylor biến đổi phương trình dạng tuyến tính bỏ qua số hạng bậc cao ta có hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh sau: a1v1 + a2 v2 + + an + wa = b v + b v + + b v + w = 11 2 n n b   r1v1 + r2 v2 + + rn + wr = (2.3) Trong hệ số đạo hàm riêng phần hàm Fj theo đại lượng đo Li = F1 ; Li bi = F F2 , …, ri = r Li Li Các số hạng tự wj sai số khép phương trình điều kiện, giá trị xác định cách thay trị đo vào phương trình (2.1) w j = Fj (L1, L2 , , L n ) Hệ phương trình (2.3) có r phương trình, n ẩn số, n > r nên khơng giải trực tiếp mà phải ứng dụng nguyên lý số bình phương nhỏ [pw] = để giải theo phương pháp cực trị có điều kiện Lagrange Để giải hệ (2.3) ta phải lập hệ phương trình chuẩn số liên hệ dạng: [qaa]K a + [qab]K b + + [qar]K r + w a =  [qab]K a + [qbb]K b + + [qbr]K r + w b =   [qar]K a + [qab]K r + + [qrr]K r + w r = Trong : q i = ; pi trọng số trị đo thứ i Pi (3.3) Hệ (3.3) hệ phương trình tuyến tính đối xứng gồm r phương trình, r ẩn số Giải hệ theo sơ đồ Gauss ta số liên hệ Ka, Kb, …, Kr Các số hiệu chỉnh trị đo tính theo cơng thức: Vi = q i (a i K a + bi K b + + ri K r ) Để đánh giá độ xác kết sau bình sai, ta tính sai số trung phương trọng số đơn vị theo công thức: = [qvv] r Để đánh giá độ xác yếu tố đặc trưng mạng lưới ta viết chúng dạng hàm số trị đo sau bình sai, thường gọi hàm số: F = f(L1 ', L ', , L n ') Biến đổi dạng tuyến tính ta có: F = f + f1v1 + f v2 + + f n Trong trình lập giải hệ phương trình chuẩn số liên hệ ta kết hợp tính nghịch đảo trọng số hàm F: [qaf]2 [qbf.1]2 [qrf.(r -1)]2 = [qff.r] = [qff] - PF [qaa] [qbb.1] [qrr(r -1)] Sai số trung phương hàm giá trị đo sau bình sai tính theo công thức: MF=  PF Nếu dùng ngôn ngữ thuật toán ma trận, ta ký hiệu ma trận hệ số phương trình điều kiện số hiệu chỉnh B, vectơ số hiệu chỉnh V vectơ số hạng tự phương trình điều kiện W, vectơ số liên hệ K ta có: ; ; ; Từ cơng thức ta viết phương trình số hiệu chỉnh dạng ma trận sau: BV+W = Phương trình chuẩn số liên hệ: B P-1 BT K + W = Đặt N= B P-1 BT, ta có: NK + W = Vậy K = -N-1 W Lúc V= P-1 BT.K 2.1.2 Các dạng phương trình điều kiện, phương trình điều kiện số hiệu chỉnh Số lượng phương trình điều kiện Một yêu cầu chặt chẽ phương pháp bình sai điều kiện phải xác định số lượng phương trình điều kiện lưới tam giác phải lựa chọn để thành lập phương trình điều kiện hồn tồn độc lập Nếu khơng thực yêu cầu việc bình sai khơng đạt hiệu quả, sau bình sai nhận tập hợp nghiệm kết đáng tin cậy Nguyên tắc chung để tính tổng số phương trình điều kiện lưới tính số lượng trị đo thừa mạng lưới Để tính trị đo thừa, ta tính tổng trị đo tổng số trị đo cần thiết Tổng trị đo thừa tổng số phương trình điều kiện lưới tính cơng thức: r=n-t Trong đó: n số trị đo, t trị đo cần thiết r số trị đo thừa Tuỳ thuộc vào mạng lưới tự hay phụ thuộc mà ta tính số lượng phương trình điều kiện - Lưới tự do: Là lưới có số liệu gốc tối thiểu vừa đủ thiếu để xác định vị trí kích thước mạng lưới hệ tọa độ định - Lưới phụ thuộc: Là lưới có số liệu gốc nhiều số lượng gốc tối thiểu để xác định vị trí kích thước mạng lưới hệ tọa độ định A h1 P1 h2 h4 B h5 D P2 h6 P3 h3 Với lưới độ cao ta có tổng số trị đo n = 6, tổng số điểm lưới p = 5, số điểm biết k = 2, trị đo cần thiết t = - = Do đó, số lượng phương trình có lưới là: r = - = phương trình Với lưới mặt ta có tổng số trị đo n = 20, tổng số điểm lưới p = 7, số điểm biết k = 4, trị đo cần thiết t = 2(7 - 4) = Do đó, số lượng phương trình có lưới là: r = 20 - = 14 phương trình (gồm phương trình điều kiện hình, phương trình điều kiện vịng, phương trình điều kiện cực, phương trình điều kiện góc cố định, phương trình điều kiện cạnh cố định) Lưới mặt tự do: + Lưới mặt đo góc, đo góc - cạnh Các lưới tự mà gặp có nhiều dạng đồ hình khác Ở lưới mặt tự ta thường gặp phương trình điều kiện sau: a Phương trình điều kiện hình: + Đối với mạng lưới tam giác đo góc, góc - cạnh Phương trình điều kiện hình lập cho hình đa giác đo góc khép kín, hình tam giác, tứ giác lưới tam giác đo góc, hình đa giác khép kín lưới đường chuyền Nội dung phương trình điều kiện hình : Tổng giá trị bình sai góc hình đa giác khép kín phải trị B lý thuyết biết Chẳng hạn tổng ba góc C bình sai hình tam giác phẳng phải 180 ’ ’ ’ Nếu kí hiệu β1 , β2 ,…, βn giá trị sau bình sai n góc hình đa giác khép kín, β1, 12 11 13 β2,…, βn góc đo, vi số hiệu chỉnh cho A 15 14 10 góc đo, h sai số khép hình phương trình điều D kiện hình viết: β1’ + β2’ +…+ βn’ - (n-2).1800 = Ta có quan hệ: βi’ = βi + vi E Từ phương trình ta dễ dàng viết phương trình điều kiện số hiệu chỉnh dạng: Hình 2-5:Xác định điều kiện V1 + V2+…+ Vn + h = hình đa giác trung tâm h= β1+ β2+…+ βn -(n-2).1800 Công thức tính số lượng phương trình điều kiện sau: rhình = (n1-n’) - q+1 Trong đó: n1- Tổng số trị đo góc tam giác n’- Tổng số cạnh lưới q- Là số điểm trung tâm ta đo tổng hướng Ví dụ 1: Cho lưới mặt đa giác trung tâm hình vẽ Biết A, B hai điểm gốc, tiến hành đo 15 góc Ta tính viết phương trình điều kiện sau: n1=15 n’=10 q=1 Vậy rhình=(15-10) – 1+1 =5 phương trình Phương trình điều kiện hình: 1’+2’+3’-1800 =0 4’+5’+6’-1800 =0 7’+8’+9’-1800 =0 10’+11’+12’-1800 =0 13’+14’+15’-1800 =0 Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh: V1+V2+V3+1= ; 1=1+2+3-1800 V4+V5+V6+2= ; 2=4+5+6-1800 V7+V8+V9+3= ; 3=7+8+9-1800 V10+V11+V12+4= ; 4=10+11+12-1800 V13+V14+V15+5= ; 5=13+14+15-1800 Ví dụ 2: Cho mạng lưới tứ giác trắc địa hình vẽ, có góc đo Ta tính số lượng phương trình điều kiện hình là: n1=8 n’=6 q=0 rhình = (n1-n’) - q+1 Vậy rhình = - - +1 =3 phương trình Phương trình điều kiện hình: 1’+ 2’+3’+4’-1800 =0 3’+4’+5’+6’-1800 =0 5’+ 6’+7’+8’-1800 =0 Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh: V1+V2+V3+ V4 +1= ; 1=1+2+3+4-1800 V3+ V4+V5+V6 +2= ; 2=3+4+5+6-1800 V5+ V6 +V7+V8 +3= ; 3=5+6+7+8-1800 b Phương trình điều kiện vịng: Ý nghĩa phương trình điều kiện vịng tổng trị bình sai góc trung tâm hình đa giác trung tâm phải B 3600 rvòng= q với q số điểm trung tâm, C Dễ dàng nhận thấy phương trình điều kiện vịng xuất đa giác trung tâm có đo tất góc điểm trung tâm 12 11 O 13 Ví dụ: Cho lưới đa giác trung tâm đo góc ta A 15 14 có rvịng= 10 Ta lập phương trình điều kiện vịng D dạng: 11’+ 12’+13’+14’+15’-1800 = Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh: E V11+ V12 +V13+V14 + V15+ v = 0; Hình 2-5:Xác định điều kiện v=11+12+13+14+15-1800 c Phương trình điều kiện cực: hình đa giác trung tâm Nội dung phương trình điều kiện cực: Xuất phát từ cạnh lưới tam giác, dùng góc bình sai để tính chuyền sang cạnh khác, quay trở lại cạnh ban đầu trị số tính phải trị số biết Phương trình điều kiện cực phương trình ràng buộc góc với nhau, cạnh tính chuyền chiều dài luôn chung đỉnh gọi cực Số lượng phương trình điều kiện cực tính sau: rcực= n’-2p+3 Trong đó: n’-S ố cạnh lưới p - Số điểm lưới Ví dụ: Với hình vẽ ta có: n’=10, p=6 Vậy rcực= 10 - 2x6 + = phương trình Nếu xuất phát từ cạnh OA, dùng trị bình sai góc tính chuyền chiều dài theo vịng khép kín theo chiều thuận kim đồng hồ trở cạnh OA ta phương trình điều kiện cực sau: Điều kiện đặt cạnh OA tính phải cạnh OA ban đầu, nghĩa Ta thấy, phương trình phương trình điều kiện hình, vịng phương trình dạng tuyến tính cịn phương trình điều kiện cực phương trình phi tuyến tính, ta phải chuyển chúng phương trình số hiệu chỉnh dạng tuyến tính sau: Gọi góc 1’, 2’, …., 10’ góc sau bình sai, góc 1, 2, …,10 góc đo, v1, v2, …, v10 số hiệu chỉnh tương ứng, ta viết: Đưa phương trình điều kiện dạng tuyến tính ta phải tính đạo hàm riêng phần theo góc tử mẫu số theo cơng thức: Đạo hàm góc tử số: với i = 1, 3, 5, 7, Đạo hàm góc mẫu số: với i = 2, 4, 6, 8, 10 Vậy phương trình số hiệu chỉnh dạng tuyến tính là: Trong ρ’’= 206265 Nhìn vào phương trình ta thấy hệ số số hiệu chỉnh sai số khép giá trị nhỏ, để tiện cho tính tốn sử dụng phương trình điều kiện dạng: Trong tính: Cách khai triển phương trình điều kiện cực trình bày khơng phải sử dụng logarit phù hợp với kỹ thuật tính tốn máy tính Trước tính tốn bình sai người ta thường phải dùng bảng tra logarit, trường hợp người ta thành lập phương trình số hiệu chỉnh sau: Từ phương trình điều kiện ta tiến hành logarit (cơ số 10) hai vế khai triển tuyến tính ta phương trình điều kiện dạng: Trong giá trị biến thiên logarit sin góc βi góc thay đổi 1’’, thường tính đơn vị số lẻ thứ logarit (để hệ số sai số khép ωc không nhỏ) Trong µ modul chuyển đổi số logarit: µ = lge ≈ 0.4343 Sai số khép ωc lúc tính theo logarit sin góc lấy đơn vị theo số lẻ Với i(tử) = 1, 3, 5, 7, 9; i(mẫu) =2, 4, 6, 8, 10 Đối với lưới tứ giác trắc địa hình vẽ có phương trình điều kiện cực Ta chọn bốn điỉnh tứ giác làm cực chọn giao hai đường chéo làm cực Cụ thể chọn giao hai đường chéo làm cực ta có: Vậy phương trình số hiệu chỉnh dạng tuyến tính là: Nếu ta chọn điểm A làm cực ta được: Hay Với Chú ý phương trình điều kiện cực có số góc vừa xuất tử số vừa xuất mẫu số, sau triển khai thành dạng tuyến tính ta cần tập hợp hệ số chúng lại lấy số hiệu chỉnh góc I II làm thừa số chung Trong hình rẻ quạt (Hình 2-7) có phương trình điều kiện cực, trường hợp cực điểm C đỉnh chung đỉnh tam giác A B 10 11 Phương trình điều kiện cực là: C Hình 2-7: Lưới rẻ quạt Phương trình số hiệu chỉnh là: Chú ý: Trong chuỗi tam giác khép vịng tồn phương trình điều kiện có ý nghĩa hình học giống phương trình điều kiện cực, tức xuất phát từ cạnh dùng trị bình sai góc tính chuyền chiều dài theo vịng khép kín trở cạnh xuất phát, phải nhận chiều dài đùng chiều dài ban đầu Nhưng không tồn cực cụ thể hình đa giác trung tâm tứ giác trắc địa, hình quạt trường hợp xem phương trình điều kiện cực đặc biệt Lưới mặt đo cạnh Ta biết hình tam giác đo ba cạnh khơng có trị đo thừa Các góc mạng lưới tam giác đo cạnh tính từ giá trị chiều dài cạnh đo Các góc tính dùng để tính sai số khép phương trình điều kiện hình tứ giác trắc địa đa giác trung tâm đo cạnh, tính phương vị cạnh,…Để tính góc theo cạnh, ta dựa vào cơng thức lượng giác phẳng hình tam giác Có nhiều cơng thức để tính góc: Tính góc theo định lý cosin: Giả sử có hình tam giác ABC đo cạnh a, b, c hình 3.11 Ta cần tính giá trị góc A, B, C Các cơng thức tính góc theo định lý cosin sau: B a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB (3.21) 2 a c = a + b - 2ac.cosA c Tính góc theo diện tích tam giác Giá trị sin góc tính qua diện tích tam C A giác sau: b 1 S = bc sin A = ab sin C = ac sin B 2 S = p( p − a)( p − b)( p − c) Hình 3.11 (3.22) P= a+b+c Tính góc theo cơng thức tang tg A ( p − b)( p − c) = p( p − a) tg B ( p − a)( p − c) = p ( p − b) tg C ( p − a)( p − b) = p( p − c) (3.23) + Quan hệ vi phân góc cạnh Khi bình sai lưới tam giác đo cạnh theo phương pháp điều kiện, người ta lập phương trình điều kiện dạng góc Như vậy, cần phải biểu diễn số hiệu chỉnh góc qua số hiệu chỉnh cạnh đo trực tiếp Để có quan hệ ta phải xuất phát từ công thức: a2 = b2 +c2 - 2bccosA Vi phân vế: 2ada = 2bdb + 2cdc - 2ccosAdb + 2bcsinAdA-2bcosAdc ada = (b - ccosA)db + (c - bcosA)dc + bcsinAdA ada − (b − c cos A )db − (c − b cos A )dc ' ' bc sin A dA' ' = (3.24) Lại có: bcsinA =a.ha a = c cos B + b cos C b = a cos C + c cos A c = a cos B + b cos A (3.25) Thay vào ta có: d A ''= ada − a cos Cdb − a cos Bdc ' ' ah A d A ''= ' ' (da − cos Cdb − cos Bdc) hA d B ''= ' ' (db − cos Cda − cos Adc ) hB dC ''= ' ' (dc − cos Cda − cos Bdb) hC Chuyển sang quan hệ số hiệu chỉnh ta có: vA '' = ' ' (v a − cos Cv b − cos Bv c ); hA 10 (3.26) Ka Kb Kc Kí hiệu dịng a b c a E1 [aa] -1 [ab] [ac] [ab] − = E1b [aa] [ac] − = E1c [aa] b E1b.(a) [bb] E1b.[ab] [bc] E1b.[ac] b.1 E2 [bb.1] -1 c E1c.(a) E2c.(b.1) c.2 ka kb j S a a Sa [.f] s’ [af] [as’] [ a] [ aa] Sa [aa] [af ] − = E1 f [aa] b E1b a Sb E1b.Sa [bf] E1b.[af] [b  ] E1b [a  ] [bc.1] E2c [b.1] E2  [Sb.1] [bf.1] E2f [b  1] [cc] E1c.[ac] E2c.[bc.1] [cc.2] -1 c E1c a E2c[b.1] [c.2] E3  Sc E1c.Sa E2c[Sb.1] [Sc.2] [cf] E1c.[af] E2c[bf.1] [cf.2] E3f [c  ] E1c [a  ] E2c[b  1] [c  2] kc E1.a E2.[b.1] E3.[c.2] -[vv] [] E1.sa E2.[sb.1] E3.[sc.2] -[vv] [ff] E1f.[af] E2f.[bf.1] E3f.[cf.2] [f  ] E1f [a  ] E2f.[b  1] E3f.[c  2] 1/pf 52 − [aa] = E1 − [ s 1] − b [bb.1] − [ s c 2] [cc.2] 1/pf − − − [b.1] [bb.1] [c.2] [cc.2] Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau sơ đồ Gauss 4k1 -2k +6k +10 =0  -2k1 +5k +k +3 = 6k +k +17k +27=0  Kí hiệu dịng b a (a) E1 (b) E1bx(a) (b.1) E2 c E1cx(a) E2cx (b.1) (c.2) E3 Kb Ka Kc j c -1 -2 0.5 -1 -1 -1.5 -1 -1.5 -1 17 -9 -4 -1 -1 10 -2.5 -2 27 -15 -8 -1 Ví dụ 2: Từ hệ phương trình số hiệu chỉnh lập giải hệ phương trình chuẩn theo phương pháp Gauss V1+V2-V4+0,5=0 V2+V3-V5=0 V1+V2+V3-V6-1=0 Giải Bảng hệ số hệ phương trình chuẩn: a] b] c] 1 1 1 -1 0 -1 0 -1 [a [b [c Phương trình chuẩn: 3Ka+Kb+2Kc+0,5 = Ka+3Kb+2Kc =0 2Ka+2Kb+4Kc-1 = 53 Bài : Bình sai lưới tự 4.1 Nội dung bình sai lưới tự 4.4.1 Khái niệm chung lưới trắc địa tự Tuỳ thuộc vào tính chất số liệu gốc mà mạng lưới trắc địa chia thành loại lưới phụ thuộc lưới tự + Lưới phụ thuộc Lưới phụ thuộc lưới có thừa số liệu gốc để xác định hình dạng, kích thước định vị lưới hệ toạ độ Đối với lưới mặt số lượng tối thiểu số liệu gốc bốn yếu tố, gồm: - Một cặp tọa độ (X,Y) để định vị lưới - Một chiều dài cạnh để xác định kích thước lưới - Một góc phương vị để định hướng lưới + Lưới tự Phụ thuộc vào tính chất số liệu gốc, lưới trắc địa chia thành loại: lưới phụ thuộc lưới tự Lưới trắc địa tự định nghĩa loại lưới mà khơng có đủ số liệu gốc thối thiểu cần thiết cho việc định vị mạng lưới Mỗi dạng lưới có tập hợp số liệu gốc tối thiểu riêng biệt, cụ thể là: lưới độ cao có số liệu gốc tối thiểu độ cao điểm gốc, lưới mặt có số liệu gốc tối thiểu cặp toạ độ (X, Y), phương vị cạnh đáy Lưới mặt tự lưới thiếu toàn thiếu số nhóm yếu tố gốc tối thiểu là: cặp toạ độ (X, Y), góc phương vị, cạnh đáy (số lượng yếu tố gốc tối thiểu lưới mặt 4) Số lượng yếu tố thiếu tất cá mạng lưới gọi số khuyết lưới ký hiệu d, thân lưới gọi lưới tự bậc d Từ khái niệm suy ra: Đối với lưới độ cao tự do, số khuyết d=1 lưới tự bậc Đối với lưới mặt tự do, số khuyết d nhận giá trị (1, 2, 3, 4), tương ứng bậc tự lưới (1, 2, 3, 4) Để phân biệt mức độ dạng tự lưới mặt bằng, thường dùng ký hiệu: -Lưới (x, y,  , m)- tự do: lưới thiếu yếu tố gốc tối thiểu, số bậc tự lưới - Lưới (x, y,  )- tự do: lưới thiéu cặp toạ độ (X, Y) góc định hướng (lưới tự bậc 3) - Lưới (x, y, m)- tự do: lưới thiếu cặp toạ độ (X, Y) cạnh để xác định kích thước lưới (lưới tự bậc 3) 54 - Lưới (x, y)-tự do: lưới thiếu cặp toạ độ gốc (X, Y), (lưới tự bậc 2) Nếu lưới trắc địa có thừa yếu tố gốc tối thiểu gọi lưới trắc địa phụ thuộc Như có trường hợp dặc biệt lưới có vừa đủ số liệu yếu tố gốc tối thiểu, lý thuyết bình sai dạng lưới coi lưới thự bậc không (số khuyết d= 0) Khi lưới trắc địa có số liệu gốc có sai số vượt sai số đo tính tốn, số liệu gốc sử dụng để định vị lưới mạng lưới coi lưới tự Nếu bình sai lưới phụ thuộc, điểm có số liệu gốc gọi điểm gốc (hoặc điểm khởi tính), bình sai tự điểm gọi điểm định vị Một cách chung nhất, lưới trắc địa tự định nghĩa loại lưới mà khơng có đủ số liệu gốc tối thiểu cần thiết cho việc định vị, lưới trắc địa mà số liệu gốc có sai số vượt q sai số đo mạng lưới coi lưới tự do, trường hợp số liệu gốc có tác dụng sở cho việc định vị lưới Như rút định nghĩa cụ thể lưới trắc địa tự sau: “lưới trắc địa tự lưới thiếu toàn thiếu số nhóm yếu tố gốc tối thiểu là: cặp tọa độ (X, Y), góc phương vị, cạnh đáy(với lưới mặt bằng), độ cao(H) (với lưới độ cao) ” Trong lưới trắc địa tự số lượng yếu tố gốc thiếu gọi số khuyết lưới ký hiệu d, thân lưới gọi lưới tự bậc d Từ khái niệm suy hai trường hợp sau : - Lưới tự khơng có số khuyết (d = 0): lưới có số liệu gốc tối thiểu vừa đủ để xác định hình dạng, kích thước định vị lưới hệ toạ độ, lưới cịn có tên gọi lưới tự bậc khơng - Lưới tự có số khuyết (d > 0): lưới thiếu số liệu gốc tối thiểu cần thiết cho việc định vị, số khuyết d nhận giá trị (1, 2, 3, 4), tương ứng bậc tự lưới (1, 2, 3, 4) Để tiện phân biệt mức độ dạng tự lưới chia lưới mặt tự thành loại sau: a Lưới tự bậc 1(d = 1): lưới thiếu cạnh phương vị khởi tính toạ độ X toạ độ Y b Lưới tự bậc (d = 2): có trường hợp sau: - Lưới thiếu cặp tọa độ gốc (X, Y) - Lưới thiếu toạ độ X, cạnh đáy toạ độ X phương vị - Lưới thiếu toạ độ Y, cạnh đáy toạ độ Y phương vị - Lưới thiếu cạnh đáy phương vị c Lưới tự bậc (d = 3): có trường hợp sau: - Lưới thiếu cặp tọa độ gốc (X, Y), góc định hướng 55 - Lưới thiếu cặp tọa độ gốc (X, Y), cạnh đáy - Lưới thiếu toạ độ X, cạnh đáy phương vị - Lưới thiếu toạ độ Y, cạnh đáy phương vị d Lưới tự bậc (d = 4): lưới thiếu tất yếu tố định vị (X,Y,, s) Do có mơ hình bình sai thuận tiện cho việc lập trình để tự động hố xử lý máy tính điện tử, lại có khả linh hoạt khâu chọn lựa điều kiện định vị lưới nên lý thuyết bình sai lưới tự ngày khai thác để ứng dụng sâu nhiều lĩnh vực trắc địa Mơ hình tốn học phương pháp bình sai lưới tự thể cụ thể phần sau 4.4.2 Mơ hình toán học phương pháp bình sai lưới tự Chúng ta xem xét mơ hình tốn học phương pháp bình sai lưới trắc địa tự sở tốn bình sai gián tiếp kèm điều kiện Giả sử mạng lưới tự bình sai theo phương pháp gián tiếp, xác định được: Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh V = AX + L (2 1) đó: A - Ma trận hệ số hệ phương trình số hiệu chỉnh X - Vector ẩn số V , L - Vector số hiệu chỉnh vector số hạng tự Do lưới thiếu số liệu gốc nên ma trận A có cột phụ thuộc, số lượng cột phụ thuộc số khuyết lưới Lập hệ phương trình chuẩn Theo nguyên lý phương pháp số bình phương nhỏ nhất, từ hệ phương trình số hiệu chỉnh (2 1) lập hệ phương trình chuẩn:  R = AT PA  T ;  b = A PL RX + b = Do lưới thiếu số liệu gốc tối thiểu nên hệ (2 1) có đặc điểm sau: - Det(R) = suy hệ có vơ số nghiệm - Không tồn phép nghịch đảo ma trận R Với đặc điểm nên giải hệ theo phương pháp thơng thường Để giải cần đưa vào hệ điều kiện ràng buộc vector ẩn số Hệ điều kiện ràng buộc vector ẩn số có dạng:  R C   X  b C T   k  + 0 =      Hệ phương trình biểu diễn dạng ma trận khối Hệ có ma trận hệ số khơng suy biến nên tồn ma trận nghịch đảo thường:  R C T  C 0  −1  ~ = R T  T  T 0  56 Trong R~ ma trận giả nghịch đảo R xác định theo công thức: ~ ( R = R + C C T ( T = B CT B ) ) −1 − T T T −1 Vector nghiệm hệ phương trình theo cơng thức: X = -R~.b Đánh giá độ xác - Sai số trung phương đơn vị trọng số: = V T PV n−k +d n - k + d: số lượng trị đo thừa lưới - Sai số vị trí điểm m p = mx2 + my2 ~ mx =  Rxx ; - Sai số trung phương hàm số ; ~ my =  Ryy PF mF =  Trình tự bình sai mạng lưới tự do: Chọn ẩn số độ cao tất điểm khống chế sở Chọn độ cao gần điểm Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh: V = AX + L Lập hệ phương trình chuẩn: RX + b =0 + Lập điều kiện bổ sung: CTX = Trong đó: CT = (c1 c2 c3 ….cn) Các phần tử ci chọn theo quy tắc: ci = điểm sở không ổn định ci = điểm sở ổn định Tính ma trận giả nghịch đảo R = ( R + C.C T ) − T T T −1 ~ T Tính nghiệm: X = -R~.bT = B ( C B ) Đánh giá độ xác −1 4.2 Phép biến đổi Helmert 57 Ở néi dung tr-íc, chóng ta ®· ®Ị cËp tíi ma trËn chuyển đổi toạ độ B ma trận C ®iỊu kiƯn bỉ sung Ma trËn B cã liªn quan đến toán chuyển đổi hai hệ toạ ®é, cßn ma trËn C cã ý nghÜa hÕt søc quan trọng việc định vị mạng l-ới trắc địa tự Trong phần này, xem xét nội dung chất ma trận Tr-ớc hết, xét công thức chuyển đổi hệ toạ độ (hình 3.1) x x' y'i yi i  ay xi' 0' xi ax y' y H×nh III.1 Giả sử: xoy hệ toạ độ ban đầu, ổn định x'0'y' hệ toạ độ đà bị biến ®ỉi víi c¸c tham sè biÕn ®ỉi nh- sau + Độ chuyển dịch gốc toạ độ theo trục t-ơng øng lµ ax, ay + Gãc xoay cđa hƯ trơc + Hệ số biến đổi chiều dài hƯ trơc lµ m cã thĨ viÕt xi = ax + x'imcos - y'imsin (3.13) yi = ay + x'imsin - y'imcos Khai triĨn tu tÝnh biĨu thøc trªn theo biến ax, ay, m với l-u ý r»ng   0, m  ta cã 58 xi = ax + y'i + x'im + x'i (3.14) yi = ay + x'i + y'im + y'i kÝ hiÖu : xi = (xi, yi)T (3.15) x'i = (x'i, y’i)T z = (ax ay  m )TBi = 0 y'i -x'i x'i y'i Khi ®ã ta có có công thức đơn giản viết d-ới dạng ma trận để tính chuyển từ hệ toạn độ x'0'y' sang hệ toạ độ x0y nh- sau: Xi = BiZ + X'i (3.16) Trong đó: Z: véc tơ tham số chuyển đổi toạ độ, đóng vai trò véc tơ ẩn số (gồm ẩn) B: gọi ma trận hệ số phép chuyển đổi hệ toạ Helmert Coi xi nh- véc tơ ''trị đo'' lập đ-ợc n ph-ơng trình số hiệu chỉnh cho n điểm cần tính chuyển toạ độ V=BZ+L (3.17) Với N > 2, véc tơ tham số chuyển toạ độ Z đ-ợc xác định theo nguyên tắc số bình ph-ơng nhỏ VTV = Theo nguyên tắc này, từ (3.17) lập đ-ợc hệ ph-ơng trình chuẩn BTBZ = + BTL = (3.18) 59 tìm đ-ợc Z = - (BTB)-1BTL (3.19) Để đơn giản cho viƯc tÝnh to¸n, (3.15) ng-êi ta thay thÕ c¸c toạ độ x' i, y'i toạ độ trọng tâm Điều đ-ợc thực di chuyển ®iĨm gèc cđa hƯ trơc to¹ ®é tíi ®iĨm träng tâm có toạ độ k x ' i i =1 x0 = (3.20) k k y i =1 y0 = ' i k Lúc này, B đ-ợc gọi ma trận quy chuẩn có dạng k Bi = i i (3.21) k - i i Trong ®ã: i = i = xi' − x0 c y i' − y c k k i =1 i =1 víi c =  ( xi' − x0' ) +  ( yi' − y0 ) K số điểm tham gia định vị (sẽ nói phần sau) Bài toán chuyển đổi toạ độ nêu đ-ợc gọi phép chuyển đổi toạ độ Helmert Qua toán chuyển đổi phát biểu rằng: Phép chuyển đổi toạ độ Helmert phép biến đổi tọa độ đồng dạng từ hệ sang hệ khác mà bảo l-u độ xác, xác định vị trí thời điểm xét Trong mng li độ cao, ma trận B xác định theo công thức: 60 B = (1 1 1….1)T Lưới mặt xác định theo công thức: 1 Yi Bi =  0 − X i Xi  Yi  4.3 Liên hệ vector số hiệu chỉnh δx C1, C2 TÝnh chÊt cña vector nghiệm Các vector toạ độ bình sai l-ới tự ứng với lựa chọn ma trận C vector toạ độ gần khác có đồng dạng hình học Điều có nghĩa X1, X2 vector toạ độ bình sai mạng l-ới tự tồn t¹i quan hƯ: X = X + BZ (3.14) Với B ma trận chuyển đổi toạ độ phẳng Helmert, Z vector tham số chuyển đổi Tính chất vector trị bình sai đại l-ợng đo Vector trị bình sai đại l-ợng đo nhất, không phụ thuộc vào lựa chọn ma trận định vị C nh- lựa chọn vector toạ độ gần Vai trò ma trận định vị Vector toạ độ bình sai l-ới tự phụ thuộc vào vector toạ độ điểm định vị (có C 0) không phụ thuộc vào toạ độ gần điểm có C=0 4.4 Thực hành bình sai lưới tự h5 h3 HA=0.0(m) h2 HB=0.0(m) h4 h1 61 Các góc đo h1 = y3 = h4 = y5 = 0.0(m) ; h2 = 0.N (m) ( N số thứ tự sinh viên lớp) Bình sai lưới tự Đánh giá độ xác F=H2-H1 1   Với C =   ( số thứ tự lẻ N=9) 0   1 Lời giải Bước 1: Chọn ẩn số độ cao điểm sau bình sai: H1, H2, HA, HB Bước 2: Tính độ cao gần đúng: H1o = H2o= HAo= HBo Bước 3: Lập hệ phương trình số hiệu chỉnh: V= Ax+ L Phương trình có dạng bảng sau: N0 H1 H2 HA HB Li V1 -1 0.00 V2 -1 0 -0.90 V3 -1 0.00 V4 -1 0 0.00 V5 -1 0.00 Trong đó: l i = (H 0k – H i0 ) – hi 62 i hi k + L1 = L3 = L4 = L5 = 0.0(m) + L2 = H 20 − H10 − h2 = −0.9(m)  −1  −1  + Ma trận A =  −1   −1 0  −1  1  0 P = 0  + Ma trận trọng số: 0 0  0  0  1  0 0 0 ; 0  0.0   −0.9    Ma trận L =  0.0  ;   0.0    0.0  0  0 0  0  Bước 4: Lập hệ phương trình chuẩn: Rx + b = Trong đó:  −1 −1 −1  0.9000      −1 −1 −1 −0.9000  T T   b = A PL = R = A PA =  −1 −1  ;  0.0000       −1 −1   0.000  Bước 5: Thnh lp h ph-ơng trình chuẩn mở rộng : Trong lưới tự ma trận R bị suy biến (detR= 0) Vì hệ phương trình khơng giải theo phương pháp thông thường nên cần bổ sung thêm hệ điều kiện: CT X + LC = (hệ ràng buộc với vector ẩn số) Ta có hệ PT chuẩn mở rộng: 63  RX + b =  T C X + LC = Hệ phương trình chuẩn mở rộng dạng khối: R C T  C X   b   +  =0   K   LC  Hệ phương trình chuẩn mở rộng giải Ta tìm ma trận giả nghịch đảo : ~ R = (R+CC T ) −1 - TT T Trong ®ã: - C ma trận hệ số điều kiện bổ sung - T : ma trËn trung gian T=B(C T B) - B : ma trận chuyển đổi Helmert  A.B =  R.B = - Ta tính đ-ợc nghiệm theo công thức: ~ X= -R b 1 1     1 1 Với C=   ; B=       1 1 + Suy ta có: - T=B(C T B) −1  0.3333     0.3333  =  0.3333     0.3333  64 ~ → R = (R+CC T ) −1    T - TT =    0.6389 0.3889 0.3889 0.3889 0.3889 0.6389 0.3889 0.3889 0.3889 0.3889 0.7639 0.2639 0.3889   0.3889  0.2639   0.7639 ~ Bc 6: Tớnh nghim h ph-ơng trình chuÈn më réng X= -R b + Nghiệm hệ phương trình chuẩn mở rộng   H1   − 0.2250    H   0.2250  ~  X = − R b = =   H A   0.0000       H 0.0000   B   + Từ ta tính số hiệu chỉnh trị đo:    V = AX + L =      − 0.2250   − 0.4500  0.2250   0.2250  − 0.2250  → PVV= 0.4050 Bước 7: Tính trị đo sau bình sai: + Chênh cao sau bình sai:  h1bs   h1do + v1   − 0.2250   bs       h2   h2 + v2   0.4500   h3bs  =  h3do + v3  =  0.2250   bs       h4   h4 + v4   0.2250   hbs   h + v   − 0.2250    5    + Độ cao sau bình sai: 65  H1bs   H10 +  H1    bs     H H +  H 2  = =  H Abs   H A0 +  H A    bs      HB   HB +  HB   − 0.2250   0.2250  0.0000   0.0000  Bước 8: Đánh giá độ xác + Sai số trung phương trọng số đơn vị: =  PVV  n−t + d = 0.405 = 0.4500(m) − +1 + Sai số trung phương độ cao điểm sau bình sai: mH1 =  Q11 = 0.3597(m) mH =  Q22 = 0.3597(m) mH A =  Q33 = 0.3933(m) mH B =  Q44 = 0.3933(m) Bước 9: Đánh giá độ xác hàm F=H2-H1  −1   + F =   ; F T = ( −1 0 ) 0   0 + F T QF = 0.5000(Q = R ) ~ 66 ... phương trình rvịng= q =1 phương trình rcực= n’-2p+3= 13- 2x7+3=2 phương trình rα=Nα-1= 2-1=1 phương trình rs = Ns-1=2-1=1 phương trình rxy = 2(Nxy-1)=2(2-1)=2 phương trình Vậy lưới có: phương trình. .. nghĩa Ta thấy, phương trình phương trình điều kiện hình, vịng phương trình dạng tuyến tính cịn phương trình điều kiện cực phương trình phi tuyến tính, ta phải chuyển chúng phương trình số hiệu chỉnh... ta phương trình điều kiện hình hình đa giác trung tâm đo cạnh sau: b Phương trình điều kiện hình tứ giác trắc địa: S2 B C S6 S5 S1 S3 A 31 C S4 Hình 3.13 Giả sử só hình tứ giác trắc địa đo cạnh