đề thi thử đại học môn toán khối b năm 2014 - đề số 4

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN KHỐI B NĂM 2013-2014 Đề Số 4 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm) Câu I ( 2,0 điểm): Cho hàm số 24 1 x y x − = + . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1). Câu II (2,0 điểm): 1. Giải phương trình: 2 2 132 13 x x xx = ++− ++ − 2. Giải phương trình: 234 2 3 4 sin sin sin sin cos cos cos cos x xxxx x x x+++=+++ Câu III (1,0 điểm): Tính tích phân: 2 1 ln ln 1ln e x Ixdx xx ⎛⎞ =+ ⎜⎟ + ⎝⎠ ∫ Câu IV (1,0 điểm):Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai đỉnh S và S’ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC. Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết rằng SH = S’K =h. Câu V(1,0 điểm): Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 99 99 99 6336 6336 6336 xy yz zx P x xy y y yz z z zx x +++ =++ ++ ++ ++ PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần(phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: 22 43 4 0xy x++ −=. Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có phương trình 23 2 (tR) 42 xt yt zt =+ ⎧ ⎪ =− ∈ ⎨ ⎪ =+ ⎩ . Tìm trên d những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ nhất. Câu VII.a (1,0 điểm): Giải phương trình trong tập số phức: 2 0zz + = B. Theo chương trình nâng cao. Câu VI.b (2,0 điểm): 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. 2. Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng: 210 3 30 () ; (') 10 2 10 xy xyz xyz xy ++= +−+= ⎧⎧ ΔΔ ⎨⎨ −+−= −+= ⎩⎩ .Chứng minh rằng hai đường thẳng ( Δ ) và ( 'Δ ) cắt nhau. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của các góc tạo bởi ( Δ ) và ( 'Δ ). Câu VII.b (1,0 điểm): Giải hệ phương trình: 22 2 33 3 log 3 log log log 12 log log xyy x x x yy +=+ ⎧ ⎨ +=+ ⎩ . Hết ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điể m I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm) CâuI 2.0 1. TXĐ: D = R\{-1} Chiều biến thiên: 2 6 '0 xD (1) y x =>∀∈ + => hs đồng biến trên mỗi khoảng (;1) − ∞− và (1; ) − +∞ , hs không có cực trị 0.25 Giới hạn: 11 lim 2,lim ,lim x xx yy y −+ →±∞ →− →− ==+∞=−∞ => Đồ thị hs có tiệm cận đứng x= -1, tiệm cận ngang y = 2 BBT x - ∞ -1 + ∞ y’ + + y + ∞ 2 2 - ∞ 0,25 0.25 + Đồ thị (C): Đồ thị cắt trục hoành tại điểm ( ) 2; 0 , trục tung tại điểm (0;-4) f(x)=(2x-4)/(x+1) f(x)=2 x(t)=-1 , y(t)=t -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng 0.25 2. Gọi 2 điểm cần tìm là A, B có 66 ;2 ; ;2 ; , 1 11 Aa Bb ab ab ⎛⎞⎛⎞ − −≠− ⎜⎟⎜⎟ ++ ⎝⎠⎝⎠ 0.25 Trung điểm I của AB: I 22 ; 211 aba b ab + −− ⎛⎞ + ⎜⎟ + + ⎝⎠ Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= 0 0.25 Có : .0AB MN IMN ⎧ = ⎪ ⎨ ∈ ⎪ ⎩ uuur uuuur 0.25 => 0(0;4) 2(2;0) aA bB =− ⎧⎧ => ⎨⎨ = ⎩⎩ 0,25 CâuII 2.0 1. TXĐ: x [ ] 1; 3∈− 0,25 Đặt t= 1 3 , t > 0xx++ − => 2 2 4 32 2 t xx − +−= 0,25 đc pt: t 3 - 2t - 4 = 0 Ù t=2 0,25 Với t = 2 Ù 1 13 =2 (/) 3 x x xtm x =− ⎡ ++ − ⇔ ⎢ = ⎣ 0,25 2. 234 234 sin sin sin sin cos cos cos cos x xxxx x x x+++=+++ 1,0 TXĐ: D =R 234 234 sin sin sin sin cos cos cos cos x xxxx x x x+++=+++ [] sin 0 (sin ). 2 2(sin ) sin . 0 2 2(sin ) sin . 0 xcosx x cosx x cosx x cosx xcosx xcosx −= ⎡ ⇔− + ++ =⇔ ⎢ + ++ = ⎣ 0,25 + Với sin 0 ( ) 4 x cosx x k k Z π π −=⇔=+ ∈ 0,25 + Với 2 2(sin ) sin . 0xcosx xcosx+++ =, đặt t = sin (t 2; 2 )xcosx ⎡⎤ +∈− ⎣⎦ được pt : t 2 + 4t +3 = 0 1 3( ) t t loai =− ⎡ ⇔ ⎢ =− ⎣ 0.25 t = -1 2 () 2 2 xm mZ xm ππ π π =+ ⎡ ⎢ ⇒∈ ⎢ =− + ⎣ Vậy : () 4 2() 2 2 xkkZ x mmZ xm π π ππ π π ⎡ =+ ∈ ⎢ ⎢ =+ ∈ ⎢ ⎢ =− + ⎢ ⎣ 0,25 Câu III 2 1 ln ln 1ln e x Ixdx xx ⎛⎞ =+ ⎜⎟ + ⎝⎠ ∫ 1,0 I 1 = 1 ln 1ln e x dx x x+ ∫ , Đặt t = 1ln x + ,… Tính được I 1 = 422 33 − 0,5 () 2 2 1 ln e Ixdx= ∫ , lấy tích phân từng phần 2 lần được I 2 = e - 2 0,25 I = I 1 + I 2 = 222 33 e −− 0,25 Câu IV 1,0 M N A B D C S S' H K SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung điểm SB, S’D : S ABCD S AMND VV V=− 0,25 SAMND SAMD SMND VVV=+; 11 ;.; 24 SAMD SMND S ABD S BCD VV SM SM SN V SB V SB SC = === 0.25 . 1 2 S ABD S ACD S ABCD VV V== ; . 35 88 S AMND S ABCD S ABCD VVVV=⇒= 0.25 2 5 24 Vah⇒= 0.25 CâuV Có x, y, z >0, Đặt : a = x 3 , b = y 3 , c = z 3 (a, b, c >0 ; abc=1)đc : 33 33 33 222222 ab bc ca P aabbbbcc ccaa +++ =++ ++ ++ ++ 0.25 33 2 2 22 22 () ab aabb ab aabb aabb +−+ =+ ++ ++ mà 22 22 1 3 aabb aabb −+ ≥ ++ (Biến đổi tương đương) 22 22 1 () () 3 aabb ab ab aabb −+ => + ≥ + ++ 0.25 Tương tự: 33 3 3 22 2 2 11 (); () 33 bc ca bc ca bbcc ccaa ++ ≥+ ≥+ ++ ++ => 3 2 ()2.2 3 P a b c abc≥++≥ =(BĐT Côsi) 0.25 => P 2, 2 khi a = b = c = 1 x = y = z = 1P≥= ⇔ Vậy: minP = 2 khi x = y =z =1 0.25 II. PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) A. Chương trình chuẩn CâuVI. a 2.0 1. A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’ 0,25 Pt đường thẳng IA : 23 22 x t y t ⎧ = ⎪ ⎨ =+ ⎪ ⎩ , ' I IA ∈ => I’( 23;2 2tt + ), 0,25 1 2' '(3;3) 2 AI I A t I=⇔==> uur uuur 0,25 (C’): () () 2 2 334xy−+−= 0.25 2. M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t) d∈ , AB//d. 0.25 Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB ≥ A’B (MA+ MB) min = A’B, khi A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB 0.25 0,25 MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4) 0,25 CâuVII .a 1.0 z = x + iy ( , x yR∈ ), z 2 + 22 22 020zxyxyxyi = ⇔−+ ++ = 0,25 22 22 20 0 xy xy xy = ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ −+ + = ⎪ ⎩ 0,25 (0;0); (0;1) ; (0;-1). Vậy: z = 0, z = i, z = - i 0,5 B. Chương trình nâng cao Câu VI.b 2.0 1. (7;3)BD AB B∩= , pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = 0 (2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7 AAB Aa aCBC Cc ca c∈⇒ + ∈⇒ − ≠≠, I = 21217 ; 22 ac a c++ − + ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ là trung điểm của AC, BD. 0,25 I 3 18 0 3 18 (6 35;3 18)BD c a a c A c c∈⇔−−=⇔=−⇒ − − 0,25 M, A, C thẳng hàng Ù , M AMC uuur uuuur cùng phương => c 2 – 13c +42 =0 Ù 7( ) 6 c loai c = ⎡ ⎢ = ⎣ 0,25 c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3) 0.25 2. Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất, ( Δ ) ∩ (' Δ ) = A 13 ;0; 22 ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ 0.5 (0; 1;0) ( )M −∈Δ, Lấy N (')∈Δ , sao cho: AM = AN => N AMNΔ cân tại A, lấy I là trung điểm MN => đường phân giác của các góc tạo bởi ( Δ ) và ('Δ ) chính là đg thẳng AI 0.25 Đáp số: 1 2 1313 2222 (): ;(): 11 22 35 11 22 35 14 30 14 30 14 30 14 30 14 30 14 30 xzxz yy dd +−+− == == −− −− +++ −−− 0,25 Câu VII.b TXĐ: 0 0 x y > ⎧ ⎨ > ⎩ 0.25 22 2 33 3 log 3 log log 3. 2. log 12 log log 12 . 3 . xy xy xyyx yx xxyy x y ⎧ +=+ = ⎧ ⎪ ⇔ ⎨⎨ +=+ = ⎪ ⎩ ⎩ 0.25 2 3. 2. xy yx y x = ⎧ ⇔ ⎨ = ⎩ 0.25 4 3 4 3 log 2 2log 2 x y = ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ = ⎪ ⎩ (t/m TXĐ) 0,25 . ( ) 2; 0 , trục tung tại điểm (0 ; -4 ) f(x)=(2x -4 ) /(x+1) f(x)=2 x(t) =-1 , y(t)=t -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y Đồ thị nhận. 33 2 2 22 22 () ab aabb ab aabb aabb +−+ =+ ++ ++ mà 22 22 1 3 aabb aabb −+ ≥ ++ (Biến đổi tương đương) 22 22 1 () () 3 aabb ab ab aabb −+ => + ≥ + ++