Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 150 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
150
Dung lượng
3,74 MB
Nội dung
N
A
A'
H
O
( )
( ')
WWW.ToanCapBa.Net
CHYÊN ĐỀHÌNH CHÓP
CHYÊN ĐỀHÌNH CHÓP
GÓC – KHOẢNG CÁCH
Quan hệ song song – vuông góc là một mảng vô cùng quan trọng
trong chương trình hình học không gian nói chung và trong những bài toán có
liên quan đến hình chóp nói riêng. Và một trong những ứng dụng quan trọng nhất
của quan hệ song song – vuông góc trong việc giải các bài toán hình học không
gian cũng như các bài toán có liên quan đến hình chóp là tìm góc và khoảng
cách.Ta đến với những bài toán sau:
Bài 1: Cho (∆),(∆′) chéo nhau, có AA′ là đường vuông góc chung của (∆) và (∆′)
(A′ ∈ (∆′) và A ∈ (∆)). Gọi (P) là mặt phẳng chứa A và vuông góc với (∆′), còn
(Q) // (P) cắt (∆) và (∆′) lần lượt tại M và M′. Gọi N=ch M/(P). Đặt γ = (∆,(P)),
∠MAM′ = α, ∠M′AA′ = β. Tìm mối quan hệ của α,β,γ.
Giải :
* Vì (P) ⊥ (∆′) và AA′ ⊥ (∆′), A ∈
(P)
⇒ AA′ ⊂ (P)
* AA′ // (Q) MA′ //
MN
M′A′ ⊥ (P) ⇒ M′M // A
′N
⇒ M′MNA′ là hình chữ nhật
N = ch M/(P) M′A′ ⊥ A
′N
Đặt MN = x. Ta có
AA′
2
= A′M
2
– AM
2
= A′N
2
+ MN
2
– (AN
2
+ MN
2
)
= A′N
2
– AN
2
⇒ A′A ⊥ AN
1
WWW.ToanCapBa.Net
S
A
B
C
F
E
I
WWW.ToanCapBa.Net
* Dễ dàng thấy được γ = ∠MAN. Trong mặt phẳng (M′AM), ta có:
M′M
2
= A′A
2
+ AN
2
= M′A
2
+ MA
2
– 2M′A.MA.cos α
Mà A′A = cot β.x
AN = cot γ.x
M′A =
sin
x
β
MA =
sin
x
γ
⇒ x
2
(cot
2
β + cot
2
γ) = x
2
2 2
1 1 cos
2
sin sin sin .sin
α
β γ β γ
+ −
÷
⇔ cot
2
β + cot
2
γ = 2 + cot
2
β + cot
2
γ -
cos
2
sin .sin
α
β γ
⇔ cos α = sin β.sin
Bài 2: Cho tứ diện vuông S.ABC. M là một điểm bất thuộc ∆ABC, I là trung điểm
AB. Giả sử CA = 2SB, CB = 2SA. Kẻ SE ⊥ CA, SF ⊥ CB. CMR:
a. SC ⊥ EF b.
4
4
tan ( )
1
tan ( )
SCI EB
SCA AB
+ =
Giải :
* Ta có SC
2
= BC
2
– SB
2
=
4SA
2
– SB
2
SC
2
= AC
2
– SA
2
=
4SB
2
– SA
2
⇒ SA = SB ⇒ AC = AB
* SE =
.SC SA
AC
SF =
.SC SB
AB
⇒ SE = SF
2
WWW.ToanCapBa.Net
B C
A D
S
M
N
WWW.ToanCapBa.Net
Từ đây ta dễ dàng suy ra: EF // AB mà SC ⊥ (SAB) nên EF ⊥ SC
* Ta có :
2
2
2
SC
EF CE SC
AC
AB CA AC AC
= = =
Mặt khác: AB =
2
.SA (do ∆SAB vuông cân)
=
2
2
AC
⇒EF =
2 2
2
2
.
2
SC SC
AC AC
=
Lại có:
1
2
SA
AC
=
⇒ ∠SAC =
3
π
⇒
3
cos cos
2 3 6 2
CS
AC
π π π
= − = =
÷
CS =
2 2
AC SA−
=
3SA
=
6
2
AB
Do đó: EF =
2 3 6
. . .
2 2 2
AB
=
3
4
AB
⇒
3
4
EF
AB
=
(1)
* tan SCI =
1
6
2
6
6
2
AB
SI
SC
AB
= =
tan SCA =
3
3
3
SA SA
SC
SA
= =
⇒
4
4
tan 1
tan 4
SCI
SCA
=
(2)
* Từ (1),(2) suy ra:
4
4
tan ( ) 1 3
1
tan ( ) 4 4
SCI EB
SCA AB
+ = + =
(đpcm)
Bài 3: Trong (P) cho ABCD là hình vuông cạnh a. Lấy M,N ∈ CB và CD. Đặt
CM = x, CN = y. Trên At ⊥ (ABCD) lấy S. Tìm x,y để:
a. ((SAM),(SAN)) =
4
π
b. ((SAM),(SMN)) =
2
π
Giải :
3
WWW.ToanCapBa.Net
D C
A B
S
E
H
I
K
WWW.ToanCapBa.Net
a. AM ⊥ SA, AN ⊥ SA ⇒ ∠MAN = ((SAM),(SAN))
SA = (SAM) ∩ (SAN)
Để ((SAM),(SAN)) =
4
π
thì ta có:
cos MAN =
2 2 2
2
2 2 .
AM AN MN
AM AN
+ −
=
⇔
2 2 2 2
2. ( ) . ( )a a x a a y+ − + −
= a
2
+ (a – x)
2
+ a
2
+ (a – y)
2
– (x
2
+ y
2
)
⇔ 2[a
2
+ (a – x)
2
].[a
2
+ (a – y)
2
] = [4a
2
– 2a(x + y)]
2
⇔ a
4
+ a
2
[2a
2
– 2a(x + y) + x
2
+ y
2
] + (a
2
+ x
2
– 2ax)(a
2
+ y
2
– 2ay) = 2[2a
2
– a(x
+ y)]
2
.
⇔ a
4
+ 2a
4
– 2a
3
(x + y) + a
4
+ a
2
(x
2
+ y
2
) + 4a
2
xy – 2a
3
(x + y) + x
2
y
2
– 2axy(x +
y) = 8a
4
– 8a
3
(x + y) + 2a
2
(x
2
+ y
2
) + 4a
2
xy
⇔ x
2
y
2
+ 4a
3
(x + y) = 2axy(x + y) +4a
4
b. Giả sử (SAM) ⊥ (SMN)
Dựng NM′ ⊥ SM ( M′ ∈ SM). Ta có :
'
' ( )
( ) ( )
NM SM
NM SAM
SM SAM SMN
⊥
⇒ ⊥
= ∩
⇒ NM′ ⊥ SA
Mặt khác: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ NM
Do đó: M ≡ M′
⇒ MN ⊥ (SAM)
⇒ MN ⊥ AM
Vậy để (SAM) ⊥ (SMN) thì ta phải có: AM
2
+ MN
2
= AN
2
⇔ a
2
+ (a – x)
2
+ x
2
+ y
2
= a
2
+
(a – y)
2
⇔ 2x
2
= 2ax – 2ay
⇔ x
2
= a(x – y).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD
có SA ⊥ (ABCD) và SA = a
2
.
ABCD là hình thang vuông tại
A, D. AB = 2a, AD = CD = a
a. Tính góc (S, BC, A) và (A,
BS, C)
b. Tính góc ((SBC),(SCD))
Giải :
4
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
* Xét mp (ABCD)
+ Gọi H = ch C/AB
⇒ AHCD là hình vuông, ∆CHB là tam giác vuông cân.
⇒ ∠CAB =
2
π
hay CA ⊥ CB
• Từ giả thuyết ta dễ dàng có được: SB = a
6
,
• BC = AC = a
2
, SD = a
3
⇒ SC = 2a
⇒ SC
2
+ BC
2
= SB
2
.
⇒ SC ⊥ CB
• Do đó: (S, BC, A) = ∠SCA =
4
π
.
+ Gọi K = ch A/SB
I = ch A/SC
( )
SC CB
CB SAC
AC CB
⊥
⇒ ⊥
⊥
⇒ AI ⊥ BC mà AI ⊥ SC ⇒ AI ⊥ (SBC)
⇒ AI ⊥ SB ⇒ SB ⊥ (AIK)
AK ⊥ SB
⇒ KI ⊥ SB ⇒ (A, SB, C) = ∠AKI
Dễ thấy:AI = a
AK =
2.2 2 3
.
3
6
a a
a
a
=
. . 2 3
3
6
SI KI SI BC a a
KI a
SB BC SB
a
= ⇒ = = =
⇒ AI
2
+ KI
2
= a
2
+
2
3
a
=
2
4
3
a
= AK
2
⇒ ∆AKI vuông tại I
⇒ sin AKI =
3
2
2 3
3
AI a
AK
a
= =
⇒ ∠AKI =
3
π
* Trong mp (SCD) dựng đường thẳng qua C vuông góc với SC và cắt SD tại E.
⇒
(( ),( ))
SC CE
SCB SCD
SC CB
⊥
⇒
⊥
= ∠ECB
5
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
+ SE.SD = SC
2
⇒ SE =
2
4
3
a
a
=
4 3
3
a
⇒ DE =
3
3
a ⇒ CE
2
= DE.SE =
2
4 3 3 4
.
3 3 3
a a a=
+
2 2 2
5
2 2
6 cos
2 . 3
3
BD a
SD SB BD
SB a ESB
SD SB
SD a
=
+ −
= ⇒ = =
=
⇒ BE
2
= SE
2
+ SB
2
– 2.SE.SB.cos ESB
=
16
3
a
2
+ 6a
2
– 2.
2
2 2 4 3 2
. . 6
3 3 3
a a a=
⇒ cos ECB =
2 2 2
2. .
CE CB EB
CE CB
+ −
=
2 2 2
4 2
2
6
3 3
3
2 3
2. . 2
3
a a a
a a
+ −
=
⇒ ∠ECB = arccos
6
3
Bài 5: Cho ∆SAB đều và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng
vuông góc với nhau. Gọi M là trung điểm của AD
a. Tìm d(SA,MC)
b. Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và một điểm P bất kì trên SD. Xác định giá trị
lớn nhất có thể có của góc nhị diện giữa (P) và (ABCD), biết thiết diện giữa
(P) và hình chóp là hình thang
Giải :
6
WWW.ToanCapBa.Net
D C
BA
S
O
E
P
Q
P'
Q'
M
WWW.ToanCapBa.Net
Gọi O là trung điểm
của AB
⇒ SO ⊥ AB
Mà
(SAB) ∩ (ABCD) = AB
⇒ SO ⊥ (ABCD)
⇒ SO ⊥ BC mà BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ (SAB)
a. Gọi E là trung điểm của BC
⇒ AE = MC = SE =
5
2
a
AM = EC =
2
a
⇒ AMCE là hình bình hành
7
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
⇒ MC // AE
⇒ ∠(MC,SA) = ∠(AE,SA)
⇒ cos (MC,SA) =
2 2 2
2. .
AE SA SE
AE SA
+ −
=
2
5
5
5
2 .
2
a
a a
=
⇒ sin (MC,SA) =
2 5
5
. Dễ thấy SO =
3
2
a
Ta có: V
S.AMC
=
1
3
SO.S
AMC
=
1
6
SO.DC.MA =
1 3
. . .
6 2 2
a a
a
=
3
3
24
a
Mặt khác:
( ) ( )
.
1
. .sin , . ,
6
S AMC
V SA MC MC SA d SA MC=
V
S.AMC
=
1
6
SA.MC.sin
(MC,SA).d(SA,MC)
⇔
3
3
24
a
=
1 5 2 5
. . . ( , )
6 2 5
a
a d SA MC
⇔ d(SA,MC) =
3
4
a
b.
+ Thiết diện giữa (P) và hình chóp là hình thang.
Dựng PQ // AD (Q ∈ SA)
⇒ PQ // BC
Dễ thấy PQBC là thiết diện của (P) với hình chóp S.ABCD
+ Trong mặt phẳng (SAB) dựng QQ′ // SO
⇒ QQ′ ⊥ (ABCD)
Dựng PP′ ⊥ (ABCD) (P′ ∈ (ABCD))
⇒ (P′Q′BC) = ch (PQBC)/(ABCD)
+ Ta có: (OAD) = ch (SAD)/(ABCD)
⇒ P′ ∈ OD, Q′ ∈ OA
8
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
+ Đặt SP = x (0 ≤ x ≤ SD =
2a
2
SP x
SD
a
=
⇒
'
'
2
SP x OP
PD P D
a x
= =
−
⇒
'
2
OP SP x
OD SD
a
= =
⇒ OP′ =
2
2
.
4
2
x a
a
a
+
' '
2
OP OQ x
OD OA
a
= =
⇒
2
'
4
x
OQ =
/ /
' '/ /
' ' ( ) / ( )
PQ AD
P Q AD
P Q ch PQ ABCD
⇒
=
⇒ P′Q′ ⊥ AB ⇒ P′Q′ =
2 2
5 2
8 8 2
x x x
− =
⇒ S
P’Q’BC
=
1
2
.Q′B.(P′Q′ + BC) =
1
2
2 2
2 4 2
a x x
a
+ +
÷ ÷
÷ ÷
=
2
1 2
4 2
x
a
+
÷
÷
+
2
SP PQ x
SD AD
a
= =
⇒ PQ =
2
2
x
+
1 1
1
' 2
1
2 2
QQ AQ SA AQ SQ x a x
SH SA AQ AQ
a x a
− −
−
+ −
= = = = + =
÷ ÷
÷
−
⇒ QQ′ =
2
. 6
4
a x−
9
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Do QQ′ ⊥ Q′B
⇒ QB =
( )
2
2
2 2
2 3
' ' 2
2 4 8
a x
Q B QQ a x
+ = + + −
÷
÷
=
2 2
2 2
2 3 3 2 3
4 4 8 4 4 8
a ax x
a ax x+ + + − +
=
2
2
2
2 2
a x
a x− +
⇒ S
PQBC
=
2
2
1 2 2
2 2 2 2
a x x
a x a
− + +
÷
÷
⇒ cos ((P),(ABCD)) =
2 2 2
2
2
1 1 2
2
2 2
2 2 2
2 2
x
a
a x
a x a a x x
a x
+
+
=
− +
− +
Đặt f(x) =
2 2
2
2 2
a x
a a x x
+
− +
∀x ∈ [o;a
2
]
Xét f′(x) =
( )
2
2 2 2 2
6 3 2
2 2 2 2
a xa
a ax x a a x x
−
− + − +
> 0 ∀x ∈ [o;a
2
]
Vậy max f(x) = 2 min f(x) = 1
Bài 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC đều có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi
α
là góc giữa mặt bên và mặt đáy và
ϕ
là góc giữa hai mặt bên.
Tìm mối quan hệ giữa
α
và
ϕ
.
Giải:
+ Gọi I là trung điểm của BC .
SI BC (SAI) BC
AI BC SIA ((SBC),(ABC))
⊥ ⊥
⇒ ⇒
⊥ ∠ = ∠ = α
10
WWW.ToanCapBa.Net
[...]... a/ Đường cao của hình chóp b/ Khoảng cách từ A đến mp(SBC) BT7/ Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại C, AC = x, AB = 2a, đường cao SA = h (h cho trước và nhỏ hơn 2a) Gọi I và J lần lượt là trung điểm AC và SB Xác định x theo a để IJ là đường vuông góc chung của AC và SB Khi đó hãy tính khoảng cách từ A đến (SBC) BT8/ Cho tam giác đều ABC cạnh a Trên đường thẳng At vuông góc với mp(ABC) lấy... góc 600 BT3/ Trong mặt phẳng (P), cho hình thoi ABCD cạnh a, AC = 2a 6 Trên đường 3 thẳng vuông góc với (P) tại giao điểm O của hai đường chéo hình thoi, lấy điểm S sao cho SO = a Chứng minh rằng mp(SAB) vuông góc với mp(SAD) BT4/ Trong mp(P) cho hình thang cân ABCD có AB=2a, CD=a, BC=AD=a Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại trung điểm M của AB, lấy S: SM=a a/ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình. .. A’B nên BH ⊥ A’B BH ⊥ B'C BH ⊥ A 'B Mặt khác IJ // BH nên Vậy IJ là đường vuông góc chung mà ta cần dựng Bài 13 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa hình lục giác đều cạnh a, đường cao SA = a Dựng đường vuông góc chung của BD, SC ; xác định chân đường vuông góc trên các cạnh SC và BD.Tính độ dài đoạn vuông góc chung đó Giải : Qua C kẻ đường thẳng song song với BD và cắt AB và AD lần lượt tại... b/ Tính góc giữa SM với mp(SCD) 23 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net BT5/ Cho ABC là tam giác vuông ở C, AC = a, BC = b Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = h Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và SB Tìm giá nhỏ nhất của MN khi h thay đổi BT6/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, góc BAC bằng 1200, AC = b, BC = a, cạnh SA vuông góc với đáy, góc giữa... // BI ⇒ HJIB là hình bình hành ) 22 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP TỰ LUYỆN BT1/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, mp(SAB) ⊥ mp(ABCD), tam giác SAB đều Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau: a/ (SAB) và (SAD); b/ (SAD) và (SBC); c/ (SHC) và (SDI), với H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC BT2/ Cho tứ diện ABCD, hai mp(SAB) và (SBC) vuông góc với nhau, SA vuông góc mp(ABC) Cho... D.Tìm vị trí của E để thiết diện tứ diện khi cắt bởi mp(JEI) là hình thoi Giải: 33 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net - Có IJ là đường trung bình của tam giác BCD Do đó, IJ//CD ⇒ CD//mp(IJEF) ⇒ CD // EF (do CD, EF đồng phẳng) - Do đó, thiết diện là hình thang Để thiết diện là hình EF = JI ⇒ E là trung điểm của AD EF = JE thoi thì -- Ngược lại, khi E là trung điểm của AD thì CD EF // JI //... góc với mp(ABC) lấy điểm S sao cho AS = b a/ Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a, b b/ Hz là đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với (SBC) Chứng minh rằng khi S di động trên At thì Hz luôn đi điểm cố định 24 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net NHỮNG BÀI TOÁN VỀ THIẾT DIỆN TRONG HÌNH CHÓP Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành M là trung điểm của SC, (P) là mặt... = 2a 3 thì thiết diện B’C’D’ là tam giác đều Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy a và đường cao h Dựng mp( α ) đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’ a) h phải thoả điều kiện gì để C’ là một điểm thuộc cạnh SC ? Khi đó b) hãy tính thể tích hình chóp S.AB’C’D’ c) Có xảy ra trường hợp nào mà tam giác B’C’D’ là tam giác đều? Giải: a) Vì SAC là tam giác cân SA... khi vẽ hình, đặc biệt là khi có những mặt phẳng cắt ngang khối chóp thì mỗi loại sẽ định hướng nét vẽ cũng như hình dạng thiết diện theo những cách khác nhau Ta chỉ có thể thông qua chứng minh mà kết luận chứ không nên nhận định vội vàng) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Mặt phẳng (P) cắt các đoạn SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’ Chứng minh rằng tứ giác A’B’C’D’ là hình. .. suy ra (P) //(ABCD) Câu hỏi đặt ra ở đây là nếu như mặt đáy hình chóp không phải là hình bình hành mà mang một hình dạng bất kì thì làm thế nào để dựng được thiết diện A’B’C’D’ của bài toán là hình bình hành? Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, mp(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’ Tìm điều kiện của mp(P) để A’B’C’D’ là hình bình hành Giải: A' B' // C' D' A' D' // B' C' +A’B’C’D’ . ')
WWW.ToanCapBa.Net
CHYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP
CHYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP
GÓC – KHOẢNG CÁCH
Quan hệ song song – vuông góc là một mảng vô cùng quan trọng
trong chương trình hình học. f(x) = 1
Bài 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC đều có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi
α
là góc giữa mặt bên và mặt đáy và
ϕ
là góc giữa hai mặt bên.
Tìm